中考专题---分段函数
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例,其定义域为整个实数集,值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数,要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例,在x<0时,图像是一条斜率为1的直线,过原点,并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续,需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例,分段点x=0处的左极限等于0,右极限等于0,与f(0)=0相符,因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例,第一段函数x+3是奇函数,第二段函数2x是偶函数,所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例,第一段函数x+3是递增函数,第二段函数2x也是递增函数,所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例,在第一段函数中,最小值为3,最大值不存在;在第二段函数中,最小值不存在,最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题,如电话费计费等。
以电话费计费为例,某通信公司的计费标准为:前50分钟,每分钟0.5元;超过50分钟,每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟,对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段,每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的,也可以是由无限个函数组成的。
一般来说,分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域,每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如,一个简单的分段函数可以是这样的:\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中,定义域被分成两段:$x < 0$和$x \geq 0$,分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的,每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此,对于一个有限段的分段函数,其图像是由一些部分图像组成的;对于一个无限段的分段函数,则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例,其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然,我们也可以直接画出$f(x)$的图像,只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数,我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像,但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质,这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先,在定义域的各个区域内,分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上,它可能是线性的;在另一个区域上,它可能是二次的,甚至是高次的多项式函数;在另一个区域上,它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
初二数学分段函数知识点详解
初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念,在初二数学学习中也是一个重要的知识点。
本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。
1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数,根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。
它的定义域分为多个不相交的区间,每个区间上都有一个函数与之对应。
常见的分段函数形式为以下两种:- 若自变量x属于[a, b],则函数f(x) = g(x),其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。
- 若自变量x属于[a, b],则函数f(x) = h(x),其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。
2. 性质分段函数具有以下几个性质:- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。
- 分段函数是连续函数的一个特例,它在每个子函数定义域内连续,但可能在定义域之间的交界处不连续。
- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成,形状可以是折线、曲线或是其他形式。
3. 解题方法解题时,我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。
下面将通过一个具体的例子展示解题步骤:例题:已知函数f(x)由以下两个子函数组成:- 当x ≤ -2时,f(x) = 2x - 1;- 当x > -2时,f(x) = x^2 + 3x + 2。
解题步骤:- 首先,我们需要确定函数的定义域。
根据题目中的条件,可得到整个实数集作为函数的定义域,即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。
- 其次,我们根据不同的定义域范围,写出子函数的表达式。
当x ≤ -2时,f(x) = 2x - 1;当x > -2时,f(x) = x^2 + 3x + 2。
- 最后,我们根据定义域的范围和子函数的表达式,可以画出函数f(x)的图像。
在x = -2这个点,需要考虑到分段函数的不连续性。
4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析:- 子函数1:f(x) = 2x - 1。
它的定义域为(-∞, -2]。
初二数学分段函数知识点解析
初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一,它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分,每个部分使用不同的表达式描述。
分段函数在数学中的应用非常广泛,能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析,并以具体的例子来说明其应用。
一、什么是分段函数分段函数(piecewise function),又称离散函数,指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。
通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式,例如:\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间,即负无穷到0和0到正无穷,分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。
二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说,每个区间上都有一个对应的函数表达式。
因此,我们需要确定每个区间的定义域。
在上面的例子中,第一个区间定义域为负无穷到0,第二个区间定义域为0到正无穷。
而对于整个分段函数的定义域,应该是各个区间定义域的并集。
在上面的例子中,整个函数的定义域为负无穷到正无穷,即(-∞, +∞)。
值域的确定需要分别计算每个区间的值域,然后取所有值域的并集。
对于上面的例子来说,第一个区间的值域为(-∞, 1),第二个区间的值域为[0, +∞)。
因此,整个函数的值域为(-∞, 1]。
三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。
在上面的例子中,第一个区间图像为一条斜率为1的直线,第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。
分段函数具有一些特殊的性质。
首先,分段函数的图像是不连续的,因为在不同的区间上使用了不同的表达式。
其次,分段函数可能具有端点处的间断点。
例如,在上面的例子中,函数在x=0处具有间断点,因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。
四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
八年级数学分段函数知识点
八年级数学分段函数知识点数学是一门需要思维和逻辑能力的学科,而分段函数则是数学中一个比较抽象和难以理解的概念。
在八年级数学教学中,分段函数是一个非常重要的知识点,本文将详细介绍八年级数学分段函数知识点。
一、什么是分段函数分段函数是指一个函数根据自变量不同的取值范围,将一个函数分成不同的部分。
通俗地说,就是一个函数可以有不同的定义域上的表达式。
例如,当x<0时,f(x)=x+3;当x≥0时,f(x)=x-2。
这就是一个简单的分段函数。
二、表示方式分段函数可以用多种方式进行表示。
最常见的方式是用大括号将不同条件下的函数表达式括起来表示。
例如,如下函数就是一个分段函数。
-2x+1 (x>=0)f(x)=x+3 (x<0)另外,也可以用数学符号 Iverson括号表示分段函数,如下:f(x)=[x>=0](-2x+1)+[x<0](x+3)三、分段函数的应用分段函数是数学中十分重要的概念,它在很多领域里都有广泛的应用。
例如,在物理学、经济学、社会学等领域中,分段函数被广泛应用。
在数学中,分段函数常常和绝对值函数一起使用。
例如,对于一个函数f(x)=|x|,它在不同条件下的定义域可能不同。
当x≥0时,f(x)=x;当x<0时,f(x)=-x。
这就是一个分段函数。
四、常见的分段函数1. 常函数:当x属于一个给定的区间时,f(x)等于一个常数c。
例如,f(x)= 2,当x属于[-1,1]时。
2. 反比例函数:当x属于一个给定的区间时,f(x)等于1/x。
例如,f(x)=1/x,当x属于(0,∞)。
3. 绝对值函数:当x属于一个给定的区间时,f(x)等于|x|。
例如,f(x)=|x-1|,当x属于[1,3]。
4. 仿射函数:当x属于一个给定的区间时,f(x)等于ax+b,其中a和b为常数。
例如,f(x)=2x+1,当x属于[0,1]。
五、练习题1. 求下列函数f(x)的解析式:当x≤0时,f(x)=x+1;当0<x≤1时,f(x)=x+2;当x>1时,f(x)=2x-3。
函数专题:分段函数的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题:分段函数的6种常见考法一、分段函数的概念若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.【注意】分段函数是一个函数而不是几个函数二、分段函数问题解题思路1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则;当求()0f x 的值时,要先判断0x 属于定义域中的“哪段”,然后再代入相应的解析式求解。
2、有关分段函数的不等式问题,要先按照分段函数的“分段”进行分类讨论,从而将问题转化为简单的不等式组来解。
3、已知分段函数,求参数值,往往要对含参数的自变量属于“哪段”进行分类讨论,然后再代入相应的解析式,列出方程求解,当出现()()f f a 的形式时,应从内往外依次求值。
4、求解分段函数参数的取值范围问题时,一般将参数当成已知,画出分段函数图象,根据函数图象列出满足要求的不等式(组)。
题型一 求分段函数值【例1】已知函数()2,222,2xx x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩,则()1f =( ) A .1 B .2 C .4 D .8 【答案】C【解析】当2x ≤时,()22x f x =+,()11224f ∴=+=,故选:C.【变式1-1】若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则()()016f f +=_________.【答案】5【解析】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,所以()()020163log 16145f f +=+=+=.【变式1-2】若函数()2321,3,log ,3,x x f x x x ⎧+<=⎨⎩则()()2f f =( )A .4B .3C .2D .1 【答案】C【解析】因为()222219f =⨯+=,所以()()()329log 92f f f ===,故选:C.【变式1-3】已知函数()()21log 21,02,0,x x x f x x +⎧+>=⎨≤⎩,则()()2f f -=______.【答案】1【解析】由题意可得()11222f --==,所以()()21log 2122f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭==-.题型二 根据分段函数值求参数【例2】已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦,且1a >-,则=a ( ) A .12- B .0 C .1 D .2 【答案】C【解析】由题意知,2(1)(1)1f a a -=-+=+,又1a >-,所以10a +>,所以1[(1)](1)24af f f a +-=+==,解得1a =,故选:C【变式2-1】设函数21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩,若1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则=a _____________. 【答案】134【解析】因为21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩,所以21151224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得5144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以54124a -=,52422a --=, 所以524a -=-,得134a =,【变式2-2】设函数2,1(),1x a x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若()()29f f -=,则实数a 的值为___________. 【答案】5【解析】()22f -=,()()()2249f f f a -==+=,解得:5a =.