第8章VaR模型(2)(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)-PPT课件
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▪ 结果：phat = -0.0001 0.0094 3.7904
9
t分布的分位数计算
▪ X = tinv(P,V) computes the inverse of Student‘s t cdf with parameter V for the corresponding probabilities in p。
回忆：维纳过程
指数移动平均
▪ 指数移动平均对时间序列中的数据不采取等权重， 他根据历史数据距离当前时间的远近，分别赋予不 同的权重，距离现在越近，赋予的权重越大。
EWMAn
xt1
xt2,...,n1xtn 1,..., n1
,1
0
if n,1,...,n1 1/(1)
EWMA (1)
x i1 ti
Jarque-Bera 2358.298 Probability 0.000000
Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12
R_SZZS
8.1.1 学生t分布
W. S. Gossett (1908) discovered the distribution through
8
t分布参数的极大似然估计
▪ Matlab函数： phat =mle(data， ‘distribution’， ‘dist’)
▪ 对于t分布，phat = mle(data,'distribution','t') ▪ 下面以上证指数2000~2006的数据为例进行
➢ 输入数据：szzs-日对数回报率 ➢ 估计参数： phat = mle(szzs,'distribution','t')
基于正态分布得到的VaR为0.0307，显然低估风险
11
8.1.2 广义误差分布
▪ 在JPMorgan的Riskmetric操作文件中提供GED
（Generalized Error Distribution）分布来拟合重
尾分布。
[exp[ 1 x / ]
f (x , )
Hale Waihona Puke Baidu
2
2[( 1) / ] (1 / )
n
L()
i1
f
(xi
;)
对于不同的θ，同一组样本观察值的似然函数也是不同的，那 么通过选择一个θ使得
L(ˆ)maxL() 7
t分布参数的极大似然估计
▪ 通常为了求导方便，常对似然函数取对数，即对数 似然函数
l( ) ln(L( )) l( ) 0, j 1, 2,...k j
上式即为似然方程，解该方程即可得到参数θ。
▪ 基于t分布MLE，日标准差为0.0094 ▪ 自由度为3.7904 ，99%分为数置信度的分位
数X = tinv(0.99, 3.7904)，X =3.8641
RVaR(t)v0(exp(T)exp(Txc T))
1(exp(0.0001)exp(0.00013.86410.0094)) 0.0357
n ,n为自由度
(n)(n)1/2
2
(.)为Gamma函数，(a) e-tta-1dt 0
5
比较正态分布与t分布
Matlab程序： ▪ x = -5:0.1:5; ▪ y = tpdf(x,5); ▪ z = normpdf(x,0,1); ▪ plot(x,y,'-',x,z,'-.')
0.4
his work at the Guinness brewery. At that time, Guinness
did not allow its staff to publish, so Gossett used the
pseudonym Student.
(n1)
(1
x2
n1
)2
f (x,n) 2
rt tt,t ~GED() 计算步骤： t2 t21 (1)rt21
1、用MLE估计GED分布的参数V 2、计算分位数和衰减因子λ 3、通过EMAW计算方差，得到标准差， 4、计算VaR [ExpReturn, ExpCovariance] =ewstats(RetSeries,DecayFactor, WindowLength)
xcF 1(c)F 1( x c ((n 1 ()n //2 2 ))(1 (n x )2 1//2n)n2 1dx)
函数：X = tinv(P,V) X = tinv(0.99,9.701492)，X =2.7795 X = tinv(0.99,inf)，X =2.3263
基于t分布的VaR
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
t分布参数的极大似然估计
▪ 连续分布的MLE
➢ 当X的分布是连续的，其概率密度函数为f(x, θ),其中θ为未知参数。 现在从该总体中获得容量为n的样本观测值x1,x2,…,xn,则在X1= x1， X2= x2，Xn= xn时候联合概率密度函数值，即为似然函数
350
300
250
200
150
100
50
0
-0.05
-0.00
0.05
Series: R_SZZS Sample 1 1520 Observations 1519
Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis
5.60e-05 0.000143 0.094014 -0.065430 0.013451 0.751425 8.916269
衰减因子 [ 2(2/ ) (1 / ) ]1/ 2 (3 / )
为 重 尾 参 数 ， 2 为 重 尾 ， 2 为 瘦 尾
RiskMetric-正态分布
▪ 标准的RiskMetric模型的估计是基于正态分布的
rt tt,t ~iidN(0,1) E(rt)0,Var(rt)t2Var(t)t2 t2 t21(1)rt21
i1
16
xˆ t (1 )
x i 1 ti
i1
2 t
(1
)
i1 ( rt i r ) 2
i1
(1 )
r i 1 2 ti
i1
(1
)
(
r
t
2
1
r
t
2
2
2
r
t
2
3
,
.
