22.1.3.3二次函数及其图象
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二次函数及其图像
二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
[1]编辑本段几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。
[1]顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
[1]交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（2）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
二次函数二次函数及其图象二次函数
05
二次函数的求根公式 与判别式
求根公式与解的个数
求根公式
二次函数的一般形式为$ax^2+bx+c$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
解的个数
根据判别式的值，二次函数有两个解、一个解或无解。判别式$b^2-4ac$大于等于0时，函数有两个不同的实数 解；等于0时，函数有一个解；小于0时，函数没有实数解。
与坐标轴的交点
与x轴交点
二次函数与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，其中x1,x2为方程ax^2+bx+c=0的两个根。当方程有实 数解时，与x轴的交点存在；当方程无实数解时，与x轴的交点不存在。
与y轴交点
二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)，其中c为常数项。
03
绘制二次函数的图象
直接绘制法
要点二
详细描述
通过观察二次函数的图像，可以发现其开口方向、对 称轴和顶点坐标，从而可以根据函数的图像特点，求 解与不等式相关的应用问题。例如，当函数的图像在x 轴上方时，可以得出对应的不等式成立；当函数的图 像在x轴下方时，可以得出对应的不等式不成立。
与方程相关的应用拓展
总结词
二次函数与方程的关系
详细描述
二次函数与方程之间存在密切的联系。通过观察二次函 数的图像，可以发现其开口方向、对称轴和顶点坐标， 从而可以用来求解一些与方程相关的应用问题。例如， 可以通过观察函数的图像来确定方程的根的个数和位置 ；也可以通过函数的图像来求解一些与方程相关的应用 拓展问题。
THANK YOU
•k
二次函数图像的顶点纵坐标
互为反函数的解析式
如果一个函数的反函数存在，那么函 数和它的反函数在同一直角坐标系中 的图像是关于直线 y = x 对称的。
二次函数及其图象
顶点位置
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
二次函数二次函数及其图象二次函数ppt
2023
二次函数及其图象
目 录
• 引言 • 二次函数的定义和性质 • 二次函数图像的作图方法和步骤 • 案例分析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
函数是数学中最重要的概念之一，它描述了两 个变量之间的关系。
二次函数是指形如$y = ax^2 + bx + c$的函 数，其中$a$、$b$、$c$为常数，$a \neq 0$。
当$a < 0$时，二次函数图像开口向下，图像有最高点（ 顶点），且当$x$趋向无穷大时，$y$趋向无穷小。
03
二次函数图像的作图方法和步骤
描点法
定义：将函数图像上的关键点在坐标系中标出，通过 连接各个关键点形成图像。
其次确定函数图像与y轴的交点，将交点纵坐标代入函 数解析式计算横坐标；
步骤：- 首先确定函数图像与x轴的交点，将交点横坐 标代入函数解析式计算纵坐标；
案例三：二次函数的优化问题
总结词：优化问题
01
进行优 化的问题。
列表1：优化问题的定义与分类
03
04
列表2：二次函数优化问题的求解方法
列表3：二次函数优化问题的实际应用
05
06
列表4：二次函数优化问题的局限性与展望
05
练习与巩固
基础练习
总结词
了解、掌握二次函数的基础知识。
最后描出关键点并连接，形成完整的二次函数图像。
零点法
定义：通过解方程得到图像上的关键点，再描点作图 。
其次解方程$f'(x)=0$得到图像与x轴交点的横坐标（ 可能有两个解）；
步骤：- 首先解方程$f(x)=0$得到图像与x轴交点的横 坐标；
最后描出关键点并连接，形成完整的二次函数图像。
二次函数及其图象
目 录
• 引言 • 二次函数的定义和性质 • 二次函数图像的作图方法和步骤 • 案例分析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
函数是数学中最重要的概念之一，它描述了两 个变量之间的关系。