【变式2-3】(多选)已知()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,若()()1f f a =,则实数a 的值可以为( )A .1e 2- B .12 C .1 D .e e 【答案】ACD【解析】因为()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,()()1f f a =,所以当0a ≤时,()12>0f a a =-,所以()()()()12ln 121f f a f a a =-=-=, 所以12e a -=,解得1e 02a -=<,所以1e2a -=满足; 当01a <≤时,()ln 0f a a =≤,所以()()()ln 12ln 1f f a f a a ==-=, 所以ln 0a =,解得1a =,满足题意;当>1a 时,()ln >0f a a =,所以()()()()ln ln ln 1f f a f a a ===, 所以ln e a =,解得e e a =,满足题意; 故选:ACD.题型三 根据分段函数的单调性求参数【例3】若函数()()22212311x ax x f x a x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩,,是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A .213⎛⎤⎥⎝⎦,B .215⎡⎫-⎪⎢⎣⎭, C .23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭, D .223⎛⎤ ⎥⎝⎦, 【答案】D【解析】由题意得,1a -≤ 解得1a ≥-;230-<a ,解得23a >;当1x =时122231--+≤-+a a ,解得2a ≤. 综上得实数a 的取值范围为223a <≤.故选:D.【变式3-1】已知函数()()2,0112,0x x f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A .()1,0-B .[]1,0-C .()1,-+∞D .[)1,-+∞ 【答案】B【解析】当0x ≤时,()1111x f x x x ==+--单调递减, ()f x 在R 上递减, 102a +∴-≤且()20010201a a ≥--+⨯+-, 解得10a -≤≤,故选:B .【变式3-2】已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立,则a 的取值范围为( )A .(),2-∞-B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C .(],2-∞ D .13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立,()f x ∴在R 上单调递减,()22011222a a -<⎧⎪∴⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得:138a ≤,即实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选:B.【变式3-3】已知(6)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在区间-∞+∞(,)上是单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A .(1,6)B .6[,6)5C .6[1,]5D .(1,)+∞ 【答案】B【解析】()f x 在-∞+∞(,)上为单调递增函数;601(6)14log 1a a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩,解得665a ≤<;∴实数a 的取值范围为6[,6)5.故选:B .【变式3-4】若2210()(1)(1)20axax x f x a a x ⎧+≥=≠⎨-⋅<⎩,在定义域(,)-∞+∞上是单调函数,则a 的取值范围_______. 【答案】((,21,2⎤-∞⎦.【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数,①函数的单调性是增函数时,可得当0x =时,()20121a -⋅≤即,211a -≤解之得22a -≤0x ≥时,21y ax =+是增函数,0a ∴>0x <时 2(1)2ax a -⋅是增函数,210a ∴->,得1a <-或1a >,综上实数a 的取值范围是12a <≤②函数的单调性是减函数时,可得当0x =时, ()20121a -⋅≥即211a -≥,解之得2a ≤2a ≥0x ≥时,21y ax =+是减函数,0a ∴<又0x <时, 2(1)2axa -⋅减函数,210a ∴->,得1a <-或1a >综上:实数a 的取值范围是2a ≤- 综上所述:a 的取值范围为((,21,2⎤-∞-⎦。
中考数学专题复习--分段函数的应用
中考数学专题复习——分段函数的应用函数是中学数学的核心内容,是贯穿整个中学数学的一条主线,它似一根纽带,把数学的各个分支紧密地联系在一起,一次函数,反比例函数,二次函数是初中阶段函数学习的重点内容,但在近几年的中考试题中,分段函数图象应用问题的身影已屡见不鲜,而有些同学由于看不懂图象的意思,造成丢分。
其实解决分段函数应用题需要把握三个方面:1.结合题意明确两个变量x和y分别表达的实际意义,这是准确审题的第一步;2.将图象信息转换为承载数量关系的文字语言,这是由“形”到“数”的一个转化过程;3.挖掘特殊点所蕴含的信息,每一个点,每一段,段与段之间的拐点都有各自的实际意义。
1.(2019辽阳)一条公路旁依次有A,B,C三个村庄,甲乙两人骑车分别从A村,B村同时出发前往C 村,甲乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,则下列结论正确的有----()①A,B两村相距10km;②出发1.25小时两人相遇;③甲每小时比乙多骑行8km;④相遇后,乙又骑行了15min或65min时两人相距2km。
A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2019长春)已知A,B两地之间有一条270km的公路,甲乙两车同时出发,甲车以60km/h的速度从A地匀速开往B地,乙车从B地匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止,甲乙两车相距的路程y(km)与甲车行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示:(1)乙车的速度为km/h,a= ,b= ;(2)求甲乙两车相遇后,y与x的函数关系式;(3)当甲车到达距离B地70km处时,求甲乙两车之间的路程。
3.(2018南京)小明从家出发,沿着一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家,设小明出发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm,v与t之间的函数关系如图所示,(空心圆表示不包含此点)。
(1)小明出发第2min时离家的距离为m;(2)当2<t≤5时,求s与t之间的函数关系式;(3)画出s与t之间的函数图象。
(完整word版)分段函数专题非常全面
分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数,其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同,所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识:1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断:先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值(和临界值)的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断:如果能够将每段的图像作出,则优先采用图像法,通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出,则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系,要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题(1)分段函数在图像上分为两类,连续型与断开型,判断的方法为将边界值代入每一段函数(其中一段是函数值,另外一段是临界值),若两个值相等,那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如:()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩,将3x =代入两段解析式,计算结果相同,那么此分段函数图像即为一条连续的曲线,其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中,两段解析式结果不同,进而分段函数的图像是断开的两段。
(2)每一个含绝对值的函数,都可以通过绝对值内部的符号讨论,将其转化为分段函数。
例如:()13f x x =-+,可转化为:()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围,并根据变量的范围选择合适的解析式代入,若变量的范围并不完全在某一段中,要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图,则在解题时建议将分段函数的图像作出,以便必要时进行数形结合。
考点04 分段函数(解析版)
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:(1)分段函数概念:若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数定义域与值域:分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(3)分段函数的图像:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像,作图时要注意每段曲线端点的虚实,而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
(4)分段函数的求值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止.(5)分段函数的奇偶性:先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇(偶)函数,再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值,若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ,则)(x f 是奇函数;若有f(x)=)(x f -,则)(x f 是偶函数.(6)分段函数的单调性:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.(7)分段函数的周期性:对分段函数的周期性问题,利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.(8)分段函数求值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止.(9)分段函数的最值:先求出每段函数的最值,再求这几个最值的最值,或利用图像求最值.(10)求分段函数某条件下自变量的范围:先假设所求的解在分段函数定义域的各段上,然后相应求出在各段定义域上的范围,再求它们并集即可.(11)分段函数的不等式问题:利用分类整合思想,化为若干个不等式组问题,解出各个不等式组的解集,其并集就是所求不等式的解集.(12)分段函数的解析式:利用待定系数法,求出各段对应函数的解析式,写成分段函数形式,每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望:分段函数是高考考查的重点和热点,主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等,考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法,考题多为选择填空题,难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结,对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.(2017山东文9)设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解;当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围. 1.2【典型考题变式】1.【变式1:改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ,若)2()(+=a f a f ,则)1(a f =( )A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2:改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = ( )B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知,⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ,解得14a =或45=a ,故选C【变式3:改编问法】已知f (x )是R 上的奇函数,且f (x )=,则f (﹣)=( )A .B .C .1D .﹣1【答案】C .【解析】∵f (x )是R 上的奇函数,且f (x )=,则f (﹣)=﹣f ()=﹣f ()=﹣log 2=1,故选C .【变式4:函数迭代】已知a ∈R ,函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则a = . 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程,解方程可得a 的值.【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦,故2a =,故答案为:2. 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =,则()f x 的最大值为______________; ②若()f x 无最大值,则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2,(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象,它们的交点是(1,2)A -,(0,0)O ,(1,2)B -,由2'()33g x x =-,知1x =-是函数()g x 的极大值点,①当0a =时,33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,因此()f x 的最大值是(1)2f -=;②由图象知当1a ≥-时,()f x 有最大值是(1)2f -=;只有当1a <-时,由332a a a -<-,因此()f x 无最大值,∴所求a 的范围是(,1)-∞-,故填:2,(,1)-∞-.【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域,这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1:改编条件】设函数的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(﹣∞,4]B .[4,+∞)C .(﹣∞,5]D .[5,+∞) 【答案】B【解析】由题知,当x <1时,f (x )=x 2﹣4x+a=(x ﹣2)2+a ﹣4,且为减函数,可得f (x )>f (1)=a ﹣3,由x≥1时,f (x )递增,可得f (x )的最小值为f (1)=1,由题意可得a ﹣3≥1,即a≥4,故选B .