1.1-1.2集合教案

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高中数学人教版必修1(教案与导学案)1_1_1-2集合的含义及其表示[来源：学优高考网148480]

1. 1.1 集合的含义及其表示方法（2）教案【教学目标】1、集合和元素的表示法；2、掌握一些常用的数集及其记法3、掌握集合两种表示法：列举法、描述法。

【教学重难点】集合的两种表示法：列举法和描述法。

【教学过程】一、导入新课复习提问：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题)我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合二、新课讲授（1）、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}由“maths 中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2） a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

（3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

学生自主完成P4 例题1（2）、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合。

例:不等式12x +<-的解集可以表示为：{|12}x R x ∈+<-或{|3,}x x x R <-∈“中国的直辖市”构成的集合，写成{x x 为中国的直辖市}； “方程x 2+5x-6=0的实数解” {x ∈R| x 2+5x-6=0}={-6，1}学生自主完成P5例题2三、例题讲解例题1.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x36∈Z ,x ∈Z }. 分析:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素,明确各个集合中的元素,写在大括号内即可提示学生注意:(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3-x 是6的约数,6的约数有±1, ±2, ±3, ±6.解: (1)满足题设条件小于5的正奇数有1,3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6,9,12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程x 2-9=0的解为-3,3,故用列举法表示为{-3,3};(4)15以内的质数有2,3,5,7,11,13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}(5)满足的x 有3-x=±1, ±2, ±3, ±6.解之,得x=2,4,1,5,0,6,-3,9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}变式训练1用列举法表示下列集合:(1)x 2-4的一次因式组成的集合;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R ,y ∈N };(3)方程x 2+6x+9=0的解集;(4){20以内的质数};(5){(x,y)|x 2+y 2=1,x ∈Z ,y ∈Z };(6){大于0小于3的整数};(7){x ∈R |x 2+5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y -2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.分析：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x 2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x 来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x 来表示,把不等式化为x<a 的形式,则这些实数的特征是满足x<a.解：(1)二次函数y=x 2上的点(x,y)的坐标满足y=x 2,则二次函数y=x 2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x 2};(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x ∈R ||x|>6};(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合; (7){1,3,5,7,…};(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.答案：(1)、{(x,y)|2x+y=5};(2)、{x|0≤x<10,x ∈Z };(3)、{(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};(4)、{x||x|>3};(5)、{(x,y)|xy<0};(6)、{(x,y)|⎩⎨⎧==+1y -x 1y x }; (7)、{x|x=2k-1,k ∈N *};(8)、{(x,y)|x ∈R ,y=0};(9)、{x|x=2k,k ∈N };(10)、{x|x=3k,k ∈Z }.四、课堂小结1．描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

集合及基本运算教案

集合及基本运算教案第一章：集合的概念1.1 集合的定义引入集合的概念，讲解集合的定义和性质。

举例说明集合的表示方法，如列举法和描述法。

1.2 集合的元素讲解集合中元素的特征，强调元素的唯一性和不可度量性。

通过实例解释集合中元素的关系，如属于和不属于。

1.3 集合的类型介绍常用集合的类型，如自然数集、整数集、实数集等。

讲解集合的分类方法，如无限集和有限集。

第二章：集合的运算2.1 集合的并集讲解集合的并集概念，即两个集合中所有元素的集合。

举例说明并集的表示方法和运算规则。

2.2 集合的交集讲解集合的交集概念，即两个集合中共有元素的集合。

举例说明交集的表示方法和运算规则。

2.3 集合的差集讲解集合的差集概念，即属于第一个集合但不属于第二个集合的元素的集合。

举例说明差集的表示方法和运算规则。

2.4 集合的补集讲解集合的补集概念，即在全集之外不属于给定集合的元素的集合。

举例说明补集的表示方法和运算规则。

第三章：集合的性质和运算规律3.1 集合的子集讲解集合的子集概念，即一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

