高考文科数学复习资料：复数 Word版含解析

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高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新,word版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ，即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2008年四川高考文科数学word版含答案详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文史类）及详解详析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4} ，则C U （A ∩B ）=（A ）{2，3} （B ） {1，4，5} （C ）{4，5} （D ）{1，5} 2、函数1ln(21),()2y x x =+>-的反函数是（A ）11()2x y e x R =- ∈ （B ）21()x y e x R =- ∈ （C ） 1(1()2x y e x R =- ) ∈ （D ）21()xy e x R =- ∈3、设平面向量(3,5(2,1)a b = ) ,=-，则2a b -=（A ）（7，3）（B ）（7，7）（C ）（1，7）（D ）（1，3） 4、(tanx+cotx)cos 2x=（A ）tanx （B ）sinx （C ）cosx （D ）cotx 5、不等式2||2x x -<的解集为（A ）（－1，2）（B ）（－1，1）（C ）（－2，1）（D ）（－2，2） 6、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（A ）1133y x =-+ （B ）113y x =-+ （C ）33y x =- （D ）31y x =+7、△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边边长分别是a b c 、、，若a =，A=2B ，则cosB=（A ）（B （C （D8、设M 是球O 的半径OP 的中点，分别过M 、O 作垂直于OP 的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为（A ）14（B ）12（C ）23（D ）349、定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13,(1)2,f x f x f •+==则(99)f =（A ）13 （B ） 2 （C ）132（D ）21310、设直线l α⊂平面，过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角的直线有且只有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条11、已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212PF F F =，则△PF 1F 2 的面积等于（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为（A（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2023年高考数学(文科)一轮复习——复数

第4节复数考试要求 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位). (2)分类：项目满足条件(a ，b 为实数) 复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ→.3.复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0).(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1.i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2.(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2.4.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小.2.(2021·全国Ⅱ卷)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解 2－i1－3i ＝（2－i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝5＋5i 10＝1＋i2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，该点在第一象限. 3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z ＝2－i ，则z (z －＋i)＝( ) A.6－2i B.4－2i C.6＋2iD.4＋2i答案 C解析因为z ＝2－i ，所以z (z －＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝6＋2i ，故选C. 4.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A.－1－32i B.－1＋32i C.－32＋iD.－32－i答案 B解析 z ＝3＋2i（1－i ）2＝3＋2i －2i＝3i －22＝－1＋32i. 5.(易错题)已知复数z 1满足(2－i)z 1＝6＋2i ，z 1与z 2＝m －2n i(m ，n ∈R )互为共轭复数，则z 1的虚部为________，m ＋n ＝________. 答案 2 3解析由(2－i)z 1＝6＋2i ，得z 1＝6＋2i 2－i ＝（6＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝10＋10i 5＝2＋2i ，则z 2＝2－2i ，则m ＝2，n ＝1，所以m ＋n ＝3.6.如图所示，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1＝________.答案－15－25i解析由题图得z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 2z 1＝i－2－i ＝i （－2＋i ）（－2－i ）（－2＋i ）＝－2i －15＝－15－25i.考点一复数的相关概念1.(2021·浙江卷)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a ＝( ) A.－1 B.1 C.－3 D.3答案 C解析因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，即a ＝－3.故选C.2.(2021·全国乙卷)设2(z ＋z －)＋3(z －z －)＝4＋6i ，则z ＝( ) A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i答案 C解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，代入2(z ＋z －)＋3(z －z －)＝4＋6i ，可得4a ＋6b i ＝4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.故选C.3.(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( )A.1z 对应的点在第一象限 B.|z |<|z ＋1| C.z 的虚部为iD.z ＋z －<0 答案 D解析 ∵z ＝－1＋i ，∴1z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－i 2.则1z 对应的点在第三象限，故A 错误； |z |＝2，|z ＋1|＝1，故B 错误； z 的虚部为1，故C 错误； z ＋z －＝－2<0，故D 正确.感悟提升 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 分别是它的实部和虚部.若z 为实数，则虚部b ＝0，与实部a 无关；若z 为虚数，则虚部b ≠0，与实部a 无关；若z 为纯虚数，当且仅当a ＝0且b ≠0.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.3.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z －＝a －b i ，则z ·z －＝|z |2＝|z －|2，即|z |＝|z －|＝z ·z －，若z ∈R ，则z －＝z .利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题. 考点二复数的几何意义例1 (1)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝1(2)(2022·渭南质检)已知a1－i＝－1＋b i ，其中a ，b 是实数，则复数a －b i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 (1)C (2)B解析 (1)由已知条件，可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). ∵|z －i|＝1，∴|x ＋y i －i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. (2)由a 1－i＝－1＋b i ，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.感悟提升 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 训练1 (1)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________.答案 (1)D (2)－45解析 (1)由图知OZ→＝(1，－1)，∴z ＝1－i ，∴z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋i.(2)z 1＝2－i 2＋i＝（2－i ）2（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－35，y 0＋45. 又向量AB→与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45. 考点三复数的四则运算例2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4iD.3＋4i (2)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( ) A.1B.－1C.iD.－i答案 (1)C (2)D解析 (1)法一(转化为复数除法运算)因为i z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i i ＝（4＋3i ）（－i ）i （－i ）＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.故选C. 法二(利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i.故选C.法三(巧用同乘技巧)因为i z＝4＋3i，所以i z·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3－4i，故选C.(2)法一2－i1＋2i＝（2－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝2－2－5i5＝－i.法二利用i2＝－1进行替换，则2－i1＋2i＝－2×（－1）－i1＋2i＝－2i2－i1＋2i＝－i（1＋2i）1＋2i＝－i，选D.感悟提升 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)－b＋a i＝i(a＋b i)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).训练2 (1)(1＋2i)(2＋i)＝()A.－5iB.5iC.－5D.5(2)(2022·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2＋2z－1等于()A.2＋2iB.2－2iC.2iD.－2i答案(1)B(2)B解析(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.(2)z2＋2z－1＝（1＋i）2＋21＋i－1＝2＋2ii＝（2＋2i）（－i）－i2＝2－2i.1.(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2答案 C解析因为a －1＋(a －2)i 是实数，所以a －2＝0，所以a ＝2.2.设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限.3.(2022·昆明诊断)在复平面内，复数z ＝1＋i 的共轭复数对应的向量OZ′→为答案 C解析由题意，得z －＝1－i ，其在复平面内对应的点为(1，－1)，所以OZ ′→＝(1，－1).故选C.4.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，zi ＋1是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A.a ＋b ＝0B.a －b ＝0C.a －2b ＝0D.a ＋2b ＝0答案 B解析因为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z1＋i ＝a ＋b i 1＋i ＝（a ＋b i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋b ＋（b －a ）i2∈R ，所以b －a ＝0，即a －b ＝0.故选B.5.如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A.0B.2＋iC.－2－iD.－1＋2i答案 C解析由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ，∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i. 6.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A.－1－32i B.－1＋32i C.－32＋iD.－32－i答案 B 解析 z ＝3＋2i（1－i ）2＝3＋2i－2i ＝（3＋2i ）i－2i·i＝3i －22＝－1＋32i.故选B.7.(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( ) A.－3 B.－2C.2D.3答案 B 解析 a ＋|3－4i|2＋i＝a ＋5（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝a ＋2－i 为纯虚数.则a ＋2＝0，解得a＝－2.8.已知i 是虚数单位，若z －1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 021，则|z |＝( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 C解析 1i ＝－i i （－i ）＝－i ，1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 021＝(－i)2 021＝(－i)505×4＋1＝－i ，所以由z －1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 021，得z ＋i ＝－i ，z ＝－2i ，所以|z |＝2.故选C.9.i 是虚数单位，复数8－i 2＋i ＝________. 答案 3－2i解析依题意得8－i 2＋i ＝（8－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－10i 5＝3－2i. 10.已知复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案 5解析由z ＝1－2i ，得|z |＝12＋（－2）2＝ 5. 11.(2022·江西省八校联考)已知复数z 满足(z ＋i)i ＝2－3i ，则|z |＝________. 答案 3 2解析因为(z ＋i)i ＝2－3i ，所以z i －1＝2－3i ，所以z i ＝3－3i ，所以z ＝3－3i i ＝－3－3i ，所以|z |＝3 2.12.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为________. 答案－2＋i解析因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.13.(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z －，且|z |＝z －＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为|z |＝z －＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y ＋2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，此点位于第四象限. 14.(2022·合肥质检)设复数z 满足|z －1|＝|z －i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A.y ＝－xB.y ＝xC.(x －1)2＋(y －1)2＝1D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1答案 B解析 z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又|z －1|＝|z －i|，所以(x －1)2＋y 2＝x 2＋(y －1)2，所以y ＝x .故选B.15.已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________.答案 3解析因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 16.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________. 答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，所以集合{f (n )}中共有3个元素.。

高考文科数学总复习知识点

高考文科数学总复习知识点高三文科数学总复集合：集合的元素具有确定性、互异性和无序性特征。

常用的数集包括自然数集（或非负整数集）记为N，正整数集记为N或N+，整数集记为Z，实数集记为R，有理数集记为Q。

集合还有重要的等价关系，即A∩B=A当且仅当A∪B=B当且仅当A是B的子集。

一个由n个元素组成的集合有2个不同的子集，其中有2n-1个非空子集，也有2n-1个真子集。

函数：函数单调性的证明可以通过取值、作差、变形、定号和得出结论等步骤完成。

常用的结论包括：若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数；增+增=增，减+减=减；复合函数的单调性是“同增异减”；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

函数的奇偶性定义为f(-x)=f(x)时为偶函数，f(-x)=-f(x)时为奇函数。

需要注意的是，函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0.基本初等函数：指数函数的一般形式为x=a^n，其中n>1且n为自然数。

负数没有偶次方根，任何次方根都是正数，当n是奇数时，a^n=a，当n是偶数时，a^n=|a|。

对数的定义为若a=N，则b=log_a N，其中a为对数的底数，b为以a为底的N的对数，N为真数。

需要注意的是，负数和零没有对数，log_a 1=0且log_a a=1（a>0且a≠1）。

对数的运算法则包括log_a (MN)=log_a M+log_a N，log_a (M/N)=log_a M-log_a N，log_a M^n=nlog_a M，换底公式为log_a b=log_c b/log_c a。

