(优辅资源)专题03函数的图像与性质-高考数学(理)备考易错点专项复习

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函数图像知识点高三

函数图像知识点高三函数图像是高中数学中的重要内容之一，也是高三学生需要掌握的知识点之一。

了解函数图像的性质和特点，对于解决实际问题以及科学研究具有重要意义。

本文将从以下几个方面介绍高三学生需要了解的函数图像知识点。

一、函数的概念与性质函数是自变量和因变量之间的一种关系，通常用$f(x)$来表示。

函数的自变量是$x$，因变量是$f(x)$。

函数的主要性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

1. 定义域：函数的自变量的取值范围。

2. 值域：函数的因变量的取值范围。

3. 单调性：函数在定义域内的增减趋势。

4. 奇偶性：函数的对称性，即$f(-x)=-f(x)$为奇函数，$f(-x)=f(x)$为偶函数。

5. 周期性：函数在定义域内以一定的周期重复出现。

二、常见函数的图像高三学生需要了解的常见函数及其图像包括：线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。

1. 线性函数：线性函数的图像为一条直线，表达式为$f(x)=ax+b$，其中$a$为斜率，$b$为截距。

2. 二次函数：二次函数的图像为一条抛物线，表达式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$为抛物线的开口方向，$b$和$c$则决定了抛物线的位置和形状。

3. 指数函数：指数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，表达式为$f(x)=a^x$，其中$a>0$且$a\neq 1$。

4. 对数函数：对数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，表达式为$f(x)=\log_a{x}$，其中$a>0$且$a \neq 1$。

三、函数图像的性质与变换函数图像具有一些常见的性质与变换，包括平移、伸缩、翻转等。

1. 平移：函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴进行移动。

水平平移会使函数图像在横坐标方向上发生变化，垂直平移会使函数图像在纵坐标方向上发生变化。

2. 伸缩：函数图像的伸缩是指通过改变函数表达式中的参数来改变函数图像的形状和位置。

函数与图像的基本概念与性质

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。

高考函数图像知识点总结

高考函数图像知识点总结函数图像是高考数学中的重要内容，掌握函数图像的知识点对于解题和分析函数的性质非常重要。

在高考中，对于函数的图像，常常需要求出函数的极值、最值、交点等信息，因此掌握函数图像的形态及特点是非常必要的。

本文将对高考函数图像的知识点进行总结，并且分析函数图像的性质。

函数的线性变化是函数图像的重要特点之一。

如果函数y=f(x)的图像经过点（a,f(a)），而a和f(a)是常数，那么如果将函数y=f(x)的每个y值都增加或减少一个常数k，那么图像将上下平移k个单位。

如果将函数y=f(x)的每个x值都增加或减少一个常数k，那么图像将左右平移k个单位。

同时，如果将函数y=f(x)的每个y值都增加或减少一个常数k，那么函数的图像将整体上下平移k个单位，图像的形态不会发生变化。

二次函数的图像形态主要受到二次项系数（a）的影响。

当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为抛物线；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

