江西省白鹭洲中学2011届上学期高三年级9月月考数学试卷(理科)

- 1 -江西省白鹭洲中学2011届上学期高三年级9月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．） 1.若集合{}2,M y y x x Z ==∈，3119x N x Rx ⎧-⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则M N 的真子集 的个数是 （ ）A.7B.8C.15D.162.函数20.5(231)y log x x =-+的单调递减区间是 （ ）A ．3[,4-∞B ．3[,)4+∞C ．1(,2-∞D ．(1,)+∞3.直线t ty tx (221⎩⎨⎧+=+=为参数）被圆922=+y x 截得的弦长为 ( )A ．512B ．5512 C ．559D ．10594．记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b ct b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的 ( )A,充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件5.设A={}5,4,3,2,1，B={}8,7,6,从集合A 到集合B 的映射中，满足)5()4()3()2()1(f f f f f ≤≤≤≤的映射有 （ ）A.27个B.9个C.21个D.12个 6. 与方程x y =2表示同一条曲线的参数方程（t 为参数）是 （ ）（A ） t y t x sin sin 2== （B ） 2t y t x == （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t x tan 2cos 12cos 1 (D) t y t x == 7.已知正整数b a ,满足304=+b a ，使得ba 11+取最小值时，=+b a （ ） A.１５ B.１６ C.１２ D.９8.若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ） A. 9 B.10 C.9- D.10-9.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是- 2 -（ ）A B C D10.设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=xa 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 （ ） A. (]3,1 B. []3,2 C.(]2,1D. [)+∞,311.若x >1，则函数y =x +x 1+1162+x x 的最小值为 ( ) A ．16 B.8 C.4 D.非上述情况12.()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '->，对任意的正数a b 、，若a b >，则必有 （ ）A ．()()af a bf b < B ．()()af b bf a < C ．()()bf a af b < D ．()()bf b af a <二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡上的相应位置．） 13.设, a b R ∈ ，若225a b +=，求2a b +的最大值为：_______。

14.在极坐标系中，过点,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4s i nρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15.已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为_______，直线0012x xy y +=与椭圆C 的公共点个数_____。

16. 设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列命题：⑴)(x f 有最小值； ⑵当0=a 时，)(x f 的值域为R ；- 3 -⑶当0>a 时，)(x f 在区间[)∞+，2上有单调性；⑷若)(x f 在区间[)∞+，2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a .则其中正确的命题是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知集合[]{}0)13()2(<+--=a x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=0)1(22a x ax x B ①当2=a 时，求B A②求使A B ⊆的实数a 的取值范围。

18．（本小题满分12分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n =，其中N 的各位数中，161n n ==，k n （k =2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记654321n n n n n n X +++++=，当该计算机程序运行一次时，求随机变量X 的分布列和数学期望．- 4 -E1B 1A 1CA如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2,BC BB ==0190BCC ∠=，AB ⊥侧面11BB C C（1）求直线C 1B 与底面ABC 所成角的正弦值；（2）在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 1EA EB ⊥(要求说明理由).（3）在（2）的条件下，若AB =11A EB A --的大小．20．（本小题满分12分）在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列 (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；- 5 -已知函数)1()1ln()(+-+=x a x x x f ，其中a 为实常数。

（1）当[)+∞∈,1x 时，0)(>'x f 恒成立，求a 的取值范围； （2）求函数xaxx f x g +-'=1)()(的单调区间。

22．（本小题满分14分）已知曲线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积； （Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线W 的准线相切，求直线BC 的方程.- 6 -（理科）数学试卷 答案13. 5 14.2cos =θρ 15. )22,2[ 0 16. ②③ 17．解：①当2=a 时，)7,2(=A )5,4(=B )5,4(=∴B A②)1,2(2+=a a B 当31<a 时，)2,13(+=a A 要使A B ⊆，则⎩⎨⎧≤++≥211322a a a ，1-=∴a当31=a 时，φ=A ,使A B ⊆的a 不存在 当31>a 时，)13,2(+=a A 要使A B ⊆，则⎩⎨⎧+≤+≥131222a a a ，31≤≤∴a∴综上所述，[]{}13,1-∈ a18. 解：X 的可能取值是2，3，4，5，6． ∵161n n ==，∴()442162C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ ()444116C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴ξ的分布列为 ∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19.解：如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，1(1,2,0)C ，1(0,2,0)B- 7 -(1)直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 的法向量1(0,2,0)BB = ，又1(1,2,0)BC =，设1BC ABC θ与平面所成角为，则11sin cos ,BB BC θ=<>= （2）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则1(1,2,0)EB y =-- ，(1,,)EA y z =--1EA EB ⊥ ，∴11(2)0EA EB y y ⋅=--=1y ∴=，即(1,1,0)E 1E CC ∴为的中点（3）∵A ，则1(1,2),(1,1,0)A EB E ==-，设平面1AEB 的法向量n 111(,,)x y z =， 则⎧⎨⎩n n 100⋅=⋅=AE B E 1111100x y x y ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，取n (1,1=， ∵(1,1,0)=BE ，1110BE B E ⋅=-= ∴1BE B E ⊥，又11BE A B ⊥11BE A B E ∴⊥平面，∴平面11A B E 的法向量1,1,0BE = （），∴cos ,n BE =2BE n BE n=， ∴二面角11A EB A --为45°.20. 技巧与方法 求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，2为公差的等差数列，进而求得通项公式解 ∵a n ,S n ,S n －21成等比数列， ∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得 a 3=－152同理可得 a 4=－352,由此可推出 a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1(1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立- 8 -故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立 21. 解：（1）由题意知：01)1ln()(>-+++='a xxx x f则,1)1ln(xxx a +++< 2分令2)1(111)(,1)1ln()(x x x h x x x x h +++='+++=[)0)(,,1>'∴+∞∈x h x即)(x h 在[1，+∞）上单调递增,2ln 21)1(+=<∴h aa ∴的取值范围是).2ln 21,(+-∞（2）由（1）知),1(,1)1()1ln()(+∞-∈-+-++=x a xxa x x g则22)1(2)1(111)(x ax x a x x g +-+=+-++=' ①当1>a ，)2,1(--∈a x 时，)(,0)(x g x g <'在)2,1(--a 上单调递减，),2()(,0)(,),2(+∞->'+∞-∈a x g x g a x 在时上单调递增②当),1()(,0)(,1+∞->'≤在时x g x g a 上单调递增- 9 -综上所述，当)(,1x g a 时>的增区间为)2,1(),,2(--+∞-a a 减区间为当),1()(,1+∞-≤的增区间为时x g a22.解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上， 所以 14a =，即14a =.……………….2分故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. (3)分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分 所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰……………….6分223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -， 所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+,同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=,……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以241(1)k+--=,由于0k>，解得k=…………….13分此时，点B的坐标为2,3-，点C的坐标为(2,3-+，直线BC1 =-，所以，BC的方程为(3[2)]y x--=--，即10x y+-=. …….14分- 10 。