举例说明子集的表示方法和运算规则。

3.2 集合的幂集讲解集合的幂集概念，即一个集合的所有可能的子集的集合。

举例说明幂集的表示方法和运算规则。

3.3 集合的德摩根定律讲解德摩根定律，包括德摩根第一定律和德摩根第二定律。

通过实例解释德摩根定律的应用和运算规律。

第四章：集合的排列和组合4.1 排列的概念讲解排列的概念，即从一组不同元素中取出几个元素按照一定的顺序排成一列。

举例说明排列的表示方法和运算规则。

4.2 组合的概念讲解组合的概念，即从一组不同元素中取出几个元素组成一个集合，不考虑元素的顺序。

举例说明组合的表示方法和运算规则。

4.3 排列和组合的公式讲解排列和组合的公式，如排列数公式和组合数公式。

通过实例解释排列和组合公式的应用和运算规律。

第五章：集合的应用5.1 集合在数学中的应用讲解集合在数学中的应用，如在代数、几何和概率论中的使用。

《1.1集合》教案

教学过程一、课堂导入有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答．一天，他看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门．数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这就是集合”．你能理解集合了吗？集合就是把需要的东西拿到一起．二、复习预习1．自然数的集合包含：零和；有理数的集合包含：整数和2．在平面上，到一个定点的距离等于定长的点的集合3．到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线段的二、知识讲解考点1 元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示A B或B A ∅⊆A∅B(B≠∅)四、例题精析【例题1】【题干】(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)[1，＋∞)(2)(－∞，1]【解析】(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，∴a－1≥0，即a≥1.(2)∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.【例题2】【题干】若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2,2)【解析】(1)若A＝∅，则Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2；(2)若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；(3)若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－52，此时A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)【例题3】【题干】已知全集U＝R，函数y＝1x2－4的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}【答案】C【解析】集合M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁U M＝[－2,2]，集合N＝(1,3)，所以∁U M∩N＝(1,2].【例题4】【题干】若x ∈A ，且11－x ∈A ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】当x ＝－2时，11－x＝13∉M ，故－2不是“和谐集”中的元素；当x ＝－1时，11－x＝12∈M ；当x ＝12时，11－x ＝2∈M ；当x ＝2时，11－x＝－1∈M .所以－1，12，2可以作为“和谐集”中的一组元素；当x ＝－12时，11－x ＝23∈M ；当x ＝23时，11－x ＝3∈M ；当x ＝3时，11－x＝－12∈M .所以－12，23，3可以作为“和谐集”中的一组元素；当x ＝0时，11－x ＝1∈M ，但x ＝1时，11－x 无意义，所以0,1不是“和谐集”中的元素．所以集合M 的子集为“和谐集”，其元素只能从两组元素：－1，12，2与－12，23，3中选取一组或两组，故“和谐集”有⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，23，3，－1，12，2，－12，23，3三个．五、课堂运用【基础】1．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：选B∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝{0,1,3,7,9}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{7,9}．2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝() A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3解析：选B由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝m或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素互异性知m≠1.3．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．【巩固】4．若1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________．解析：若a－3＝1，则a＝4，此时9a2－1＝a2＋1＝17不符合集合中元素的互异性；若9a2－1＝1，则a＝49，符合条件；若a2＋1＝1，则a＝0，此时9a2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a＝49.答案：4 95．(2013·合肥模拟)对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝m＋n2，当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝mn，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，a＋b2＝6⇒a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．(2)当a，b为一奇一偶时，ab＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．综上可知，集合A中的元素共有17个．答案：17【拔高】6．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为() A．{x|x>0}B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x<0}D．{x|x<－1}解析：选B依题意得集合A＝{x|－3<x<0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3<x<－1}．7．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}．(1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎨⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解，∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2.(2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }．∴a <0时成立，综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅. (3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a ＝3.课程小结1、在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下，集合的运算关系和包含关系之间可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅，在解题中运用这种转化能有效简化解题过程．2、解答集合题目应注意的问题(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．(3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.。

