平面向量与解三角形
高考焦点专题6 平面向量与解三角形
A B
C
D
E
A B C D 焦点专题6 平面向量与解三角形
【基础盘点】
1、平面向量线性运算：(1)三角形法则，(2)平行四边形法则， (3)回路性质，如图，几条线段首尾相接，
有AB BC CD DE EA ++++=
；
2、平面向量坐标运算：(1)加：1122(,)(,)x y x y += ， 减：1122(,)(,)x y x y -= ，数乘：(,)k x y = ， 乘(数量积)1122(,)(,)x y x y = ；
3、夹角:cos ⋅=
=⋅a b a b
,模:(,)x y =a ,则=a ,单位向量=a ;
4、平行与垂直：(1)⇔a b ⇔ ，(2)⊥⇔a b ⇔ ；
5、正弦定理：
sin sin sin a b c A
B
C
=
=
= ，可改写为a = ，b = ，c = ，
::a b c = ： ： ； 6、余弦定理：22
2a b c ⎧=
⎪⎪=
⎨⎪=⎪⎩
，可改写为cos cos cos A B C ⎧=
⎪
=
⎨⎪
=
⎩.
7、三角形面积公式：①ABC S =△ ；②ABC S =△ . 8、三角形的性质：①A B C ++= ；②大边对 角，大角对 边.
【例题精选】
焦点一：平面向量线性运算、坐标运算、平行与垂直
[例1]1、如图，在等腰三角形A B C △中，120BAC ∠=
,点D 在BC 上，且0AB AD ⋅=
，
则BD =
(A)2233A C A B + (B)2233
A C A
B -
(C)2133A C A B - (D)2133
A C A
B +
【题情捉摸】(1)用AB
、A C 表示BC 得 ；
平面向量与三角形的关系及三角形的性质
平面向量与三角形的关系及三角形的性质
平面向量是解决和研究平面几何问题的有力工具，而三角形是平面
几何中最基本的图形之一。本文将探讨平面向量与三角形之间的关系，并介绍一些与三角形相关的重要性质。
一、平面向量与三角形的关系
1. 平面向量的定义
平面向量是指既有大小又有方向的量。用带箭头的小写字母表示，
如a→，b→等。平面向量的起点和终点可以是任意点。
2. 平面向量的表示
平面向量可以用有序数对、坐标、自由向量等多种方式表示。其中，自由向量是指有大小和方向，但起点可以是任意点的向量。自由向量
a→的终点记为A，即a→=OA→。
3. 平面向量的运算
平面向量可以进行加法和数乘运算。加法满足交换律和结合律，数
乘满足分配律。
4. 三角形的向量表示定理
对于三角形ABC，设向量AB→=a→，向量AC→=b→，则有向量AB→+向量BC→=向量AC→。即a→+c→=b→。
5. 三角形的重要定理
（1）质点法分解定理：对于任意三角形ABC，以任意一点O为起点，作向量OA→、向量OB→、向量OC→，有向量OA→+向量
OB→+向量OC→=0→。
（2）垂直定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→垂直，则有向量AB→•向量BC→=0。
（3）共线定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→共线，则有向量AB→×向量BC→=0→。
二、三角形的性质
1. 三角形的内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 三角形的外角定理
三角形的任意一个外角等于其他两个内角之和。即∠D = ∠A + ∠C，其中∠D表示三角形的外角。
平面向量的应用三角形问题
平面向量的应用三角形问题在数学中，平面向量是一种代表大小和方向的量，它广泛应用于解决各种三角形问题。平面向量的应用可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质和关系。本文将介绍平面向量在三角形问题中的应用，包括向量的表示、向量的运算以及向量在解决三角形问题中的具体应用。
一、向量的表示和运算
在讨论向量的应用之前，我们首先需要了解向量的表示和运算。平面向量通常用有序数对表示，比如向量$\textbf{a}=(a_x,a_y)$，其中$a_x$表示向量在$x$轴上的分量，$a_y$表示向量在$y$轴上的分量。向量的大小可以用向量的模来衡量，记作$||\textbf{a}||$，其计算公式为$||\textbf{a}||=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$。向量的方向可以用它的单位向量来表示，单位向量的计算公式为
$\textbf{u}=\frac{\textbf{a}}{||\textbf{a}||}$。
向量的运算包括加法和减法。向量的加法定义为
$\textbf{a}+\textbf{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)$，向量的减法定义为
$\textbf{a}-\textbf{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)$。此外，向量还可以与标量进行乘法运算，即$\lambda\cdot\textbf{a}=(\lambda\cdot a_x,\lambda\cdot a_y)$，其中$\lambda$为实数。
二、向量在三角形问题中的应用
1. 三角形的形状和面积
使用向量表示三角形的顶点坐标可以方便地计算三角形的形状和面积。设三角形的顶点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则根据向量的定义，我们可以得到向量$\textbf{AB}=(x_2-x_1,y_2-
特色专题--平面向量与解三角形
【编者按】平面向量既有代数表达，又有几何表达，因此平面向量与解三角形在高考中已成常态．这类试题要求考生对相关数学概念要非常清楚，考查学生的数学推理和数学运特色专题--平面向量与解三角形
算能力，同时还要掌握基本的数学思想方法．
题型一
运用平面向量计算三角形的边长
【例1】(1)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →
，AD ＝37，则BC 的长为(
)
A ．37
B ．36
C ．33
D ．6
解析：选A ．因为CD →＝2DB →
，
所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，
设AB ＝x ，则AD →2
＋13
AC 得37＝49x 2＋4
9×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝
62＋92－2×6×9×1
2
＝37.
(2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →
＝1，则AB 的长的为________．
解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，BE →＝BC →＋CE →＝－12
AB →＋AD →.
所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →－12AB →＋＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →
专题复习解三角形与平面向量
1．三角形的有关公式：
(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sin
A ＋B
2
＝ (2)正弦定理：
(3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝1
2r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．
2．平面向量的数量积
a ·