指数函数和对数函数是互逆的，即a^log_a N=N。

b=(a。

a≠1,c。

c≠1,b>)，利用换底公式推导以下结论：logc a = 1n(1) loga bn = loga b (2) loga b = logb am改写为：假设b=(a。

历年高考文科数学真题汇编+答案解析(1)：集合、复数、框图、简单逻辑、推理、平面向量、不等式与线性规划

A. {0}
B. {1}
【解析】∵ A {x | x 1} ，∴ A B {1,2} .
C. {1, 2}
D. {0,1, 2}
【答案】C
7（2017 全国 I 卷文 1）已知集合 A= x|x 2 ，B=x|3 2x 0 ，则
A.
A
B=
x|x
3
2
B. A B
C.
A
B
x|x
a
|
0、| b
|
0
.
5π
D.
6
∵
(a
b)
b
，∴
(a
b)
b
a
b
|
b
|2
0
，即
a
b
|
b
|2
.
设
a
与b
之间的夹角为
，则
cos
|
aa||bb
|
|
|b |2 a || b
|
| |
ba
| |
，∵ |
a
|
2|
b
| ，∴
cos
1 2
.
∵ 0 π ，∴ π . 3
【答案】B 3.（2019 全国 II 卷文 3）已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a－b|=
【解析】 (1 i)(2 i) 3 i .
C. 3 i D. 3 i
【答案】D 7.（2017 全国 I 卷文 3）下列各式的运算结果为纯虚数的是
A. i(1 i)2
B. i2 (1 i)
C. (1 i)2
D. i(1 i)
【解析】A： i(1 i)2 i 2i 2 ，B： i2 (1 i) (1 i) i 1，

专题02 复数-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)

专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==．故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2BCD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确；当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz= A ．1 B ．1- C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i【答案】C 【详解】试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=11 A．B ．2 CD ．1 【答案】C 【详解】因为211i i=-+,所以21i =+,故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。

2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：7.3算法初步、复数、推理与证明 Word版含解析

复数运算问题的解题思路『对接训练』．A＝2＋1A．A＝1＋1 2A执行下边的程序框图，如果输入的)本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理．(1)求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，『对接训练』本题主要考查程序框图，考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．s＝2×13×1－2＝2；k，跳出循环．输出的s＝2.]如图所示的程序框图的功能是＋…－119的值＋…＋119的值＋…＋121的值＋…＋121的值，S＝0；S＝1，合情推理的解题思路『对接训练』，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，；第二次执行循环体后，，S ＝34，i ＝4>3，退出循环．所以输出执行程序框图，得K ＝1，S ＝0；S ＝，K ＝3；S ＝lg 3＋lg 3＋…；S ＝lg 98＋lg 98＋198)或 3D．－1或 3模拟执行程序框图，可得S＝0，k16；k＝8，S＝12＋14时应不满足条件，退出循环，输出S的值为25答案：C11．[2019·重庆云阳联考]甲、乙两人均知道丙从集合A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}中取出了一个数对，设其为P点坐标，丙告诉了甲P点的横坐标，告诉了乙P点的纵坐标，然后甲先说：“我无法确定点P的坐标”，乙听后接着说：“我本来也无法确定点P的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点P 的坐标为()A．(3,4) B．(3,5)C．(5,2) D．(5,5)解析：∵横坐标为1或2或4的点唯一，甲知道横坐标但不能确定点P，∴横坐标不是1或2或4.乙得知甲不能确定点P，乙可确定点P横坐标不是1或2或4，若乙知道点P纵坐标为3或4或5，则它们分别对应两个坐标，无法确定P点坐标，只有乙知道P点纵坐标为2时，才能确定P点坐标为(5,2)，故选C.答案：C12．[2019·东北三省四校一模]执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1－a2＝()A．2 B．1C．0 D．－1解析：当输入x的值为4时，不满足b2>x，但是满足x能被b整除，输出a＝0＝a1；当输入x的值为5时，不满足b2>x，也不满足x 能被b整除，故b＝3；满足b2>x，故输出a＝1＝a2.则a1－a2＝－1，故选D.答案：D13．[2019·广西南宁摸底]用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b中至少有一个能被11整除．”那么反设的内容是________．解析：用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b本题主要考查算法流程图，考查考生的读图能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．，S＝12，不满足条件；，不满足条件；x＝4，S＝北京朝阳区模拟]观察下列各式：，S4＝4，…，则S16＝________.解析：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1个全行(第1行除外)的数都为1的是第2行，第2个全行的数都为1的是第4行，第3个全行的数都为1的是第8行……由此可知全是奇数的行出现在行数为2n时，故第n个全行的数都为1的是第2n行，24＝16，则第16行全部为1，则S16＝16.答案：16。

2023年高考数学(四川卷)(文科)(word版+答案)全解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到8页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。

不能答在试卷卷上。

3．本卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24RS π=如果事件A 、B 相互独立,那么其中R 表示球地半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是P,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率其中R 表示球地半径kn k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4} ,则C U （A ∩B ）=（A ）{2,3} （B ） {1,4,5} （C ）{4,5} （D ）{1,5}2、函数1ln(21),()2y x x =+>-地反函数是（A ）11()2x y e x R =- ∈ （B ）21()x y e x R =- ∈ （C ） 1(1()2xy e x R =- ) ∈ （D ）21()xy e x R =- ∈3、设平面向量(3,5(2,1)a b = ) ,=- ,则2a b -=（A ）（7,3）（B ）（7,7）（C ）（1,7）（D ）（1,3）4、(tanx+cotx)cos 2x=（A ）tanx （B ）sinx （C ）cosx （D ）cotx 5、不等式2||2x x -<地解集为（A ）（－1,2）（B ）（－1,1）（C ）（－2,1）（D ）（－2,2）6、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到地直线为（A ）1133y x =-+ （B ）113y x =-+ （C ）33y x =- （D ）31y x =+7、△ABC 地三个内角A 、B 、C 地对边边长分别是a b c 、、 ,若a =,A=2B,则cosB=（A ）（B （C （D学校班级姓名考号/密///////////封/////////////线/////////////内/////////////不/////////////要/////////////答/////////////题///////8、设M 是球O 地半径OP 地中点,分别过M 、O 作垂直于OP 地平面,截球面得到两个圆,则这两个圆地面积比值为（A ）14（B ）12（C ）23（D ）349、定义在R 上地函数()f x 满足:()(2)13,(1)2,f x f x f ∙+==则(99)f =（A ）13 （B ） 2 （C ）132（D ）21310、设直线l α⊂平面,过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角地直线有且只有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条11、已知双曲线22:1916x y C -=地左右焦点分别为F 1、F 2 ,P 为C 地右支上一点,且||||212PF F F =,则△PF 1F 2 地面积等于（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612、若三棱柱地一个侧面是边长为2地正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°地菱形,则该棱柱地体积为（A（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题　共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

(完整版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)

函数【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法：③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域；⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）求函数解析式的题型有：1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；3）已知函数图像，求函数解析式；4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．1 （4）证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -，判断正负号②用导数证明：若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，)x A ∈（⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数（5）求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法（6）复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数；②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集（7）一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增；在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或，上是单调递减【1.3.2】奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 函数周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x) ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) xy =→直线y=f -1(x);⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a ->，则()m f q = ①若02b x a -≤，则()M f q = ②02bx a ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2bq a ->，则()M f q =①若02bx a -≤，则()m f q = ②02bx a ->，则()m f =．>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x >O -=f(p)f (q) ()2bf a -x>O -=f(p)f (q) ()2bf a -0x x >O -=f (p) f (q) ()2b f a -0x x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -x <O -=f (p) f(q) ()2bf a -x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -0xx <O -=f(p) f (q)()2bf a -x<O-=f(p) f (q)()2bfa -0x第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2020年高考真题——数学(文)(全国卷Ⅰ)+Word版含解析【KS5U+高考】

绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x | x2- 3x - 4 < 0}, B = {-4,1, 3, 5}，则A B =（）A. {-4,1}B. {1, 5}C. {3, 5}D. {1, 3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由x2- 3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1, 3, 5}，所以A B ={1, 3}，故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若z =1 + 2i + i3，则|z | = （）A. 0B. 1212 +12 2 b 2- a2 4b 2 b CD. 2【答案】C【解析】【分析】先根据i 2 = -1将 z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为 z = 1+2i + i 3 = 1+2i - i = 1+ i ，所以 z = = ．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．1. 胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.5 -1 4B.5 -1 2C.5 +1 4D.5 +1 2【答案】D【解析】【分析】设CD = a , PE = b ，利用 PO 2 = 1CD ⋅ PE 得到关于a , b 的方程，解方程即可得到答案.2CD = a , PE = b【详解】如图，设，则 PO=由题意 PO 2= 1 ab ，即b 2- a 2 =1 4( ) -2 ⋅ -1 = 0 ，化简得，ab 24 2aaPE 2 - OE 2解得b=1 + 5 （负值舍去）.a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.为正方形ABCD 的中心，在O，A，B，C，D 中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（）1 2A. B.5 514C. D.25【答案】A【解析】【分析】列出从5 个点选3 个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O,A,B,C,D 5 个点中任取3 个有{O, A, B},{O, A, C},{O, A, D},{O, B, C}{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}{A,C, D},{B,C, D} 共10 种不同取法，3 点共线只有{A,O, C} 与{B,O, D} 共2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为2= 1 .故选：A10 5【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.3. 一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：°C ）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i , y i )(i = 1, 2,, 20) 得到下面的散点图：由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx 2C. y = a + b e xD. y = a + b ln x【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是y =a +b ln x .故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.4.圆x2+y2- 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与点(1, 2) 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2- 6x = 0 化为(x - 3)2+y2= 9 ，所以圆心C 坐标为C(3, 0) ，半径为3 ，设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为= 2 = 2 .故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.5.数f (x) = cos(ωx +π) 在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）610π7πA. B.96 4π3πC. D.32【答案】C9- | CP |29 -8+= -【解析】【分析】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫ ，即可得到cos ⎛ - 4π ⋅ω + π ⎫ = 0 ，结合⎛ - 4π ,0⎫是 9 ⎪ 9 6 ⎪ 9 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到- 4π⋅ω + π = - π ，即可求得ω = 3， 9 6 2 2再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫，9 ⎪ ⎝ ⎭将它代入函数 f (x ) 可得： cos ⎛ - 4π⋅ω + π ⎫ = 0 9 6 ⎪ ⎝ ⎭又⎛ - 4π ,0⎫是函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 9 ⎪ ⎝ ⎭所以-4π ⋅ω ππ，解得：ω = 39622T =2π = 2π = 4π所以函数 f (x ) 的最小正周期为故选：Cω 3 32【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.6. l og 3 4 = 2 ，则4- a= （）1 1 1 1 A.B.C.D.16986【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log 3 4a= 2 ，即 4a = 9 ，进而求得4-a = 1，得到结果.9【详解】由a log 3 4 = 2 可得log 3 4a= 2 ，所以4a = 9 ，所以有4-a = 1，9故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 7. 下面的程序框图，则输出的n =（）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+ 3 + 5 + + n > 100 的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1+ 3 + 5 ++ n > 100 的最小正奇数，因为1+ 3 + 5 += 1 (n +1)2 4> 100 ，解得n > 19 ，所以输出的n =21．故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．8.n } 是等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 = 1 ，a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则a 6 + a 7 + a 8 = （）A. 12B. 24C. 30D. 32(1+ n )⨯⎛ n -1 +1⎫⎪ + n =⎝ 2 2 ⎭1 2 1 2 1 2 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a + a + a = q 5(a + a + a ) 可求得结果.678123【详解】设等比数列{a } 的公比为q ，则a + a + a = a (1+ q + q 2)= 1 ， a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2) = q = 2 ，因此， a + a + a = a q 5 + a q 6 + a q 7 = a q 5 (1+ q + q 2 )= q 5 = 32 .故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．F , F2y 2 | OP |= 29. 2 是双曲线C : x-= 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且，3则△PF 1F 2 的面积为（）A.725 B. 3C.2D. 2【答案】B【解析】【分析】由是以 P 为直角直角三角形得到| PF |2 + | PF|2= 16 ，再利用双曲线的定义得到| PF | - | PF | = 2 ，联立即可得到| PF || PF| ，代入 S △= 1 | PF || PF |中计算即可.1212F 1F 2 P 21 2【详解】由已知，不妨设 F 1(-2, 0), F 2 (2, 0) ，则 a = 1, c = 2 ，因为| OP |= 1 = 1| F F | ，21 2所以点 P 在以 F 1F 2 为直径的圆上，即 F 1F 2 P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，故| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 ，121 2即| PF |2+ | PF |2 = 16 ，又 | PF | - | PF | = 2a = 2 ，F 1F 2 P3 3 1 2 1 2 所以4 = | PF 1 | - | PF 2 | 2= | PF |2 + | PF |2-2 | PF|| PF |= 16 - 2 | PF 1 || PF 2 | ，解得| PF || PF |= 6 ，所以 S △= 1 | PF || PF|= 3 12故选：BF 1F 2 P 21 2【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10. , B , C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为4π ，AB = BC = AC = OO 1 ，则球O 的表面积为（） A. 64π B. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 1 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆O 1 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，得π r 2 = 4π ,∴r = 2 ，由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 ，∴OO 1 = AB = 2 ，根据圆截面性质OO 1 ⊥ 平面 ABC ，∴OO ⊥ O A , R = OA === 4 ，1 1∴球O 的表面积 S = 4π R 2 = 64π .故选：AOO 2 + O A 2 1 1 OO 2 + r 2 1⎨⎩⎩ 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧2x + y - 2 ≤ 0,11. y 满足约束条件⎪x - y -1 ≥ 0, 则z =x +7y 的最大值为 .⎪ y +1 ≥ 0,【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 z = x + 7 y 即： y = - 1 x + 1z ，77其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：⎧2x + y - 2 = 0 ，可得点 A 的坐标为： A (1, 0)，⎨x - y -1 = 0据此可知目标函数的最大值为： z max = 1+ 7 ⨯ 0 = 1 . 故答案：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.x 12. a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4) ，若a ⊥ b ，则m =.【答案】5【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a ⊥ b 可得a ⋅ b = 0 ，又因为a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4)，所以a ⋅ b = 1⋅(m +1) + (-1) ⋅ (2m - 4) = 0 ，即 m = 5 ，故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.13. = ln x + x +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 .【答案】 y = 2x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(x 0 , y 0 ) ，对函数求导，利用 y ' |x = 2 ，求出 x 0 ，代入曲线方程求出 y 0 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为( x , y ), y = ln x + x + 1, y ' = 1+ 1 ，y ' |=1 + 1 = 2, x = 1, y 0 0x= 2，所以切点坐标为(1, 2) ，x = x 00 0所求的切线方程为 y - 2 = 2(x -1) ，即 y = 2x . 故答案为： y = 2x .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. a } 满足a+ (-1)n a = 3n -1，前 16 项和为 540，则a =.nn +2n1【答案】7n +2 n 【解析】【分析】对 n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a 1 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 1 方程，求解即可得出结论.【详解】a + (-1)n a = 3n -1，当 n 为奇数时， a n +2 = a n + 3n - 1 ；当n 为偶数时， a n +2 + a n = 3n - 1 . 设数列{a n } 的前n 项和为 S n ，S 16 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 += a 1 + a 3 + a 5= a 1 + (a 1 + 2) + (a 1 + 10) + (a 1 + 24) + (a 1 + 44) + (a 1 + 70)+(a 1 + 102) + (a 1 + 140) + (5 + 17 + 29 + 41)= 8a 1 + 392 + 92 = 8a 1 + 484 = 540 ，∴a 1 = 7 .故答案为： 7 .【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.15. 受了一项加工业务，加工出来产品(单位：件)按标准分为 A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 + a 16+ a 15 + (a 2 + a 4 ) +(a 14 + a 16 )等级ABCD乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28 ；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．40【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为= 0.4 ，乙厂加工出10028= 0.28 ；来的一件产品为A 级品的概率为100（2）甲分厂加工100 件产品的总利润为40⨯(90 - 25)+ 20⨯(50 - 25)+ 20⨯(20 - 25)- 20⨯(50 + 25)= 1500 元，所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为15 元每件；乙分厂加工100 件产品的总利润为28⨯(90 - 20)+17 ⨯(50 - 20)+ 34⨯(20 - 20)- 21⨯(50 + 20)= 1000 元，所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为10 元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出3 A + C = 决策，属于基础题．16. 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 B =150°.（1）若 a = c ，b =2 ，求 ABC 的面积；（2）若 sin A +【答案】（1） sin C =2 ，求 C .2；（2）15︒ .【解析】【分析】（1）已知角 B 和b 边，结合 a , c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出 a , c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 A = 30︒ - C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得b 2 = 28 = a 2 + c 2 - 2ac ⋅ cos150︒ = 7c 2 ，∴c = 2, a = 2 3,∴△ABC 的面积S = 1ac sin B = ； 2（2） 30︒ ，∴sin A + 3 sin C = sin(30︒ - C ) + 3 sin C= 1 cos C + 3 sin C = sin(C + 30︒) =2， 2 2 20︒ < C < 30︒,∴30︒ < C + 30︒ < 60︒ ， ∴C + 30︒ = 45︒,∴C = 15︒ .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.17. D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO上一点，∠APC =90°．3 7 3 33 3= 3（1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAC ；（2）设 DO =，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）6 .8【解析】【分析】（1）根据已知可得 PA = PB = PC ，进而有△PAC ≅ △PBC ，可得∠APC = ∠BPC = 90，即PB ⊥ PC ，从而证得 PC ⊥ 平面 PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 ABC 边长，在等腰直角三角形 APC 中求出 AP ，在 Rt APO 中，求出 PO ，即可求出结论.【详解】（1） Q D 为圆锥顶点， O 为底面圆心，∴OD ⊥ 平面 ABC ，P 在 DO 上， OA = OB = OC ,∴ PA = PB = PC ，ABC 是圆内接正三角形，∴ AC = BC ， △PAC ≅ △PBC ，∴∠APC = ∠BPC = 90︒ ，即PB ⊥ PC , PA ⊥ PC ， PA PB = P ,∴ PC ⊥ 平面 PAB , PC ⊂ 平面 PAC ，∴平面 PAB ⊥ 平面 PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为π rl =3π , rl = ，OD 2 = l 2 - r 2 = 2 ，解得r = 1, l = ， AC = 2r sin 60 ，在等腰直角三角形 APC 中， AP =2 AC =6 ，22在 Rt PAO 中， PO ==2 ，22 AP 2 - OA 26 - 1 4∴三棱锥 P - ABC 的体积为V= 1PO ⋅ S= 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 3 = 6 . P - ABC 3 △ABC3 24 8【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18. 数 f (x ) = e x - a (x + 2) .（1）当a = 1 时，讨论 f (x ) 的单调性；（2）若 f (x ) 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）(1, +∞) . e 【解析】【分析】（1）将a = 1 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x- a (x + 2) = 0 有两个解，将其转化为a = ex x + 2有两个解，令h (x ) = e xx + 2(x ≠ -2) ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当a = 1 时， f (x ) = e x - (x + 2) ， f ' (x ) = ex -1，令f ' (x ) < 0 ，解得 x < 0 ，令 f ' (x ) > 0 ，解得 x > 0 ，所以 f (x ) 的减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x - a (x + 2) = 0 有两个解，1+2从方程可知， x = 2 不成立，即a = e x x + 2有两个解，ex'e x (x + 2) - e x e x (x +1) 令 h (x ) =(x ≠ -2) ，则有h (x ) =x + 2(x + 2)2=(x + 2)2，令 h ' (x ) > 0，解得 x > -1 ，令h ' (x ) < 0 ，解得 x < -2 或-2 < x < -1 ，所以函数h (x ) 在(-∞, -2) 和(-2, -1) 上单调递减，在(-1, +∞) 上单调递增，且当 x < -2 时， h (x ) < 0 ，而 x → -2+ 时， h (x ) → +∞ ，当 x → +∞时， h (x ) → +∞ ，所以当a =e x x + 2有两个解时，有a > h (-1) = 1 ，e所以满足条件的a 的取值范围是： ( , +∞) .e【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 y = e x 和直线 y = a ( x + 2) 有两个交点，利用过点(-2, 0) 的曲线 y = e x 的切线斜率，结合图形求得结果.19. 、B 分别为椭圆 E ：x 2a 2y= 1（a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.x 2 2【答案】（1）+ y 9= 1；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1) ，即可求得 AG ⋅ G B = a 2 -1 ，结合已知即可求得： a 2 = 9 ，问题得解.AG ⋅ G B = a 2 x 0 ⎝ ⎭y （2）设 P (6, y 0 ) ，可得直线 AP 的方程为： y = y(x + 3) ，联立直线 AP 的方程与椭圆方 9⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ 程即可求得点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ ，同理可得点D 的坐标为 y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2 - 3 -2 y ⎫ 0 , 0 ⎪ ，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得： y 2 +1 y 2 +1⎝ 0 0 y =4 y 0⎭⎛ x - 3 ⎫，命题得证. 3(3 - y 2 )2 ⎪【详解】（1）依据题意作出如下图象：2由椭圆方程 E : + a2 y 2 = 1(a > 1) 可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1)∴ AG = (a ,1) ， GB = (a , -1)∴ -1 = 8 ，∴ a 2 = 9∴ x 2 2椭圆方程为： + y = 19（2）证明：设 P (6, y 0 ) ，则直线 AP 的方程为： y =y 0 - 0 6 - (-3) ( x + 3) ，即： y = y 0 ( x + 3) 9 ⎧ x 2+ 2 = ⎪ 9联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： ⎨ y ，整理得： ⎪ y = 0 ( x + 3)⎪⎩9 1-3y 2 + 27 0 0 0 0⎝ 0 0 0 0 6 (3 - y )0 ⎩ 0 ⎭ ⎝ 2 0 ⎭ ( y 2 + 9) x 2 + 6 y 2 x + 9 y 2 - 81 = 0 ，解得： x = -3 或 x = 0-3y 2 + 27 y6 y 0y 2 + 9将x =代入直线y = 0 ( x + 3) 可得： y = 2y 2+ 99⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ y 0 + 9所以点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ .y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2- 3 -2 y ⎫ 同理可得：点 D 的坐标为 0 , 0 ⎪ y 2 +1 y 2 +1 ⎝ 0 0 ⎭6 y 0 - ⎛ -2 y 0 ⎫ ⎛ -2 y ⎫y 2 + 9 y 2 +1 ⎪ ⎛ 3y 2 - 3 ⎫ ∴直线CD 的方程为： y - 0 ⎪ = 0 ⎝ 0 ⎭ x - 0 ⎪ ， ⎝ y 2 +1 ⎭ -3y 2 + 27 3y 2- 3 - y 2 +1 ⎭ y 2 + 9 y 2 +12 y 8 y (y 2+ 3)⎛ 03y 2 - 3 ⎫ 8 y⎛ 3y 2 - 3 ⎫ 整理可得： y + 0= y 2 +1 0 0 6 (9 - y 4)x - ⎝ y 2 +1 ⎪ = 0 x - 0 y 2 +1 ⎪ 整理得： y =4 y 0 x + 2 y 0= 4 y 0 ⎛ x - 3 ⎫ 3(3 - y 2) y 2 - 3 3(3 - y 2 )2 ⎪ 00 故直线CD 过定点⎛ 3 ,0 ⎫ 0 ⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎝ ⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共 10 分。