高中数学第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.2 集合的表示方法教案新人教B版必修

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1.2 集合的表示方法错误!教学分析教材借助实例给出了集合的表示方法——列举法和描述法,这是用集合语言表达数学对象所必需的基本知识．教学中要注意引导学生，通过实例，从观察分析集合的元素入手,选择合适的方法表示集合．注意引导学生区分两种表示集合的方法．学习集合语言最好的方法是运用．在教学中，要创造机会让学生运用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等．三维目标1．掌握集合的表示法—-列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合．2．能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：集合的表示法．教学难点：集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．课时安排1课时错误!推进新课错误!错误!①上节所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法？活动：①学生回顾所学的集合并作出总结．教师提示可以用字母或自然语言来表示．②教师可以举例帮助引导:例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}"内,即写出为{1，2，3,4,6,8，12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法．注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：｛1，2，3，…，100｝，自然数集N：｛0，1,2，3，4,…，n，…｝;区分a与｛a｝:｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序,相同的元素不能出现两次．又例如，不等式x－3＞2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示．可以表示为{x∈R|x－3＞2}或｛x|x－3＞2｝，这种表示集合的方法是描述法．③让学生思考总结已经学习了的集合表示法．讨论结果：①方法一（字母表示法）:大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形"组成的集合等等．②列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法．描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式,只需去掉竖线和元素代表符号，例如:所有直角三角形的集合可以表示为｛x｜x是直角三角形｝，也可以写成｛直角三角形}．③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法．错误!思路1例1用列举法表示下列集合:（1)A＝{x∈N|0＜x≤5}；(2)B＝｛x｜x2－5x＋6＝0}．解：（1)A＝{1,2，3，4,5}；(2)B＝{2，3}．点评：本题主要考查集合表示法中的列举法．通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容．如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常明显地表示出了集合中的元素，是常用的表示法．列举法表示集合的步骤:（1)用字母表示集合；（2）明确集合中的元素;(3）把集合中所有元素写在大括号“｛｝"内，并写成A＝｛……}的形式.例2用描述法表示下列集合：(1）｛－1,1};(2)大于3的全体偶数构成的集合；(3）在平面α内，线段AB的垂直平分线．解：（1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，即｜x|＝1.于是这个集合可以表示为{x｜|x｜＝1｝．(2)这个集合的一个特征性质可以描述为x＞3，且x＝2n,n∈N.于是这个集合可以表示为｛x|x＞3，且x＝2n，n∈N}．(3)设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面α内，则这个集合的特征性质可以描述为PA＝PB。

第一章集合论--教案(1)(1)[3页]

第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。

1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。

1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。

基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。

2）能判定元素与集合的属于关系。

3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。

4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。

6）理解集合的归纳法表示。

7）理解集合的对称差运算。

8）了解集合的递归指定法表示。

9）了解无限集的基本概念。

10）了解集合的简单应用。

能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。

二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。

教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。

解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。

初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。

三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。

从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。

集合的基本运算教案

集合的基本运算教案第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义引入集合的概念，解释集合是由明确的、相互区别的对象组成的整体。

通过实例讲解集合的表示方法，如列举法、描述法等。

1.2 集合的元素介绍集合中元素的性质，如确定性、互异性、无序性。

解释元素与集合之间的关系，明确元素属于或不属于一个集合。

1.3 集合的类型分类介绍集合的常见类型，如自然数集、整数集、实数集等。

讲解集合的子集概念，即一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

第二章：集合的运算2.1 集合的并集介绍并集的定义，即两个集合中所有元素的集合。

讲解并集的表示方法，如用符号“∪”表示。

举例说明并集的运算规则和性质。

2.2 集合的交集解释交集的定义，即两个集合共有的元素的集合。

展示交集的表示方法，如用符号“∩”表示。

分析交集的运算规则和性质。

2.3 集合的补集引入补集的概念，即在全集范围内不属于某个集合的元素的集合。

讲解补集的表示方法，如用符号“∁”表示。

探讨补集的运算规则和性质。

第三章：集合的运算规则3.1 集合的德摩根定理讲解德摩根定理的内容，包括德摩根律的两种形式。

分析德摩根定理在集合运算中的应用。

3.2 集合分配律介绍分配律的概念，即集合的并集和交集的运算规律。

解释分配律在集合运算中的重要性。

3.3 集合恒等律讲解集合恒等律，即集合的并集和交集与集合本身的关系。

探讨集合恒等律在集合运算中的应用。

第四章：集合的应用4.1 集合的划分介绍集合的划分概念，即把一个集合分成几个子集。

讲解集合划分的表示方法，如用符号“÷”表示。

举例说明集合划分的应用。

4.2 集合的包含关系解释集合的包含关系，即一个集合是否包含另一个集合的所有元素。

探讨集合包含关系的性质和运算规则。

4.3 集合在数学中的应用分析集合在数学领域中的应用，如几何、代数等。

通过实例讲解集合在其他学科领域的应用。

第五章：集合的练习题及解答5.1 集合的基本概念练习题及解答设计关于集合定义、元素、类型等基本概念的练习题。

中职数学基础模块上册(人教版)教案

中职数学基础模块上册(人教版)全套教案第一章：集合1.1 集合的概念【教学目标】1. 了解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 能够运用集合的概念解决实际问题。