同时，二次函数的图像与抛物线的对称轴有关，对称轴的表达式为x=-b/2a，对称轴与图像的交点被称为抛物线的顶点。

指数函数是一类常见的函数，它的图像形态有着明显的特点。

指数函数的图像一般从左下方向上右上方逼近x轴，并且在x轴上有一个一个水平渐近线。

如果指数函数的底数大于1，那么指数函数的图像在x轴右侧呈现上升趋势；如果底数小于1，那么指数函数的图像在x轴右侧呈现下降趋势。

对数函数是指数函数的反函数，其图像形态与指数函数有一定的关联。

当对数函数的底数大于1时，对数函数的图像在x轴右侧呈现上升趋势；当底数小于1时，对数函数的图像在x轴右侧呈现下降趋势。

与指数函数相反，对数函数的图像一般从右上方逼近x轴。

三角函数是高考中经常涉及到的一类函数，在图像形态上有着独特的特点。

正弦函数的图像在[0，2π]的区间内呈现周期性变化，才时间折返并且在图像最高点和最低点与x轴相切。

余弦函数的图像与正弦函数的形态相似，但是相位不同。

函数性质图像知识点总结

函数性质图像知识点总结一、函数的定义在数学上，函数可以定义为一种特殊的关系，它将输入（自变量）映射到输出（因变量）。

具体来说，如果对于每一个自变量值，函数都有唯一的对应因变量值，那么这个关系就是一个函数。

形式上，我们可以用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。

例如，y = 2x + 3就是一个函数，其中y是因变量，x是自变量。

二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。

在图像上，定义域通常表示为x轴上的取值范围，而值域则表示为y轴上的取值范围。

例如，对于函数f(x) = x²，其定义域为所有实数，而值域为非负实数集合。

2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数是函数的对称性质。

如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就是偶函数。

奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。

3.单调性函数的单调性是指在定义域上，函数值的增减关系。

如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)就是递减的。

4.周期性如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数。

其中最小的T称为函数的周期，通常用P来表示。

常见的周期函数有sin(x)和cos(x)。

5.有界性函数的有界性是指函数值的范围限制。

如果存在两个实数M和N，使得对于任意的x，有|f(x)| ≤ M，那么函数f(x)就是有界的。

如果函数在定义域上有上界和下界，则称为有界函数。

6.反函数若对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。

在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。

一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。

判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。

定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。

导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。

2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。

若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。

判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。

3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。

常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。

4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。

函数图像及知识点总结

函数图像及知识点总结本文将首先介绍函数的概念，接着讨论函数图像的基本特征和性质，然后给出一些常见的函数图像和它们的性质分析，最后总结本文的内容。

一、函数的概念在代数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

具体地说，一个函数 f 是一个规则，它将集合 A 中的每个元素 x 映射到集合 B 中的一个元素f(x) 上。

其中，集合 A 被称为函数的定义域，集合 B 被称为函数的值域。

如果对于定义域A 中的每个元素 x，都有一个唯一的值 f(x) 与之对应，那么函数 f 是一一对应的，否则称为多对一的。

函数可以用多种方式来表示，比如用代数式、图表、表格或者用文字描述。

在本文中，我们将主要讨论函数图像的性质和特点。

二、函数图像的基本特征和性质在直角坐标系中，函数 f 的图像是它的定义域的点在坐标系中的表示，即点 (x, f(x))。

函数图像的基本特征和性质可以通过其图像的形状和位置来描述。

1. 函数的增减性和极值对于函数 f，如果在定义域的某个区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是增加的；如果在该区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) > f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是减少的。

极值是函数图像中的最高点或最低点，它们可以通过导数或者图像来求得。

2. 函数的奇偶性如果对于函数 f 的所有 x 都有 f(-x) = f(x)，那么称函数 f 是偶函数；如果对于函数 f 的所有x 都有 f(-x) = -f(x)，那么称函数 f 是奇函数。

3. 函数的周期性如果存在一个正数 T，使得对于函数 f 的所有 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么称函数 f 是周期函数，其中 T 被称为函数 f 的周期。

4. 函数的对称性如果函数图像关于某个点对称，那么称函数具有对称性。

常见的对称性有关于 x 轴、y 轴和原点的对称性。

函数及其图像总结知识点

函数及其图像总结知识点函数的图像是函数表示的一种形式，它是函数在坐标系中的图形表示。

函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的特点和性质。

在学习函数的过程中，函数的图像是一个非常重要的知识点。

本文将总结函数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握这一重要的数学概念。

一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。

如果存在一种依赖关系，使得除了x以外，对每个x都只有唯一的y和y唯一对应某个x，那么就称这种依赖关系为函数。

函数的符号表示通常是f(x)或者y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。

二、常见函数1. 线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线的截距。

线性函数是最简单的函数之一，它们在数学建模中有着广泛的应用。

2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。

二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。

二次函数在物理学、工程学等领域有着重要的应用。

3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线。

指数函数在自然科学和经济学中有着广泛的应用。

4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条渐进线，对数函数能够将指数函数的性质转化为更容易理解的形式。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数在物理学、工程学和天文学中有着重要应用。