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第34讲复数的概念与运算含答案

第34讲复数的概念与运算1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋b i 的数叫做复数，其中 a 为实部， b 为虚部，i 是虚数单位，且满足i 2＝－1 ，全体复数组成的集合C 叫做复数集 .(2)复数的分类：(3)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0 (a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )与复平面上的点 Z (a ，b ) 及平面向量OZ →＝ (a ，b ) 是一一对应关系．(3)复数的模：对应复数z 的向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|. |z |＝|a ＋b i|＝ a 2＋b 2 .3．共轭复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，用 z 表示． (2)代数形式：a ＋b i 与a －b i 互为共轭复数(a ，b ∈R )，即z ＝a ＋b i ⇔z ＝ a －b i .(3)几何意义：非零复数z 1，z 2互为共轭复数⇔它们的对应点Z 1，Z 2(或向量OZ 1→，OZ 2→)关于实轴对称． 4．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．(2)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义复数z 1－z 2是以连接OZ 1→，OZ 2→的终点所对应的向量，并指向被减数z 1所对应的点Z 1 所对应的复数． ③复平面内的两点间的距离公式d ＝ |z 1－z 2| .其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为点Z 1与Z 2的距离．热身练习1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限实部为－2，虚部为1的复数在复平面上对应点的坐标为(－2,1)，位于第二象限． 2．(2018·长春二模) 已知复数z ＝m 2－3m ＋m i(m ∈R )为纯虚数，则m ＝(B) A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．4由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m ≠0，所以m ＝3.3．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝(C) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2i D ．3－2i由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i.4．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于(C) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限因为z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，所以复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限．5．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2对应的点分别为P 1，P 2，则P 2P 1→对应的复数为(B) A ．－8＋6i B ．8－6i C ．8＋6i D ．－2－2iP 2P 1→＝OP 1→－OP 2→对应的复数为z 1－z 2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝8－6i.复数的概念下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i; p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，因为|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，所以p 1是假命题；因为z 2＝(－1－i)2＝2i ，所以p 2是真命题；因为z －＝－1＋i ，所以p 3是假命题；因为z 的虚部为－1，所以p 4是真命题．所以其中的真命题共有2个：p 2，p 4.C(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算．(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a ＋b i 的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理．1．(1)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝(A) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3(2)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于(D) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i(1)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由条件z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2，得2a ＝2,2b i·i ＝2，所以a ＝1，b ＝－1.所以z ＝1－i.复数的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2 D ．i(1＋i)(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12C ．1 D. 2(1)A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数． (2)因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，所以|z |＝1.(1)C (2)C(1)复数的四则运算的解题策略：①复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． ②复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化． (2)几个常用结论在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度． ①(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.②i(a ＋b i)＝－b ＋a i.③i 2＝－1，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.2．(1)(2017·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝ 5 ，ab ＝ 2 . (2)(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝ 4－i .(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.(2)6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(6＋14)－5i 12－(2i )2＝20－5i5＝4－i.复数的几何意义(1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝ A ．－5 B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(2)已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，如图，则： ①AO →表示的复数为___________________； ②CA →表示的复数为___________________；③B 点对应的复数为__________________．(1)z 1＝2＋i 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，所以z 2对应的点为(－2,1)，所以z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. (2)①AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即B 点对应的复数为1＋6i.(1)A (2)①－3－2i ②5－2i ③1＋6i(1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义．(2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则)．在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同．3．(1)(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知平行四边形ABCD 中，顶点A ，B 分别与复数1－2i,3＋2i 对应，向量AC →对应的复数为－2＋6i ，则： ①向量AD →对应的复数为－4＋2i ； ②顶点D 对应的复数为－3 .(1)11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i 2，对应点位于第四象限．(2)根据题意，画出示意图：①因为AD →＝BC →＝AC →－AB →，所以AD →对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为OD →－OA →＝AD →，所以OD →＝OA →＋AD →，所以D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.1．把复数问题转化为实数问题来解决是处理复数问题的一种重要方法，利用两复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的重要途径．但要注意：在两个复数相等的充要条件中，前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d ，若忽略条件，则不能成立．因此，在解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )及向量OZ →是一一对应的．但要注意： (1)复平面上虚轴含有原点；(2)AB →与OZ →模相等且方向相同，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O 时，此时向量才与它的终点表示同一复数．3．复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i 2换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．4．运算的基本要求是准确、迅速、熟练、简捷、合理，也就是说，要在正确的前提下要求计算快捷．为此，要熟练掌握复数的运算法则，并注意i 的性质运用．在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度．①(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.②i(a ＋b i)＝－b ＋a i.③i 2＝－1，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.。

高三复读文科数学知识点

高三复读文科数学知识点高三复读是很多学子为了提高自己的录取分数而选择的一种方式。

对于文科生来说，数学作为一门必修课程，是高中阶段考试不可忽视的一部分。

下面，我们就来回顾一下高三复读文科数学知识点，为广大复读学子提供一些参考和帮助。

1. 数列与数列极限数列是数学的一个重要概念，它是按照一定的顺序排列的数的集合。

在数列中，有一类特殊的数列被称为等差数列，即数列中任意两个相邻项的差恒为一个常数。

另外，还有等比数列、斐波那契数列等。

除了理解数列的基本概念外，我们还要熟悉数列的极限概念和相关计算方法。

2. 函数与函数极限函数是数学中常见的一种数学结构，它描述了一种或多种数之间的依赖关系。

函数极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的趋势。

对于函数极限的计算，我们需要掌握函数的性质，如连续性、可导性等。

3. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

微分是导数的一种形式，它描述了函数在某一点处的局部线性近似。

对于导数与微分的计算，我们需要掌握基本的求导公式和求导法则，并熟悉导数与函数的几何意义。

4. 矩阵与行列式矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由若干数按一定规律排列成的矩形阵列。