【变式2:改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩,讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时,函数)(x f 的值域为)2,(a --∞; 当21≤≤-a 时,所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞; 当2>a 时,所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象,它们的交点是(1,2)A -,(0,0)O ,(1,2)B -,由2'()33h x x =-,知1x =-是函数()h x 的极大值点,1=x 是函数()h x 的极小值点,当1-<a 时,函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞,函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞,因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ,所以a a a 233-<-,所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞;当21≤≤-a 时,函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞,函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞,因为22≤-a ,所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞;当2>a 时,函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞,函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞,因为a a a 323-<-,所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞;综上所述,当1-<a 时,函数)(x f 的值域为)2,(a --∞; 当21≤≤-a 时,所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞; 当2>a 时,所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3:改编问法】已知函数f (x )=,函数g (x )=asin (x )﹣2a+2(a >0),若存在x 1,x 2∈[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[﹣,1] B .[,] C .[,] D .[,2] 【答案】B【解析】当x ∈[0,]时,y=﹣x ,值域是[0,];x ∈(,1]时,y=,y′=>0恒成立,故为增函数,值域为(,1].则x ∈[0,1]时,f (x )的值域为[0,1],当x ∈[0,1]时,g (x )=asin (x )﹣2a+2(a >0),为增函数,值域是[2﹣2a ,2﹣],∵存在x 1、x 2∈[0,1]使得f (x 1)=g (x 2)成立,∴[0,1]∩[2﹣2a ,2﹣]≠∅,若[0,1]∩[2﹣2a ,2﹣]=∅,则2﹣2a >1或2﹣<0,即a <,或a >.∴a 的取值范围是[,],故选B .3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3.(2021年高考天津卷9)设a ∈R ,函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩,若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点,则a 的取值范围是 ( )A .95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B .7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C .9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D .711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想,是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根,可得()cos 220x a π-π=至少有4个根,分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况,再结合考虑即可得出. 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根,()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根,由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ,由1024k a a <++<可得11222a k --<<-. (1)x a <时,当15242a -≤--<-时,()f x 有4个零点,即7944a <≤;当16252a -≤--<-,()f x 有5个零点,即91144a <≤;当17262a -≤--<-,()f x 有6个零点,即111344a <≤.(2)当x a ≥时,()()22215f x x a x a =-+++,()()()22Δ414582a a a =+-+=-,当2a <时,∆<0,()f x 无零点;当2a =时,0∆=,()f x 有1个零点; 当2a >时,令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥,则522a <≤,此时()f x 有2个零点;∴若52a >时,()f x 有1个零点.综上,要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点,则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩,则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛:解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题,常转化为对应方程解得个数问题,再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题,再转化为这两个函数的交点个数问题,画出对应函数的函数的图象,利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1:改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) (A )7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ (B )7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ (C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩, 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩, 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由图象可知724b <<.【变式2:改编条件】已知函数f(x)=,函数g(x)=f(1﹣x)﹣kx+k恰有三个不同的零点,则k的取值范围是()A.(﹣2]∪{}B.(﹣2+,0]∪{}C.(﹣2]∪{}D.(﹣2+,0]∪{}【答案】D【解答】函数f(x)=,可得f(1﹣x)=,函数g(x)=f(1﹣x)﹣kx+k恰有三个不同的零点,即为f(1﹣x)=kx﹣k+有三个不同的实根,作出y=f(1﹣x)和y=kx﹣k+的图象,当直线y=kx﹣k+与曲线y=(x≤1)相切于原点时,即k=时,两图象恰有三个交点;当直线y=kx﹣k+与曲线y=(x﹣2)2(1<x<2)相切,设切点为(m,n),可得切线的斜率为k=2(m﹣2),且km﹣k+=(m﹣2)2,解得m=1+,k=﹣2,即﹣2<k≤0时,两图象恰有三个交点;综上可得,k的范围是(﹣2,0]∪{},故选D.【变式3:改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解,则b 的取值范围是( ) (A )()72,{}4+∞⋃ (B )()2,+∞ (C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩, 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩, 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由图象可知2b >或47=b ,故选.A.【变式4:改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,)(x f =x x 42-,则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时,0>-x ,所以x x x f 4)()(2+-=-,因为)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以)()(x f x f -=-=x x 42+,所以x x x f 4)(2--=,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ,,所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ,由)(x g y =的图象知,)(x g y =有3个零点,所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4.(2021高考上海卷14)已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩,下列选项的图中,符合该方程的是 ( )【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点,排除A ;当1t =时1,0x y =-=,排除C 和D ;当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时,1230,,22y y y ==-=,故选B . 4.2【典型考题变式】【变式1:改编条件】已知函数f (x )=,g (x )=f (x )+x +a .若g (x )存在2个零点,则a的取值范围是( ) A .[﹣1,0)B .[0,+∞)C .[﹣1,+∞)D .[1,+∞)【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题,是难题. 【答案】C【解析】由g (x )=0得f (x )=﹣x ﹣a ,作出函数f (x )和y =﹣x ﹣a 的图象如图,当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1,即a ≥﹣1时,两个函数的图象都有2个交点,即函数g (x )存在2个零点,故实数a 的取值范围是[﹣1,+∞),故选C .【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法,转化为求函数最值的问题;2.也可以画出两边的函数图象,根据临界值求参数取值范围;3.也可转化为()0F x >的问题,转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2:改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>,若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点,则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点,等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点,同一坐标系,画出()y f x =与()1y k x =-的图象,直线过()0,1时, 1k =-,直线与()20y xx =≥,相切时4k =,由图知, [)()1,04,k ∈-⋃+∞时,两图象有两交点,即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞,故选C.【变式3:改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩,则函数||)(x x f y -=零点个数为 ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数,即为方程||)(x x f =解得个数,即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数,画出函数()f x 的图象与函数||x y =,由图像知,函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0, 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0,故选A.【变式4:改编问法】已知函数,则函数f (x )的图象是( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】函数,当x <0时,函数是二次函数,开口向下,对称轴为x=﹣1,排除选项B ,C ;当x≥0时,是指数函数向下平移1单位,排除选项A ,故选D .5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f (x )=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( )(A )(0,23] (B )[23,34] (C )[13,23]{34}(D )[13,23){34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题,考查数形结合思想、运算求解能力,是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩,解得1334a ≤≤,由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,可知132,12a a ≤-≤,1233a ≤≤,又∵34a =时,抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切,也符合题意,∴实数a 的去范围是123[,]{}334,故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 5.2【典型考题变式】【变式1:改编条件】已知函数f (x )=在定义域(﹣∞,+∞)上是单调增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .(﹣∞,] B .[,+∞)C .[,]D .(,)【答案】C【解析】由于函数f (x )=在定义域(﹣∞,+∞)上是单调增函数,2a≥e ﹣a ,解得a≥.排除A ,D ,当a=2时,x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2;2a+lnx=4>e ﹣2,显然不成立,排除B ,故选C .