22线性方程与常数变易法
偏微分方程的分类与性质
偏微分方程的分类与性质偏微分方程是数学中一个非常重要的分支，它广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
偏微分方程的分类与性质是深入研究偏微分方程、解决实际问题的前提和基础。
本文将介绍偏微分方程的分类方法和相关性质。
一、偏微分方程的分类方法根据方程中未知函数的个数和自变量的个数，可以将偏微分方程分为一维偏微分方程和多维偏微分方程。
一维偏微分方程中只有一个自变量，多维偏微分方程中有多个自变量。
1. 一维偏微分方程一维偏微分方程比较简单，可以按照方程中阶数的不同进行分类。
一般来说，可以将一维偏微分方程分为以下三种类型：（1）线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的线性函数时，就称其为线性偏微分方程。
线性偏微分方程多数可以通过常数变易法求解。
例如：$au_x+bu_{xx}+c=0$（2）半线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u是关于自变量x的线性函数，而其偏导数项中含有u关于自变量的非线性函数时，就称其为半线性偏微分方程。
这类方程的求解利用抛物型偏微分方程理论，例如：$u_t = \frac{1}{2}u_{xx} + u^2$（3）非线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的非线性函数时，就称其为非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程的求解相对较难，很少能用解析法求解。
例如：$u_x+uu_{xx}=0$2. 多维偏微分方程多维偏微分方程具有更广泛的应用，包括流体力学、弹性力学、电磁场理论、热传导等方面。
多维偏微分方程的分类方法比较复杂，可以按照方程的形式、变量的类型、方程的类型等多个方面进行分类。
本文只介绍比较常用的分类方法：（1）仿射型偏微分方程多维偏微分方程中，如果只涉及到变量的一次多项式和常数的线性组合，就称为仿射型偏微分方程。
例如：$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \partialy}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partialu}{\partial x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0$（2）椭圆型偏微分方程多维偏微分方程中，如果方程的解在变量取值范围内无界或呈指数增长，则该方程就称为椭圆型偏微分方程。
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
2.2常数变易法
一阶线性微分方程
a(x) dy dx
在 a ( x ) 0的区间上可写成
b(x) y c(x) 0
dy
这里假设
P (x) y Q (x)
(1 )
x 的连续函数
dx P ( x ), Q ( x ) 在考虑的区间上是 dy dx
若 Q ( x ) 0 , 则 (1) 变为
~
y ( ln y c ),
2
c 为任意常数
。
例3 求值问题
dy dx 3 x y 4 x 1,
2
Байду номын сангаас
y (1) 1
的解. 解: 先求原方程的通解
y e
p ( x ) dx
( Q ( x )e
2
p ( x ) dx
~
dx c )
~
e
x
3
3
dx
( ( 4 x 1) e
(1 )
( 将常数 c 变为 x 的待定函数
c ( x ), 使它为 (1)的解 )
令 y c ( x )e
p ( x ) dx
为 (1)的解 , 则
dy
dc ( x ) p ( x )dx p ( x )dx e c ( x ) p ( x )e dx dx
dc ( x ) dx Q ( x )e
z x
2
解以上线性方程得
z e x
2
1
dx
( x e
2
x dx
1
dx c ) cx
为:
1 2
x y
常微分方程2.2
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
在a( x) 0的区间上可写成
dy P( x) y Q( x) (1) dx 其中P( x), Q( x)在考虑的区间上是x的连续函数
若Q( x) 0,则(1)变为
dy P( x) y (2) dx
解线性方程: dI R I E . dt L L
得通解为:
I(t)
Rt
ce L
E
R
I(t)
Rt
ce L
E
R
由初始条件I(0) 0得, c E R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
I(t)
E
Rt
(1 e L )
R
作业
P37 7,8,11,12,15,16,20
代入(1)得 dc( x) Q( x)e p( x)dx
dx
积分得:
c(x)
Q(
x )e
p(
x )dxdx
~
c
故(1)的通解为
y e p( x)dx (
Q(
x)e
p(
x
)dxdx
~
c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
( x 1) dy ny e x ( x 1)n1 dx
注：对任意x0 I常数变易法求解
注意到一阶齐次线性方程的通解为y Ce P( x)dx ,
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解) 令y c( x)e p( x)dx为(1)的解,则
dy dc( x) e p( x)dx c( x) p( x)e p( x)dx dx dx
江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法
2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练运用常数变易公式;2. 知道⎰dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dxdy=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写y p(x)dxdy=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，y p(x)dxdy =的解为C ,e C y p(x)dx⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dxeC(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dxdy p(x)dxp(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e(x)' C p(x)dx=⎰，C q(x)dx eC(x) q(x), e(x)' C p(x)dx-p(x)dx+⎰=⎰=⎰-，此处C 为任意常数,⎰⎰q(x)dx ep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-⎰一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为⎰⎰⎰⎰+⎰=+⎰⋅⎰=q(x)dx eeCeC)q(x)dx e(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =dtdU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dUR . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC EU RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RCE q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C~e E )C ~(Ee e )C ~dt RCE e (e )C ~q(t)dt e(eU(t)RC tRC t RC t RC t RC t p(t)dtp(t)dt----+=+=+=+⎰⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~0,C ~e Ee U(0)00==+=，因此，RC tEe E U(t)--=.例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dtdIL I R E =--. 改写为sin wt U L1L I R dt dIm +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L Uq(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，)C ~dt sin wt LU e (e )C ~q(t)dt e(eI(t)m L RtL Rt p(t)dtp(t)dt⎰⎰+=+⎰⎰=--.b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 22at a 22ib)t(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰22t LR m LRtm m LRt w (R/L) wt)cos w sin wt L R(e LU dt sin wt e LUdt sin wt L U e+-==⎰⎰令2222w(R/L)w φsin ,w(R/L)R/L φ cos +-=+=，于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，22t LR mm LRt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e++=⎰，于是L Rt22m e C ~w (R/L)φ)sin(wt LU I(t)-+++=.再注意到初始条件I(0)=0，22m0022m w(R/L)φsin L U C ~0,C ~e e w (R/L)φsin LU I(0)+-==++=，因此，t LR 22m22mew(R/L)sin(φL Uw (R/L)φ)sin(wt LUI(t)-+-++=).练习23. (1) 求dt bt cos e at ⎰； (2) 改写 t cos b sin t a +为θ)sin(t ba 122++，给出θ所满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib+=和R b a, ,e e e b)i(a b i a i ∈=⋅+推导出:b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和b))sin(a b)(sin(a 21b cos a sin -++=， b))cos(a b)(cos(a 21b cos a cos -++=. 作业24. （1） 如例28中RC 电路图，设E=10V , R=100Ω, C=0.01 F, 开始时刻电容C 上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C 两端电压为V 5U 1=?（2）如下RL 电路图，设E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V （单位3m ）的密封容器装着某种溶液如下图，从A 以速度r （单位/s m 3）流入浓度为0C e >（常数）的相同溶液，经充分混合后在B 以相同速度r 流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t 时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：V C(t))Δt)(C(t C(t)Δt r C Δt r e -+≈-，即e C VrC V r dt dC +-=. (以下略) 作业25. 假设伊利湖的存水量为34m 1048⨯，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m 1035⨯，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0C e >） 3. Bernoulli 方程及其解法称形如R n ,y q(x)y p(x)dxdyn ∈+=为Bernoulli 方程. 解法：当0y ≠时，改写原方程1n , n)q(x)(1y p(x) n)(1dxdy y n)-(1n -1n -≠-+-=, 令n)q(x)(1n)p(x)u (1dx du ,y u n1-+-==-，这是一个一阶线性非齐次方程. 例31 求解方程2y x xy6dx dy -=. 解：经过观察，原方程是一个Bernoulli 方程, n=2. （1）当0y ≠时，改写原方程为 x 2)(1y x62)(1dx dy 2)y-(1212---=--，令21y u -=，则 x u x6dx du +-=. 由常数变易公式得到， 6276-dx x6dx x6x C8x C)dx x (x )C xdx e(eu(x)+=+=+⎰⎰=⎰⎰-.返回原变量得到62x C8x y 1+=.(2) 当y=0时，容易验证0y =也是原方程的解. 作业26. 求解方程（1）33y x y x dxdy=+； （2）1y(1) ,y xy 'y x 22==-. 4. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程 例32. 求解（1）2y 2x y dx dy -=； （2）33yx xy 1dx dy -=. 解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli 方程.(a) 当0y ≠时，交换自变量和因变量而改写原方程为 y x y2y y 2x dy dx 2-=-=. 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， C)y)dy (e(ex dy y2dy y2+-⎰⎰=⎰-，即 |)y |ln (C y C)y)dy (y1(y x 222-=+-=⎰为所求方程的通积分. (b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解. (2) 结合Bernoulli 方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）3y x y dx dy +=； （2） y2y x dx dy 22+=.5. 一些一阶线性方程的理论 （1）考虑方程q(x)y p(x)dxdy=+，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若0q(x)≡，则方程任一非零解都以w 为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dx w 1(x)p w==⎰ (b) 若q(x)不恒为零，则方程有唯一w 周期解充要条件是0p(x)dx w1(x)p w0≠=⎰, 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:'''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为'''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。