【教学内容】1. 集合的定义及表示方法。

2. 集合的性质。

3. 集合之间的基本关系。

【教学重点】1. 集合的概念及表示方法。

2. 集合的性质。

【教学难点】1. 集合的表示方法。

2. 集合之间的基本关系。

【教学过程】1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生理解集合的概念。

2. 讲解集合的定义及表示方法，如列举法、描述法等。

3. 讲解集合的性质，如无序性、确定性、互异性。

4. 讲解集合之间的基本关系，如子集、真子集、并集、交集等。

5. 课堂练习：让学生运用集合的概念解决实际问题。

1.2 集合之间的关系【教学目标】1. 掌握集合之间的基本关系，如子集、真子集、并集、交集等。

2. 能够运用集合之间的关系解决实际问题。

【教学内容】1. 集合之间的子集、真子集关系。

2. 集合之间的并集、交集关系。

3. 集合的补集概念。

【教学重点】1. 集合之间的基本关系。

2. 集合的补集概念。

【教学难点】1. 集合之间的基本关系。

2. 集合的补集概念。

【教学过程】1. 复习上节课的内容，引导学生理解集合之间的关系。

2. 讲解集合之间的子集、真子集关系。

3. 讲解集合之间的并集、交集关系。

4. 讲解集合的补集概念。

5. 课堂练习：让学生运用集合之间的关系解决实际问题。

第二章：函数与方程2.1 函数的概念【教学目标】1. 了解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2. 能够运用函数的概念解决实际问题。

【教学内容】1. 函数的定义及表示方法。

2. 函数的性质。

【教学重点】1. 函数的概念及表示方法。

2. 函数的性质。

【教学难点】1. 函数的表示方法。

2. 函数的性质。

【教学过程】1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生理解函数的概念。

2. 讲解函数的定义及表示方法，如解析式、表格法等。

人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念全章教案

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）∈6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

1.1.1.2集合间的基本关系--高一上学期教案

课题:§1.1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；12；A⊆⊆且，则BBBAA=A=中的元素是一样的，因此B即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三）真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六）例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系；（七）课堂练习（八）归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；（九）作业布置1、书面作业：习题1.1 第5题2、提高作业：○1 已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围。

○2 设集合}{}{}{矩形平行四边形四边形===，C ，B A ，D，试用Venn图表示它们之间的关系。

}{正方形(十)、板书设计（略）。

1.1-1.2集合与映射函数

1.6
以下内容（了解即可）：双曲函数、反双曲函数双曲正弦双曲正切
e x - e- x sh x = , 2 sh x th x = , ch x
e x + e- x , 双曲余弦 ch x = 2
悬链线
y ch x
y sh x
y 1 x e 2
1
1 y ex 2
O
y = th x
X (数集或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数
1.2 函数
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R
一个规则 f，使得 1. 函数的定义设A 为非空实数集。若存在 x A, 存在唯一的 y R，按照规则 f 与 x 对应，则称 f 为定义在 A 上的函数，记为 y f ( x)，x A。其中，A 称为函数 f 的定义域。
)
(2) 反双曲余弦函数
双曲余弦函数
y = chx 是 (, ) 到 [1, )
上的映射, 但不是一一对应。
由
e x + e- x 解得 y = chx = 2
x ln y y 2 1 ,

)
y [1, )。
这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为双曲余弦的反函数。
注意：分段函数的定义域
几个特殊的分段Leabharlann 数(1) 符号函数（克朗涅哥函数）
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
D( f ) (,), R( f ) {1,0,1}
o -1
x
x sgn x x
(2) 最大取整函数 y=[x] : [x]表示不超过x的最大整数

人教版高中数学必修1第1章1.1.2 集合间的基本关系教案

1.1.2 集合间的基本关系教学目标分析：知识目标：1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

2、在具体情景中，了解空集的含义。

过程与方法：从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。

情感目标：通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。

重难点分析：重点：理解子集、真子集、集合相等等。

难点：子集、空集、集合间的关系及应用。

互动探究：一、课堂探究：1、情境引入——类比引入思考：实数有相等关系、大小关系，如55,57,53=<>，等等，类比实数之间的关系，可否拓展到集合之间的关系？任给两个集合，你能否发现每组的前后两个集合的相同元素或不同元素吗?这两个集合有什么关系？注意：这里可关系两个数学思想，分别是特殊到一般的思想，类比思想探究一、观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合；（3）设{|}={|}C x x D x x =是两条边相等的三角形，是等腰三角形。