【变式2:改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =,所以该函数在(],0-∞上单调递减; 2433x x ∴-+≥,同样可知函数223x x --+, 2233x x ∴--+<,在()0,+∞上单调递减, ()f x ∴在R 上单调递减,;,所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-,即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立,()21;2a a a ∴+<∴<-,所以实数a 的取值范围是(),2-∞-,故选A.【变式3:改编问法】已知函数则下列结论错误的是( )A .f (x )不是周期函数B .f (x )在上是增函数C .f (x )的值域为[﹣1,+∞)D .f (x )的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示,则f (x )不为周期函数,A 正确;f (x )在[﹣,+∞)递增,B 正确;f (x )的最小值为﹣1,无最大值,则C 正确;由于x <0时,f (x )=sinx ,与原点对称的函数为y=sinx (x >0),而sinx=x 在x >0无交点,则D 不正确,故选D .6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ,则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是( )A .(,1]-∞-B .(0,)+∞C .(1,0)-D .(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想,是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时,函数()2xf x -=是减函数,则()(0)1f x f =≥,作出()f x 的大致图象如图所示,结合图象可知,要使(1)(2)+<f x f x ,则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥,所以0x <,故选D .【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题:利用分类整合思想,化为若干个不等式组问题,解出各个不等式组的解集,其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1:改编条件】已知函数f (x )=,则不等式f (x+2)<f (x 2+2x )的解集是( )A .(﹣2,1)B .(0,1)C .(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)D .(1,+∞)【答案】C【解析】函数f (x )=,可得x≥0,f (x )递增;x <0时,f (x )递增;且x=0时函数连续,则f (x )在R 上递增,不等式f (x+2)<f (x 2+2x ),可化为x+2<x 2+2x ,即x 2+x ﹣2>0,解得x >1或x <﹣2,则原不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞),故选C .【变式2:改编结论】.已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->,若正实数,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则abc 的取值范围为( )A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像,不妨设c b a <<,由图知,201a b e c e <<<<<<,由题知,|ln ||ln |b a =,即b a ln ln =-,所以0)ln(ln ln ==+ab b a ,所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3:改编问法】已知函数f (x )=,函数y=f (x )﹣a 有四个不同的零点,从小到大依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为( ) A .[4,5) B .(4,5] C .[4,+∞) D .(﹣∞,4]【答案】A【解析】当x >0时,f (x )=x+﹣3≥2﹣3=1,可得f (x )在x >2递增,在0<x <2处递减,由f(x )=e,x≤0,当x <﹣1时,f (x )递减;﹣1<x <0时,f (x )递增,可得x=﹣1处取得极小值1,作出f (x )的图象,以及直线y=a ,可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3,即有x 1+1+x 2+1=0,可得x 1=﹣2﹣x 2,﹣1<x 2≤0,x 3﹣x 4=﹣=,可得x 3x 4=4,x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣(x 2+1)2+5,在﹣1<x 2≤0递减,可得所求范围为[4,5),故选A .三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题:已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数,当0≥x 时,)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象,并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时,0>-x ,所以)1()(x x x f --=-, 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数, 所以)1()()(x x x f x f --=-=-, 所以)1()(x x x f -=, 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ,函数图象如下图所示:四.典例高考试题演练一、单选题1.(2021·四川成都零模(文))已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=( ) A .2 B .4C .6D .8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和,从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==,()ln4ln 44f e ==,故(2)(ln 4)6f f -+=,故选:C. 【点睛】易错点睛:本题考查分段函数的函数值的计算,注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算,本题属于基础题.2.(2021·四川射洪模拟(理))定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,例如:[1.3]1=,[ 1.5]2-=-,[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时,()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ,则2020211i i a =-∑的值为( ) A .40402021B .20192021C .20192020D .20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时,集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=,进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭,再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩,所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩,所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为:1,1,2,3,4,......,1n -,所以当[)*0,,x n n N ∈∈时,()f x 的值域为n A ,集合n A 中元素个数为:()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=,所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭, 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑,故选:D. 3.(2021·山东高三其他模拟)已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩,满足对任意12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x -<-成立,则a 的取值范围是( )A .()0,1a ∈B .3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C .30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D .3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数,由分段函数的单调性要求,结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组,求解即得. 【详解】由题意,函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立,即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数,可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤,故选:C.4.(2021·江苏南京模拟(理))我们知道,任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义:(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数=的非有效数字的个数,如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=,则下列说法错误的是( )A .当1,1M N >>时,()()()W M N W M W N ⋅=+B .当0n <时,()W N n =-C .当0,()1n W N n >=+D .若1002,lg 20.301N ≈=,则()31W N = 【答案】A【分析】A .理解()W N 的含义,举例分析即可;B .根据0n <分析所表示数的特点,由此可得()W N 的结果;C .根据0n >分析所表示数的特点,由此可得()W N 的结果;D .先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式,然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时,N 的整数部分位数为2,当[)100,1000N ∈,N 的整数部分位数为3,一般地,)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时,N 的整数部分位数为1n +; 当[)0.1,1N ∈时,N 的非有效数字0的个数为1,当[)0.01,0.1N ∈时,N 的非有效数字0的个数为2,一般地,)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时,N 的非有效数字0的个数为n -,A .取210,10M N ==,所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==,()()325W M W N +=+=,所以()()()W M N W M W N ⋅≠+,故错误;B .当0n <时,)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣,N 的非有效数字0的个数为n -,所以()W N n =-,故正确;C .当0n >时,)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣,N 整数部分位数为1n +,所以()1W N n =+,故正确; D .因为1002N =,所以lg =100lg230.1N ≈,所以30.110N ≈,所以)303110,10N ⎡∈⎣,所以()30131W N =+=,故正确,故选:A.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法, 通过对10n N a =⨯的分析,首先判断n 与0的关系,然后决定采用哪一种计算方法(类似分段函数).5.(2021·安徽皖江名校联考)已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩,方程()10f x -=有两解,则a 的取值范围是( ) A .1(,1)2B .1(0,)2C .(0,1)D .()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论:01a <<、1a >,然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围,确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式,由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩,所以0a >且1a ≠, 当01a <<时,()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增,所以()()max 11f x f =-=; 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增,且()()12f x f a >-=, 因为方程()10f x -=有两解,所以21a <,所以102a <<; 当1a >时,()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减,()()min 11f x f =-=; 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增,()()12f x f a >-=, 因为方程()10f x -=要有两解,所以21a <,此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故选:B.【点睛】方法点睛:根据方程解的个数求解参数范围的常见方法:方法(1):将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题,通过图象直观解答问题;方法(2):若方程中有指、对数式且底数为未知数,则需要对底数进行分类讨论,然后分析()f x 的单调性并求解出其值域,由此列出关于参数的不等式,求解出参数范围.6.(2021·山东济南模拟)若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .(]0,1 B .(]0,2C .30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增,则有2y ax =-在(,2]-∞上递增,()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增, 根据增函数图象特征知,点(2,22)a -不能在点(2,0)上方,于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ,解得01a <≤,所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选:A7.