b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐
角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．
3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2
＝|a |2
＝ ； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ ＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔ ＝0.
(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论
(1)PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →
⇔P 为△ABC 的 ；
(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形
平面向量及解三角形
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，
则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））
《平面向量》《解三角形》《不等式》概念汇编
基础梳理
一．平面向量
1．向量的有关概念
(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的叫做向量的模．
(2)零向量：长度等于的向量，其方向是．
(3)单位向量：长度等于的向量．
(4)平行向量：方向的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度且方向的向量．
(6)相反向量：长度且方向的向量．
2．向量的线性运算
平行四边形法则
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝；
②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得
5．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．6．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝( ， )，a ＋b ＝( ， )，λa ＝( ， )，|a |＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝( ， )，|AB →
|＝ . 7．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，向量a ，b 共线当且仅当 ．
提优专题(2.2)——平面向量和解三角形(解答题)(含答案)
平面向量与解三角形（解答题）
1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3
A π
=
(1)若2
B π
≠
，求
2cos c b
B
−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．
2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
1sin cos .1cos 2sin 2A A
B B
+=+
(1)求证：2;2
A B π
+=
(2)若222
3a c b ac +−，试求
sin a c
B b
+⋅的取值范围.
3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶
点，且23
CPB π
∠=
，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；
方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.
4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．
(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；
(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠
专题复习解三角形与平面向量
专题复习 解三角形与平面向量
1．三角形的有关公式：
(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sin A ＋B
2
＝ (2)正弦定理：
(3)余弦定理： _____________________________________________________________________
(4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝1
2
r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．
2．平面向量的数量积
a ·
b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．
3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，b ≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ ＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔ ＝0.
(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论 (1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的 ； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →
⇔P 为△ABC 的 ；
(3)向量λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形
平面向量和解三角形
平面向量和解三角形
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小、方向.
(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的模，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量：a ＝O ⇔｜a ｜＝O .
单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔21
2
1y y x x
(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .
2.向量的运算
4.重要定理、公式:
(1)平面向量基本定;e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O.
(4)线段的定比分点公式: 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P 1＝λ2PP ，
则：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=++=.1,12
12
1λ
λλ
λy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式： ＝21（1＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.