二次函数是指形如$y = ax^2 + bx + c$的函 数，其中$a$、$b$、$c$为常数，$a \neq 0$。
当$a < 0$时，二次函数图像开口向下，图像有最高点（ 顶点），且当$x$趋向无穷大时，$y$趋向无穷小。
03
二次函数图像的作图方法和步骤
描点法
定义：将函数图像上的关键点在坐标系中标出，通过 连接各个关键点形成图像。
其次确定函数图像与y轴的交点，将交点纵坐标代入函 数解析式计算横坐标；
步骤：- 首先确定函数图像与x轴的交点，将交点横坐 标代入函数解析式计算纵坐标；
案例三：二次函数的优化问题
总结词：优化问题
01
进行优 化的问题。
列表1：优化问题的定义与分类
03
04
列表2：二次函数优化问题的求解方法
列表3：二次函数优化问题的实际应用
05
06
列表4：二次函数优化问题的局限性与展望
05
练习与巩固
基础练习
总结词
了解、掌握二次函数的基础知识。
最后描出关键点并连接，形成完整的二次函数图像。
零点法
定义：通过解方程得到图像上的关键点，再描点作图 。
其次解方程$f'(x)=0$得到图像与x轴交点的横坐标（ 可能有两个解）；
步骤：- 首先解方程$f(x)=0$得到图像与x轴交点的横 坐标；
最后描出关键点并连接，形成完整的二次函数图像。
2次函数ppt课件
CHAPTER 02
2次函数的解析式
一般形式
总结词
一般形式是二次函数的标准形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛物线的开 口方向和开口大小，b决定了抛物线的对称轴，c是抛物线与y轴的交点。
顶点形式
总结词
顶点形式是为了更方便地找到抛物线 的顶点坐标而转化得到的。
在物理学中的应用
自由落体运动
在物理学中，自由落体运动的速度和 位移可以用二次函数表示。通过求解 这些二次函数，可以得出物体下落的 速度和位移随时间变化的规律。
弹簧振动
弹簧的振动规律也可以用二次函数表 示，通过分析这个二次函数，可以得 出弹簧振动的周期、振幅等物理量。
在经济学中的应用
收益与成本问题
在几何中的应用
求最值问题
在几何中，常常需要求解图形面积、体积等的最大值或最小值，而二次函数的最值问题正是解决这类 问题的关键。通过将几何问题转化为二次函数问题，可以方便地利用二次函数的性质求解最值。
抛物线性质
二次函数可以表示为抛物线的方程，抛物线具有对称性、开口方向等性质，这些性质在解决几何问题 中有着广泛的应用。例如，利用抛物线的对称性可以解决关于对称性的问题。
在经济学中，常常需要研究商品的销售 收益与成本之间的关系，而二次函数正 数模型，可以分析 出最佳的定价策略。
VS
供需关系
在分析市场的供需关系时，二次函数可以 用来描述供应量和需求量随价格变化的规 律。通过分析这个二次函数，可以得出市 场的均衡价格和均衡数量。
翻折变换可以改变函数的值域和定义域，将函数的最大值 和最小值进行互换。
伸缩变换
九年级数学上册 22.1二次函数的图像和性质2_1-5
因此，一家餐厅要想有着经营优势，关键还是要在空间设计上更加有创意色彩，有着独到的特色，这样在经营过程中才会占据优势的。，
标志商标logo设计，对于很多商家来说，如果能够把包装盒更好的利用起来的话，其实他们还可以省去了很多的广告费，这样也能够起到一个很好的宣传作用标志商标logo设计一般都会代表着不同的意义，这也是 在生活当中很多人都了解的一个问题
(1) y=3(x－1)²+1 (3) s=3－2t² (5)y= _1_ －x
x²
(2) y=x+ _1_ x
(4) y=(x+3)²－x²
(6) v=8π r²
解: (1) y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1
即 y=3x2-6x+4 是二函数.
二次项系数: 3
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
从餐饮VI设计公司的参考价值来看，也能给其他行业带来很多的启发。 餐饮VI设计公司 https:///cybrand/
因为si公司越来越多以后，相互之间设计的竞争上也是比较激烈的，这在选择的时候还是要了解到相互之间的差别，这样能够看出来每一家公司在设计过程中的特色上还是会有着截然不同的差距的，看起来在设计的 内容上来说还是会与众不同的，提高了在合同签订过程中的正规性。
标志商标logo设计，对于很多商家来说，如果能够把包装盒更好的利用起来的话，其实他们还可以省去了很多的广告费，这样也能够起到一个很好的宣传作用标志商标logo设计一般都会代表着不同的意义，这也是 在生活当中很多人都了解的一个问题
(1) y=3(x－1)²+1 (3) s=3－2t² (5)y= _1_ －x
x²
(2) y=x+ _1_ x
(4) y=(x+3)²－x²
(6) v=8π r²
解: (1) y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1
即 y=3x2-6x+4 是二函数.