行列式是矩阵的一个特殊指标，它描述了矩阵的某些性质。

在高三复读过程中，我们需要掌握矩阵的基本运算法则，熟悉行列式的计算方法，并理解矩阵与行列式的几何意义。

5. 不定积分与定积分积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的累积变化情况。

不定积分是积分的一种形式，它描述了函数在某一点处的原函数值。

定积分是积分的另一种形式，它描述了函数在一个闭区间上的累积变化情况。

在高三复读过程中，我们需要熟悉不定积分和定积分的计算方法，并理解积分与函数的几何意义。

以上是高三复读文科数学知识点的一些简单介绍。

在复读的过程中，我们不仅要熟练掌握这些基础知识，更要深入理解其背后的原理和思想。

在学习的过程中，我们应该注重理论知识的学习，同时结合实际问题进行思考和解决，以提高对知识的理解和运用能力。

2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第十二章

§12.4 复数1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )题组二教材改编2．[P106B 组T1]设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1，z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ， ∴|z |＝|i|＝1.3．[P112A 组T2]在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．[P116A 组T2]若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 答案 A解析 (a ＋b i)3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋(b i)3＝a 3－3ab 2＋(3a 2b －b 3)i.∵(a ＋b i)3是实数，∴3a 2b －b 3＝0，∴3a 2＝b 2.6．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0， ∴θ为第二象限角，故选B.7．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________.答案 1解析原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一复数的概念1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0，故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.2．(2017·武邑中学期末)设i 是虚数单位，复数a ＋i 2－i是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 答案 B解析 ∵a ＋i 2－i＝(a ＋i )(2＋i )5＝(2a －1)＋(a ＋2)i 5是纯虚数，∴2a －1＝0且a ＋2≠0，∴a ＝12，故选B.3．(2017·河南六市联考)如果复数2－b i 1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.答案－23解析由2－b i 1＋2i＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i 5，得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23. 4．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝___________________________. 答案 2i解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4，因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2，又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算典例 (1)(2018·长春质检)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i答案 A解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)，即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.(2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 B解析因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得(3)(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案 10解析方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.命题点2 复数的除法运算典例 (1)(2017·全国Ⅱ)3＋i1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.(2)(2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 C解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i(1－i )2＝________.答案－1解析 1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i－2i＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1.命题点3 复数的综合运算典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于() A.12 B.22 C. 2 D ．2答案 C解析方法一由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C.(2)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i 答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. (3)(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．跟踪训练 (1)(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i＝1－i i ＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D解析由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i＝－1－i ，故选D. (3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________. 答案22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i 解析－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017 ＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i) ＝22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i.题型三复数的几何意义典例 (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 B 解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B. (2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案 D解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(3)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于() A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.2．(2018·太原模拟)复数1－i2－i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析复数1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝35－15i ，∴其对应的点为⎝⎛⎭⎫35，－15，在第四象限，故选D.3．(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2.∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2，∴a ＝±1.故选A.4．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4 答案 A解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A.5．(2017·河北省三市联考)若复数z ＝a ＋3i i＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )A ．－4B ．－3C ．1D ．2答案 A解析因为z ＝a ＋3i i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0，－a >0，解得a <－3，故选A.6．(2018·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.7．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5 ＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2. 8．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i.得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2. 解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．若复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，3]解析由复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，得1＋a 2≤4，即a 2≤3，可得a ∈[－3，3]．11．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 答案 3解析 3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2 ＝12[(3－b )＋(3＋b )i ] ＝3－b 2＋3＋b 2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3. ∴a ＋b ＝3. 12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答案 3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2 ＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.13．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则a b的值为________．答案 2解析因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 14．(2017·山东实验中学诊断)在复平面内，复数21－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．答案 22解析因为21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以复数21－i 对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为|1－1＋1|12＋(－1)2＝22. 15．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．答案 1解析由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， ∴λ＋μ＝1.16．(2018·广州质检)已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．17．若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案 5解析 ∵a ，b ∈R ，且a 1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.18．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.答案 3解析复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3.19．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合{f (n )}中共有3个元素．20．(2018·济南调研)若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题02复数文(含解析)

专题02复数历年考题细目表单选题2011复数的四则运算2011年新课标1文科02单选题2010复数的四则运算2010年新课标1文科03历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科01】设z，则|z｜＝（)A．2 B．C．D．1【解答】解：由z，得｜z|＝|｜．故选：C．2．【2018年新课标1文科02】设z2i，则｜z｜＝（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，则｜z|＝1．故选：C．3．【2017年新课标1文科03】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i)【解答】解：A．i（1+i)2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．(1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．4．【2016年新课标1文科02】设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解:（1+2i)（a+i）＝a﹣2+（2a+1)i的实部与虚部相等，可得：a﹣2＝2a+1,解得a＝﹣3．故选：A．5．【2015年新课标1文科03】已知复数z满足(z﹣1)i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【解答】解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1，∴z＝2﹣i．故选：C．6．【2014年新课标1文科03】设z i，则|z|＝( ）A．B．C．D．2【解答】解：z i i．故|z|．故选：B．7．【2013年新课标1文科02】（)A．﹣1i B．﹣1i C．1i D．1i【解答】解：1i．故选:B．8．【2012年新课标1文科02】复数z的共轭复数是（) A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解:复数z1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．9．【2011年新课标1文科02】复数（)A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【解答】解：2+i故选：C．10．【2010年新课标1文科03】已知复数Z，则|z|＝（) A．B．C．1 D．2【解答】解：化简得Z •••,故|z ｜，故选：B ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念（复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳。