以上函数是常见的、在数学教育中重点研究的函数。

这些函数具有各自的特点和性质，通过学习这些函数，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且为进一步学习高等数学课程打下扎实的基础。

三、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

通过奇偶函数的性质，我们可以推导出一系列关于函数图像的对称性质，以及某些函数值的简化表示。

函数图像高考知识点总结

函数图像高考知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，函数的概念在高中数学中有着很重要的地位。

函数的概念是传递和扩展我们数学知识，从而推广了我们对数学问题的认识，为我们更好地探求数学规律打下了坚实的基础。

函数的概念最早来源于19世纪的数学家勒贝格的研究成果，函数的概念对于我们学习数学中的其他知识将会起到很大的帮助。

下面来详细介绍一下函数的概念。

1、函数的定义函数是一种特殊的关系，他只有一个自变量，并且每个自变量都对应唯一一个因变量。

函数符号y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。

函数的符号表示是：y=f(x)或y=y(x)，这里y表示因变量，x表示自变量，f表示函数名称，称为函数符号。

在函数y=f(x)中，x的取值范围称为定义域，y的所有可能取值构成的s称为值域，定义域与值域构成一个对应关系称为函数的定义域和值域。

定义域和值域的关系对函数的研究非常重要，这是我们学习函数的一个关键点。

只有知道了函数的定义域和值域，我们才能更好的对函数进行研究。

2、函数的图像函数的图像是指函数的自变量和因变量之间的关系所表现出来的几何图形。

函数的图像是我们理解函数的重要手段之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。

函数的图像在我们学习函数的时候起重要的作用，通过函数图像我们可以更好的理解函数的性质。

二、函数图像的性质函数图像有很多重要的性质，这些性质对于我们理解函数图像具有非常重要的作用。

下面我们来详细介绍一下函数图像的性质。

1、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称。

如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。

通过函数的奇偶性，我们可以更好的理解函数的性质。

2、函数的周期性函数的周期性是指函数的图像在一定范围内具有重复的规律性。

如果函数的图像在一个固定的范围内有重复的特点，那么这个函数就具有周期性。

函数的图像知识点高三复习

函数的图像知识点高三复习在高三数学的复习中，函数的图像知识点是非常重要的内容之一。

理解函数的图像特点可以帮助我们更好地解决与函数相关的各类问题。

本文将简要介绍函数的图像知识点，并带您回顾一些重要的概念和定理。

一、基本概念回顾1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，每个自变量都对应唯一的因变量。

常用的函数表示方法包括表达式、图像、映射关系、函数图、函数式等。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

3. 奇偶性：对于函数f(x)，如果满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

4. 单调性：设函数f(x)在定义域上有定义，若对于任意的x₁、x₂（x₁ < x₂），都有 f(x₁) ≤ f(x₂)，则称f(x)在该定义域上是递增的；若对于任意的x₁、x₂（x₁ < x₂），都有 f(x₁) ≥ f(x₂)，则称f(x)在该定义域上是递减的。

5. 极值和最值：设函数f(x)在定义域上有定义，如果存在x=a，使得f(a) ≥ f(x)（或f(a) ≤ f(x)）对于该定义域内的任意x成立，则称 f(a) 为 f(x) 的极大值（或极小值）；如果存在 x=b，使得f(b) ≥f(x)（或f(b) ≤ f(x)）对于该定义域内的任意x成立，则称 f(b) 为f(x) 的最大值（或最小值）。

二、函数图像的特征1. 函数图像的对称性：函数图像可以表现出对称性，分为关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称三种情况。

对称性可以根据奇偶性和函数的解析式进行判断。

2. 函数图像的平移：通过改变函数图像的解析式中的常数项，可以实现将函数图像在平面上进行平移。

平移可以使图像向左右、上下或者斜向平移。

3. 函数图像的伸缩：通过改变函数图像的解析式中的系数，可以实现对图像进行伸缩。

伸缩可以使图像在横向或纵向发生变换，使其变得更宽或更窄，更高或更低。

高三数学图像与性质知识点

高三数学图像与性质知识点数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，图像与性质是其中重要的知识点之一。