(2021·山西名校联考)已知函数()cos ()ln f x x g x x ==,用max{,}a b 表示a ,b 中的最大值,则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】C 【分析】分1x >,1x =,01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论:① 当1x >时,()ln 0g x x =>,所以()()0h x g x ≥>,故()h x 无零点;② 当1x =时,(1)cos110f =-<,(1)0g =,所以(1)0h =,故1x =是()h x 的零点;③ 当01x <<时,()ln 0g x x =<,所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然,()cos f x x =(0,1)上单调递减,且(0)10=>f ,(1)cos110f =-<, 故()f x 在(0,1)内有唯一零点,即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知,函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是:分1x >,1x =,01x <<三种情况讨论.8.(2021·北京市十一学校高三其他模拟)已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩,若存在唯一的整数x ,使得()10f x x a->-成立,则满足条件的整数a 的个数为( ) A .2 B .3C .4D .无数【答案】C 【分析】作出f (x )的函数图象,利用直线的斜率,根据不等式只有1整数解得出a 的范围. 【详解】作出f (x )的函数图象如图所示:()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率,即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示,动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时,只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-,当[1,2]a ∈时,只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选:C.【点睛】关键点睛:本题主要考查函数的图像,考查直线的斜率,关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9.(2021·重庆高三三模)()f x 是定义在R 上周期为4的函数,且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩,则下列说法中正确的是( ) A .f ()x 的值域为[]0,2B .当(]3,5x ∈时,()f x =C .()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D .方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性,画出()f x 的部分图象如下图所示,由图可知,选项A ,D 正确,C 不正确;根据周期为4,当(3,5]x ∈时,()(4)f x f x =-==B 正确.故选:ABD.10.(2021·辽宁铁岭二模)设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则( )A .()f x 是偶函数B .()f x 值域为[)1,-+∞C .存在00x <,使得()()00f x f =D .()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ,由分段函数求值域确定B ,由余弦函数性质确定C ,由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠,()f x 不是偶函数,故选项A 错误. 当0x ≥时,211x +≥,当0x <时,cos [1,1]x ∈-,所以()f x 值域为[)1,-+∞,故B 正确; 因为()01f =,()21f π-=,选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同,是数轴上关于原点对称的,选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选:BC 。
九年级数学复习:初中分段函数总结
初中分段函数知识点总结分段函数的定义对于同一函数关系,当自变量的取值范围不同,函数的关系式也不相同时,这样的函数称为分段函数.如绝对值函数xy=就是分段函数,它可以写成()()⎩⎨⎧<-≥=xxxxy的形式,其图象如下图所示,为一条折线.图(1)绝对值函数的图象注意:(1)分段函数是同一个函数,不是多个函数.(2)求分段函数的关系式时,应在每个关系式的后面注明相应的自变量的取值范围.(3)求分段函数的函数值时,应看自变量的值在哪个取值范围内,然后代入相应的关系式求值.求分段函数的函数值求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值在哪一段自变量的取值范围内,然后代入该段的解析式求值.例1. 若函数()()⎩⎨⎧<≥+=412xxxxy,则当2=x时,函数y的值是【】(A)5 (B)6 (C)7 (D)8分析:这是关于分段函数的问题.因为2=x在x≥0的范围之内,所以对应的函数值应把2=x 代入函数关系式12+=x y 求得.解: ∵02>∴当2=x 时,5122=+⨯=y .故选【 A 】.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数自变量的取值范围内,不在的应舍去.例2. 若函数()()⎩⎨⎧>≤+=22222x x x x y ,则当8=y 时,自变量x 的值是 【 】 (A )6± (B )4 (C )6±或4 (D )4或6- 分析:注意分类讨论以及自变量相应的取值范围.解:当x ≤2时,822=+x ,解之得:6-=x (6=x 舍去);当2>x 时,82=x ,解之得:4=x .综上所述,自变量x 的值是4或6-,故选【 D 】.分段函数的应用票价问题例3. 某风景区集体门票的收费标准是20人以内(含20人),每人25元;超过20人,超过的部分每人10元.(1)写出应收门票费y (元)与游览人数x (人)之间的函数关系式;(2)利用(1)中的函数关系式,计算某班54名学生去该风景区游览时,购门票共花了多少元.分析:(1),这是分段函数,分两种情况讨论:x ≤20,20>x ;(2)求出函数关系式后,根据自变量的取值范围把54=x 代入相应的函数关系式求值即可.解:(1)()()()⎩⎨⎧>-+⨯≤=20201020252025x x x x y整理得:()()⎩⎨⎧>+≤=20300102025x x x x y ; (2)∵2054>=x8403005410=+⨯=y (元).答:购门票共花了840元.出租车计费问题习题1. 某市出租车的计费标准如下:行驶路程不超过3千米,收费8元;行驶路程超过3千米的部分按每千米1. 6元计算,则该市出租车收费y (元)与行驶路程x (千米)()3>x 之间的函数关系式为____________;若某人一次乘出租车时,付费14. 4元,则他这次乘坐了_________千米的路程.分析:本题中,若无条件3>x 的限制,则y 与x 之间的函数关系式为___________. 邮资问题习题 2. 小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除了收取每次6元包装费外,樱桃不超过1 kg 收费22元;超过1 kg,则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y (元),所寄樱桃为x (kg ).(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)已知小李给外婆快寄了2. 5 kg 樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元.习题3. 某实验中学组织学生到距学校6 km 的光明科技馆去参观,学生王琳因有事没能乘上学校的校车,于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆,出租车的收费标准如下: 路程费用 3 km 以下(含3 km )8. 00元 3 km 以上,每增加1 km 1. 80元(1)写出出租车行驶的路程x (km )(x ≥3且x 为整数)与费用y (元)之间的函数关系式;(2)王琳身上仅有14元,乘出租车到光明科技馆的车费够不够?请说明理由.习题4. 如图,根据所示程序计算,若输入3=x ,则输出结果为_________.分析:根据自变量的值,读懂程序图,选择正确的函数关系式进行计算.习题5. 已知函数()()⎩⎨⎧>-≤+=02012x x x x y ,若10=y ,则=x _________.。
中考数学专题复习题型-分段函数
1.(聊城25).如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(9,0)和C(0,4).CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直与x轴,垂足为E,l是抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.(1)求出二次函数的表达式以及点D的坐标;(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积;(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.2.(龙东28) .如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上,∠OAB=90°,且OA=AB,OB、OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根(OB>OC).(1)求点A和点B的坐标.(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O、B重合),过点P的直线a与y轴平行,直线a交边OA 或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R,设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m,已知t=4时,直线a 恰好过点C.当0<t<3时,求m关于t的函数关系式.(3)当m=3.5时,请你直接写出点P的坐标.3.(兰州28).如图1,二次函数2y x bx c =-++ 的图象过点A (3,0),B (0, 4)两点,动点 P 从A 出发,在线段AB 上沿A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,过点P 作PD ⊥y 于点 D ,交抛物线于点C . 设运动时间为 t (秒).(1)求二次函数2y x bx c =-++的表达式;(2)连接 BC ,当t =56时,求△BCP 的面积; (3)如图2,动点 P 从A 出发时,动点Q 同时从O 出发,在线段OA 上沿O →A 的方向以1个单位长度的速度运动,当点 P 与 B 重合时, P 、Q 两点同时停止运动,连接DQ 、PQ ,将△DPQ 沿直线PC 折叠到 △DPE . 在运动过程中,设 △DPE 和 △OAB 重合部分的面积为S ,直接写出S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.4.(桂林26).如图1,已知开口向下的抛物线y 1=ax 2﹣2ax +1过点A (m ,1),与y 轴交于点C ,顶点为B ,将抛物线y 1绕点C 旋转180°后得到抛物线y 2,点A ,B 的对应点分别为点D ,E .(1)直接写出点A ,C ,D 的坐标;(2)当四边形ABDE 是矩形时,求a 的值及抛物线y 2的解析式;(3)在(2)的条件下,连接DC ,线段DC 上的动点P 从点D 出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C 停止,在点P 运动的过程中,过点P 作直线l ⊥x 轴,将矩形ABDE 沿直线l 折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S 平方单位,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系.5.(潜江25.如图,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴的正半轴上,点B的坐标为(4,4),点D在CB上,且CD:DB=2:1,OB交AD于点E.平行于x轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上平移,到C点时停止;l与线段OB,AD分别相交与M,N两点,以MN为边作等边△MNP (点P在线段MN的下方).设直线l的运动时间为t(秒),△MNP与△OAB重叠部分的面积为S(平分单位).(1)直接写出点E的坐标;(2)求S与t的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使得S=S△ABD成立?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.。
初中分段函数知识点及常见题型总结
丌之 间的函数 关系式为
`与
邮资问题
习题 2.小 李 从 西安通 过某 快 递 公 司给在 南 昌的外婆 寄一盒樱桃 ,快 递 时,他 了解 到这个 公 司 除 了收取每 次 6元 包装 费外,樱 桃不超 过 1kg收 费 ” 元 ;超过 1kg,则
超 出部分 按每千 克 10元 加 收 费用 ,设 该 公 司从 西安到南 4或 -掂 ,故 选 【 D】 .
分段函数的应用
票价问题
例 3.某 风景 区集体 门票 的收费标准是 ⒛ 人 以内 (含 20人 ),每 人 犭 元;超 过 ⒛ 人,超 过 的部分每 人 10元 。
(1)写 出应 收 门票 费 y(元 )与 游览人数 石 (人 )之 间的函数 关系式;
初 中分段函数知识点总结
硐 数 畴趟不相同时 这样
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函
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线o ) < o ) 的形式 其图象 ’
图 (1)绝 对值 函数 的图象
注意 :
(1)分 段 函数 是 同一个 函数,不 是 多个 函数。 (2)求 分段 函数 的关系式 时,应 在每个关系式 的后面注 明相应 的 自变量 的取值 范
围。 (3)求 分段 函数 的函数值 时,应 看 自变量 的值在 哪个 取值 范 围 内,然 后代入相应 的 关系 式求值 . 求分段函数的函数值
(2)利 用 (1)中 的函数 关系式,计 算某班 54名 学生 去该风景 区游览 时,购 门票共
花 了多少元 ,
分析 :(1),这 是 分段 函数 ,分 两种 情况讨论 :艿 ≤⒛ ,艿 )20;
(2)求 出函数 关系式后 ,根 据 自变量 的取值 范 围把 艿〓54代 入 相应 的函数 关 系式
超 过 3千 米 的部 分 按 每 千 米 1.6元 计 算 ,则 该 市 出租 车 收 费 y(元 )与 行 驶 路 程 艿