2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第六章第2讲等差数列及其前n项和Word版含答案

第 2 讲等差数列及其前n 项和一、知识梳理1．等差数列与等差中项(1)定义：①文字语言：一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言： a n ＋ 1－ a n ＝ d(n ∈ N ＋， d 为常数 )．(2)等差中项：若三个数 a ， A ， b 构成等差数列，则 A 叫做 a ， b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式： a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ．(2)前 n 项和公式： S n ＝ na 1＋n （ n － 1）d ＝ n （a ＋ a）．1n223．等差数列的性质已知数列 { a n } 是等差数列， n项和． S 是其前 n(1)通项公式的推行： a n ＝a m ＋ (n － m)d(n ， m ∈ N ＋ )．(2)若 k ＋ l ＝ m ＋ n(k ， l ， m ，n ∈ N )，则 a ＋ a ＝ a ＋a ．＋k lmn(3)若 { a } 的公差为 d ，则 { a2n } 也是等差数列，公差为 2d ．n(4)若 { b n } 是等差数列，则 { pa n ＋ qb n } 也是等差数列． (5)数列 S ， S －S ， S － S 构成等差数列．m2mm3m2m常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差 d ≠ 0 时，等差数列的通项公式 a n ＝ a 1＋ (n －1)d ＝dn ＋ a 1－ d 是关于 n 的一次函数，且一次项系数为公差 d.若公差 d ＞ 0，则为递加数列，若公差 d ＜ 0，则为递减数列．(2)前 n 项和：当公差 d ≠ 0 时， S n ＝ na 1＋ n （ n －1）d2＋1d2d ＝2na － 2 n 是对于 n 的二次函数且常数项为 0.2．两个常用结论(1)对于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为 2n ，则 S 偶－ S 奇＝ nd ，S奇＝a n；S 偶 a n ＋1②若项数为 2n － 1，则 S 偶＝ (n － 1)a n奇n奇偶nS 奇＝ n，S＝ na ， S－ S＝ a ，S 偶n － 1(2)两个等差数列 { a n } ， { b n } 的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系为S 2n－1＝a n.T 2n －n1 b二、教材衍化1．已知等差数列－ 8，－ 3， 2， 7，，则该数列的第10 项为．答案： 372．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝ 12， S 5＝ 90，则等差数列 { a n } 的公差 d＝．答案： 33．某剧场有 20 排座位，后一排比前一排多2 个座位，最后一排有 60 个座位，则剧场总合的座位数为．分析：设第 n 排的座位数为 a n (n ∈ N ＋ )，数列 { a n } 为等差数列，其公差 d ＝ 2，则 a n ＝ a 1＋ ( n － 1)d ＝ a 1＋ 2(n － 1)．由已知 a 20＝ 60，得 60＝ a 1＋ 2× (20－ 1)，解得 a 1＝ 22，则剧场总共的座位数为 20（ a 1＋ a 20）＝20× （ 22＋60）＝ 820.2 2答案： 820一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×” )(1) 若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ()(2)已知数列 { a } 的通项公式是 a ＝pn ＋ q(此中 p ，q 为常数 )，则数列 { an } 必定是等差数nn列． ( )(3) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数． ()(4)数列 { a } 为等差数列的充要条件是对随意n ∈N ，都有 2a＝a ＋a.()n＋n ＋ 1nn ＋ 2(5) 等差数列 { a n } 的单一性是由公差 d 决定的． ()(6)等差数列的前 n 项和公式是常数项为0 的二次函数． ()答案： (1)×(2) √ (3) × (4)√ (5)√(6) ×二、易错纠偏常有误区 (1)等差数列观点中的两个易误点，即同一个常数与常数；(2)错用公式致误；(3)错用性质致误．1．已知数列 { a } 中， a ＝ 1，a ＝a＋2(n ≥2) ，则数列 { a } 的前 9 项和等于．n1nn －1 1 n分析：由 a 1＝ 1， a n ＝ a n11 的等差数列，－1＋ (n ≥ 2)，可知数列 { a n } 是首项为 1，公差为22故 S 9 ＝ 9a 19×（9－ 1）× 1＝ 9＋ 18＝ 27.＋ 22答案： 272．记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 4＋ a 5＝ 24，S 6 ＝48，则 { a n } 的公差为．a 1＋ 3d ＋ a 1＋ 4d ＝ 24， 1a ＝－ 2，分析：由已知得 15 解得d ＝4，所以数列 { a n } 的公差为 4.6a ＋ 6× 2d ＝48，答案： 43．在等差数列 { a n } 中，若 a 3＋ a 4＋ a 5＋ a 6＋a 7＝450，则 a 2 ＋a 8＝．分析：由等差数列的性质，得 a 34567552＋＋ a ＋a ＋a ＋a ＝ 5a ＝ 450，所以 a ＝ 90，所以 a a 8＝ 2a 5＝180.答案： 180等差数列的基本运算 (师生共研 )(1)(2020 福·州市质量检测 )已知数列 { a n }中， a 3 ＝ 2， a 71 为等差数列，则 a 9 )＝ 1.若数列 a n ＝ ( 15 A. 2 B.44 4C.5D ．－ 5(2)(2019 高·考全国卷 Ⅰ )记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，已知 S 4＝0，a 5＝ 5，则 () A ． a n ＝ 2n － 5B ． a n ＝ 3n － 10n2D ． S n1 2－2n－ 8n2n C ．S ＝ 2n＝【分析】(1) 因为数列 1 为等差数列，a 3＝ 2， a 7＝ 1，an1 1 1 所以数列1的公差 d ＝ a 7－ a 3 ＝ 1－ 2＝ 1，所以 1 ＝ 1 ＋ (9－ 7)×1＝ 5，所以 a 9 ＝4，故a n7－3 7－3 8 a 9 a 7 8 45 选 C.(2)法一：设等差数列 { a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，S 4＝ 0， 14× 3 0， a 1＝－ 3，所以 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ＝－ 3＋ 2(n －因为 5所以 4a ＋ 2 d ＝解得 d ＝ 2，a ＝ 5， a 1＋ 4d ＝ 5，1)＝ 2n －n 1 n （ n －1）d ＝ n 2－ 4n.应选 A.5， S ＝ na ＋ 2法二：设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 S 4＝ 0，所以 14× 3 0，解得 a 1＝－ 3， 54a ＋ 2 d ＝ d ＝ 2.a ＝ 5， a 1＋ 4d ＝ 5，选项 A ， a 1＝ 2× 1－ 5＝－ 3；选项 B ， a 1＝ 3× 1－ 10＝－ 7，清除 B ；选项 C ， S 1＝ 2－ 8＝－ 6，清除 C ；选项1 3D ， S 1＝2－ 2＝－ 2，清除D.应选A.【答案】(1)C(2)A等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共波及五个量 a 1，a n ， d ，n ，S n ，知此中三个就能求此外两个，表现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a 1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1． (一题多解 )(2020 惠·州市第二次调研)已知等差数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且 a ＋ an n 23 ＋a4＝ 15， a7＝ 13，则 S5＝ ( )A．28 B． 25C．20 D． 18分析：选 B. 法一：设等差数列 { a n} 的公差为 d，由已知得a1＋ d＋ a1＋ 2d＋ a1＋ 3d＝ 15，a1＋ 6d＝ 13，解得 a ＝ 1，所以S51 5× 4 5×4× 2＝ 25，应选 B.1＝ 5a ＋2 d＝ 5× 1＋2d＝2，法二：由 { a n 24 3 3 5 5（ a ＋a ）＝5× 2a} 是等差数列，可得 a ＋ a ＝ 2a ，所以 a ＝5，所以 S ＝ 1 5 32 2＝25，应选 B.2．已知等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 a2＝4， S4＝ 22，a n＝28，则 n＝ ()A ． 3 B． 7C．9 D． 10（ 22－ 4a2 ）＝ 3，a1＝ a2－ d＝ 4 分析：选 D.因为 S4＝ a1＋a2＋ a3＋ a4＝ 4a2＋ 2d＝22，d＝2－3＝ 1， a n＝ a1＋( n－ 1)d＝ 1＋ 3(n－ 1)＝ 3n－ 2，由 3n－ 2＝ 28，得 n＝ 10.等差数列的判断与证明(典例迁徙 )1已知数列 { a n } 中， a 1＝ 4，其前n 项和2为 S n ，且知足 a n ＝ 2S n(n ≥ 2)．2S n －1(1)求证：数列1 是等差数列；S n(2)求数列 { a n } 的通项公式． 2S 2n【解】(1) 证明：当 n ≥ 2 时， S n － S n － 1＝ 2S n － 1.整理，得 S n － 1－ S n ＝2S n S n － 1.两边同时除以 S n S n －1，得 1－ 1 ＝ 2.S n S n － 1 又1＝ 1 ＝4，所以 1是以 4 为首项，以 2 为公差的等差数列．SaS1 1 n1 1 ＝ 4＋ (n － 1)× 2＝ 2n ＋ 2，所以 S n ＝1 (2)由 (1) 可得数列 S n 的通项公式为 n2（ n ＋1） .S当 n ≥2 时， a n ＝ S n － S n － 1＝ 1 － 1 ＝－ 1 .2（ n ＋1） 2n 2n （ n ＋1）当 n ＝1 时， a 1＝ 1，不合适上式．41，n ＝ 1，所以 a n ＝ 4－ 1， n ≥ 2.2n （ n ＋ 1）1， S n ＝ S－11【迁徙研究】(变条件 )本例的条件变成： a 1 ＝ n(n ≥ 2)，证明 S n 是等差－14n2S ＋ 1数列．证明：因为 S n n －1，所以 2S n － 1 n1－1＝＝ Snn － 1n －1 nn n －1n －1S ＋S ＝S，即 S－ S ＝2S S，故S nn －12S ＋1S2(n ≥2) ，11 1是首项为 4，公差为 2 的等差数列．又 1＝1＝ 4，所以数列S nSa等差数列的判断与证明的常用方法(1)定义法： a n ＋ 1－ a n ＝ d(d 是常数，n ∈N ＋ )或 a n － a n －1＝ d(d 是常数，n ∈ N ＋，n ≥ 2)? { a n }为等差数列．(2)等差中项法： 2a＝ a ＋ a(n ∈ N )? { a } 为等差数列．n ＋1nn ＋2＋n(3)通项公式法： a n ＝ an ＋b(a ， b 是常数， n ∈ N ＋)? { a n } 为等差数列．n2＋ bn(a ， b 为常数 )? { a n} 为等差数列．(4)前 n 项和公式法： S ＝an[提示 ] 若要判断一个数列不是等差数列，则只要找出三项a ， a， an ＋2 ，使得这三nn ＋1项不知足 2a n ＋ 1＝ a n ＋ a n ＋ 2 即可；但假如要证明一个数列是等差数列，则一定用定义法或等差中项法．1．已知数列 { a n} 知足 a1＝1， a n＋1＝a n，且a n＋ 1 列．1b n＝a n， n∈ N＋ .求证：数列 { b n} 为等差数证明：因为 b n 1，且 a n＋1 a n ，所以 b n＋11 ＝ a n＋ 1＝1＋1＝ 1＋ b n n＋1＝a n ＝＝＋1 a n a n ，故 ba n＋ 1 a n1－b n＝ 1.又 b1＝a1＝1，所以数列 { b n} 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．2． (2020 贵·州省适应性考试)已知数列 { a n} 知足 a1＝ 1，且 na n＋1－ (n＋ 1)a n＝ 2n2＋ 2n.(1)求 a2， a3的值；a n(2)证明数列n 是等差数列，并求{ a n}的通项公式．解： (1)由已知，得 a2－ 2a1＝4，则 a2＝ 2a1＋ 4，又 a1＝ 1，所以 a2＝ 6.由 2a3－ 3a2＝12，得 2a3＝ 12＋ 3a2，所以 a3＝ 15.(2)由已知 na － (n＋ 1)a ＝ 2n(n＋ 1)，得 nan＋1 n－a n＝2，－（ n＋ 1） a ＝ 2，即an＋1 n n＋1n（n＋ 1）n＋ 1 na n 1所以数列n 是首项a＝ 1，公差 d＝2 的等差数列．1则a n＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1，所以 a n＝ 2n2－n. n等差数列的性质及应用(多维研究 )角度一等差数列项性质的应用(1)( 一题多解 )在公差不为0 的等差数列{ a n} 中， 4a3＋ a11－ 3a5＝ 10，则1 a4＝ ()5A．－ 1 B． 0C．1 D． 2(2)一个等差数列的前12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶ 27，则该数列的公差d＝．【分析】(1) 通解：设数列 { a n} 的公差为 d(d≠ 0)，由 4a3＋a11－ 3a5＝ 10，得 4(a1＋ 2d)＋( a1＋ 10d)－ 3(a1＋ 4d)＝ 10，即 2a1＋ 6d＝ 10，即 a1＋ 3d＝ 5，故 a4＝ 5，所以1a4＝ 1，应选5C.优解一：设数列 { a n} 的公差为d(d≠ 0)，因为a n＝ a m＋(n－m)d，所以由4a3＋ a11－ 3a51＝10，得 4(a4－ d)＋ (a4＋ 7d)－3(a4＋ d)＝ 10，整理得 a4＝ 5，所以5a4＝ 1，应选 C.优解二：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a31＝10，则 2a4＝10，即 a4＝5，所以5a4＝ 1，应选 C.(2)设等差数列的前12 项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，公差为 d.S奇＋ S偶＝ 354，由已知条件，得S偶∶ S奇＝ 32∶ 27，S偶＝ 192，解得S奇＝ 162.又 S 偶－ S 奇＝6d，所以 d＝192－162＝5. 6【答案】(1)C (2)5角度二等差数列前n 项和性质的应用(1)已知等差数列{ a } 的前 10 项和为n30，它的前30 项和为 210，则前 20 项和为 ( )A．100 B． 120C．390 D． 540n 1 n S12－S10＝ 2，则 S2 018的值等(2)在等差数列 { a } 中， a ＝－ 2 018，其前 n 项和为S ，若12 10 于()A．－ 2 018 B．－ 2 016C ．－ 2 019D ．－ 2 017【分析】 (1) 设 S n n1020103020成等差数列，为等差数列 { a } 的前 n 项和，则S ，S －S ，S －S所以 2(S 20－ S 10)＝ S 10＋(S 30－ S 20)，又等差数列 { a n } 的前 10 项和为 30，前 30 项和为 210，所以 2(S 20－ 30)＝ 30＋ (210－ S 20)，解得 S 20＝ 100.S n2 0181(2)由题意知，数列 n 为等差数列，其公差为 1，所以 S ＝ S ＋ (2 018－ 1)× 1＝－ 2 0182 0181＋2 017＝－ 1.所以 S 2 018＝－ 2 018.【答案】 (1)A (2)A 角度三等差数列的前 n 项和的最值(一题多解 )(2020 广·东省七校联考 ) 已知等差数列 { a n n68 9 6 nn 的值为 ()} 的前 n 项和为 S ，a ＋ a ＝ 6，S － S ＝ 3，则 S 获得最大值时 A ． 5 B ． 6 C ．7D ． 8a ＋ 5d ＋ a ＋ 7d ＝ 6，11【分析】法一：设数列 { a n } 的公差为 d ，则由题意得，a ＋ 6d ＋ a ＋ 7d ＋ a ＋ 8d ＝ 3，1 11a 1＝ 15，n 的值是 8，解得所以 a n ＝－ 2n ＋ 17，因为 a 8 ＞0， a 9＜ 0，所以 S n 获得最大值时d ＝－ 2.应选 D.{ a n } 的公差为d ，则由题意得a 1＋ 5d ＋ a 1＋ 7d ＝ 6，法二：设数列，解得a 1＋ 6d ＋ a 1＋ 7d ＋ a 1＋ 8d ＝ 3，a 1＝ 15，则 S n ＝ 15n ＋n （ n － 1）× (－ 2)＝－ (n － 8)2＋ 64，所以当 n ＝ 8 时，S n 获得最大值，d ＝－ 2， 2应选 D.