可以发现，在（1）中，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素。

这时，我们就说集合A 与集合B 有包含关系。

（2）中集合A ,B 也有类似关系。

2、子集的概念：集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，记作B A ⊆或A B ⊇。

图示如下符号语言：任意x A ∈，都有x B ∈。

读作：A 包含于B ，或B 包含A.当集合A 不包含于集合B 时，记作：A B ⊄注意：强调子集的记法和读法；3、关于Venn 图：在数学中，我们经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.这样，上述集合A 与B 的包含关系可以用右图表示自然语言：集合A 是集合B 的子集集合语言（符号语言）：A B ⊆图像语言：上图所示Venn 图注意：强调自然语言、符号语言、图形语言三者之间的转化；探究二、对于第（3）个例子，我们已经知道集合C 是集合D 的子集，那么集合D 是集合C 的子集吗？思考：与实数中的结论“,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，你有什么体会？类比：实数：b a ≥且b a b a =⇒≤集合：B A ⊆且B A A B =⇒⊇4、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A B =。

中职数学基础模块上册(人教版)教案

中职数学基础模块上册(人教版)全套教案一、教案内容：第1章集合1.1 集合的概念教学目标：了解集合的概念，掌握集合的表示方法。

教学重点：集合的概念，集合的表示方法。

教学难点：理解集合的相等性和包含性。

教学准备：教材、黑板、粉笔。

教学过程：引入集合的概念，讲解集合的表示方法，举例说明。

1.2 集合的关系教学目标：了解集合之间的关系，掌握集合的并、交、补运算。

教学重点：集合之间的关系，集合的并、交、补运算。

教学难点：理解集合的运算法则。

教学准备：教材、黑板、粉笔。

教学过程：讲解集合之间的关系，举例说明并、交、补运算。

二、教案内容：第2章函数2.1 函数的概念教学目标：了解函数的概念，掌握函数的表示方法。

教学重点：函数的概念，函数的表示方法。

教学难点：理解函数的定义域和值域。

教学准备：教材、黑板、粉笔。

教学过程：引入函数的概念，讲解函数的表示方法，举例说明。

2.2 函数的性质教学目标：了解函数的性质，掌握函数的单调性、奇偶性、周期性。

教学重点：函数的性质，函数的单调性、奇偶性、周期性。

教学难点：理解函数的性质。

教学准备：教材、黑板、粉笔。

教学过程：讲解函数的性质，举例说明单调性、奇偶性、周期性。

三、教案内容：第3章实数与不等式3.1 实数的概念教学目标：了解实数的概念，掌握实数的分类。

教学重点：实数的概念，实数的分类。

教学难点：理解实数的性质。

教学准备：教材、黑板、粉笔。

教学过程：引入实数的概念，讲解实数的分类，举例说明。

3.2 不等式的解法教学目标：了解不等式的解法，掌握不等式的解法技巧。

教学重点：不等式的解法，不等式的解法技巧。

教学难点：理解不等式的解法。

教学准备：教材、黑板、粉笔。

教学过程：讲解不等式的解法，举例说明解法技巧。

四、教案内容：第4章平面几何4.1 点、线、面的关系教学目标：了解点、线、面的关系，掌握直线、平面的方程。

教学重点：点、线、面的关系，直线、平面的方程。

教学难点：理解点、线、面的关系。

1.1.2集合间的基本关系教案

1.1.2集合的基本关系一、[教学目标]1、知识与技能理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集、空集的定义，能够识别给定集合的子集。

同时培养学生类比、分析、归纳的能力，能使用Venn图表达集合的关系。

2、过程与方法通过类比元素与集合的从属关系，实数相等与不相等的关系，探究集合之间的包含与相等关系；初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。

3、情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识探索和发现的过程中，激发学生学习数学的兴趣。

二、[教学重点]理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集的概念，以及识别给定集合的子集，同时学会用Venn图表示集合间的关系。