2,2
2121y y y x x x
（5）平行四边形对角线定理：
)
2=-+
5．解三角形：
⑴正弦定理：
三角函数解三角形平面向量
三角函数解三角形平面向量
一、三角函数
三角函数是描述角的函数，它们包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。这些函数常用于解决涉及角度的问题，如测量高度、距离和速度等。以下是三角函数的定义和性质：
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ = opposite / hypotenuse。正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent / hypotenuse。余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1,1]。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ = opposite / adjacent。正切函数的定义域是所有实数，值域是整个实数集。
除了上述基本的三角函数，还有其他一些相关函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等。这些函数之间存在一些重要的关系，如互余关系、倒数关系和倒数值关系等。
二、解三角形
解三角形是指根据给定的已知条件，计算出三角形的各个未知量。通常，解三角形要求计算三边、三角形的内角和外角等。以下是解三角形的常用方法：
1. 余弦定理：当已知三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理计算第三边的长度。余弦定理的公式为c² = a² + b² - 2abcosC。
2. 正弦定理：当已知三角形的一边和与之相对的两个夹角时，可以利用正弦定理计算其他两条边的长度。正弦定理的公式为a / sinA = b / sinB = c / sinC。
平面向量 解三角形 数列 知识点总结
期中复习
一．向量有关概念:
1．向量的概念2．零向量3．单位向量（||
AB AB ±）；4．相等向量5．平行向量（也叫共线向量)零向量和任何向量平行.
6．相反向量
二．向量的表示方法：1．几何表示法：如AB 2．符号表示法：如a ；3．坐标表示法： a ＝(),x y
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如
（1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B 。 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 121
3(2,3),(,)24
e e =-=- （答：B ）； 四．实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa 五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ,b 的夹角 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ,它们的夹角为θ,我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ,即a •b ＝cos a b θ。如
(1）△ABC 中，3||=−→
−AB ，4||=−→
−AC ,5||=−→
−BC ，则=⋅BC AB _________ （答：－9）；
（2）已知11(1,),(0,),,22
a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为
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第八单元平面向量与解三角形
(120分钟150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为
A.B.C.D.
解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=.
答案:A
2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是
A.u⊥v
B.v∥w
C.w=u-3v
D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v
解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v.
答案:C
3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是
A.B.C.D.
解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=.
答案:D
4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于
A.—4
B.0
C.4
D.8
解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以
·=4×2×=4.
答案:C
5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为
A.B.C.D.-
解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立.
答案:C
6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则
a与b满足的关系式为
A.5a-4b=3
B.4a-3b=5
C.4a+5b=14
D.5a+4b=14
解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·⇒(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5.
答案:B
7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于
A.B.C.D.
解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=,
因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=.
答案:A
8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3.
答案:C
9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所
以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形.
答案:B
10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是
A.B.
C.D.
解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=,BC=2,点E为BC的中点,所以B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1),
设F(x,2),则=(x,2),=(,0),所以·=x=,所以x=,=(,1),=(-,2),所以
·=(-)+2=.
答案:D
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于
A.B.C.-D.-
解析:因为2S=(a+b)2-c2,所以ab sin C=a2+b2-c2+2ab=2ab cos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因为sin2C+cos2C=1,
所以sin C=,cos C=-,tan C=-.
答案:C
12.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是
解析:设点C的坐标为(x,y),由题意知x=3λ+μ,y=λ+3μ,解得λ=,μ=,代入0≤λ≤μ≤1,解得y≤3x,y≥x,3y-x≤8.
答案:A
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知向量|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b),则向量a与b的夹角的大小是.
解析:因为a⊥(a-b),所以a·a-a·b=0,cos
答案:
14.在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为.
解析:∵AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,
∴4=12+BC2-4×BC,
∴BC2-6BC+8=0,
∴BC=2或BC=4.
当BC=2时,S=·AB·BC·sin B=×2×2×=,
当BC=4时,S=AB·BC·sin B=×2×4×=2.
答案:或2
15.在△ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为.
解析:记△ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=,
所以AC==7,又2R==,即R=,
故△ABC的外接圆的面积是πR2=.
答案:
16.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且∠AOB=π,MN是一条直径,点C在圆内且满足
=λ+(1-λ)(0<λ<1),则·的最小值为.
解析:因为=λ+(1-λ)(0<λ<1),所以C在线段AB上,
因为·=(-)·(-)=-(+)·+·=-4,
所以当OC⊥AB时取得最小值,(·)
=1-4=-3.
min
答案:-3
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)