人教版必修四 平面向量章节复习课件(24张PPT)
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高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件
[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)． 设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)， 则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关 数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正 确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相 等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；
必修4 平面向量总复习课件
3、数量积的坐标运算
B
a ?b ? x1 x2 ? y1 y2
4、运算律: （1） a ?b ? b?a
Oθ
B
A
（2）（? a）?b ? ?（a ?b）? a（? ?b）1
（3）（a ? b）?c ? a ?c ? b ?c
.
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
?1?a ? b ? a ?b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
必修四 平面向量
专题 复习
.
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平 行和 比例
向 量
数乘向量
ห้องสมุดไป่ตู้
平面向量基本定理
问题 的
初
向 量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
两点. 的距离公式
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
.
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
?5?a ?b ? a ?b
.
例1.设非零向量a , b不共线，c ? ka ? b, d ? a ? kb (k ? R), 若c // d ,试求 k.
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
人教A版高中数学必修4课件：第二章《平面向量》复习课(共23张PPT)
uur a0 (
2, 2
2) 2
ur b0
(
4
41 41
,
5
41 ) 41
题型二：利用向量知识证明
例27.（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
r
r
证则明rar：arr2 设bra1r2aa1ra2b21,(bar a212,abb2122r,),
b
rb22
(b1,
b2
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
3)坐标表示 a xi y j (x, y)
r uuur a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
r
在正八r边形A1Ar2Ar3……A8中，设A1A2= a ，
A1A8u=uubu，r 试uu用uuuar
，b表示：
uuuuur uuuur
uuuuur
uuuur
A2 A3, A2 A4, A4 A5, A5 A6, A6 A7 , A7 A8
A6 A7
A5 A4
A8
A3
b
A1 a A2
uuuur r r A2 A3 2a b
|a|
可正可负可为零
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件
(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
人教A版高中数学必修四第二章平面向量复习课件
解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴ x（ x-5） +y（ y-2） =0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
2024/11/3
由①、②解得：
2
2a b
b2
3
ab
3
2024/11/3
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
长线上的一点，F在BC上，且BE=BF， 用向量的坐标法证明：AF⊥CE
2024/11/3
D
C
F
A
BE
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3、已知三个力 f1、f2、f3 作用于同一质点,且 | f1 | 20, | f2 | 30, | f3 | 40 (单位:牛)若三个力在同一平面
内且两两的夹角都为1200,求协力的大小和方向
y
B
f2
oθ
f3
x
C
A f1
2024/11/3
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例2:已知向量a (cos 3 x,sin 3 x),b (cos x , sin x),
22
2
2
且x
0,2
,
求
:
(1)a
b及
a
b
;
(2)若f
(x)
a
b
2
a
b
的最小值是-
3 2
, 求的值.
x1
y1
7 2
23或xy22
3 为
人教A版数学必修四第二章2.3.3《平面向量的坐标运算》教学课件(共24张PPT)
a(x1i y1 j)x1i y1 j a(x1, y1)
实 数 与 向 量 的 积 等 的 于 坐 用 标 这 个 实 数 乘 原来向量的相应坐标
【例1】 已知 ar =（2, 1），br =（-3,4），
求 a r b r， a r b r， 3 a r 4 b r的坐标.
跟踪练习：
1.已知向量
其中x叫做
r a
在x轴上的
ya
坐标，y叫做 ar 在y轴上
的坐标, 上式叫做向量 j
x
的坐标表示.
Oi
x
【课前练习】 如图，分别用基
底 i , j表示向量 a，b， c，d，并求出它们的 坐标 .
二、新知探究
思考： 已知 a(x1, y1),b(x2, y2),你能得出
ab, ab, a的坐标吗？
ab(x1 x2, y1 y2)
ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
ab(x1 x2, y1 y2) ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
uuur A B = （x2 - x1 , y2 - y1）
(5)
ar
r //b
rr (b0) 的 等 价 条 件 是 ：
x1y2x2y10
四、课堂作业：
课本101页习题2.3A组1、2、3题
谢谢
【 例 2 】 如 图 ， 已 知 A (x1,y1),B (x2,y2),求
u u u r
A B 的 坐 标 .
y
A(x1, y1)
实 数 与 向 量 的 积 等 的 于 坐 用 标 这 个 实 数 乘 原来向量的相应坐标
【例1】 已知 ar =（2, 1），br =（-3,4），
求 a r b r， a r b r， 3 a r 4 b r的坐标.
