22线性方程与常数变易法

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常数变易法求解常微分方程

常数变易法是采用求解常微分方程的一种重要方法，被普遍运用于应用数学中。本文主要就常数变易法求解常微分方程，提出一些观点。

首先，需要明确一点，常数变易法只能用来求解线性微分方程。线性微分方程

即次微分方程为链式型，即满足一阶微分，二阶微分以及高于二阶之外，其中均不存在非线性项。这一类方程一般被缩写为：

$dy/dx+Py=Q$

其中$P$ 和$Q$皆为常数，当$P≠0$时，本方程就是一个典型的线性微分方程。

接着，介绍常数变易法的基本思想。基本思想是把微分方程$$dy/dx+Py=Q$$写

成同一个微分方程的齐次方程形式。齐次方程的解的特点是：将原方程的系数

$P$和$Q$分别称为各自齐次方程的非齐次常数，在立解方程时，这两个非齐次常数它们可以看作是被变形了的“常量” 因此，解微分方程就可以把原来问题转换为

求解一元一次齐次方程的问题，通过相应的简单数学方法求解，由此，把原来的复杂的微分方程变成了解决较为容易的一元一次齐次方程，因此，求解常微分方程就可以用常数变易法来解决。

最后，围绕常数变易法求解常微分方程，介绍具体求解步骤。常数变易法求解

常微分方程的步骤如下：

（1）将原方程化为齐次方程。

（2）把非齐次常数纳入一般解，把两个非齐次常数作为一对参数。

（3）分别代入上述两个参数及所知条件来求得特解。

（4）求全解的思路，即将特解与一般解相加，把它们看成一个解而言。

（5）根据情况简化表达式或者进一步扩大解空间。

本文详细介绍了关于常数变易法求解常微分方程的思想和方法，也介绍了求解

步骤。它能帮助我们准确快速地求解常微分方程，从而达到更有效的结果。随着计算机技术的进步，微分方程求解及计算的方法也会不断发展，提供更多的求解方法，从而解决困扰我们的难题。

用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程PPT课件

常系数线性微分方程
第7页/共24页
欧拉方程的算子解法:
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
令 x et,
则
d y d y dt 1d y dx dt dx x dt
x y d y dt
d2 y d x2
d (1 d y) dt dt x dt dx
y* erx(Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
2. 当 r i 是特征根时，则特解具有形式
y* xerx(Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
其中Qm ( x) 和 Rm ( x) 为两个 m 次待定多项式, m max{l,n};
第2页/共24页
§9 用常数变易法求解二阶非齐次方程
C2 C2
( (
x x
) )
y2 y2
( (
x x
) )
0 f
(
x
)
例求 y y 1 的通解；
cos x
第4页/共24页
若已知齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的一个不恒为零的解 y y1( x), 则利用变换 y uy1( x)，可将非齐次方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 化为一阶线性方程，进行求解。
其根
则①对应的齐次方程的通解为

常微分方程 2.2 线性方程与常数变易法

得通解为:
2019/4/6
I (t ) ce
R t L
E R
常微分方程
I (t ) ce
由初始条件 I (0) 0得,
R t L
E R
E c R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
E I (t ) (1 e R
R t L
)
2019/4/6
常微分方程
作业
P37 7,8,11,12,15,16,20
~ dc ( x ) x x c( x) e c 积分得 e 即 dx ~ ~ n x y ( x 1 ) ( e c ), c 为任意常数故通解为 2019/4/6 常微分方程
dy y 例2 求方程 2 通解. dx 2 x y
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
§2.2 线性方程与常数变易法
2019/4/6
常微分方程
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
2019/4/6
常微分方程
电路的Kirchhoff第二定律:
2019/4/6
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 . 常微分方程

2.2线性方程与常数变易法

ce
cos x
由公式(2.2.3)’得，所求特解为:
y 2e
cos x
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
（2）非齐次线性方程/Non-Homogenous Linear
ODE/
采用常数变易法求解
设想方程 y P ( x ) y Q ( x ) 有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数
2
x
解 1) 先求对应的齐次方程通解
cos x dy dx
ln y ln cos x ln c
y sin x
dy y

sin x cos x
dx
y
c cos x
(c 为任意常数
)
2) 用常数变易法求方程通解设 y
c(x) cos x
是方程的解，代入原方程，得
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

P ( x ) dx
dx c ]
1) 转换变量位置
dx dy
2

2 y
x y
2) 用公式求方程通解
xe
2
y
1
dx
[ ye
1 y

常微分方程课件--常数变易法

3080 4000 故 x(t ) [4000 0.02t 4000( )50 ]. 51 4000 0.02t
x(8760) 223824(kg).
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E. dt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
解以上线性方程得
z e

