自动控制原理_胡寿松_第二章ppt

Ce m (t ) u a (t )
第一节控制系统的时域数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
m
d 2 x(t ) dt 2
dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
中间变量关系式 : 质量 弹簧 阻尼器 (1) 确定输入和输出 F2(t) = k x(t)
弹簧系数k
F(t)
dx(t) m 输入量 输出量 F1(t) = f dt x(t) 系统工作过程： d2x(t) a= (2) 初始微分方程组 dt2 阻尼系数f 2x(t) 消除中间 d 根据牛顿第二定律 dx(t) m +f + kx(t) = F(t) 变量得:F = ma 2 dt dt
第一节控制系统的时域数学模型
1．拉氏变换的定义
如果有一函数满足下列条件： (1) t <0 时 (3) ∫
∞ 0
f(t)=0
(2) t≥0 时 f(t)是分段连续的 f(t)e -st dt <∞
∞ -st 0 f(t)e dt
f(t)的拉氏变换为：
F(s)=∫
记作 F(s)=L[f(t)] 拉氏反变换为： f(t)=L-1 [F(s)]
第一节控制系统的时域数学模型
2．常用函数的拉氏变换 (3)(6) 指数函数 e (1) 单位阶跃函数 I(t) ∞ -st 1 ∞ -at -st = dt F(s)= ∫ t0 e∫ dt 1 2 F(s)= e e S 0-st ∞ 1 0 F(s)= ∫ I(t)e dt = 0 (4) 正弦函数 Sin ω t 0 S 1 0 = s+a ∞ f(t) -st F(s)=∫ Sin ωt e dt 0 f(t) (2) 单位脉冲函数 δ (t) f(t) ω 1 (7) 抛物函数 0 = 2 2 2 t2 s +ω ∞ -st-stωt 1 ∞ (5) 余弦函数 Cos 1 2e dt == 1 3 F(s)= ∫δ dt 0 t F(s)= ∫ (t)e ∞ s 0 2 S -st 0 0 F(s)=∫ Cos ωt e dt = 2 2 0 s +ω
2u du d (2)RC 建立初始微分方程组 c c +u =u +LC 2 c r dt dt
di ur= R i + L dt + uc duc 根据基尔霍夫定律得： i = C dt (3) 消除中间变量，使式子标准化 RLC 电路是二阶常系数线性微分方程。
第一节控制系统的时域数学模型
2．机械位移系统 F(t) – F1(t) – F2(t) = ma 系统组成：
第一节控制系统的时域数学模型
消除中间变量得到直流电动机的微分方程
d 2 m (t ) d m (t ) La J m ( La f m R a J m ) 2 dt dt ( Ra f m C m C e ) m (t ) dM c (t ) C m u a (t ) La Ra M c (t ) dt
第二章 控制系统的数学模型
问题：
何为数学模型? 数学模型的种类?
描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式就称为数学模型
常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型
第二章 控制系统的数学模型
数学模型表示的是各阶倒数均为零的 静态下各变量之间的关系，则为静态数 学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关 系， 则为动态数学模型 • 分析和设计任何一个控制系统，首要任务 是建立系统的数学模型。 • 建立数学模型的方法分为解析法和实验法
第一节控制系统的时域数学模型
d m (t ) Tm m (t ) K1u a (t ) K 2 M c (t ) dt
由于电枢电感 La 较小，通常可忽略不计，上 式可简化为：(page 22 2-6)
式中： Tm Ra J m /(Ra f m CmCe ) K1 Cm /(Ra f m CmCe ) K 2 Ra /(Ra f m CmCe ) 如果忽略 Ra 和 J m ，上式可进一步简化为：
第二章 自动控制系统的数学模型
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输பைடு நூலகம்一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。
第二章 自动控制系统的数学模型
相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。
便于用简单系统去研究相似的复杂系统。
第一节控制系统的时域数学模型
