高数数学课件-D3_5极值与最值
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极值和最值教材PPT课件
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
二元函数的驻点条件:
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
三元函数的驻点条件:
fx(x0, y0, z0 ) 0 , f y(x0, y0, z0 ) 0, fz(x0, y0, z0 ) 0
• 驻点不一定是极值点；
• 若点
是可微函数的驻点，且在其任何邻域
内既存在函数值大于
的点，又存在函数值
小于
的点，则称该点为鞍点.
第5页/共53页
定理推广 （极值的必要条件）
设 n 元函数 f ( x) 在点 x0 处对各个自变量的一阶
偏导数都存在，且在点 x0 处取极值，则有 f (x0) 0
定理
(极值的充分条件) 设 n 元函数 f ( x) 在点
x0 处具有二阶连续偏导数，且 f (x0) 0, (1) 如果 H(x0) 正定，则 x0 为 f (x)的极小值点；
当
时,
当 时,
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为极小值; 为极大值.
2. 多元函数最值问
题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
可能最值点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点 P 时,
f (P)为极小 (大) 值
微分应用-极值最值精品PPT课件
又 在(0, 150)中,
5 x2 400 5x2
W k
x2 400 x2 400
ห้องสมุดไป่ตู้
2000k
3 >0
(x2 400)2
故W(15)为极小值也即为最小值. 故 x =15时, 全程运费最省.
例8. 宽为2米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道, 若在其中漂运原木, 问能通过的原木的最大长 度是多少?
的点, 得系列点x1, x2,…, xn .
(3) 在 (xi, xi+1)上及分点xi 处观察 f ' (x), f '' (x) 的符号, 从而确定单调区间、极值点; 对应 曲线的凹凸区间及拐点.
: 表单增 : 表凹
: 表单减 : 表凸
(4) 确定y = f (x)的渐近线及其它变化趋势. (5) 补充一些适当的点(xi , f (xi)). (6) 用光滑的曲线连接这些点并作图.
注1. 使 f ' (x) = 0的x0称为 f (x)的驻点.
注2. f ' (x) = 0是 f (x)在x0取极值的必要条件, 非 充分条件, 比如y = x3驻点x0=0非极值点.
注3. f ' (x) 不存在的点, 也可能是极值点. 如y = | x |, x0 = 0.
定理2. 设 f (x)在x0连续, 在Û (x0)可导, (1)若xÛ(x0 ) , f ' (x) > 0 xÛ(x0 ) , f ' (x) < 0 则 f (x)在x0取得极大值.
解: 因 f (x)以2为周期, 只需考虑区间[0, 2)
由f ' (x) = sinx–cosx = 0
得驻点
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
《D35极值与最值》课件
,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
极值：函数在某点处的值大于或等于该点附近的所有其他点的值
最值：函数在某点处的值大于或等于该点附近的所有其他点的值，且该点附近的所有其他点 的值都小于或等于该点处的值
D35极值与最值：D35函数在某点处的极值和最值
应用：D35极值与最值在数学、物理、工程等领域有广泛应用
确定研究范围：D35极值与 最值的计算步骤
确定研究对象：D35极值与 最值
确定研究方法：数学分析、 数值计算等
确定研究目标：掌握D35极值 与最值的计算步骤，提高计算
能力
确定研究对象：D35极值与最值 确定研究方法：计算步骤 确定研究目的：找出D35极值与最值的计算方法 确定研究内容：D35极值与最值的计算步骤及应用
在数学中，极值与最值是重要的概念，它们可以帮助我们理解和解决许多问题。
在实际应用中，极值与最值可以帮助我们找到最优解，提高效率和效果。
在科学研究中，极值与最值可以帮助我们探索未知领域，发现新的规律和现象。
在日常生活中，极值与最值可以帮助我们更好地理解和处理问题，提高解决问题的能力。
随着科技的发展，D35极值与 最值的应用领域将更加广泛
工业领域：在工业生 产中，D35极值与最 值技术可以应用于优 化生产流程，提高生 产效率。
医疗领域：在医疗领域， D35极值与最值技术可 以用于疾病诊断和治疗， 提高医疗水平。
教育领域：在教育领 域，D35极值与最值 技术可以用于教学评 估和课程设计，提高 教学质量。
环保领域：在环保领 域，D35极值与最值 技术可以用于环境监 测和污染治理，保护 生态环境。
外汇市场：预测汇 率走势，寻找最佳 交易时机
汇报人：
01
02
03
04
05
06
极值：函数在某点处的值大于或等于该点附近的所有其他点的值
最值：函数在某点处的值大于或等于该点附近的所有其他点的值，且该点附近的所有其他点 的值都小于或等于该点处的值
D35极值与最值：D35函数在某点处的极值和最值
应用：D35极值与最值在数学、物理、工程等领域有广泛应用
确定研究范围：D35极值与 最值的计算步骤
确定研究对象：D35极值与 最值
确定研究方法：数学分析、 数值计算等
确定研究目标：掌握D35极值 与最值的计算步骤，提高计算
能力
确定研究对象：D35极值与最值 确定研究方法：计算步骤 确定研究目的：找出D35极值与最值的计算方法 确定研究内容：D35极值与最值的计算步骤及应用
在数学中，极值与最值是重要的概念，它们可以帮助我们理解和解决许多问题。
在实际应用中，极值与最值可以帮助我们找到最优解，提高效率和效果。
在科学研究中，极值与最值可以帮助我们探索未知领域，发现新的规律和现象。
在日常生活中，极值与最值可以帮助我们更好地理解和处理问题，提高解决问题的能力。
随着科技的发展，D35极值与 最值的应用领域将更加广泛
工业领域：在工业生 产中，D35极值与最 值技术可以应用于优 化生产流程，提高生 产效率。
医疗领域：在医疗领域， D35极值与最值技术可 以用于疾病诊断和治疗， 提高医疗水平。
教育领域：在教育领 域，D35极值与最值 技术可以用于教学评 估和课程设计，提高 教学质量。
环保领域：在环保领 域，D35极值与最值 技术可以用于环境监 测和污染治理，保护 生态环境。
外汇市场：预测汇 率走势，寻找最佳 交易时机
高数第五版3-5函数的极值与最大值最小值
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
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定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-δ,x0 )有f '(x)>0;而x∈(x0,x0-δ) f
'(x)<0;则f(x)在x0处取得极大值