二次项系数: 3
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
从餐饮VI设计公司的参考价值来看，也能给其他行业带来很多的启发。 餐饮VI设计公司 https:///cybrand/
因为si公司越来越多以后，相互之间设计的竞争上也是比较激烈的，这在选择的时候还是要了解到相互之间的差别，这样能够看出来每一家公司在设计过程中的特色上还是会有着截然不同的差距的，看起来在设计的 内容上来说还是会与众不同的，提高了在合同签订过程中的正规性。
二次函数总结归纳图像
二次函数总结归纳图像二次函数是代数学中一类重要的函数类型，具有一般形式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将对二次函数的图像进行总结归纳，在不同情况下讨论其图像的特点以及与函数参数的关系。
1. 二次函数图像的基本形态二次函数图像的基本形态为抛物线。
当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
图像关于y轴对称，称为轴对称图像。
抛物线的开口方向和轴对称性是二次函数图像的两个最为明显的特点。
2. a的影响a是二次函数中二次项的系数，它对二次函数图像的开口方向有直接影响。
当a > 0时，二次函数图像开口向上；当a < 0时，二次函数图像开口向下。
a的绝对值越大，抛物线开口越宽。
3. b的影响b是二次函数中一次项的系数，它对二次函数图像的位置有影响。
当b > 0时，图像向左平移，当b < 0时，图像向右平移。
平移的距离与b的绝对值成正比。
4. c的影响c是二次函数中常数项，它对二次函数图像的位置有影响。
当c > 0时，图像向上平移，当c < 0时，图像向下平移。
平移的距离与c的绝对值成正比。
5. 顶点与对称轴二次函数图像的顶点是其最高点或最低点，也是抛物线的轴对称中心，其横坐标为-x轴系数的一半，纵坐标为将x代入后得到的值。
对称轴则是通过顶点的一条垂直线。
6. 零点和与x轴的交点二次函数图像与x轴的交点称为零点，即函数取值为0的点。
二次函数若存在零点，可以通过解方程或利用求根公式来求得。
若零点的个数为0，则函数图像与x轴没有交点；若零点的个数为1，则函数图像与x轴只有一个交点；若零点的个数为2，则函数图像与x轴有两个交点。
7. 函数值的变化趋势对于二次函数而言，当a > 0时，函数图像开口向上，随着x的增大函数值也增大。
当a < 0时，函数图像开口向下，随着x的增大函数值减小。
8. 平移变换的综合效果当b和c同时为0时，二次函数图像的顶点位于原点，开口向上。
22.1.3二次函数的图像与性质课件PPT
7
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
2 y 3x2
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
2021/3/10
14
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
增减性
2021/3/10
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
2 可以得到抛物线
y 1 x2 3 ；
2
2.对于函数y= –x2+1，当x＜0 时，函数值y随
x的增大而增大；当x ＞0 时，函数值y随x的 增大而减小；当x =0 时，函数取得最 大 值, 为1 。
2021/3/10
13
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是(C )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
问题1：当自变量x取 同一数值时，这两个 函数的函数值之间有 什么关系?反映在图 象上，相应的两个点 之间的位置又有什么 关系?
7 6 5 4 3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
2021/3/10
4
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
二次函数的图像及性质ppt课件
同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
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1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3,5) 直线x=1 (1,－2)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
(3,7)
(2,－6)
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
1 y x
再描点、连线 (1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ( x 1) 1 2 的开口向下,
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练习
8、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
2 2
开口向上 对称轴是x=-3 顶点是（-3，5） 开口向上 对称轴是x=3 顶点是（3，7）
开口向下 对称轴是x=1 顶点是（1，-2） 开口向下 对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）
2 2 （3）y （ 4 x 3） 7；（4）y （ 5 x 2） 6.
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你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
作业： 5、（3）
驶向胜利的 彼岸
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平移方法2:
x=－1
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
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一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
增减性 最值
当x=h时,最大值为k. 当x=h时,最小值为 k. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——《名师测控》助您成功
1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 1 2 1 y x2 2
有什么关系?
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
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各种形式的二次函数的关系
抛物线y a ( x h) k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
2
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二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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3、如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
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4、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 5、设抛物线的顶点为（1，-2），且经过 点（2，3），求它的解析式。 6、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移 2个单位得到的抛物线是 。 7、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
方向、顶点与对称轴、 解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5
再描点画图.
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解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1
y x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 -2 y ( x 1) 2 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
1 1 2 1 2 2 y ( x 1 ) 1 y x , y x 1, 2 2 2
形状相同， 开口方向相同 . 顶点不同， 对称轴不同.
1 y ( x 1) 2 1 2
y
1 2 x , 2
1 y x 2 1, 2
1 1 2 2 y ( x 1 ) 1 ？ y x 抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 2 2
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归纳小结
相同 一般地，抛物线y a( x h) 2 k与y ax 2形状 _____ ， 不同 位置 ____ 。把抛物线y ax 2向上（下）向左（右）
平移，可以得到抛物线y a( x h) k。
2
、k 的值来决定。 平移的方向、距离要根据h _____
22.1.3
2 二次函数y=a(x-h) +k的图象
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说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 y=ax2 K>0 上移 y=ax2+k K<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x-h)2
湖北鸿鹄志文化传媒 y ( x 1 ) 1的图像.指出它的开口 例3.画出函数 2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 y ( x 1) 2 1 2 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——《名师测控》助您成功
观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线 有什么关系？
左 右 平 移
y = a( x - h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x - h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
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例4.要修建一个圆形喷水池,在池中 心竖直安装一根水管.在水管的顶端 安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1，3) 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 C(3,0) 因此抛物线的解析式为: x 2 3 1 O 3 2 y= －4(x－1) ＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 答:水管长应为2.25m. ——《名师测控》助您成功
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 .