Peano定理解的存在性定理的应用主讲范进军

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倒向随机微分方程解的比较定理

曹志刚;严加安

【期刊名称】《数学进展》

【年(卷),期】1999(028)004

【摘要】毛学荣新近将彭实戈和Ｐａｒｄｏｕｘ关于倒向随机策分方程解的存在性定理推广到非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ系数情景，此文将彭实戈的比较定理推广到这一情形，主要工具是Ｔａｎａｋａ－Ｍｅｙｅｒ公式，Ｄａｖｉｓ不等式和Ｂｉｈａｒｉ不等式。

【总页数】5页(P304-308)

【作者】曹志刚;严加安

【作者单位】中国人民大学信息学院;中国科学院系统所

【正文语种】中文

【中图分类】O211.63

【相关文献】

1.倒向随机微分方程的解及其比较定理 [J], 董丽华

2.无穷水平跳扩散正-倒向随机微分方程的解与比较定理 [J], 尹居良;司徒荣

3.正倒向随机微分方程解的比较定理 [J], 郭子君;吴让泉

4.由连续半鞅驱动的倒向随机微分方程解的比较定理 [J], 李师煜;李文学;高武军

5.一类倒向随机微分方程解的比较定理 [J], 颜宝平

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关于极限limn→∞11nn存在的三种证明方法

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关于极限limn→∞1+(1)/(n)+n存在的三种证明方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：刘泮振， LIU Pan-zhen 河南财经学院信息系数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 2001，31(2) 3次
是递减的 %于是 ! $ " # & () #’ 即数列 ! 有上界 % $ & #
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/ 证法二
容易证明引理 / 设 0 则有 -1 ,2 3
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为了证明 [ 有上界 >我们考查数列 [ ] ] Y \ e R R

关于隐函数定理和Peano定理的一点注记

Ｐａｏ定理的条件．由Ｐａｏｅｎｅｎ定理，存在的某个邻域，使得微分方程
ｌ：，，Ｕ ∈ Ｑ）
ＩＹ＝ＰＸ）ｏ（ｏ（
在中存在解Ｙ＝，即存在Ｘ的邻域Ｕ和函数：Ｒ满足（）ｏＵ
．
Ｉ（（，：ｘｄｆ＃ ∈ （ｐＬ（ｘｐ
收稿日期：２０－１１０９１－８
基金项目：陕西省自然科学基金资助项
（０７２２０Ａ１）
作者简介：史艳维（９０）女，１８－，陕西西安人，安培华学院基础部教师，学硕士西理
４
Hale Waihona Puke Baidu
衡水学院学报
第ｌ２卷
Ｆｘ）．（，）＝０（证明：由于在区域Ｄ内连续，且
出ｌ：
ｌ：．０
以下是本文的主要结果．定理（隐函数定理）设方程Ｆ（，）满足ｘＹ＝０
１Ｆｘ，）；）（ｏ＝０
２，，，）（）
３
Ｏ
，
都，）邻在Ｙ的域Ｄ内续ｏ连；
则存在点的一个邻域Ｕ及Ｕ上唯一的一个连续可微函数＝使得（）
（西安培华学院摘基础部，陕西西安７０２）１１５

Peano定理

（1）存在为一阶的区间为：其中
| x x0 | h
b h min{ a, }, M max | f ( x, y ) | M
（2）李氏常数可选为： L max
| f y ( x, y) |, ( x, y) R
（3）近似解的误差估计式为: （运用归纳法）
MLn n1 | yn ( x) ( x) | h (n 1)!
x x x0 x0
| y2 ( x) y1 || ( f ( x, y1 ) f ( x, y0 ))dx | L | y1 y0 |dx
ML L M | x x0 |dx ( x x0 ) 2 x0 2
x
MLn 1 | yn ( x) yn1 ( x) | ( x x0 ) n n! MLn1 n 考虑到|x0-x|≤h，得 | yn ( x) yn 1 ( x) | h n! MLn1 n 由于正项级数 n! h 收敛，由维尔斯特拉斯判别法得 n 1 { yn ( x)} 一致收敛。
| x x0 | h 存在唯一解。
例1.方程 y f ( x, y ) 定义在矩形区域： 1
x 1,1 y 1
上，试利用Cauchy-Picard定理确定经过（0，0）的解的存在区间和李氏常数，并求于精确解误差不超过0.05的近似解。
解：