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
(k
0,1,2,)；
4
2
1
2、极大值 y(e) e e ；
x
于是x 0为 f ( x)的极小值点
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当x 0时，
f ( x) 2x(2 sin 1 ) cos 1
x
x
当 x 0时，
2x(2 sin 1 ) 0, x
cos
1 x
在–1和1之间振荡
因而 f ( x)在x 0的两侧都不单调.
故命题不成立．
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首页
例6 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
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定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-δ,x0 )有f '(x)>0;而x∈(x0,x0-δ) f
'(x)<0;则f(x)在x0处取得极大值
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
(k
0,1,2,)；
4
2
1
2、极大值 y(e) e e ；
x
于是x 0为 f ( x)的极小值点
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当x 0时，
f ( x) 2x(2 sin 1 ) cos 1
x
x
当 x 0时，
2x(2 sin 1 ) 0, x
cos
1 x
在–1和1之间振荡
因而 f ( x)在x 0的两侧都不单调.
故命题不成立．
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例6 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
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内有导数, 当x由小到大x通 0时,过 (1) f (x) “左正右负” ,则f(x)在x0取极大 . 值 (2) f (x) “左负右正” ,则f(x)在x0取极小 ; 值
(自证)
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2
例1. 求函数 f(x)(x1)x3的极值 .
解: 1) 求导数
则: 1) 当 n为偶数时, x 0 为极值点 , 且 f(n)(x0)0时 , x 0 是极小点 ;
f(n)(x0)0时 , x 0 是极大点 .
2) 当 n为奇数时, x 0 不是极值点 .
证: 利用 f ( x) 在 x 0 点的泰勒公式 , 可得
f f( (x x) ) f f( (x x0 0) ) f f ( (nx n)0 (!) x0x )( x( x 0 x) 0 )n o (f(x(n n)(!xx0 0))n (x)x0)n 当 x充分接近ox(0 (时x,x上0)式n)左端正负号由右端第一项确定 ,
(2) 最大值
M m f (x1)a , f (x2)x ,,f(xm),f (a), f (b)
最小值
m m f (x1),i f (xn 2),,f(xm), f (a), f (b)
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特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
第五节
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大值点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 f(x)(x21)31的极值 . 解: 1) 求导数
f(x)6x(x21)2, f(x) 6 (x2 1 )5 (x2 1 )
2) 求驻点
令 f(x)0, 得驻点 x 1 1 ,x 2 0 ,x 3 1
3) 判别
因 f(0)60,故 f(0)0为极小值 ;
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点. y
x1 , x4 为极大值点
x2 , x5 为极小值点
x 3 不是极值点
O ax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
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定理 1 (极值第一判别法) 设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域
f (x) 2(x23x 3 9x92x 21 1x2,x2 ),014xx520
1 O
4
1
25 x 2
f
(x)
6x21x81 2 6 (x 1 )x ( 2 ),14x0 6x218x12 6 (x 1 )x ( 2 ), 0x52
x0
2 ,
x0
f(0)2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
若函 f(x)在 数闭 [a,b 区 ]上间 连 ,则其续 最值只能
在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法:
(1) 求 f (x在) (a内,b的) 极值可疑点 x1,x2,,xm
• 当 f (x) 在[a,b] 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
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例3.
求函数
f(x)2x39x21x2在闭区间[
1 4
,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然 f(x) C [1 4,5 2],且
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小值点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 .
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例如 , 函数 f(x) 2 x3 9 x2 1x2 3 y
2
x1为极大值点, f(1)2是极大值 1
x2为极小值点, f(2)1是极小值 O 1 2 x
f(52)0.33
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定理2 (极值第二判别法) 设函 f(x)数 在x点 0处具 二阶导数 , 且 f(x0)0, f(x0)0
(1 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f ( x)在点 x 0 取极大值 ; (2 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f ( x)在点 x 0 取极小值 .
