论文结尾

反证法在中学数学中的应用

一绪论

近年来，随着国民对教育的关注，中高考成为学生们竞技个人实力的舞台，数学在这个舞台上起着至关重要的作用，而数学解题方法的探讨和熟练运用则成为制胜的法宝，在现行中学教材中，数学思想贯穿于教材的各个部分，数学方法是数学思想的媒介，将试题和数学思想结合起来，几乎渗透到所有的教学过程中。运用适当的数学方法，通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。而反证法在数学领域一枝独秀。

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。

而思维定势对问题解决既有积极的一面，也有消极的一面，它容易使我们产生思想上的防性，养成一种呆板、机械、千篇一律的解题习惯。当新旧问题形似质异时，思维的定势往往会使解题者步入误区。

大量事例表明，思维定势确实对问题解决具有较大的负面影响。当一个问题的条件发生质的变化时，思维定势会使解题者墨守成规，难以涌出新思维，作出新决策，造成知识和经验的负迁移。

根据唯物辩证法观点，不同的事物之间既有相似性，又有差异性。思维定势所强调的是事物间的相似性和不变性。在问题解决中，它是一种“以不变应万变”的思维策略。所以，当新问题相对于旧问题，是其相似性的主导作用时，由旧问题的求解所形成的思维定势往往有助于新问题的解决。而当新问题相对于旧问题，是其差异性起主导作用时，由旧问题的求解所形成的思维定势则往往有碍于新问题的解决。

从思维过程的大脑皮层活动情况看，定势的影响是一种习惯性的神经联系，即前次的思维活动对后次的思维活动有指引性的影响。所以，当两次思维活动属于同类性质时，前次思维活动会对后次思维活动起正确的引导作用；当两次思维活动属于异类性质时，前次思维活动会对后次思维活动起错误的引导作用

教育心理学认为：每个人认知新事物的过程中，都存在着思维定势与迁移。所谓思维定势，就是指人们按习惯了的比较固定的思路去考虑和解决问题的一种形式，在许多情况下，思维定势表现为思维的趋向性和专注性，有其积极的一面，但当这种趋向与当前问题解决的途径相悖或不完全一致时，就会产生消极的干扰作用，使得我们因循守旧，摆脱不了被动模仿的束缚，这就是思维定势在迁移过程中的负效应。

笔者在数学教学中，针对学生解答问题时暴露出来的具有典型性和普遍性的错误进行了分析，发现许多类似概念模糊，审题不清，思考不周，主观臆断等错误原

因，均可归咎于思维定势的负迁移。因此，弄清学生数学学习中产生思维定势负迁

移的原因，采取相应的对策，有效地加以克服，不仅能减少学生们解题错误的发生，

且将有利于学生数学思维灵活性和创造性的培养，从而全面提高学生的思维品质。

学生产生思维定势负迁移的原因有很多，归纳起来主要有以下几个方面: 首先受已有数学知识局限性的影响，引起的数学原理` 公式方面的负迁移.

其次任何事物都有它自身的有别于其他事物的本质属性,数学概念、公式也是如此,学生往往会在从有理数域到实数数域扩展的时候，有些在有理数范围内不能再因式分解的式子，在实数范围内却能够继续分解，这些概念如果被教师忽视的话，就会导致学生思维上的定势，产生负效应，造成许多解题中不该有的麻烦。

再者受习惯化的影响而引起的知识方面的负迁移。

人们做事大多有一种自然的比较稳定的习惯，我们在数学学习中和解决问题时，也都有一些比较自然的习惯，正是由于某些习惯的影响，有时会使我们运作单调思维窄化造成一些知识上的负迁移，如变换非等价，甚至造成虚假论证，混淆问题的特殊性和一般性` 条件的充分性和必要性等一系列错误。

二反证法的简介及定义

2.1 反证法的严密性

数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法。有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法。数学中常用的间接证法有反证法。

既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的。

2.2反证法的介绍及概念

反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证

明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆

反证法的证题可以简要的概括我为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P 则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真。

其实在很早的时候人们就开始运用反证法了。例如：“证明素数有无穷多个”这个古老的命题最初是在大约前330～约前275,由生活在亚历山大城的古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria),在他的不朽著作《 几何原本》里给出的一个反证法。这个命题的证明过程大致如下：

证明：素数有无穷多个。

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=1a <2a <………

此时，令N=1a *2a *……* 1n a +,那么所有的i a (i =1,2,……,n)显然都不是N 的因子，那么有两个可能：或者N 有另外的素数真因子，或者N 本身就是一个素数，但是显然有N>i a (i =1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！

这个证明简短而又有力，它的逻辑依据就是反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 模式是：设待证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，A 、B 本身也都是数学判断。这充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽！那么究竟什么才算是反证法呢？

反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。不仿设原命题为q p →，s 是推出的结论，s 一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()q p s s q p →⇔Λ→→，即()q p s s q p →⇔Λ→Λ。

运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B 的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

如此严谨的证明必定要有规范的步骤，那么用反证法证明命题一般有三个步骤： 首先反设：作出与求证结论相反的假设；其次归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；最后结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

2.3．反证法的基本思路

做任何事情都要先有思路然后按照思路进行做事，这样人的生活才会有条理，过的丰富而充实。要证明数学命题更是这样，所以运用反证法证明数学命题也应该有一个明确的思路，即首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的