Peano定理

x
f (t , yn 1 (t )) dt
x
lim
x x0
| ( f (t , yn 1 (t )) f (t , (t ))) dt | L | yn 1 (t ) (t ) | dt
x0
n x0

x
f (t , yn 1 (t )) dt f (t , (t )) dt
假设 yn1 ( x) 连续且|x0-x|≤h上满足
x
| yn1 ( x) y0 | b
则由
yn ( x) y0 f (t , yn 1 (t )) dt
x0
yn (x)
连续，进而
x
| yn ( x) y0 || f (t , yn1 (t )) dt | M | x x0 | Mh b
（1）存在为一阶的区间为：其中
| x x0 | h
b h min{ a, }, M max | f ( x, y ) | M
（2）李氏常数可选为： L max
| f y ( x, y) |, ( x, y) R
（3）近似解的误差估计式为: （运用归纳法）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MLn n1 | yn ( x) ( x) | h (n 1)!
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0

[VIP专享]高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(二)

数论定理
一. 知识要点 1. 欧拉定理和费尔马小定理缩系的定义：设 m 为正整数，一个模 m 的剩余类称为与模 m 互素的余类，如果它中的数与 m 互素．在与模 m 互素的各个剩余类中分别取一个代表所构成的集合称为模 m 的一组缩系．很显然，缩系具有以下
性质：（1）模 m 的缩系中含有（m）个数（（m）是小于 m 的正整数中且与 m 互素的个数）．（2）
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2

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基于BOPPPS教学模式下的高等数学微课教学设计——以“多元复合函数的求导法则”为例

四、基于ＢＯＰＰＰＳ教学模式下 “多元复合函数的求导法
则 ”的教学设计
（一）导言（Ｂｒｉｄｇｅ—ｉｎ）——问题导人
以学生已掌握的一元复合函数求导的链式法则人手．我们知道，如果函数ｕ＝（）在点处可导，函数Ｙ＝，（ｕ）
偏导数的求法．学完本节内容，不但完整地掌握了多元复合函数求导的链式法则，也为下一节隐函数的微分法的学习
奠定了基础．因此，本节课承上启下，是本章的重点内容之一．
结合大纲的要求，在设计本课时，通过问题激发学生的兴趣，由一元自然推广到多元，得到多元复合函数求导的链式法则，通过例题、练习强化公式应用，同时利用多媒体辅助教学．
【关键词】ＢＯＰＰＰＳ；教学模式；高等数学；教学设计【基金项目】ＣｈｉｎａＰｏｓｔｄｏｃｔｏｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎ
ＦｕｎｄｅｄＰｒｏｊｅｃｔ（２０１６Ｍ６０００２０）．
一、高等数学课堂教学现状及存在的问题对工科院校大多数专业的学生来说，高等数学是一门极其重要的专业基础课，也是考研必考的课程，学好高等数学显得尤为重要，学校也很重视高等数学的课程建设．但是，笔者结合自己的教学实践发观，高等数学的教学过程中还存在着很多问题和不足，具体表现在以下两点．１．教师教法单一．由于高等数学这门课程内容比较抽象，逻辑性强，大多数教学过程都以教师课堂讲授为主，以板书为主辅以ＰＰＴ．教师多注重概念定理的讲解，教学方法与手段单一，学生难以提起学习兴趣，上课注意力难以集中．２．以教师为中心．教学过程过于注重教师的教而忽略了学生的学，学生未能积极参与到课堂教学中，欠缺学习主动性，课堂互动较少，忽略了学生才是教学过程中的主体．为了改进教学方法，提高学生学习的兴趣，笔者将ＢＯＰＰＰＳ教学模式引入课堂教学中．二、ＢＯＰＰＰＳ教学模式概述ＢＯＰＰＰＳ教学模式是加拿大教师技能培训（ＩＳＷ）中广泛采用的教学模式，是优秀的微课教学模式．简单来说，ＢＯＰＰＰＳ是教师用来课程设计的工具，其基本概念，是将教学内容切割为一个个小单元，每个小单元控制在１５分钟以内，因为人的注意力大约只能维持１５分钟．ＢＯＰＰＰＳ便是将每个小单元（知识点）切分为六个阶段，依序为导言（Ｂｒｉｄｇｅ～ｉｎ）、学习目标（Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ）、先测（Ｐｒｅ—ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ）、参与式学习（ＰａｒｔｉｃｉｐａｔｏｒｙＬｅａｒｎｉｎｇ）、后测（Ｐｏｓｔ—ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ）及总结（Ｓｕｍｍａｒｙ）．该模式为有效课堂教学提供了一个操作性强的实践流程，使得课堂教学的安排更加有条理、合理．三、ＢＯＰＰＰＳ教学模式下高等数学微课设计理念以 “多元复合函数的求导法则 ”为例在高等数学的课堂中，笔者在ＢＯＰＰＰＳ教学模式的指导下，结合高等数学课程特点，按照ＢＯＰＰＰＳ模式六步教学法对高等数学课堂设计进行了尝试．设计强调以学生为中心、以问题为导向的探究式教学理念，注重学生深度参与．以“多元复合函数的求导法则”为例，在学习本小单元前，学生已经了解了一元复合函数求导的链式法则，掌握了