则方程(1) 可以写成'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---=记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程'1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰[5] (3) 知其通解为1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+⎰这里0()xh t dt ⎰表示积分之后的函数是以x 为自变量的。
再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰ 解得12212()()340012[(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-⎰⎰ 应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰ 1122121200121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰ (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为'''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]xkx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'10()xkx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+⎰ 即10()()xkx kt de y ef t dt c dx --=+⎰故120()()xkx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++⎰(5)例1 求解方程'''256x y y y xe -+=解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 32()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是332222321200x x x t t x t t xxy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200x xx t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132x x xx x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里321c c =-.例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=解 特征方程2210k k -+= 有重根1 , ()ln x f x e x =.由公式(5) 得到方程的解是 120()ln x x t t x x y ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln x x x x e x t tdt c xe c e =-++⎰ 1200[ln ln ]x xxx x e x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰ 21213ln 24x x x x e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ 二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是'''()y py qy f x ++=, (6) '''0y py qy ++= , (7) 其中p q 、 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7) 的通解。
(完整word版)常微分方程教案2
河北民族师范学院课程教案
（章节、专题首页）
河北民族师范学院课程教案
（分页）
c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。
4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
常数变易法
常数变易法我们来看下面的式子：y’＋p(x).y＝q(x) (1)对于这个式子最正常的思路就是“拆分变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量拆分再两边分数）。
所以我们的思维就分散在如何将（1）式的x和y拆分上来。
起初的一些尝试和启示先轻易拆分看看一下：dy/dx＋p(x)·y＝q(x)＝>dy＝(q(x)－p(x).y).dx (2)从中窥见y不可能将单独文苑路左边去，所以就是分没法的。
这时想一想以前化解“齐次方程”时用过的招数：设y/x＝u＝>y＝u·x.将y＝u·x代入(1)式:u’·x＋u＋p(x)·u·x＝q(x)＝>u’·x＋u·(1＋p(x)·x)＝q(x)＝>du/dx·x＝q(x)－u(1＋p(x)·x)＝>du＝[q(x)－u.(1＋p(x).x)].(1/x).dx (3)这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。
不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。
因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。
比如说，对于（3）式，如果x＝－1/p(x)，那么那一项就消失了；再比如说道，对于（2）式，如果p(x)＝0，那么那一项也消失了。
当然这些假设都就是不可能将的，因为x和p(x)等同于几就是你无法干涉的。
不过我们可以这么想要：如果我们精妙地结构出来一个函数，并使这一项等于零，那不就万事大吉了。
ok，好戏开场了。
进一步：变量代换法筒子们可能将真的必须结构这么一个函数可以很难。
但结果可以使你跌破眼镜。
y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。
其中u和v都就是关于x的函数。
这样谋y对应于x的函数关系就转变成分别谋u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
I 上的通解为 x = xc + ~x 。
2 求 n 阶非齐次线性方程特解的几种方法
2.1 比较系数法 通常情况下求特解 x~ 的方法是比较系数法，这种解法的基本思想是猜 x~ 的形
式，这里 x~ 受到 f (t)的影响.这种方法只能适用于满足如下条件的形如（1）的非
齐次线性方程：
（1） 系数 ai (i = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, n) 都是常数；
tdt2tetcos和?tdt2tetcos这样的积分我们无法通过初等运算求出其原函解法解法3333算子法原方程可化为22cost222cos1ttttxx???此方程的算子表示式为22cost212ttxd??所以特解为???????????????????????22cost112211222cost2112tdtdttdx要求????????22cost112tdx先求???????????????????????????????225451254121122222tdietdideetdxititit????????????252102sini2cos252102itttiteit从而????????22cost112tdx的解为tttittitx2sin2522cos10252102sin2cosre1?????????????又221122ttdx????????故原方程的特解为txtttttt2xx2sin2522cos10121??