通过研究数学图像的特性与性质，我们可以更好地理解数学概念，掌握解题方法，提高数学水平。

下面将介绍一些高三数学中常见的图像与性质知识点。

一、函数图像的性质函数是数学中的一种关系。

函数图像的性质是我们研究函数的基础。

常见函数图像的性质有：1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则函数具有偶性；若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则函数具有奇性。

奇偶性可以通过函数的图像对称性来判断。

2. 单调性：若函数 f(x) 在区间 I 上任意两点 x₁和 x₂，若 x₁< x₂，则有 f(x₁) <= f(x₂)，则函数 f(x) 在区间 I 上是递增的；若f(x₁) >= f(x₂)，则函数 f(x) 在区间 I 上是递减的。

3. 周期性：若函数 f(x) 满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 为常数>0，则函数具有周期性。

其中最常见的是三角函数的周期性。

二、曲线的方程与图像曲线是数学中研究的重要对象，它是函数图像的一种特殊情况。

在高三数学中，我们需要掌握曲线的方程与图像之间的关系。

1. 一次函数：一次函数的方程为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。

一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 决定了直线的斜率，而常数 b 决定了直线与 y 轴的截距。

2. 二次函数：二次函数的方程为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和c 是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由 a 的正负决定，常数 c 决定了抛物线与 y 轴的截距。

3. 三角函数：三角函数是以单位圆上一点的坐标作为函数值的函数。

常见的三角函数有正弦函数 y = sin(x)，余弦函数 y = cos(x) 和正切函数 y = tan(x) 等。

函数的概念与性质(5知识点+4重难点+5方法技巧+5易错易混)(解析版)2025高考数学一轮知识清单

专题03函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设,A B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.2、函数的三要素：（1）在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的对应关系：(),y f x x A =∈.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：（1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性.（2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时，)(x af 与)(x f 单调性相同；当0<a 时，)(x af 与)(x f 单调性相反.（4）若)(x f ≥0，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值，则当0>a 时，)(x f 与)(x f a具有相反的单调性；当0<a 时，)(x f 与)(x f a具有相同的单调性.（6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．知识点3函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）()f x 为奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()f x 为偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称．（2）如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4函数的周期性1、周期函数的定义对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．知识点5函数的对称性1、关于线对称若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线2a b x +=对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数()y f x =关于y 轴对称，此时函数()y f x =是偶函数．2、关于点对称若函数()y f x =满足()()22-=-f a x b f x ，则函数()y f x =关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，()()f x f x =--，则函数()y f x =关于原点对称，此时函数()f x 是奇函数．重难点01求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．（2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．（3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．235【答案】B【解析】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故选：B 【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则值域为（）A ．9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．99,10⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]9,11-【答案】A【解析】因为函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且lg ,y x y x ==在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为191010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为()1011f =，所以值域为9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，若函数()(){}2max 3,1M x x x =-+-，则()M x 的最小值为.【答案】1【解析】当()231x x -+≥-，即220x x --≤，即12x -≤≤时，()3M x x =-+，当()231x x -+<-，220x x -->，即2x >或1x <-时，()()21M x x =-，所以()[]()()()23,1,21,,12,x x M x x x ∞∞⎧-+∈-⎪=⎨-∈--⋃+⎪⎩，函数图象如图所示：由图可得，函数()M x 在(),1-∞-，()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以()()min 2231M x M ==-+=.【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为.【答案】[0,1)【解析】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数()f x ）A ．[]0,2B ．[)0,∞+C ．[)2,+∞D ．()()0,22,+∞U 【答案】A【解析】令2230x x --+≥得，31x -≤≤，故定义域为[]3,1-，()[]0,2f x ==.故选：A【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数212y x x =-++的值域为.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞ 【解析】由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤,且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞ .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数()2f x x =的最大值为.【答案】178()0t t =≥，则21x t =-，所以()22117222048y t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，对称轴为14t =，开口向下，所以函数2117248y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,4⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当14t ==，即1516x =时，()f x 取得最大值为max 151517()()1688f x f ===.【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数1y x =-的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[)0+，∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】Ct =，()0t ≥，则212t x -=，所以函数()22211112222t t t y t t +-=++=++=，函数在[)0,+∞上单调递增，0=t 时，y 有最小值12，所以函数1y x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax by cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