关于极限limn→∞11nn存在的三种证明方法

S T [S T] [S T] S T " 有没有其它方法证明 5 在U这里的问题是> P Q " S F RT 存在^ 本文给出三种不同的证明方法U
R R CD
" R 高等数学极限理论中都有重要极限 5 一般证法是O 将数列[ F YZ > Y P Q " \ R] R CD R R R R " 存 " " 递增且有上界从而证明极限按二项定理展开> 证明 " > F " F F 5 P Q " R CD R R R
( )
# 7 # # #
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#
< 证法三
容易证明引理 < 1)1)8)1 = 1181#
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3.1存在性定理

§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学内容：介绍和证明解的存在唯一性定理；近似解的求解以及误差估计。

教学目标：掌握解的存在唯一性定理及其证明方法----Picard 逼近法

问题的提出：我们在第二章介绍了一阶微分方程的几种解法，同时告诉我们大量的一阶微分方程不能用初等解法求其通解，而现实中所需要的恰恰是满足某种初值条件的解（包括数值形式的数值解），我们把主要精力集中在cauchy 问题

()00(,)

,,dy

f x y dx

x y ϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩

的求解上。与代数方程类似，对于不能用初等解法求解的微分方程，我们往往用数值方法求解（这是以后要学的计算方法的内容之一）。在用数值方法求解cauchy 问题之前我们必须要解决两个基本问题。

（1）cauchy 问题()00(,)

f x y dx x y ϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩

的解是否存在？如果解不存

在，要去求解就毫无意义。后面我们将给出cauchy 问题解存在的一般条件。

（2）若已知cauchy 问题的解存在，我们还必须进一步确认

这样的解是否唯一？由于解不唯一，却要近似的去求其解，其问题也不明确。

例如 22dy

x y dx

=+，形式简单，但不能用初等方法求解。例如考虑cauchy 问题

()00dy

y dx y ⎧'==⎪⎨⎪=⎩

的解的情况。易知0y =是方程的解。此外容易验证，2y x =或更一般地，函数

0,(),1x c y x c c x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩

都是方程的过点（0，0）而定义于区间[0,1]上的解，其中c 是满足01c <<上的任意数。解决问题的意义：

基于皮亚诺自然数第二公理的加法存在性教学讲评的研究

发布时间：2022-10-21T07:45:45.307Z 来源：《教育学》2022年8月总第293期作者：孙晓凤

[导读] 学生的疑问，就是身为老师努力的方向。本文就是以此为出发点，从皮亚诺自然数第二公理入手，使用线性代数中矩阵向量的思路结合泰勒级数，对加法之后产生等于结果进行放缩计算，得出一个比较精确的区间并取值，通过心理学和教育学的相应原理对教育教学工作进行总结和展望，研究顺利结题并形成本论文。