+
a1 (t
)
dx dt
+
a0
(t
)x
=
0
（2）
为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1) 且不带任何参数的函数 ~x 称为方程 (1)的特解，已有下述
求解定理： 定理1 若 x~ 为 n 阶非齐次线性方程
常数变易法的原理
常数变易法的原理
1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。
它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。
2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方法，对于一阶线性非齐次微分方程，y+P（x）y=Q（x）。
二分算法a的概念：就是通过折半查找来进行枚举。
二分答案就是直接对答案进行枚举查找，接着判断答案是否合法。
如果合法，就将答案进一步靠近，如果不合法，就接着判断。
这样就可以大大的减少时间。
我们进行二分答案的时候，会对判断到的答案进行验证是否正确，看看这个答案是小还是大了。
所以，要进行这个算法的时候，就必须要保证数据有单调性。
出现“最大值最小”或“最小值最大”但多时间都可以使用二分，二分法“可以把最优化问题转化为判定性问题。
(3)线性方程与常数变易法
由一阶非齐次线性方程的求解方法不难得到线性方程 的通解为： xc
u ( x)
x(2 x 1) 2 x 2 c 故原方程的通解为：y 1 x c x c
x(2 x 1)
到目前为止，所介绍的可分离变量方程、齐次方程和
线性方程都是利用初等积分求解的规范方程。在实际
问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到
形式6 :黎卡提方程 y ' p ( x ) y 2 q ( x) y f ( x )
dy b( x ) y c ( x ) 0 一阶线性微分方程： a ( x) dx
在 a( x)
0 的区间上可以写成
dy P( x) y Q( x) dx
(1)
若Q( x) 0, (1)变为齐次方程
y ( x 1) (e c)
n x
其中
c
为任意常数。
例2 求方程
dy y dx 2 x y 2
的通解。
• 问题：原方程不是未知函数的线性方程，于
是设法改写原方程为非齐次线性方程。 • 方法：利用自变量与因变量的对应关系。
• 步骤：改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程；
求对应齐次方程的通解； 应用常数变易法求原方程的通解。
注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变 量变换方法，通过变换（4）将原方程变为可 分离变量方程。 2、常数变易方法的特点强调求解过程。
例7 求方程 里 为常数。
n
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
的通解， 这
步骤：改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解； 应用常数变易法求原方程的通解为：
常数变易法
dx x 1
y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
22
例2. 解方程
方法二(公式法解):
把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）。 设物体在时刻t的位置为s＝s(t)。物体受重力 F=mg的作用而自由下落，物体下落运动的加速度
a
d 2s dt 2 .
由牛顿第二定律F=ma，得物体在下落过
程中满足的关系式为
m
d 2s dt 2
mg,
或
d 2s dt 2
g.
4
微分方程的基本概念
b M
,
M max f (x, y) . ( x, y)D
9
§5.2.2 解的存在与唯一性定理
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
10
可分离变量的微分方程
y0，
如果 f (x, y) 在矩形区域 D: x x0 a, y y0 b内连续，
而且对于 y适合利普希茨条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y1
则初值问题在区间I [x0 h, x0 h] 上存在唯一解， 其中常数
h
一阶线性方程与常数变易法习题及解答
§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解.6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。
二阶微分方程求解的技巧
二阶微分方程求解的技巧一阶微分方程只含有一阶导数，而二阶微分方程含有二阶导数。
求解二阶微分方程的技巧较为复杂，需要利用一些特定的方法和技巧。
下面我们将介绍几种常用的技巧，帮助你求解二阶微分方程。
1.齐次线性方程法：如果二阶微分方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=0$，其中a、b、c是常数,则称之为齐次线性方程。
我们可以从中解得一个求解公式：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$，其中$C_1$和$C_2$是任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$是方程的特征根。
为了寻找特征根，我们需要解决特征方程：$a\lambda^2+b\lambda+c=0$。
如果特征方程有两个相异的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则方程的解是通解。
如果它们是重根，则方程的解是通解的一部分。
如果特征方程有两个虚根，则方程的解由实部和虚部组成。
2.变量可分离法：如果方程可以写为形式：$y''=f(x)g(y')$，其中f和g是一元函数，我们可以利用变量可分离法进行求解。
首先，设$y'=p$，则$y''=p\frac{dp}{dx}$。
将这些代入原方程，我们得到：$p\frac{dp}{dx}=f(x)g(p)$。
将上式变换为分离变量：$\frac{dp}{g(p)}=f(x)dx$。