四、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微 分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
时域t 线性微分方程 拉氏变换
复数域s 代数方程
求 解 代数方程的解
微分方程的解
拉氏反变换
则
p nt f(t)=A1e p1t +A2e p2t +· A e · · + n
第二章
控制系统的数学模型
第二节 控制系统的复数域数学模型
拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。 还可将线性定常微分方程转换为复数S域内 的数学模型—传递函数。
一、传递函数的定义和性质 二、传递函数的零点和极点及 其对输出的影响 三、典型环节的传递函数
-at 单位斜坡函数 t
f(t) f(t) f(t) 1
t
tt t tt
第一节控制系统的时域数学模型
3．拉氏变换的定理
(2)线性定理 微分定理 (1) df(t)] L1 [(t)+bf = sF(s)-f(0) L[af (t) ] = aF1(s)+bF2(s) 2 dt 例 求正弦函数 f(t)=Sin ω t 的拉氏变换． d2f(t) = 2 '(0) s F(s)-sf(0)-f L[ 2 ] dt -jωt jωt e -e 例 求阶跃函数 f(t)=I(t) 的拉氏变换． 解： Sinωt = 2j d[ t] 1 1 1 1 解： =I(t) - L[t]=] s2 [ L[已知 Sinωt]= dt 2j s-jω s+jω d[t]ω 1 1 L[I(t)]=L(= dt2 ) =s = s +ω2 s2 -0 s
第一节控制系统的时域数学模型
(3) 位移定理 积分定理 (5)
-1(0) f 1 L[]e = f(t) ] =F(s+a) F(s)+ s L[∫f(t)dt s -at 例 求f(t)=e Sinωt的拉氏变换． (4) 延迟定理 ω - τs 解： F(s)= L[f(t-τ ) ] =e 2+ωF(s) 2 (s+a) 例 初值定理 求f(t)=t-τ的拉氏变换． (6) Lim f(t f(t) -τs )=lim sF(s) 解： F(s)=L s→∞ t→ [0 t]e
-at
(7) 终值定理
1 e -τs =Lim s2 f(t )=lim0sF(s)
t→∞
s→0
t
t-τ
τ
t
第一节控制系统的时域数学模型
4．拉氏反变换
部分分式法求拉氏反变换 , 实际上是求待定 象函数的一般表达式： 系数A1 ,A2 ,…,Am ,待定系数的求 n .极点的形式不同 m1 b0 s + b1 s + · · · + bm-1 s + bm 解不同 ,) 下面举例说明 F(s = a sn + a .sn-1 + · · · + an-1 s + an 0 1 零点 K ( s – z )( s – z ) · · · ( s – z ) 1 2 m 分解为 = (s –p1 )(s –p2 )· · · (s – p n ) 极点 An 待定系数 转换为 = A1 + A2 +· · + s-p s-p1 s-p2 · n
自动控制理论
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
内容提要：
建立系统输入输出模式数学模型： a、微分方程 b、传递函数 c、方块图 d、信号流图
本章重点:
动态结构图的绘制,等校变换方法；各种模型 表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用
第二章 控制系统的数学模型
第一节 控制系统的时域数学模型 第二节 控制系统的复数域数学模型 第三节 控制系统的结构图与信号流图
第二节控制系统的复数域数学模型
例 求图示RLC电路的传递函数。 L R 输入量 输出量 + + 解： 根据基尔霍 i u u C c r 夫定律： di ur= R i + L dt + uc 2u du d c duc c RC +u =u +LC 2 c r i = C dt dt dt 拉氏变换：RCsUc(s)+LCs2Uc (s)+Uc (s)=Ur (s) 传递函 U c (s ) G (s) = U (s) = LCs2 + 1 RCs + 1 数为: r
第一节控制系统的时域数学模型
3．电枢控制直流电动机(page 21)
工作原理： 系统组成： 直流电机 电枢电 负载 压作用下产生 电枢电流，从 电磁转矩 而产生电磁转 负载转矩 矩使电动机转 摩擦转矩 动. 励磁电流 输入:电枢电压
Mm Tf Mc Ua Ia
输出:电动机速度 m (t )
第一节控制系统的时域数学模型
将传递函数中的分子与分母多项式分别用因 m-1r(t) mr(t) dr(t) d d 式连乘的形式来表示，即 +bm-1 = b0 dtm +b1 dtm-1 +· · · +bmr(t) dt 传递函数的零点 根轨迹增益