三、[教学难点]识别给定集合的子集,了解子集和真子集之间的区别和联系。

四、[教学方法]1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。

教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。

2、学法新课程标准要求教师转换角色，不仅关注教授学生的具体知识，更应关注教授学生学习的策略。

在教学活动中要以学生为主体，充分发挥学生的在学习活动中的作用。

因此本节课学生学习的主要方式是：自主探究法，观察发现法、归纳总结法。

让学生在老师的引导下进行“观察—归纳—检验—应用”的学习过程，启发学生学习思维，最终掌握知识。

五、[教学过程]1、导入新课采用类比思想，元素与集合间有“属于”或“不属于”的关系，实数间有“相等”或“不相等”的关系，引导学生发现问题：集合与集合间有什么样的关系呢？学生观察例子，探究集合A与集合B之间的关系：A={x|x我们班的女同学}，B={x|x我们班的全体同学}2、讲授新课1）集合的包含关系和子集讲解通过讨论得出上述集合A与集合B有包含关系，那么你可以概括包含关系和子集的定义吗？教师提醒学生从集合元素的角度出发，根据集合元素的特征来进行归纳概括。

人教版高中数学必修1： 1.1.2集合间的基本关系教案

1.1.2集合间的基本关系教学设计（师）一、教学目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(2)理解子集.真子集的概念.(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2.过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用.二、教学重点.难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点：难点是属于关系与包含关系的区别．三、学法让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.四、教学过程：（一）复习回顾：（1）元素与集合之间的关系（2）集合的三性：确定性，互异性，无序性（3）集合的常用表示方法：列举法，描述法（4）常见的数集表示(二)创设情景，新课引入：问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。

而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.(三)师生互动，新课讲解：问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为我班第一组男生的全体组成的集合，B 为我班班第一组的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系: 归纳：①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B(或B 包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。

数学必修一：1-1-2集合课件

解之得 1≤a≤3，
②当 B＝∅时，2a>a＋3，解之得 a>3.
综合①②得 a≥1.
故应选 C.
答案 C
第二十五页，编辑于星期日：十一点三十分。
由于空集是任何非空集合的真子集，因此 B＝∅时也满足 B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，学生往往会在解题中遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
[错解] ∵B⊆A，∴2aa＋≥32≤6 ，解得 1≤a≤3，故选 A. 空集是任何集合的子集，忽视这一点，会导致漏解，
产生错误结论．对于形如{x|a<x<b}一类的集合，当 a≥b 时，它表示空集，解题中要引起注意．
第二十四页，编辑于星期日：十一点三十分。
[正解] ①当 B≠∅时，则有22aa≤ ≥a2＋，3， a＋3≤6，
第十七页，编辑于星期日：十一点三十分。
验证得，当 x＝0，y＝0 时， A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去． ∴x，y 的取值为xy＝＝01，或xy＝＝1412，.
第十八页，编辑于星期日：十一点三十分。
题型三根据集合间的包含关系求参数范围【例 3】 (12 分)已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m ＋1}，且 B⊆A，求实数 m 的取值范围．审题指导讨论集合B → 列不等式组 → 求m的取值范围 [规范解答] ∵B⊆A， (1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2.(4 分)
第五页，编辑于星期日：十一点三十分。
4．子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A . (2)对于集合 A，B，C，如果 A⊆B，且 B⊆C，那么 A⊆C .

1.1集合教学设计教案

1.1集合教学设计教案第一篇：1.1 集合教学设计教案教学准备1.教学目标l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2.过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3.情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.2.教学重点/难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.3.教学用具投影仪等4.标签数学，集合教学过程(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程(8)不等式的所有实数根；的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果如果是集合A的元素，就说不是集合A的元素，就说属于集合A，记作不属于集合A，记作..(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