2022中考数学专题复习 函数建模问题(分段函数)试题
函数建模问题-----分段函数一、夯实基础1、二次函数2822++-=x x y ,当x = 时,函数y 有最 值是 ; 当-1≤x ≤4时,函数的最大值是: ,最小值是: .2、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤++-=)1510(802)108(60)80(25122t t t t t t y ,当t= 时,y 的最大值是 .二、典例分析(一)简单的分段函数建模例1、松滋市某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y (万件)关于售价x (元/件)的函数解析式为:y=.(1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元),请直接写出年利润W (万元)关于售价x (元/件)的函数解析式;(2)当该产品的售价x (元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x (元/件)的取值范围.(二)需再次分段的分段函数建模例2、某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售完.该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售量x (千件)的关系为:y 1=若在国外销售,平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t (千件)的关系为(1)用x 的代数式表示t 为:t= ;当0<x ≤4时,y 2与x 的函数关系为:y 2= ; 当 ≤x < 时,y 2=100;(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w (千元)与国内销售数量x (千件)的函数关系式,并指出x 的取值范围;(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?最大值为多少?(三)含参数的分段函数建模例3、某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m (件)与时间t (天)的关系如下表:时间t/天 13610 36 …日销售量m/件94 90 84 76 24 …未来40天内,前20天每天的价格y 1 (元/件)与时间t (天)的函数关系式为y 1=0.25t+25(1≤t ≤20且t 为整数),后20天每天的价格y 2 (元/件)与时间t (天)的函数关系式y 2=﹣0.5+40(21≤t ≤40且t 为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题:(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式;(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品,就捐赠a元利润(a<4)给希望工程.公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大,请直接写出a的取值范围.三、展翅高飞1、九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).时间x(天) 1 30 60 90每天销售量p(件)198 140 80 20(1)求出w与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.2、某公司开发了一种新型的家电产品,又适逢“家电下乡”的优惠政策.现投资40万元用于该产品的广告促销,已知该产品的本地销售量y1(万台)与本地的广告费用x(万元)之间的函数关系满足y1=.该产品的外地销售量y2(万台)与外地广告费用t(万元)之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示.其中点A为抛物线的顶点.(1)结合图象,求出y2(万台)与外地广告费用t(万元)之间的函数关系式;(2)求该产品的销售总量y(万台)与本地广告费用x(万元)之间的函数关系式;(3)如何安排广告费用才能使销售总量最大?3、自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元?(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出.设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围;(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益.。
分段函数知识点及常见题型总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版分段函数知识点及常见题型总结资料编号:20190726 一、分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.关于分段函数:(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集; (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集;(3)分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;(4)分段函数是一个函数,而不是几个函数;(5)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;(6)处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.二、几种常见的分段函数1.取整函数[]xy=([]x表示不大于x的最大整数).其图象如图(1)所示.图(1)取整函数的图象图(2)绝对值函数的图象2.绝对值函数 含有绝对值符号的函数.如函数()()⎩⎨⎧-<---≥+=+=22222x x x x x y ,其图象如图(2)所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决. 3.自定义函数如函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤--=2221211)(2x x x x x x x x f 为自定义的分段函数,其图象如图(3)所示.4.符号函数x y sgn =符号函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn )(x x x x x f ,其图象如图(4)所示.符号函数的性质: x x x sgn =.图(3)图(4)符号函数的图象说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 三.分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现))((a f f 的形式时,应从内到外依次求值.例1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=,2,2,2,21)(2x x x x x x f ,则))1((f f 的值为【 】 (A )21-(B )2 (C )4 (D )11 解:∵21<,∴()32112=+=f ,∴()3))1((f f f = ∵23>,∴()423133=-+=f ,∴4))1((=f f .【 C 】. 习题1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=,0,3,0,34)(2x x x x x x f ,则=))5((f f 【 】(A )0 (B )2- (C )1- (D )1 2.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2. 已知函数⎩⎨⎧<<--≤+=)21()1(2)(2x x x x x f ,若3)(=x f ,则=x _________.解:当1-≤x 时,32=+x ,解之得:1=x ,不符合题意,舍去;当21<<-x 时,32=x ,解之得:3±=x ,其中13-<-=x ,舍去,∴3=x 综上,3=x .习题2. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ,若5)(=x f ,则x 的值是【 】(A )2- (B )2或25-(C )2或2- (D )2或2-或25-习题3. 已知⎩⎨⎧≤+>=)0(1)0(2)(x x x x x f ,若0)1()(=+-f a f ,则实数a 的值等于_________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3. 已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)1(32)1(23)(22x x x x x x f ,求使2)(<x f 成立的x 的取值范围. 解:由题意可得:⎩⎨⎧<-≥22312x x x 或⎩⎨⎧<+-<23212x x 解不等式组⎩⎨⎧<-≥22312x x x 得:1≤371+<x ;解不等式在⎩⎨⎧<+-<23212x x 得:22-<x 或122<<x ∴使2)(<x f 成立的x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+<<-<3712222x x x 或.习题4. 已知()()⎩⎨⎧<≥=0001)(x x x f ,则不等式x x xf +)(≤2的解集为【 】(A )][1,0 (B )][2,0 (C )](1,∞- (D )](2,∞-习题5. 设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=06064)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是____________.习题6. 函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=434212)(x x x x x x x f ,若3)(-<a f ,则实数a 的取值范围是_________.例4. 已知0≠a ,函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ,若()()a f a f +=-11,则a 的值为_________.解:当11<-a ,即0>a 时,11>+a∴()()a a a a f -=+-=-2121,()a a a a f 31211--=---=+ ∵()()a f a f +=-11 ∴a a 312--=-,解之得:023<-=a ,不符合题意,舍去; 当11>-a ,即0<a 时,11<+a()()a a a a f --=---=-1211,()()a a a a f 32121+=++=+∵()()a f a f +=-11图(5)∴a a 321+=--,解之得:43-=a ,符合题意. 综上,a 的值为43-. 习题7. 设()⎩⎨⎧≥-<<=)1(12)10()(x x x x x f ,若)1()(+=a f a f ,则=⎪⎭⎫⎝⎛a f 1_________.习题8. 设函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=)2()2()(2x x x x x ϕ,则当0<x 时,=))((x f ϕ【 】(A )x - (B )2x - (C )x (D )2x习题9. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ,若a a f =)(,则实数a 的值为【 】(A )1± (B )1- (C )2-或1- (D )1±或2- 4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤≤=)2(12)21(1)10(2)(x x x x x x x f 的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为[]())[)[∞+=∞+,0,22,11,0 . 5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值域(图象法). 例6. 设∈x R ,求函数x x y 312--=的值域.解:当x ≥1时,()2312--=--=x x x y ; 当0≤1<x 时,()25312+-=--=x x x y ;当0<x 时,()2312+=+-=x x x y .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y图(6)其图象如图(5)所示,由图象可知其值域为](2,∞-. 另解:由上面可知:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y当x ≥1时,函数2--=x y 的值域为](3,-∞-; 当0≤1<x 时,函数25+-=x y 的值域为(]2,3-; 当0<x 时,函数2+=x y 的值域为)(2,∞-.∴函数x x y 312--=的值域为]( 3,-∞-(] 2,3-)(=∞-2,](2,∞-.例7. 若∈x R ,函数)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数值中的较小者,则函数)(x f 的最大值为【 】(A )2 (B )1 (C )1- (D )无最大值 解:解不等式22x -≥x 得:2-≤x ≤1 ∴当2-≤x ≤1时,x x f =)(,其值域为[]1,2-; 解不等式x x <-22得:1>x 或2-<x∴当1>x 或2-<x 时,22)(x x f -=,其值域为()1,∞-综上所述,⎩⎨⎧-<>-≤≤-=)21(2)12()(2x x x x x x f 或 函数)(x f 的值域为[] 1,2-()](1,1,∞-=∞- ∴函数)(x f 在其值域内的最大值为1. 函数)(x f 的图象如图(6)所示.习题10. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<<=)2015(5)1510(4)100(2)(x x x x f ,则函数)(x f 的值域是【 】(A ){}5,4,2 (B )()5,2 (C )()4,2 (D )()5,4习题11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域是【 】(A )R (B ))[∞+,0 (C )[]3,0 (D )[]{}32,0 习题12. 已知函数()2221)(≤<--+=x x x x f .(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.习题13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=)0(21)0(2)0(3)(2x x x x x x f .(1)画出函数)(x f 的图象;(2)求))(1(2R a a f ∈+,))3((f f 的值; (3)当)(x f ≥2时,求x 的取值范围.图(7)。
2020年中考专题复习——分段函数专题训练(一)(解析版)