跟踪练习：
1.已知向量
其中x叫做
r a
在x轴上的
ya
坐标，y叫做 ar 在y轴上
的坐标, 上式叫做向量 j
x
的坐标表示.
Oi
x
【课前练习】 如图，分别用基
底 i , j表示向量 a，b， c，d，并求出它们的 坐标 .
二、新知探究
思考： 已知 a(x1, y1),b(x2, y2),你能得出
ab, ab, a的坐标吗？
ab(x1 x2, y1 y2)
ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
ab(x1 x2, y1 y2) ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
uuur A B = （x2 - x1 , y2 - y1）
(5)
ar
r //b
rr (b0) 的 等 价 条 件 是 ：
x1y2x2y10
四、课堂作业：
课本101页习题2.3A组1、2、3题
谢谢
【 例 2 】 如 图 ， 已 知 A (x1,y1),B (x2,y2),求
u u u r
A B 的 坐 标 .
y
A(x1, y1)
人教版数学必修四平面向量的实际背景及基本概念(共24张PPT)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
表达： | AB | 2.两个特殊向量：零向量，单位向量: 四、向量旳关系
平行向量（共线向量） 相等向量 相反向量
0，1
一样向量中，有着特殊地位旳是 零向量和单位向量。
三. 向量旳有关概念 2.两个特殊向量：
零向量: 长 度为零 旳向量(方向任意). 表达： 0, | 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度旳向量.
这两个量仅从大小上刻画了向量．
思索:
• 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,全部起点在原点旳单位向
数量有：质量、身高、功、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度
练习1
• 判断下列说法是否正确: • 因为零上温度能够用正数来表达,零下温度能
够用负数来表达,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上旳x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴旳大小.
大小和方向是向量旳两个基本要素！
四、向量旳关系： 补充知识
与a长度相等，方向相反的向量叫a相反向量， 记为 a
（ a) a AB BA
a
a
例如作用力与反作用力
34.把所有相等的向量平移到同一起点后，
这些向量的终点将落在
A.同一个圆上
B
B.同一个点上
C.同一条直线上
D.以上都有可能
4：根据下列小题旳条件，分别判断四边形 ABCD旳形状：
如图：他们都表达a
a
同一种向量。
向量：可选任意点作为向量旳起点、有大小、方向。
归纳总结：有向线段与向量旳区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量旳起点、有大小、方向。
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD是 不同旳。
平行向量（共线向量） 相等向量 相反向量
0，1
一样向量中，有着特殊地位旳是 零向量和单位向量。
三. 向量旳有关概念 2.两个特殊向量：
零向量: 长 度为零 旳向量(方向任意). 表达： 0, | 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度旳向量.
这两个量仅从大小上刻画了向量．
思索:
• 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,全部起点在原点旳单位向
数量有：质量、身高、功、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度
练习1
• 判断下列说法是否正确: • 因为零上温度能够用正数来表达,零下温度能
够用负数来表达,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上旳x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴旳大小.