【答案】D(1)等差数列前 n 项和的性质在等差数列 { a n } 中， S n 为其前 n 项和，则① S 2n ＝ n(a 1＋ a 2n )＝＝ n(a n ＋ a n ＋ 1)；② S 2n － 1＝ (2n － 1)a n ；③当项数为偶数 2n 时， S 偶－ S 奇＝ nd ；项数为奇数 2n － 1 时， S 奇－ S 偶＝ a 中， S 奇 ∶ S 偶＝ n ∶ (n － 1)．(2)求数列前 n 项和的最值的方法①通项法：〈 1〉若 a 1＞ 0，d ＜ 0，则 S n 必有最大值，其 n 可用不等式组 a n ≥ 0，a 来确立；≤0n ＋1a n ≤ 0，〈2〉若 a 1＜ 0， d ＞ 0，则 S n 必有最小值，其 n 可用不等式组来确立．a n ＋1≥ 0②二次函数法：等差数列 { a nn1n （n － 1）d2＋1d} 中，因为 S ＝ na ＋ 2d ＝2n a － 2 n ，故可用二次函数求最值的方法来求前 n 项和的最值，这里应由 n ∈N ＋及二次函数图象的对称性来确定 n 的值．S n≥S n－1，③不等式组法：借助S n最大时，有(n≥ 2， n∈ N＋ )，解此不等式组确立n 的S n≥S n＋1范围，从而确立n 的值和对应S n的值 (即 S n的最值 )．1． (一题多解 )(2020 江·西南昌模拟 )等差数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且 a －a ＝9，S－n n 85 8 S5＝ 66，则 a33＝ ( )A．82 B． 97C．100 D． 115解析：选 C. 通解：设等差数列 { a n} 的公差为 d ，则由a8－ a5＝ 9，得S8－ S5＝ 66，（ a ＋ 7d）－（ a ＋ 4d）＝ 9，d＝3，1 1解得所以 a33 ＝ a1 ＋ 32d＝ 4＋ 32×3＝ 100，故（ 8a1＋ 28d）－（ 5a 1＋10d）＝66，a1＝ 4，选 C.优解：设等差数列 { a n 85 8 5，} 的公差为 d，由 a － a ＝ 9，得 3d＝ 9，即 d＝3.由 S －S ＝66得 a6＋ a7＋ a8＝ 66，联合等差数列的性质知3a7＝ 66，即 a7＝22，所以 a33＝a7＋ (33－ 7)× d ＝22＋ 26×3＝ 100，应选 C.2．已知无量等差数列 { a } 的前 n 项和为 S ，S ＜S ，且 S ＞ S ，则 ( )n n 67 7 8A ．在数列 { a n} 中， a1最大B．在数列 { a n} 中， a3或 a4最大C．S3＝ S10D．当 n≥ 8 时， a n>0分析：选 A. 因为 S6 7 7 8 7 67 8 7 8 n ＜ S ， S ＞S ，所以S － S ＝ a ＞ 0，S － S ＝ a ＜ 0，所以数列 { a }是递减的等差数列，最大项为 a1 10 3 45 10＝7，所以 A 正确，B 错，D 错；S －S ＝a ＋ a ＋＋ a 7a ＞0，故 C 错误．n 7n＋ 2，则a2＋ a20．3．两等差数列 { a n} 和 { b n} 的前 n 项和分别为 S n，T n，且S ＝ b ＋ b ＝T n 7 15分析：因为数列 { a n} 和 { b n} 均为等差数列，所以 a ＋ a ＝ a ＋ a（ a1＋ a21）× 21 ＝S＝22 20 1 21 21b7＋ b15 b1＋ b21 （ b1＋ b21）× 21 T212＝7× 21＋ 2＝ 14921＋ 3 24.答案：14924思想方法系列 10 整体思想在等差数列中的应用在等差数列 { a n} 中，其前 n 项和为 S n.已知 S n＝ m，S m＝ n(m≠ n)，则 S m＋n＝．【分析】设数列 { a n} 的公差为 d，则由 S n＝m， S m＝ n，S n＝ na1＋n（n－1）d＝m，①得 2m（ m－ 1）S ＝ ma ＋d＝n.②m 1 2②－①得 (m－ n)a1＋（ m－n）（ m＋ n－ 1）2 ·d＝ n－ m. m＋ n－1d＝－ 1.因为 m≠ n，所以 a1＋ 2所以 S m＋n（m＋ n）（ m＋ n－ 1）1 d ＝ ( m＋ n)a ＋ 2＝ (m＋ n) 1 m＋n－ 1d＝－ (m＋ n)．a ＋ 2【答案】－ (m＋ n)从整体上认识问题、思虑问题，经常能化繁为简、变难为易，同时又能培育学生思想的灵巧性、矫捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等．在等差数列中，当要求的 S n所需要的条件未知或不易求出时，可以考虑整体代入．(2020 ·驻马店市第一次模拟)已知函数 f(x)的图象对于直线x＝－ 1 对称，且 f(x)在 (－ 1，＋∞ )上单一，若数列 { a n} 是公差不为 0 的等差数列，且f(a50)＝ f(a51)，则数列 { a n} 的前 100 项的和为 ()A ．－ 200 B．－ 100C．－ 50 D． 0分析：选 B.因为函数 f(x)的图象对于直线 x ＝－ 1 对称，又函数 f(x)在 (－1，＋∞ ) 上单一，} 是公差不为 0的等差数列，且 f(a ) ＝ f(a )，所以 a ＋ a51＝－ 2，所以 S ＝数列 { a n505150100100（ a ＋ a100 ）1＝ 50(a 50＋ a 51 )＝－ 100，应选 B.2[基础题组练 ]1． (2020 ·春市质量监测长 (二 ))等差数列 { a n } 中， S n 是它的前 n 项和， a 2＋ a 3＝ 10， S 6＝ 54，则该数列的公差 d 为 ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 6a ＋ d ＋ a ＋ 2d ＝ 10，111a ＝－ 1，分析：选 C.由题意，知6× 5解得应选 C.12 d ＝ 54， d ＝4，6a ＋2．(2020 江·西省七校联合考试 )在等差数列 { a n } 中，若 a 3＋ a 5＋ a 7＋a 9 ＋a 11＝ 55，S 3＝ 3，则 a 5 等于 ()A ． 5B ． 6C ．7D ． 9分析：选 C.设数列 { a n } 的公差为 d ，因为数列 { a n } 是等差数列，所以 a 3＋ a 5＋ a 7＋ a 9＋a ＝ a ＋ 6d ＝ 11，a ＝－ 1，7 11117，所以73 ＝3，所以解得所以 a 5 ＝ 7.a＝5a ＝ 55a＝11，又 Sd ＝ 2， S 3＝3a 1＋3d ＝ 3，应选 C.3．已知数列 { a } 知足 a ＝15，且 3a ＝ 3a－ 2，若 a · a <0，则正整数 k ＝ ()n1n ＋1nkk ＋1A ．21B ． 22C ．23D ． 24分析：选 2{ a n } 是等差数列，则 a n ＝47 2 C.3a n ＋ 1＝ 3a n － 2? a n ＋ 1＝ a n －? 3－ n.因为 a k ·a k3 3＋1<0 ，所以 47 － 2 45 － 2 4547，所以 k ＝ 23.3 3k3 3k <0，所以 2 <k< 24． (2020 辽·宁丹东质量测试 (一 )) 我国明朝伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式表现数学识题，此中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，惟有中间两节竹，要将米数次序盛，如有先生能算法，也教算获得天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，此中的“三升九”指3.9 升，则九节竹的中间一节的盛米容积为()A ．0.9 升B ．1 升C ．1.1 升D ． 2.1 升123＝ 3.9，分析：选 B. 设竹筒从下到上的盛米量分别为 a＋a＋aa 1，a 2，，a 9，依题意得＝ 3，6789a ＋a ＋a ＋ aa 2＝ 1.3，故即 a 2＋ 5d ＋ a 2＋ 6d ＝ 2a 2＋ 11d ＝ 2.6＋ 11d ＝ 1.5，解得 d ＝－ 0.1，故 a 5＝ a 2 a 7＋ a 8＝ 1.5，＋ 3d ＝ 1.3－ 0.3＝ 1 升．应选 B.5．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1＝ 1，a 2＝ 2，且对于随意 n ＞ 1，n ∈ N ＋，知足 S n ＋1n －1n＋ S ＝2(S ＋1)，则 ()A ． a 9＝ 17B ． a 10＝ 18C ．S ＝ 81D ． S ＝90910分析：选 B. 因为对于随意 n ＞ 1，n ∈ N ＋，知足 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2(S n ＋ 1)，所以 S n ＋ 1－ S n ＝ S n － S n － 1＋ 2，所以 a n ＋ 1－ a n ＝ 2.所以数列 { a n } 在 n ≥ 2 时是等差数列，公差为 2.又 a 1＝1， a 2＝ 2，则 a 9＝ 2＋7× 2＝ 16， a 10＝ 2＋ 8×2＝ 18，S 9＝1＋ 8× 2＋ 8×2 7×2＝ 73，S 10＝ 1＋9× 2＋9×2 8× 2＝ 91.应选 B.6． (2019 高·考全国卷 Ⅲ)记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 3＝ 5， a 7＝ 13，则 S 10＝．a 1＋ 2d ＝ 5， a 1＝ 1，分析：通解：设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则由题意，得解得所a 1＋6d ＝ 13，d ＝ 2，以 S 10＝ 10× 1＋10× 9× 2＝100. 2优解：由题意，得公差 d ＝1734310＝10（ a 1＋ a 10）＝4( a － a )＝ 2，所以 a ＝a ＋ d ＝ 7，所以 S 2475(a ＋ a )＝ 100.答案： 1007． (2020·西渭南调研考试陕)设 { a n } 是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1， S 2，S 4 成等比数列，且a 3＝ 5，则数列{ a n } 的通项公式为．分析：设数列 { a n } 的公差为 d(d ≠0)，因为 { a n } 是等差数列， S 1， S 2， S 4 成等比数列，所以( a 1＋ a 2 )2＝ a 1(a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4)，因为 a 3＝ 5，所以 (5－ 2d ＋5－ d)2＝ (5－ 2d)(5 － 2d ＋15)，解得 d ＝ 2 或 d ＝ 0(舍去 )，所以 5＝ a 1＋ (3－ 1)× 2，即 a 1＝ 1，所以 a n ＝ 2n － 1.答案： a n ＝2n － 18．(2020 福·建龙岩期末改编 )已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，a n ＋ a n ＋1＝ 2n ＋ 1(n ∈N)，则 a 20 的值为21 的值为．＋分析：将 n ＝ 1 代入 a n ＋ a n ＋1＝ 2n ＋ 1 中得 a 2＝ 3－1＝ 2.由 a n ＋ a n ＋ 1＝ 2n ＋ 1①，得 a n ＋1＋ a n ＋2 ＝2n ＋ 3② .②－ ①，得 a n ＋2 n n2 为公差的等差数列，－ a ＝ 2，所以数列 { a } 的奇数项、偶数项都是以则 a 21＝ 1＋ 10×2＝ 21， a 20＝2＋ 9× 2＝ 20，所以 S 21＝ (a 1＋ a 3＋ a 5＋＋ a 21)＋ ( a 2 ＋ a 4（ 1＋ 21）×11 （2＋20）×10＋a 6＋＋ a 20)＝ 2＋ 2＝ 231.答案： 20 2319． (2019 ·考全国卷高 Ⅰ)记 S 为等差数列 { a } 的前 n 项和．已知 S ＝－ a .nn95(1)若 a 3＝ 4，求 { a n } 的通项公式；(2)若 a ＞ 0，求使得 S ≥ a 的 n 的取值范围．1nn解： (1)设 { a n } 的公差为 d ，由 S 9＝－ a 5 得 a 1＋ 4d ＝0，由 a 3＝ 4 得 a 1＋ 2d ＝ 4，于是 a 1＝8， d ＝－ 2.所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 10－ 2n.(2)由 (1) 得 a ＝－ 4d ，故 a ＝ (n － 5)d ， S ＝ n （ n － 9）d .1 n n2由 a 1>0 知 d<0 ，故 S n ≥a n 等价于 n 2－ 11n ＋ 10≤0，解得 1≤ n ≤ 10.所以 n 的取值范围是 { n|1≤ n ≤ 10， n ∈ N} ．10．已知等差数列的前三项挨次为 nk＝ 110.a ， 4， 3a ，前 n 项和为 S ，且 S (1)求 a 及 k 的值；(2)已知数列 { b n } 知足 b n ＝S n，证明数列 { b n } 是等差数列，并求其前 n 项和 T n .n解： (1)设该等差数列为 { a n } ，则 a 1＝ a ， a 2 ＝ 4， a 3＝ 3a ，由已知有 a ＋ 3a ＝ 8，得 a 1＝a ＝ 2，公差 d ＝ 4－2＝ 2，所以 S k1 ＋k （k － 1）·d ＝ 2k ＋ k （ k － 1）× 2＝ k 2＋ k.＝ ka 2 2由 S k ＝ 110，得 k 2＋ k －110＝ 0，解得 k ＝10 或 k ＝－ 11(舍去 )，故 a ＝ 2， k ＝ 10.(2)由 (1) 得 S n ＝ n （ 2＋2n ）＝ n(n ＋ 1)，2 S＝ n ＋1，则 b nn＝ n故 b n ＋ 1－ b n ＝ (n ＋ 2)－ (n ＋ 1)＝ 1，即数列 { b n } 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 T n ＝n （ 2＋ n ＋ 1）＝ n （ n ＋ 3）.2 2[综合题组练 ]1． (2020 广·东揭阳期末改编 )已知数列n } 知足11， a n ＋ 1 ＝ a n* ) ，则n{ a a9n(n ∈ N a8a ＋ 1 ＝，数列 { a n } 中最大项的值为．分析：由题意知 a n ≠ 0，由 a n ＋1＝n得1 8a n ＋ 1 1＋ 8，整理得1－ 1＝8，aa ＝＝ n ＋1a na na nnn ＋1即数列1是公差为 8 的等差数列，故 1＝ 1＋ (n － 1)× 8＝ 8n － 17，所以 a n ＝1 .当 n ＝aa n18n － 17n1， 2 时， a n ＜ 0；当 n ≥ 3 时， a n ＞ 0，则数列 { a n } 在 n ≥ 3 时是递减数列，故 { a n } 中最大项的值为 a 3＝ 1.7答案：118n － 17 72． (创新式 )(2020 安·徽省淮南模拟 )设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若S n为常数，则称数2n列{ a n } 为“雅致数列”．已知等差数列 { b n } 的首项为 1，公差不为 0，若数列 { b n } 为“雅致数列”，则数列 { b n } 的通项公式为．S S 1分析：设等差数列 { b n} 的公差为 d，由n 为常数，设n ＝ k 且 b1 ＝ 1，得 n＋ n(n－ 1)dS2n S2 n 2＝k 2n＋12× 2n（ 2n－1） d ，即 2＋ ( n－ 1)d＝ 4k＋2k(2n－ 1)d，整理得 (4k－ 1)dn＋ (2k－1)(2－d)＝ 0.因为对随意正整数n，上式恒建立，所以d（4k－1）＝0，解得 d＝ 2，k＝1，（ 2k－ 1）（ 2－ d）＝ 0， 4所以数列 { b n} 的通项公式为b n＝ 2n－ 1(n∈N * )．答案： b n＝2n－ 1(n∈N * )3．已知数列 { a n} 知足： a3＝－ 13， a n＝a n－1＋ 4(n＞ 1， n∈ N＋ )．(1)求 a1， a2及通项公式a n；(2)设 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，则数列S1， S2， S3，中哪一项最小？解： (1)因为数列 { a n} 知足 a3＝－ 13， a n＝ a n－1＋ 4，所以 a n－a n－1＝ 4，即数列 { a n} 为等差数列且公差d＝ 4，所以 a2＝a3－d＝－ 13－ 4＝－ 17，a1＝ a2－ d＝－ 17－ 4＝－ 21，所以通项公式a n＝ a1＋(n－ 1)d＝－ 21＋4(n－ 1)＝ 4n－25.25(2)令 a n＝ 4n－ 25≥ 0 可解得 n≥4，所以数列 { a n} 的前 6 项为负值，从第 7 项开始为正数，所以数列 S1， S2， S3，中 S6最小．4．(2020 广·东广州天河二模)已知 S 2为数列 { a } 的前 n 项和，且 a ＜ 2， a ＞0， 6S ＝an n 1 n nn ＋3a n＋ 2， n∈ N＋ .(1)求数列 { a } 的通项公式；n(2)若对随意的 n∈ N＋， b n＝n 2(－ 1) a n，求数列 { b n} 的前 2n 项的和 T2n.2解： (1)当 n＝1 时， 6a1＝a1＋ 3a1＋ 2，且 a1＜ 2，解得 a1＝ 1.当 n≥2 时， 6a－ 2 2－－n＝6S n－6S n 1 ＝a n＋3a n＋2－(a n 1＋3a n 1＋2)．化简得 (a n n－1 n n－ 1＋ a )( a －a － 3)＝ 0，因为 a n＞0，所以 a n－ a n－1＝ 3，所以数列 { a n} 是首项为1，公差为 3 的等差数列，所以 a n＝1＋ 3(n－ 1)＝ 3n－ 2.(2)b ＝(－ 1) n a2＝ (－ 1)n(3n－ 2)2.n n所以 b2n－1＋ b2n＝－ (6n－ 5)2＋ (6n－ 2)2＝ 36n－21.所以数列 { b n} 的前 2n 项的和n（n＋ 1）T2n＝ 36(1＋ 2＋＋ n)－ 21n＝ 36×－21n＝18n2－3n.。