2
1 dx x
( x e
2

1 dx x
1 3 dx c) cx 2 x 1 3 y cx x 2
2
将z y 代入得所给方程的通解 : 为
二线性微分方程的应用举例
例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数, 试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
~ dc ( x ) x c( x) e c e x 积分得即 dx ~ ~ y ( x 1) n (e x c), c 为任意常数故通解为

常微分方程解法

常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象

中变化规律的方程。解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见

的几种解法。

一、分离变量法

分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。解题步骤如下：

1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。

2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。

4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要

使用特殊的积分技巧。

5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。

6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。

二、常数变易法

常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。解题

步骤如下：

1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。

2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，

v(x)是齐次方程的通解。

3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。

4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。

5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。

6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。

三、二阶齐次线性方程解法

二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。解

题步骤如下：

1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程

常微分方程2.2

通解,这里为n常数
解: 将方程改写为 dy n y e x ( x 1)n dx x 1
首先,求齐次方程 dy n y 的通解 dx x 1
从
dy n y dx x 1
分离变量得
dy y
n dx x1
两边积分得 ln y n ln x 1 c1
故对应齐次方程通解为 y c( x 1)n
性质：
1、齐次线性方程 dy P( x) y的解或者恒等于零，或者恒 dx
不等于零； 2、线性方程的解是整体存在的，即方程的任一解都在 P(x)和Q(x)有定义且连续的整个区间上存在；
3、齐次线性方程的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程的任一解与非齐次线性方程的任一解之和是非齐次方程的解，非齐次线性方程的任意两解之差必是相应齐次线性方程的解；
解线性方程: dI R I E . dt L L
得通解为:
I(t)
Rt
ce L
E
R
I(t)
Rt
ce L
E
R
由初始条件I(0) 0得, c E R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
I(t)
E
Rt
(1 e L )
R
作业
P37 7,8,11,12,15,16,20
x
)e
p
(
x
)dx

江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法

2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation

and constant variation formula )

[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.

[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.

[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]

1. 熟练运用常数变易公式;

2. 知道

⎰

dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学

一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.

1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dx

=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续；称形如

q(x)y p(x)dx

+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写

§2.2 线性方程与常数变易法

dx C cos x sec x dx C

cos x (tan x C ) sin x C cos x .
例3
( x y xy )dx x ( x 1)dy 0 求解初值问题 x y x 1 ln 2 y x ln . x1
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
P ( x ) y Q( x )
当 Q ( x ) 0 , 称为一阶齐线性方程.
当 Q ( x ) 0,
称为一阶非齐线性方程.
一阶线性微分方程的解法:
1、一阶齐线性方程
dy dx
dy y
P ( x) y.
分离变量, 并两边积分, 得
x
x
2
e
e

2 x
dx
dx C
2
2 ln x

2 ln x

1 2
dx C
2
2 x 2

C ,
2
dx C x
2
故所求通解为 y x
x 2
C
,
即 y x
4

x 2
C
.
2
三、一阶线性微分方程应用举例
例由电感 L, 电阻 R 和电源所组成的串联电路,如图,其中电感 L, 电阻 R 和电源的电动势 E 均为常数, 试求当开关 K 合上后, 电路中电流强度 I 与时间 t 之间的关系.

微分方程常数变易法

常数变易法也称为常数变异法，是微分方程求解方法之一。它适用于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性非齐次方程。该

方法的基本思想是，假设方程的解可以写为y = u(x)v(x)，其

中u(x)是待定的函数，v(x)是已知的函数。将y代入原方程，

得到一个关于u(x)和v(x)的方程，通过选取适当的v(x)和求解

u(x)，即可得到原方程的解。

具体步骤如下：

1. 将原方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2. 根据已知条件选取v(x)。选择v(x)的基本原则是希望求解出