2020中考复习——分段函数专题训练(一)班级:___________姓名:___________ 得分:___________一、选择题1.某天小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校.如图所示图象描述了他上学的情景,下列说法中错误的是().A. 修车时间为13minB. 自行车发生故障时离家距离为1000mC. 学校离家的距离为2000mD. 到达学校时共用时间20min2.5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是()A. B.C. D.3.小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校.右图描述了他上学的情景,下列说法中正确的个数为()(1)学校离家的距离为2000米(2)到达学校时共用时间20分钟(3)修车时间为15分钟(4)自行车发生故障时离家距离为1000米A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个.他估计步行不能准时到达,于是改4.一名考生步行前往考场,10分钟走了总路程的14乘出租车前往考场.这名考生的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场所花的时间比一直步行提前了()A. 26分钟B. 24分钟C. 20分钟D. 16分钟5.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港,行驶路程随时间变化的图象如图所示,下列结论错误的是()A. 轮船的速度为20千米/时B. 快艇的速度为40千米/时C. 轮船出发3.9小时后与快艇相遇D. 快艇比轮船早到2小时6.下图①是某一数值转换流程图,图②是反映图①中y与x函数关系的图象:根据如上的流程图,若想输出y=9,则输入x的值为()A. 4B. 3或4C. 4或8D. 3或4或87. 定义新运算:则函数y =3@x 的图象大致是( )A. B.C. D.8. 已知函数y ={x 2−x (x ≥0)−x 2−x (x <0),当a ≤x ≤b 时,−14≤y ≤2,则b −a 的最大值为( )A. 52B. 52+√22C. 32D. 2二、填空题9. 根据图中的程序,当输入x =3时,输出的结果y =______.10. “龟兔首次赛跑”之后,输了比赛的兔子没有气馁,总结反思后,和乌龟约定再赛一场.图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x 表示乌龟从起点出发所行的时间,y 1表示乌龟所行的路程,y 2表示兔子所行的路程).有下列说法: ①兔子和乌龟同时从起点出发; ②“龟兔再次赛跑”的路程为1000米; ③乌龟在途中休息了10分钟;④兔子在途中750米处追上乌龟.其中正确的说法是______.(把你认为正确说法的序号都填上)11.如图,某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系,下列结论:①若通话时间少于120分,则A方案比B方案便宜20元;②若通话时间超过200分,则B方案比A方案便宜12元;③若通讯费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多;④若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分或185分.其中正确结论的序号是.12.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,设快车离乙地的距离为y1(km),慢车离乙地的距离为y2(km),行驶的时间为x(ℎ),两车之间的距离为s(km),y1,y2与x的函数关系图象如图1所示,s与x的函数关系图象如图2所示,则当x=________时,两车相距60km.13.已知y1=x+1,y2=−2x+4,对任意一个x,取y1,y2中的较大的值为m,则m的最小值是______ .14.某商场在“五一”期间举行促销活动,根据顾客按商品标价一次性购物的总额,规定相应的优惠方法:①若不超过500元,则不给予优惠;②若超过500元,但不超过800元,则按购物总额给予8折优惠;③若超过800元,则其中800元给予8折优惠,超过800元的部分给予6折优惠.促销期间,小红和她母亲分别看中一件商品,若各自单独付款,则应分别付款480元和520元.若合并付款,则她们总共只需付款_______________元.15.小明骑车自甲地经乙地,先上坡后下坡,到达乙地后立即返回甲地,共用34分钟,已知上坡速度是400米/分,下坡速度是450米/分,则小明这次行程的平均速度是______.三、解答题16.某星期天早晨,小华从家出发步行前往体育馆锻炼,途中在报亭看了一会儿报,如图所示是小华从家到体育馆这一过程中所走的路程S(米)与时间t(分)之间的关系.(1)体育馆离小华家_______米,从出发到体育馆,小华共用了______分钟;(2)小华在报亭看报用了多少分钟?(3)小华看完报后到体育馆的平均速度是多少?17.小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客,当她骑了一段路时,想起要买个礼物送给表弟,于是又折回到刚经过的一家商店,买好礼物后又继续骑车去舅舅家,以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:(1)小红家到舅舅家的路程是______米,小红在商店停留了______分钟;(2)本次去舅舅家的行程中,小红一共行驶了______米;一共用了______分钟.18.为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价格如表所示:每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分 2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a+0.25(1)若甲用户3月份的用气量为60m,则应缴费______ 元;(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系如图所示,求a的值及y与x之间的函数关系式;(3)在(2)的条件下,若乙用户2、3月份共用气175m3(3月份用气量低于2月份用气量),共缴费455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少?19.如图是小明的爸爸骑一辆摩托车从家里出发,离家的距离(千米)随行驶时间(分)的变化而变化的情况:(1)图象表示了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)小明的爸爸从出发到最后停止共经过了多少分钟?离家最远的距离是多少千米?(3)摩托车在哪一段时间内速度最快?最快速度是多少千米/小时?20.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。
初中数学专题01分段函数的理解
分段函数的理解分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数。
1、它是一个函数,不是几个不同函数的组合,是同一函数在自变量X的不同取值范围内的不同表达式。
2、最简单的分段函数是一次函数的分段函数。
分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数,在这里我们不予讨论。
谈谈中考中的分段函数在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,分段函数是近几年中考数学中一种重要的题型。
分段函数的应用题多设计成两种(段)情况以上,解答时需分段讨论。
它是考查分类思想,读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。
这些分段函数都是直线型,通常是由正比例函数的图像和一次函数的图像构成。
下面我们归纳分析如下,供学习时参考。
一、两段型分段函数1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图1所示:(1)月通话为100分钟时,应交话费______元;(2)分别写出当0≤x≤100 , x≥100时,x与y之间的函数关系式;(3)月通话为280分钟时,应交话费多少元?分析:本题是一道和话费有关的分段函数问题,通过图象可观察到,在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解:(1)观察图象可知月通话为100分钟时,应交话费40元;(2)当0≤x≤100时,设y与x之间的函数关系式为y=kx,x=100时,y=40 所以y=2/5xx≥100时, 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图知:x=100时,y=40;x=200时,y=60则有 ,解之得 k=1/5,b=20所求函数关系式为y=1/5x+20(3)把x=280代入y=1/5x+20,得y=1/5x280+20=76,即月通话为280分钟时,应交话费76元.【巩固练习】1、水费中的分段函数某自来水公司为了鼓励居民节约用水,采取了按月用水量分段收费办法,某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时, y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?2、电费中分段函数今年以来,广东大部分地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图3所示),根据图象解下列问题:(1)分别写出当0≤x≤100和x≥100时, y与x的函数关系式;(2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准;(3)若该用户某月用电62度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费105元时,则该用户该月用了多少度电?1.2一次函数与一次函数构成的分段函数1、为了鼓励小强做家务,小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的.若设小强每月的家务劳动时间为x小时,该月可得(即下月他可获得)的总费用为y元,则y(元)和x(小时)之间的函数图像如图5所示.(1)根据图像,请你写出小强每月的基本生活费;父母是如何奖励小强家务劳动的?(2)分别写出当0≤x≤20和x≥20时, y与x的函数关系式;(3)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时间?1.3常数函数与一次函数构成的分段函数例1、有甲、乙公司,甲公司每月通话的收费标准如图6所示;乙公司每月通话收费标准如表1所示.(1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟的通话费为元;(2)分别写出当0≤x≤100和x≥100时, y与x的函数关系式(3)李女士买了一部手机,如果她的月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算?如果她的月通话时间超过100分钟,又将如何选择?二、三段型分段函数如图7,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,M是CD的中点,点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动,则△APM 的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的()三、四段型分段函数例7、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图11,是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
专题01 分段函数专题解读(解析版)-2024年中考物理新题型专项点拨
2024年中考新题型专项点拨专题01 分段函数专题解读1.明过程。
明确题目中所说的“该过程”具体是指从什么时候开始(起点),到什么时候结束(终点)。
所画的过程既不能多也不能少,要完全对应题目要求,一定要认真读题、审题。
2.会分段。
此类题画出来的结果是分段函数,而画对线的关键在于确定“关键点”[起点、终点、转折点(跳跃点)的值(或范围)]和各段线的变化特点。
一般可按照“起点→线段1→转折点1→线段2→转折点2→线段3→终点”的顺序逐一分析和绘图图像,大致的图像样子就确定了。
3.如何绘制每一段线段?①认真审题,思考清楚本题考查什么核心知识点。
应该用哪章的哪个知识点或哪些章的哪些知识点去解答本题。
如力学中有考查力、静摩擦力变化的、影响滑动摩擦力因素的、影响压强(液体压强)大小因素的、影响浮力及浮沉条件的、影响做功大小的、影响功率大小的、影响动能(重力势能、弹性势能)大小的、机械能及其转化的等等。
总之,解答本题一定是用我们学过的知识去解决的,而不是漫无目的的、不着边际地去想去画。
②题目是让画出物理量a(因变量,即纵坐标)与物理量b(自变量,即横坐标)的(大致)变化关系图。
解题思路就是若能够准确列出二者的函数关系式那就列出准确关系式(一般就是初中学过的一次函数、二次函数、正比例函数居多),即借助受力分析或所学的一些物理公式列出关于因变量的关系式进行动态分析(此关系式可能直接是自变量的表达式,但也只可能和自变量之间存在间隔关系)。
③线段应该是倾斜直线还是曲线?此问题情况多变,牵涉的知识较多,只能根据具体问题具体分析,但题目无法明确界定是直线还是曲线的,或者要运用高中知识才能明确判断的,因此掌握一定的高中对解决此类题型是必要的。
4.检查起点、转折点、终点的值(或范围)要合理。
检查起点是否为0?转折点是前后两段线的临界点,在转折点上重点看前后两段线的变化特点是否符合要求,若终点有特定的值或界限,也要准确判断。
例1.如图甲所示,一重为G的小球正在水中加速上浮,最终小球漂浮在水面上,请你在图乙中画出小球所受的浮力与小球运动时间的大致关系图像。
中考考点分段函数的定义像与应用
中考考点分段函数的定义像与应用中考考点:分段函数的定义、图像与应用分段函数是数学中一个重要的概念,也是中考数学中的一个重要考点。
它的定义、图像及应用都是我们需要了解和熟悉的内容。
一、分段函数的定义分段函数是将自变量的定义域根据不同的条件,划分成若干个区间,并在每个区间内,用不同的函数表达式来表示函数关系的一种函数。
例如,以下是一个分段函数的定义:$$y=\begin{cases}x-1, & x\leq1 \\x^2+1, & 1 < x \leq 3 \\\sqrt{x}, & x > 3\end{cases}$$在这个定义中,根据自变量的不同取值,将定义域划分为三个区间:$(-\infty,1]$、$(1,3]$、$(3,+\infty)$。
并在每个区间内给出了对应的函数表达式。
二、分段函数的图像分段函数的图像是根据函数定义和定义域的划分来绘制的。
在每个区间内,可以绘制对应的函数图像。
对于上述定义的分段函数,我们可以绘制出以下的图像:[图像1描述]从图像1中可以清楚地看出,随着自变量的取值不同,函数的图像也发生了不同的变化。
三、分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景:1. 费用计算问题例如,一个汽车公司的租车费用可以根据租车的天数分为不同的阶梯价,这时就可以使用分段函数来计算租车费用。
比如,前三天的费用为每天100元,超过三天但不超过七天的费用为每天80元,超过七天的费用为每天60元。
可以使用以下分段函数来表示租车费用:$$y=\begin{cases}100x, & x \leq 3 \\80x, & 3 < x \leq 7 \\60x, & x > 7\end{cases}$$其中,$x$表示租车的天数,$y$表示对应的费用。
2. 温度转换问题在摄氏度与华氏度之间的转换问题中,温度范围的不同可以使用分段函数来表示。
中考数学复习指导:中考数学中的分段函数归纳
1
1
1
1
因为图象经过点( 3, ),所以, = k 1×3,所以 k1= ,所以 y= x, 0<x < 3
4
4
12
12
设一次函数的解析式(合作部分)是 y=k 2x+b,( k 0,k,b 是常数)
1
1
因为图象经过点( 3, ),( 5, ),所以,
4
2
1
由待定系数法得:
k2 3 b
4 ,解得: k 2
1 ,b
1
.