高二函数图像的性质知识点

高二函数图像的性质知识点函数图像的性质是高中数学中一个重要的知识点，尤其在高二学习中更加突出。

在本文中，我们将介绍高二函数图像的性质，包括函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等方面。

一、函数的奇偶性在研究函数的性质时，奇偶性是一个重要的方面。

函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴或者原点的对称性。

具体而言，如果对于函数中的任意一个点(x, y)，当x取相反数时，y的值也取相反数，那么这个函数就是偶函数；如果对于函数中的任意一个点(x, y)，当x取相反数时，y的值取相反数的相反数，即：y=-y，那么这个函数就是奇函数。

二、函数的对称性除了奇偶性之外，函数还具有其他的对称性。

在函数图像中，如果图像关于y轴对称，也就是说函数中的任意一个点(x, y)对应的点(-x, y)也在函数图像中，那么这个函数就具有关于y轴的对称性。

类似地，如果图像关于原点对称，也就是说函数中的任意一个点(x, y)对应的点(-x, -y)也在函数图像中，那么这个函数就具有关于原点的对称性。

三、函数的单调性函数的单调性是函数图像的一个重要性质。

在函数中，如果对于任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，对应的y1和y2也满足y1小于y2，那么这个函数就是增函数；如果对于任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，对应的y1和y2也满足y1大于y2，那么这个函数就是减函数。

增函数的图像呈现逐渐上升的趋势，减函数的图像呈现逐渐下降的趋势。

四、函数的周期性某些函数具有周期性，即函数图像在一定范围内重复出现。

周期性可以通过函数的图像观察得到，当函数在一个周期内的取值规律与整个函数的取值规律相似时，就具有周期性。

例如，三角函数就是一类常见的周期函数，如正弦函数和余弦函数等。

综上所述，高二函数图像的性质包括函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等方面。

这些性质能够帮助我们更好地理解函数的图像，从而更好地解决与函数相关的问题。

对于高二学生来说，掌握这些性质是非常重要的，它们不仅能够帮助我们在学习中深入理解函数的本质，还能够应用到实际问题的解决中。

函数与其图像知识点总结

函数与其图像知识点总结函数与其图像是数学中常见的概念，对于理解数学问题和解决实际问题具有重要意义。

在高中阶段，学生已经接触到了函数与其图像的相关知识，下面将从函数的定义、性质、图像绘制及应用等方面进行总结。

一、函数的定义1. 自变量和因变量函数是一个映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

通常情况下，自变量用x表示，因变量用y表示。

在函数中，自变量的取值范围我们称之为定义域，因变量的取值范围称之为值域。

2. 函数的定义函数的定义包括了自变量的定义域和因变量的值域，以及自变量和因变量之间的对应关系。

一般情况下，我们用符号y=f(x)表示函数的定义，其中f表示函数名称，x表示自变量，y表示因变量。

3. 函数的表示函数可以用表达式、图像、数据表等形式进行表示。

常见的函数表示形式包括解析式表示、图像表示、数据表示等。

二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量x的取值变化时，因变量y的取值是否满足某种对称性。

若对于任意x∈D，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；若对于任意x∈D，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。

2. 单调性函数的单调性是指当自变量x的取值增大时，因变量y的取值是单调递增还是单调递减。

若对于任意x1 > x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是递增函数；若对于任意x1 > x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是递减函数。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复性。

若存在正数T，使得对于任意x∈D，有f(x+T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。

4. 上下界函数的上下界是指函数在定义域内取值的最大值和最小值。

若存在常数M，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≤ M，则M称为函数f(x)的上界；若存在常数m，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≥ m，则m称为函数f(x)的下界。