2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：11-4复数含答案

第4讲复数最新考纲 1.理解复数的基本概念;2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋b i(a∈R，b∈R）的数叫复数,其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋b i为实数；若a＝0且b≠0,则a＋b i为纯虚数复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R）共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）续表复平面用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴,y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设错误!对应的复数为z＝a＋b i，则向量错误!的长度叫作复数z＝a＋b i的模｜z|＝|a＋b i|＝错误!2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a，b）（a,b∈R)．（2）复数z＝a＋b i(a，b∈R）平面向量错误!.3．复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R)，则（1)加法:z1＋z2＝（a＋b i）＋（c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2)减法:z1－z2＝（a＋b i）－（c＋d i）＝（a－c）＋(b－d）i；（3）乘法：z1·z2＝（a＋b i)·（c＋d i）＝（ac－bd)＋(ad＋bc）i；（4）除法：错误!＝错误!＝错误!＝错误!（c＋d i≠0)．诊断自测1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示（1）复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i。

（)(2）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．（)(3）原点是实轴与虚轴的交点．（)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(）解析（1）虚部为b;（2)虚数不可以比较大小答案（1)×(2）×（3）√（4)√2．（2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2 C．2 D．3解析因为(1＋2i)(a＋i）＝a－2＋（2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3,故选A。