故结论正确 .
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例如 , 例2中 f(x)(x21)31 f(x)2x4 (5x23 ), f(1)0 所以 x1不是极值点 .
y
1 O 1 x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .
例如:
f
(
x)
2x2(2si1 xn ),
证: (1)
f
(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0)
lim f xx0 x
(x) x0
故 由 f(xx 0 当 0 )0 知 x ,存x0 在时 f(0， x,)当 0 0 ; xx0 时 , xf (xx0) 0
由第当 一x0判别x 法x知0f(时 x)在 fx， (0x取 )0极 , 大.x 0值 x 0 x 0
2
f (x) x3
(x1)32x13
5 3
x
2 5
3x
2) 求极值Байду номын сангаас疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0
(0
,
2 5
)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为
又 f( 1 ) f(1 ) 0 ,故需用第一判别法判别.
y
由于 f(x)在x1左右邻域内 , 不变号
f(x)在x1没有极 . 值
1 O 1 x
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定理3 (判别法的推广) 若函 f(x)在 数 x0点有 n阶 直
数 , 且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) f( n 1 ) ( x 0 ) 0 ,f (n)(x0)0,
(自证)
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2
例1. 求函数 f(x)(x1)x3的极值 .
解: 1) 求导数
则: 1) 当 n为偶数时, x 0 为极值点 , 且 f(n)(x0)0时 , x 0 是极小点 ;
f(n)(x0)0时 , x 0 是极大点 .
2) 当 n为奇数时, x 0 不是极值点 .
证: 利用 f ( x) 在 x 0 点的泰勒公式 , 可得
f f( (x x) ) f f( (x x0 0) ) f f ( (nx n)0 (!) x0x )( x( x 0 x) 0 )n o (f(x(n n)(!xx0 0))n (x)x0)n 当 x充分接近ox(0 (时x,x上0)式n)左端正负号由右端第一项确定 ,
(2) 最大值
M m f (x1)a , f (x2)x ,,f(xm),f (a), f (b)
最小值
m m f (x1),i f (xn 2),,f(xm), f (a), f (b)
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特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
第五节
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大值点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 f(x)(x21)31的极值 . 解: 1) 求导数
f(x)6x(x21)2, f(x) 6 (x2 1 )5 (x2 1 )
2) 求驻点
令 f(x)0, 得驻点 x 1 1 ,x 2 0 ,x 3 1
3) 判别
因 f(0)60,故 f(0)0为极小值 ;
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点. y
x1 , x4 为极大值点
x2 , x5 为极小值点
x 3 不是极值点
O ax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
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定理 1 (极值第一判别法) 设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域
f (x) 2(x23x 3 9x92x 21 1x2,x2 ),014xx520
1 O
4
1
25 x 2
f
(x)
6x21x81 2 6 (x 1 )x ( 2 ),14x0 6x218x12 6 (x 1 )x ( 2 ), 0x52
x0
2 ,
x0
f(0)2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
若函 f(x)在 数闭 [a,b 区 ]上间 连 ,则其续 最值只能
在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法:
(1) 求 f (x在) (a内,b的) 极值可疑点 x1,x2,,xm
• 当 f (x) 在[a,b] 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
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例3.
求函数
f(x)2x39x21x2在闭区间[
1 4
,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然 f(x) C [1 4,5 2],且
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小值点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 .
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例如 , 函数 f(x) 2 x3 9 x2 1x2 3 y
2
x1为极大值点, f(1)2是极大值 1
x2为极小值点, f(2)1是极小值 O 1 2 x
f(52)0.33
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定理2 (极值第二判别法) 设函 f(x)数 在x点 0处具 二阶导数 , 且 f(x0)0, f(x0)0
(1 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f ( x)在点 x 0 取极大值 ; (2 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f ( x)在点 x 0 取极小值 .
故结论正确 .
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例如 , 例2中 f(x)(x21)31 f(x)2x4 (5x23 ), f(1)0 所以 x1不是极值点 .
y
1 O 1 x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .
例如:
f
(
x)
2x2(2si1 xn ),
证: (1)
f
(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0)
lim f xx0 x
(x) x0
故 由 f(xx 0 当 0 )0 知 x ,存x0 在时 f(0， x,)当 0 0 ; xx0 时 , xf (xx0) 0
由第当 一x0判别x 法x知0f(时 x)在 fx， (0x取 )0极 , 大.x 0值 x 0 x 0
2
f (x) x3
(x1)32x13
5 3
x
2 5
3x
2) 求极值Байду номын сангаас疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0
(0
,
2 5
)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为
又 f( 1 ) f(1 ) 0 ,故需用第一判别法判别.
y
由于 f(x)在x1左右邻域内 , 不变号
f(x)在x1没有极 . 值
1 O 1 x
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定理3 (判别法的推广) 若函 f(x)在 数 x0点有 n阶 直
数 , 且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) f( n 1 ) ( x 0 ) 0 ,f (n)(x0)0,