教学设计3：1.1.2　集合的基本关系

1.1.2集合的基本关系教学目标1.理解子集、真子集的概念.2.理解集合相等并能用符号和Venn图表示集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．自主学习知识点一子集与真子集1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集A B或(B A)2.子集的性质(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(4)如果A B，B C，则A C.知识点二集合的相等定义符号语言图形语言(Venn 图)如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合BA＝B1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B，于是x具有性质p(x)⇒x 具有性质q(x)，即p(x)⇒q(x)．反之，如果p(x)⇒q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“⇒”是“推出”的意思．2．如果命题“p(x)⇒q(x)”和命题“q(x)⇒p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“⇔”表示，于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)⇔q(x)，显然，如果p(x)⇔q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)⇔q(x)．题型探究题型一集合间关系的判断例1设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P【答案】B【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.反思感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义．跟踪训练1我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R 表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为________．【答案】N Z Q R题型二求集合的子集例2(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．反思感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练2适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15 B．16C．31 D．32【答案】A【解析】这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．题型三子集关系的应用例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围. 解(1)当B≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. (2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. 综上可得，m 的取值范围是m ≤3. 延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是m <3. 2.若本例条件“BA ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围．解当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示． (2)涉及到“A ⊆B ”或“A B 且B ≠∅”的问题，一定要分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．跟踪训练3 已知A ＝{x ∈R |x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R |a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种．①当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a ≤2a －1成立，解得a >3；②当B ＝∅时，由a >2a －1，得a <1.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a <1或a >3}．由集合间的关系求参数典例已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围．解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．[素养评析] (1)集合A 的子集可分三类：∅、A 本身、A 的非空真子集，解题中易忽略∅. (2)根据运算对象，探究运算思路、选择运算方法，求得运算结果是数学运算的核心素养. 1.集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N }的真子集的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16 【答案】B【解析】可知A ＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}. 共有23－1＝7(个).2.设集合M ＝{x |x ＞－2}，则下列选项正确的是( ) A.{0}⊆M B.{0}∈M C.∅∈M D.0⊆M 【答案】A【解析】选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的V enn 图是( )【答案】C【解析】M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴NM .4.已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 【答案】－1【解析】∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1. 5.已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________.【答案】{a |a ≤14}【解析】∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}.∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅.即x 2－x ＋a ＝0有实根.∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A 、B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集，有2n －2个非空真子集.。

高中数学第一章1.1.2集合的基本关系教学设计2新人教B版必修第一册

1.1.2集合的基本关系课本从学生最为熟悉的班级所有同学组成的集合出发，引入集合间的关系，形成子集、真子集相等概念表述．在学习此内容时要注意两点，一是学习时注意顺序性，按子集、真子集、集合相等顺序逐一探究、尝试、发现、理解；二是把握维恩图的“出场”时机，体会其丰富的数学内涵。

在没有谈及真子集前，用维恩图表述是不完整的，还可能有相等，这里会引起纠缠不清的问题。

教学目标：1. 理解集合之间包含与相等的含义；2. 能识别给定集合的子集；3. 能判断给定集合间的关系.核心素养：1.数学抽象：依据具体实例从集合的元素的角度分析集合间的关系，抽象出子集、真子集等概念；2.逻辑推理：通过子集、真子集的定义理解相关性质及集合相等概念；3.直观想象：使用Venn图合理表达集合间的关系；4.数学运算：给定集合子集个数运算及推广。

1.教学重点：理解集合间包含与相等的含义．2.教学难点：包含关系的判断与证明．（空集与任意集合的关系）.探究问题一如果一个班级中，所有同学组成的集合记为,而所有女同学组成的集合记为.1.你觉得集合和之间有怎样的关系？2.你能从什么样的角度把他们的关系分析得更清楚？3.刚入学你可能对我们班的全部同学还没有熟悉，是否考虑从简单的数学问题把类似关系说清楚呢？给定两个集合,，它们之间有什么区别于联系呢？（1）集合中的元素个数有差异；（2）集合的元素都是集合的元素.针对上述（2），我们可以举出很多相同类型的例子,也能判断探究问题中集合的任意一个元素都是集合的元素。

1.子集一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.（1）记作 (或);（2）读作“包含于”（或“包含”）；（3）不是的子集，记作 (或).尝试与发现尝试(1)根据子集的定义判断，如果，那么吗？根据子集的定义，；发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即成立.尝试（2）：是的子集吗？根据子集的定义，是的子集.发现(2)：成立尝试（3）:你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？因为空集不包含任何元素，不会出现“内有元素不在集合”的可能，因此，这里的也可以是空集.发现(3)：空集是任意一个集合的子集.体会这两个词出现在此处有没有意义：请君入瓮、孙猴子跳不出如来佛的手心.探究问题二对于探究问题一中的集合，，如果中有男同学，还成立吗？2.真子集一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，（1）记作（或）；（2）读作“真包含于”（或“真包含”） .尝试与发现尝试(1)：分析集合,之间的关系。

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