u(x)后方程能够变为一个易于求解的方程。通常可以选择v(x) = exp(∫P(x)dx)。

3. 计算v'(x)。根据已知条件，v(x) = exp(∫P(x)dx)，则v'(x) =

P(x)v(x)。

4. 代入原方程，得到u(x)v'(x) + u'(x)v(x) + P(x)u(x)v(x) = Q(x)。

5. 合并同类项，化简上述方程为u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = Q(x)，

然后整理为u'(x)v(x) = Q(x) - u(x)v'(x)。

6. 对上述方程进行分离变量，得到u'(x)/[Q(x) - u(x)v'(x)] =

1/v(x)dx。

7. 对上述方程进行积分，得到∫[Q(x) - u(x)v'(x)]/v(x)dx = ∫du(x)。

8. 解上述积分方程，求得u(x)。

9. 将u(x)代入v(x) = exp(∫P(x)dx)中，得到v(x)。

用常数变易法求解二阶线性非齐次方程

1 te2t . 9
故原方程的通解为
y
C1 x5
C2 x
1 9
x2
ln
x.
2021/4/22
9
小结
欧拉方程解法思路
变系数的线性微分方程
变量代换
x et 或 t ln x
常系数的线性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
a0 xn y(n) a1xn1 y(n1) an1xy an y 0
2021/4/22
10
d2y dt 2
dy dt
e2t
,
t ln x,
d3y dx3
d3y dt3
3
d2y dt 2
2
dy dt
e3t
,
dk y dxk
C1
dy dx
C2
d2y dx2
Ck
dk dx
y
k
e
kt
,
k 1, , n
代入原方程
ekt xk 1 k 1, 2, k
化为常系数微分方程
b0ห้องสมุดไป่ตู้
dny dt n
1 x
yt
dt dx
1 x2
( yt
yt ),
代入原方程得 yt 4 yt 5 y te2t ,
(1)
2021/4/22
7

用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法

3
d2y dt 2
2
dy dt
e3t
,
dk y dxk
C1
dy dx
C2
d2y dx2
Ck
dk dx
y
k
e
kt
,
k 1, , n
代入原方程
ekt xk 1 k 1, 2, k
化为常系数微分方程
b0
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dtLeabharlann Baidu
bn
y
0
其中b0 ,b1, ,bn 为确定的常数.
y C1 x1x C2 x2x C1x1x C2 x2 x.
代入 y px yqx y f x 得
C1 x1x C2 x2 x f x.
2021/4/22
1
即
CC11
x x
1 1
x x
C2 C2
x x
2 2
x x
0 0
它的系数行列式正是 1 x与 2 x的郎斯基行列式
W x 0
所以方程组有唯一的一组解 C1 x,C2 x,
积分求出 C1 x,C2 x
即得出非齐次方程 y px y qx y f x
的解 yx C1 x1 x C2 x2 x.
2021/4/22
2

常数变易法原理

我们来看下面的式子：

y+ P(x)・y = Q(x) (1)

对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”(因为之前所学的思想无一不是

把变量分离再两边积分)。所以我们的思维就集中在如何将( 1)式的x和y分

离上来。

起初的一些尝试和启示

先直接分离看一下：

dy/dx + P(x) • y = Q(x) dy = [Q(x) —P(x) • y] • dx .(2)

从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x = u T y = u • x将y = u • x代入(1)式:

u'・x+ u+ P(x) -u -x = Q(x) T u'・x+ u ・(1 + P(x) -x) = Q(X)T du/dx -x = Q(x)

—u(1 + P(x)・ x) T du = [Q(x) —u - (1+ P(x)・ x)] - (1/x) - dx (3)

这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。

因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了一一整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于(3)式，如果x=—1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于(2)式，如果P(x)= 0,那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我

们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开

一阶线性方程与常数变易法习题及解答

§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答

求下列方程的解

1．dx

dy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)

=e x [-

1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt

dx +3x=e t 2 解：原方程可化为：

dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)

=e t 3- (5

1e t 5+c) =c e t 3-+5

1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +2

1t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 2

1⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )

= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n

n x dx x n

+⎰⎰=⎰-

)(c e x x n += 是原方程的解.

5．dx dy +1212--y x

x =0

解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x

x ⎰=-dx x x e y 21

2(c dx e dx x x

线性微分方程与常数变异法

P ( x ) dx Q( x )e dx
对应齐次方程通解
非齐次方程特解一阶线性非奇次方程解的结构
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解： P ( x ) , x x
dy 2 例2 求方程 ( x 1) y 的通解. dx x 1 3 dy 2 y ( x 1) 2 . 解：化为标准型： dx x 1
3 2
ye
2 dx x 1

( x 1) e
3 2

2 dx x 1
dx C

1 2 2 (1 x ) ( x 1) dx C
1 2 2 (1 x ) 2( x 1) C
2(1 x ) C ( x 1)
5 2
2
例3. 求方程
dy tan x y 5 的通解. dx
y u( x )e
P ( x ) dx
是方程
★
的解，则
y u ( x )e
P ( x ) dx
u( x )[ P ( x )]e
P ( x ) dx