大小和方向是向量旳两个基本要素！
四、向量旳关系： 补充知识
与a长度相等，方向相反的向量叫a相反向量， 记为 a
（ a) a AB BA
a
a
例如作用力与反作用力
34.把所有相等的向量平移到同一起点后，
这些向量的终点将落在
A.同一个圆上
B
B.同一个点上
C.同一条直线上
D.以上都有可能
4：根据下列小题旳条件，分别判断四边形 ABCD旳形状：
如图：他们都表达a
a
同一种向量。
向量：可选任意点作为向量旳起点、有大小、方向。
归纳总结：有向线段与向量旳区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量旳起点、有大小、方向。
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD是 不同旳。
人教版必修四第二单元平面向量的复习课件
变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
必修四_平面向量知识点梳理58页PPT
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
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解：因为六边形 ABCDEF 是正六边形，所以它的中心 O 及顶点 B A，B，C 四点构成平行四边形 ABCO，
所以 BA BC BA AO BO ， BO = a ＋ b ， OE = BO = a + b ， 由于 A，B，O，F 四点也构成平行四边形 ABOF，所以 BF = BO ＋ OF = BO + BA = a + b + a =2 a + b ，
解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、 y
轴建立直角坐标系，设 A2 a ,0 , B 0, 2a ，则 D a ,0 , C 0, a ， 从而可求： AC 2 a , a , BD a, 2 a , cos
AC BD AC BD
2a, a a ,2BCDO
中， BD ＝ BC CD ＝ BC BO ＝ b ＋( a
＋ b )＝ a ＋2 b ， FD ＝ BC BA ＝ b － a 。
（2）向量 AB 与 DC 是共线向量，则 A,B,C,D 必在同一直线上。
×
（3） a与b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线。
×
（4）四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB DC .
√
（5） a = b 当且仅当| a |=| b |且 a // b ；
练习：已知 OA, OB 不共线， OP aOA bOB .
利用向量共线定理及向 量减法运算证明
求证 A,P ,B 三点共线当且仅当 a+b=1。
题型四: 运用坐标运算解决求角或距离等问题
例 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
题型二：平面向量的几何运算
3、 如图所示， 已知正六边形 ABCDEF， O 是它的中心， 若 BA = a ， BC = b ， 试用 a ， b 将向量 OE ， BF ， BD ， FD 表示出来。
a A F
×
2、设 a 0 为单位向量， （1）若 a 为平面内的某个向量，则 a =| a |· a 0 ;(2) 若 a 与 a0 平行，则 a =| a |· a 0 ； （3）若 a 与 a 0 平行且| a |=1，则 a = a 0 。
1）（2）（3） 上述命题中，假命题个数是（ _____________
练习 如图所示，OADB 是以向量 OA a, OB b 为边的平行四边形，点
1 1 C 为对角线 AB,OD 的交点，又 BM= BC,CN= CD,试用 a ， b 表示 3 3 B OM , ON , MN
向量的相关 概念及表示
1、向量的概念、零向量、单位向量、相等向量、平行向 量（也叫共线向量）、相反向量、向量的模、两向量的夹 角 、向量的坐标表示等 2、向量的表示方法：几何表示 法、符号表示法、坐标表示法 1、几何运算：向量的加法用“平行四边形法则”和“三角 形法则”， 向量的减法用“三角形法则”，数乘向量考虑 方向、长度 2 、坐标运算 3 、向量平行 ( 共线 ) ： a // b a b 2 2 (a b) (| a || b |) x1 y2 y1 x2 =0（其中b是非零向量） 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平 ，使a= e1 面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ＋ e2。其中e1和e2叫一组基底
M
D
1 1 1 解： OM OB BM OB BC OB BA 3 3 2 1 1 5 1 5 OB (OA OB ) OA OB a b O 6 6 6 6 6 1 3 3 1 3 3 ON OC CD OC (a b ) a b 2 2 2 2 4 4 1 5 3 3 11 19 MN ON OM a b a b a b 6 6 4 4 12 12
N C
A
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ， 且 PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
（A）重心 外心 垂心 （C）外心 重心 垂心
1 2 1 2
向量的线性 运算
平面向量的 基本定理
平面向量的 数量积运算
a 1、平面向量的数量积： 2、a在b方向 上的投影 3、数量积的性质 4、数量积的运算律 (不适合 消去律、结合律) 5、平面向量数量积的坐标运算、模、 夹角
b＝ a b cos
题型一: 向量的基本概念
1、判断下列命题的真假； （1）直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；×
（B）重心 外心 内心 （D）外心 重心 内心
由 OA OB OC 知, O为ABC的外心； 由 NA NB NC 0知，O为 ABC的重心 ; PA PB PB PC， PA PC PB 0， CA PB 0, CA PB , 同理，AP BC , P为ABC 的垂心，