1
8
8
k2 5 b
2
∴一次函数的表达式为 ∴完成此房屋装修共需
1 yx
8
9 天。
1
,所以,当
y
1 时,
1 x
1
1 ,解得 x
9
8
88
方法 2
解:由正比例函数解析式可知:甲的效率是
1 ,乙工作的效率: 1 1 1
12
8 12 24
甲、 ································
中考数学中的分段函数归纳
分段函数,是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想,读取、搜集、 处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。
通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下,供学习时 参考。
1、二段型分段函数
1.1 正比例函数与一次函数构成的分段函数
解答这类分段函数问题的关键 ,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解
析式。
例 1 某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装司合作完成. 工程进度满足如图 1 所示的函数关系,该
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解:(1)根据题意可得: ①当100<x≤1000时,y=0.8×0.4x; ②当1000<x≤5000时, y=0.8×0.4×1000+0.7×0.4(x-1000); ③当5000<x≤10000时, y=0.8×0.4×1000+0.7×0.4(5000-1000)+0.6×0.4(x5000); ④当x>10000时, y=0.8×0.4×1000+0.7×0.4(50001000)+0.6×0.4(10000-5000)+0.5×0.4(x-10000)。 综上并化简得分段函数: y=
周次 (x)
1
2
3
4
5
6
…
11 30
12 13 14 15 16 28 26 24 22 20
销售价 20 22 24 26 28 30 30 (y)
解:依题意,可建立的函数关系式为:
20 2 x 1 y 30 30 2 x 11
6 x 11 12 x 16
……
80
2.分析:解答本题要弄清分段报销和超过部分涵义,可通过建 立分段函数求解. 解:设住院医疗费为x(元),保险公司报销金额为y(元), 根据表格有函数关系式: y1=0(x≤500);y2=(x-500)×60%=0.6x-300 (500≤x≤1000),并且0≤y2≤300; y3=(x-1000)×80%+500×60%=0.8x-500(1000≤x≤3000) 并且 300≤ y3 ≤1900…. 因y=1000(元),故应代入函数y3 =0.8x-500中求解,所以当 y=1000时,得x=1875. 即此人住院的医疗费是1875元.
5.荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城.若“五
一”黄金周有甲,乙两个旅行团到该景点参观, 两团人数之和为120人,乙团不超过50人,设两 团分别购票共付W元,甲团人数人,①求W与的 函数关系式;②若甲团人数不超过100人,请说 明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元?
门票价格(元)
8
6
4
0 100
第40讲┃函数实际应用型问题
第40讲┃函数实际应用型问题
(2)w=(x-6)(-30x+600) =-30x2+780x-3600, 2 即 w 与 x 之间的函数关系式为 w=-30x +780x- 3600. (3)由题意得 6(-30x+600)≤900,解得 x≥15. w=-30x2+780x-3600, 780 图象的对称轴为 x=- =13. 2×(-30) ∵a=-30<0, ∴抛物线开口向下,当 x≥15 时,w 随 x 增大而减小, ∴当 x=15 时,w 最大=1350. 即以 15 元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润 1350 元.
第40讲┃函数实际应用型问题
第40讲┃函数实际应用型问题
第40讲┃函数实际应用型问题
探究三 分段函数实际应用 (作业)
例1 [2013· 徐州]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资
源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实
行阶梯式气价,调整后的收费价格如下表所示: 每月用气量 单价(元/m3) 2.5 a a+0.25
图40-3
第40讲┃函数实际应用型问题
(1)观察图象,直接写出日销售量的最大值; 120千克 (2) 求小明家樱桃的日销售量 y与上市时间 x 的函数表达 式; (3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多.
第40讲┃函数实际应用型问题
例题分层分析 (1)通过观察图象,哪个数值是日销售量的最大值? (2)分别从0≤x≤12时与12<x≤20时去分析,如何求小明家樱桃 的日销售量y与上市时间x的函数表达式?
50
人数(人)
解:(1)∵乙团不超过50人 ∴ 0<120x≤50 解得70≤x<120,根据图象信息得, 当70≤x≤100时,W=6x+8(120-x)即,W=2x+960(70≤x≤100) 当100<x<120时,W=4x+8(120-x)即, W=-4x+960(100<x<120)
(2) 分段函数中“折点”既是两段函数的分界点,同时又分别在 两段函数上,求解析式时要用好“折点”坐标,同时在分析图象 时还要注意“折点”表示的实际意义,“折点”的纵坐标通常是 不同区间的最值.
(3) 分段函数应用广泛,在收费问题、行程问题及几何动态问题 中都有应用.
第40讲┃函数实际应用型问题
第40讲┃函数实际应用型问题
5、某长途汽车站对旅客携带行李的收费方法作 了如下说明:行李重量40千克以内(含40千克), 不收费;超过40千克时,每超过1千克,收费2元。 (1)请写出行李费(元)与行李量(千克)之间 的函数关系式 (2)画出(1)中的函数图象 y
(元)
x(千克)
6、一辆汽车在行驶过程中,路程(千米)与时 间(小时)之间的函数关系如图所示, (1)求 y关于x的函数解析式 (2)求当x=1.5时,y的值 (3)求当y=50时,x的值 y(千米)
(4)设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x) m3,分3种情 况:① x > 125 , 175 - x≤75 时,② 75 < x≤125 , 175 - x≤75 时,③ 75<x≤125,75<175-x≤125时,分别建立方程求出其解.
第40讲┃函数实际应用型问题
解题方法点析 解分段函数问题的一般策略: (1) 分段函数的特征:不同的自变量区间所对应的函数式不同, 其函数图象是一个折线,解决分段函数问题,关键是要与所在的 区间相对应.
图40-2
第40讲┃函数实际应用型问题
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规
律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系
式; (3) 若许愿瓶的进货成本不超过 900 元,要想获得最大利润, 试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
第40讲┃函数实际应用型问题
1
x 6
2 x 18 y 30 2 x 52
1 x 6 6 x 11 12 x 16
4、(作业)在水果产地批发水果,100kg为批
发起点,每100kg40元;100至1000kg8折优惠; 1000kg至5000kg,超过1000部分7折优惠; 5000kg至10000kg,超过5000kg的部分6折优 惠;超过10000kg,超过部分5折优惠。(1)请写 出销售y与销售量x之间的函数关系;(2)某人用 2265元能批发多少这种水果?
一、轻松练一练
• 参加保险公司的医疗保险,住院治疗的病 人享受分段报销,保险公司制定的报销细 则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报 销金额是1000元,那么此人住院的医疗费 是___________.
住院医疗费(元) 不超过500元的部分 超过500~1000元的部分 报销率(%) 0 60
超过1000~3000元的部分
第40讲┃函数实际应用型问题
例题分层分析 (1)观察表格,你能获得哪些信息?3月份的用气量为60 m3,该如 何缴费? (2) 从折线统计图你能得到什么?折线分为哪几段?表中a对应图 中的什么?结合图象与表格能求出a.
(3)从0≤x≤75,75<x≤125和x>125运用待定Байду номын сангаас数法分别表示出y与 x之间的函数关系式.
• 3、在黄州服装批发市场,某种品牌的时装 当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设 这种时装开始时定价为20元,并且每周(7 天)涨价2元,从第6周开始保持30元的价 格平稳销售;从第12周开始,当季节即将 过去时,平均每周减价2元,直到第16周周 末,该服装不再销售.试建立销售价y与周 次x之间的函数关系式.(画图象)
1、下列给出四个函数和它们的图象,请把函数序号写在它对应 的图象下的括号
y 2 x ② y 2 x (x 0 ) ③ y 2 x (x 1) 0 x 1) ④ y 2x (
①
4 2 1 2
—2
—1
( ② )
4
( ③ )
2
1
2
(①
)
( ④ )
思考并发现区别:
(1)某商场搞促销活动:如果顾客一次性 购买商品超过500元,全部打8 折,小惠一 次购买了800元的商品,应付 640 元. (2)某商场搞促销活动,如果顾客一次性 购买商品超过500元,超过部分打8折,小惠 一次购买了800元的商品,应付 740 元.
不超出75 m3的部分 超出75 m3不超出125 m3的部分 超出125 m3的部分
第40讲┃函数实际应用型问题
150 元; (1)若甲用户3月份的用气量为60 m3,则应缴费________
(2)若调价后每月支出的燃气费为 y(元),每月的用气量为 x(m3),
y与x之间的关系如图40-1所示,求a的值及y与x之间的函数关 系式; (3)在(2)的条件下,若乙用户2、3 月份共用天然气175 m3(3月份用 气量低于2月份用气量),共缴费 455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少? 图40-1
第40讲┃函数实际应用型问题
探究二 从函数图象上获取信息
例3 [2012·临沂] 小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获 丰收,采摘上市20天全部销售完.小明对销售情况进行了跟
踪记录,并将记录情况绘成图象,日销售量y(单位:千克)
与上市时间x(单位:天)的函数关系如图40-3①所示,樱桃 价格z(元/千克)与上市时间x(单位:天)的函数关系如图② 所示.
第40讲┃函数实际应用型问题
(3)设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x) m3 , 当x>125,175-x≤75时, 3x-50+2.5(175-x)=455, 解得x=135,175-135=40,符合题意; 当75<x≤125,175-x≤75时, 2.75x-18.75+2.5(175-x)=455, 解得x=145,不符合题意,舍去; 当75<x≤125,75<175-x≤125时, 2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455,此方 程无解. ∴乙用户2、3月份的用气量分别是135 m3,40 m3.