然后，我们对两边进行积分，并解出p关于x的函数，最后再通过积分得到y关于x的函数。
3.常数变易法：如果方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=f(x)$，其中f(x)是已知的函数，我们可以使用常数变易法进行求解。
首先，我们猜测一个特解$y^*$，并将其带入方程中。
然后我们将$y^*$代入方程，并解出常数。
我们将这些解代入齐次线性方程的通解中，并得到方程的通解。
4.欧拉方程法：如果方程是二阶常系数线性方程，并可以写为形式：$ax^2y''+bxy'+cy=0$，我们可以使用欧拉方程法进行求解。
微分方程中常数变易法的应用
微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。
%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dy P ( x ) y dx ( 2 ) 称为一阶齐次线性方程
( 2 )
若 Q (x) 0 ,则 ( 1 )称为一阶非齐线性方程
一、一阶线性微分方程的解法-----常数变易法
10 解对应的齐次方程
dy P ( x ) y dx
得对应齐次方程解
p(x) y ce dx , c 为任意常数
将初始条件 y ( 1 ) 1 代入后得 c
~
3 2
故所给初值问题的通解为
33 x y x ln x x 2 2
3 4
二、伯努利（Bernoulli）方程 形如
dy n p ( x )y Q ( x )y dx
的方程,称为伯努利方程. 这 里 P (x ), Q (x ) 为 x 的 连 续. 函数
解法
0 1 n 1 引入变量变换 z y , 方程变为
dz ( 1 n ) P ( x ) z ( 1 n ) Q ( x ) dx
20
30
求以上线性方程的通解
变量还原
例4
求方程
dy y x 2 dx 2x 2 y
的通解. 解
这是 Bernoulli 方程 , n 1 ,令 z y2 ,代入方程得
电路的Kirchhoff第二定律:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt 于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dI L RI E . dt 取开关闭合时的时刻为0, 即 I( 0 ) 0 . dI R E 解线性方程 I . dt L L 得通解为
§2.2 线性方程与常数变易法
一阶线性微分方程
dy a ( x ) b ( x ) y c ( x ) 0 dx
在 a(x) 0 的区间上可写成
dy P ( x ) y Q ( x ) dx
若 Q ( x ) 0 ,则 ( 1 ) 变为
( 1 )
这里假设 P ( x ), Q ( x ) 在考虑的区间上是 x 的连续函数
I(t) ce
R t L
E 由初始条件 I( 0 )0 得 , c R 故当开关K合上后,电路中电流强度为 R t E I(t) ( 1e L ) R
代入(1)得
p (x ) dx dc ( x ) Q ( x ) e dx
积分得
c ( x ) Q ( x ) e
30 方程（1）的通解
p ( x ) dx
dx c
~
y e
p ( x ) dx
( Q ( x ) e
p ( x ) dx ~
dx c )
故对应齐次方程通解为
y c (x 1 )n
p ( x ) dx n y ce ce c ( x 1 ) n dx x 1
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
n 令 y c ( x )( x 1 ) 为原方程的通解 ,代入得
dx n 1 x n nc ( x )( x 1 ) e ( x 1 )
( Q ( x ) e
p ( x ) dx
3 dx x
dx c )
~
~
~ 1 2 x( ( 4 x 1 ) 3dx c ) e ( ( 4 x 1 ) e dx c ) x ~ ~ x 1 3 4 3 3 x ln x c x x ( 4 ln x 2 c ) 2 2 x 3 2
~
例2
求方程
dy y 通解. 2 dx 2x y
dx 2 x y 2 dy y
解 原方程不是未知函数 但将它改写为 y的线性方程 ，
即
dx 2 x y dy y
它是以 x 为未知函数 ,y 为自变量的线性方程 ，
故其通解为
p ( y ) dy p ( y ) dy x e ( Q ( y ) e dy c )
即 积分得 故通解为
dy n x n y e ( x 1 ) dc ( x ) n n 1 dx x 1 ( x 1 ) nc ( x )( x 1 )
dc( x) ex dx
c(x) e c
x
~
y(x 1 )( e c ), c 为任意常数
n x
~
( 2 )
20
常数变易法求解
dy P ( x ) y Q ( x ) dx
( 1 )
( 将常数 c 变为 x 的待定函数 c ( x ), 使它为 ( 1 ) 的解 )
p ( x ) dx 令 y c ( x ) e 为 ( 1 ) 的解 , 则
p ( x ) dx p ( x ) dx dy dc ( x ) e c ( x ) p ( x ) e dxdx
~ e ( ( y ) e dy c ) 2 dy y 2 dy y
~
y (lny c ), c 为任意常数 .
2
~
例3
求值问题
的解. 解
dy3 2 y 4 x 1 , y ( 1 ) 1 dxx
先求原方程的通解
p ( x ) dx
3 dx x
y e
dz 1 z x2 dx x
解以上线性方程得
1 3 z e ( xe dx c ) cx x 2 将z y2代入得所给方程的通解 为
1 3 y cx x 2
2
1 dx x
1 dx 2 x
三、线性微分方程的应用举例
例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联 电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试 求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
( 3 )
注:求(1)的通解可直接用公式(3)
例1
求方程
dy x n 1 ( x 1 ) ny e ( x 1 ) dx
dy n x n y e ( x 1 ) dx x 1
将方程改写为
首先,求齐次方程 的通解