山东省莱西市南京路中学266600

摘要：学生的疑问，就是身为老师努力的方向。本文就是以此为出发点，从皮亚诺自然数第二公理入手，使用线性代数中矩阵向量的思路结合泰勒级数，对加法之后产生等于结果进行放缩计算，得出一个比较精确的区间并取值，通过心理学和教育学的相应原理对教育教学工作进行总结和展望，研究顺利结题并形成本论文。

关键词：皮亚诺自然数加法教学心理学

暑假里家访，有一位班里的同学问了一个问题，本来是很简单的未知数解方程，但是这位同学问我： t+ t+2t=8，t为什么等于？

我当时说，因为就是这样规定的啊，加减乘除都是这样的，前面的同类项提出， + +2= 。学生问我：为什么加起来是？我当时又气又笑，回家之后我深深地自责，为什么我不能给孩子们解释加法的存在？“打铁还需自身硬”，我们总是教育学生，其实我也总是像教育心理学里面讲的毛毛虫效应一样，把跟着前面的路线走的习惯称之为“跟随者”的习惯，把盲目跟从习惯和思维惯性而做出反应导致失败的结果，于是我这段时间阅读了很多论文，最后决定基于皮亚诺自然数第二公理对加法存在性教学讲评进行研究。

Pólya原理及其应用

华东师大二附中符文杰

Pólya原理是组合数学中，用来计算全部互异的组合状态的个数的一个十分高效、简便的工具。下面，我就向大家介绍一下什么是P ólya原理以及它的应用。请先看下面这道例题：

【例题1】

对2*2的方阵用黑白两种颜色涂色，问能得到多少种不同的图像？经过旋转使之吻合的两种方案，算是同一种方案。

【问题分析】

由于该问题规模很小，我们可以先把所有的涂色方案列举出来。

一个2*2的方阵的旋转方法一共有4种：旋转0度、旋转90度、旋转180度和旋转270度。(注：本文中默认旋转即为顺时针旋转) 我们经过尝试，发现其中互异的一共只有6种：C3、C4、C5、C6是可以通过旋转相互变化而得，算作同一种；C7、C8、C9、C10是同一种；C11、C12是同一种；C13、C14、C15、C16也是同一种；C1和C2

是各自独立的两种。于是，我们得到了下列6种不同的方案。

但是，一旦这个问题由2*2的方阵变成20*20甚至200*200的方阵，我们就不能再一一枚举了，利用Pólya原理成了一个很好的解题方法。在接触Pólya原理之前，首先简单介绍Pólya原理中要用到的一些概念。群：给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算，并满足:

(a) 封闭性：a ,b ∈G ,

c ∈G , a ＊b =c 。 (b) 结合律：a ,b ,c ∈G , (a ＊b )＊c=a ＊(b ＊c )。 (c) 单位元：e ∈G ,

a ∈G , a ＊e =e ＊a =a 。 (d) 逆元：a ∈G ,

Cauchy-Peano解的存在性定理的一种证明方法

所以 }(X) 一 Sb 有 }1
故 r :K - K 4
刀 hauder J P.Zur Theorie stedger Abbil舜 dungen in ,Math Zeit,1927,26.47- 65
来自百度文库
(1)
北京 :业京大学出版社， 2003. [31 时宝张，久徽分方论及，德存盖明 . 程理其 !M .北 : 国工业出社，应用 ] 京防版 2005.
假设、 EK ‘ ,nENJ, - X,n--)m 4 Q 于对是，任意的。o, 在 MEN， >M,IEI 当，时， (t)一o(t) Wx: 一oISe 有}x, T x
因此，在区间I 上一致收敛于xo从而由二。
C auchy-Picard 讨论了数 t, x)在R 若函 f i
(I)(，+ f( (s s, ( )e1K Xt 二〔 ))d t,x x . 。 s,x
引 (Schauder 不原到若K是Bmur h 理动点 r
空间 E 上的有界凸集，而 r : K -- K是全连续 >
o (1o 令” D 9 (T - S+Jf(s.x (s))* 二 )(t) 峥 , OW o
使得T = 9 , 即 p p
函数f(y x)是连续的够了 C 就足呢? auchy-Pearto