.
.
)
(1
)
r
t
2
1
(1
)
(
r
t
2
2
r
t
2
3
,
...)
(1
)
r
t
2
1
2 t1
RiskMetric-GED
9
t分布的分位数计算
▪ X = tinv(P,V) computes the inverse of Student‘s t cdf with parameter V for the corresponding probabilities in p。
回忆：维纳过程
指数移动平均
▪ 指数移动平均对时间序列中的数据不采取等权重， 他根据历史数据距离当前时间的远近，分别赋予不 同的权重，距离现在越近，赋予的权重越大。
EWMAn
xt1
xt2,...,n1xtn 1,..., n1
,1
0
if n,1,...,n1 1/(1)
EWMA (1)
x i1 ti
Jarque-Bera 2358.298 Probability 0.000000
Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12
R_SZZS
8.1.1 学生t分布
W. S. Gossett (1908) discovered the distribution through
8
t分布参数的极大似然估计
▪ Matlab函数： phat =mle(data， ‘distribution’， ‘dist’)
▪ 对于t分布，phat = mle(data,'distribution','t') ▪ 下面以上证指数2000~2006的数据为例进行
➢ 输入数据：szzs-日对数回报率 ➢ 估计参数： phat = mle(szzs,'distribution','t')
基于正态分布得到的VaR为0.0307，显然低估风险
11
8.1.2 广义误差分布
▪ 在JPMorgan的Riskmetric操作文件中提供GED
（Generalized Error Distribution）分布来拟合重
尾分布。
[exp[ 1 x / ]
f (x , )
Hale Waihona Puke Baidu
2
2[( 1) / ] (1 / )
n
L()
i1
f
(xi
;)
对于不同的θ，同一组样本观察值的似然函数也是不同的，那 么通过选择一个θ使得
L(ˆ)maxL() 7
t分布参数的极大似然估计
▪ 通常为了求导方便，常对似然函数取对数，即对数 似然函数
l( ) ln(L( )) l( ) 0, j 1, 2,...k j
上式即为似然方程，解该方程即可得到参数θ。
▪ 基于t分布MLE，日标准差为0.0094 ▪ 自由度为3.7904 ，99%分为数置信度的分位
数X = tinv(0.99, 3.7904)，X =3.8641
RVaR(t)v0(exp(T)exp(Txc T))
1(exp(0.0001)exp(0.00013.86410.0094)) 0.0357
n ,n为自由度
(n)(n)1/2
2
(.)为Gamma函数，(a) e-tta-1dt 0
5
比较正态分布与t分布
Matlab程序： ▪ x = -5:0.1:5; ▪ y = tpdf(x,5); ▪ z = normpdf(x,0,1); ▪ plot(x,y,'-',x,z,'-.')
0.4
his work at the Guinness brewery. At that time, Guinness
did not allow its staff to publish, so Gossett used the
pseudonym Student.
(n1)
(1
x2
n1
)2
f (x,n) 2
rt tt,t ~GED() 计算步骤： t2 t21 (1)rt21
1、用MLE估计GED分布的参数V 2、计算分位数和衰减因子λ 3、通过EMAW计算方差，得到标准差， 4、计算VaR [ExpReturn, ExpCovariance] =ewstats(RetSeries,DecayFactor, WindowLength)
xcF 1(c)F 1( x c ((n 1 ()n //2 2 ))(1 (n x )2 1//2n)n2 1dx)
函数：X = tinv(P,V) X = tinv(0.99,9.701492)，X =2.7795 X = tinv(0.99,inf)，X =2.3263
基于t分布的VaR
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
t分布参数的极大似然估计
▪ 连续分布的MLE
➢ 当X的分布是连续的，其概率密度函数为f(x, θ),其中θ为未知参数。 现在从该总体中获得容量为n的样本观测值x1,x2,…,xn,则在X1= x1， X2= x2，Xn= xn时候联合概率密度函数值，即为似然函数
350
300
250
200
150
100
50
0
-0.05
-0.00
0.05
Series: R_SZZS Sample 1 1520 Observations 1519
Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis
5.60e-05 0.000143 0.094014 -0.065430 0.013451 0.751425 8.916269
衰减因子 [ 2(2/ ) (1 / ) ]1/ 2 (3 / )
为 重 尾 参 数 ， 2 为 重 尾 ， 2 为 瘦 尾
RiskMetric-正态分布
▪ 标准的RiskMetric模型的估计是基于正态分布的
rt tt,t ~iidN(0,1) E(rt)0,Var(rt)t2Var(t)t2 t2 t21(1)rt21
i1
16
xˆ t (1 )
x i 1 ti
i1
2 t
(1
)
i1 ( rt i r ) 2
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(1 )
r i 1 2 ti
i1
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RiskMetric-GED