Peano定理

n ML n 1 |y ( x ) ( x ) | h n ( n 1 )!
定义3.2 （局部Lipschitz条件）设 f(x,y) 在平面区域 D上定义，若对D内任意点都存在该点的领域
R P D
使得在该领域上满足李氏条件，则称 f(x,y) 在 D上满足局部的李氏条件。
x 0
机动目录上页下页返回结束
假设 yn1 ( x) 连续且|x -x|≤h上满足 0
x x 0
|y ( x ) y b则由 n 1 0|
y ( x ) y t ,y ( t )) dt n 0 n 1 f(
yn ( x)
连续，进而
x x 0
| y ( x ) y | | f ( t , y ( t )) dt | M | x x | Mh b n 0 n 1 0
| f ( x , y ) f ( x , y ) | L | y y | 1 2 1 2
则称 f(x,y) 在平面区域 R上满足Lipschitz条件（简称李氏条件），L为李氏常数。
证明Cauchy-Piccard定理时需要一些准备工作。
引理（Gronwall不等式）设
( x ) 0 , 0 (x ), (x ) 在[a, b]上连续，
Cauchy-Piccard定理提供了如下三个信息：

Peano定理

2/2
Peano 存在性定理：初值问题：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
(*)
其中 y 是
n
中的向量，f 是实变量 x 和 n 维向量 y 的 n 维向量值函数，若 f ( x, y )

n
在开区域 G
满足下列条件：
1） f ( x, y ) 在 G 内连续； 2） f ( x, y ) 关于变量 y 满足局部 Lipschitz 条件，即对给定的点 P0 ( x0 , y0 ) G ，存在邻域：
|| Ty1 Ty2 ||C max || f ( x, y1 ( x)) d x f ( x, y2 ( x)) d x ||
|x x0 | h x0 x0 x x
max
|x x0 | h

x
x0
||f ( x, y1 ( x)) f ( x, y2 ( x )) || d x
(Ty )( x ) y0 f ( x, y ( x )) d x ， | x x0 | h
x0 x
则因为
1/2
|| Ty y0 || || f ( x, y ( x)) || d x M | x x0 |
x0
x
其中 M = max || f ( x, y ) || 。

peano核定理

Peano核定理是数学中的一种公理系统，用于描述自然数集合及其运算。它是由意大利数学家Giuseppe Peano于19世纪末提出的，被认为是数学史上的重要里程碑之一。

Peano核定理的核心思想是通过一组简单而清晰的公理来定义自然数集合及其基本运算。这些公理包括以下五条：

1. 0是一个自然数；

2. 每个自然数x都有一个后继数，记作S(x)；

3. 没有两个不同的自然数有相同的后继数；

4. 0不是任何自然数的后继数；

5. 如果一个性质P属于0,并且如果一个性质Q属于某个自然数x,则该性质Q也属于S(x),那么这个性质P就属于所有的自然数。

这些公理的含义可以解释如下：

第一条公理规定了0是自然数集合中的一个元素。

第二条公理定义了后继数的概念，即每个自然数都有一个“下一个”更大的自然数。这个后继数被定义为当前自然数与1的和。例如，1的后继数是2,2的后继数是3,依此类推。

第三条公理保证了没有两个不同的自然数具有相同的后继数。这意

味着自然数集合中的元素是离散的，没有重复的元素。

第四条公理排除了0作为任何自然数的后继数的可能性。这是因为如果我们将0视为任何自然数的后继数，那么就会出现矛盾的情况。例如，假设2是0的后继数，那么根据第二条公理，2的后继数应该是3。但是这与我们的假设相矛盾，因为如果我们将2视为0的后继数，那么3就应该是2的后继数而不是1的后继数。因此，第四条公理保证了自然数集合中的第一个元素是1而不是0。

第五条公理描述了归纳法的基本思想。它表明，如果一个性质属于0,并且如果一个性质属于某个自然数x,则该性质也属于S(x),那么这个性质就属于所有的自然数。这意味着我们可以通过对较小元素的观察来推断较大元素的性质。