第03讲三角函数的图象与性质(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第03讲三角函数的图象与性质（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-11分【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质3理解hxAy++=)sin(ϕω中hA、、、ϕω的意义，理解hA、、、ϕω的变化对图象的影响，并能求出参数及函数解析式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加强复习备考1.三角函数的图象与性质siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kpp=+时，max1y=；当22x kpp=-时，min1y=-．当2x k p=时，max1y=；当2x k p p=+时，min1y=-．既无最大值也无最小值2.三角函数型函数的图象和性质（1）正弦型函数、余弦型函数性质h x A y ++=)sin(ϕω，hx A y ++=)cos(ϕωA 振幅，决定函数的值域，值域为[]A A ,-ω决定函数的周期，ωp2=T ϕω+x 叫做相位，其中ϕ叫做初相（2）正切型函数性质h x A y ++=)tan(ϕω的周期公式为：ωp=T （3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．周期性2p 2p p奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k pp p p éù-+êúëû上是增函数；在32,222k k p p p p éù++êúëû上是减函数．在[]2,2k k p p p -上是增函数；在[]2,2k k p p p +上是减函数．在,22k k pp p p æö-+ç÷èø上是增函数．对称性对称中心(),0k p 对称轴2x k pp =+对称中心,02k p p æö+ç÷èø对称轴x k p=对称中心,02k p æöç÷èø无对称轴3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（）A ．0,2p æöç÷èøB ．,2ππæöç÷èøC ．3,2p p æöç÷èøD ．3,22p p æöç÷èø4．（2024·全国·高考真题）（多选）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴5．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12æöç÷èø单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212æö-ç÷èø有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线1．（2021·全国·高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和22．（2024·天津·高考真题）已知函数()()πsin303f x x ωωæö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．323．（2024·全国·高考真题）当[0,2]x p Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x p æö=-ç÷èø的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．84．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x éùÎ-êúëû时，()f x 的取值范围为éêë；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2024·河北唐山·二模）函数()()sin 2f x x ϕ=-π2ϕæö£ç÷èø在π0,3æöç÷èø上为单调递增函数，则ϕ的取值范围为（）A ．ππ,26éù--êúëûB ．π,06éù-êúëûC ．ππ,62éùêúëûD ．π0,6éùêúëû1．（2023·天津·高考真题）已知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()f x 的一个周期为4，则()f x 的解析式可以是（）A ．sin 2x p æöç÷èøB ．cos 2x p æöç÷èøC ．sin 4x p æöç÷èøD ．cos 4x pæöç÷èø2．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A ．()f x 在,26p p æö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412p p æö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3p æöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412p p æöç÷èø上单调递增3．（2024·全国·二模）已知函数()2πcos 23f x x æö=-ç÷èø，2ππ,33x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的单调递减区间为.4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数π()2cos 26f x x æö=+ç÷èø在区间[]0,a 上的值域为é-ë，则a 的取值范围为（）A ．5π5π,126éùêúëûB ．5π11π,1212éùêúëûC ．25,512ππéùêúëûD ．5π,π12éùêúëû5．（2024·江苏扬州·模拟预测）（多选）已知函数()2π2cos 6f x x æö=-ç÷èø，则（）A ．()f x 最小正周期为2πB ．π6x =是()f x 图象的一条对称轴C ．5π,112æöç÷èø是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x 在ππ,44æö-ç÷èø上单调1．（2024·全国·模拟预测）函数()π3cos 26f x x æö=-+ç÷èø的单调递增区间为（）A ．πππ,π,36k k k éù-+ÎêúëûZB ．π2ππ,π,63k k k Zéù++ÎêúëûC ．7πππ,π,1212k k k éù--ÎêúëûZD ．π5ππ,π,1212k k k éù-+ÎêúëûZ2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2024·福建漳州·一模）已知函数()π2cos 36f x x æö=+ç÷èø在0,6a éùêúëû上单调递减，则实数a 的最大值为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．3π24．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知函数()2ππsin 248f x x x æöæö=+++ç÷ç÷èøèø，则以下结论正确的为（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 图象关于点5π24æçè对称C ．()f x 在4π3π,32æöç÷èø上单调递减D ．将()f x 图象向左平移11π24个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数1．（2024·上海·三模）函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．2．（2024·安徽·三模）“ππ,4k k ϕ=-+ÎZ ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04æöç÷èø对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（多选）若函数()πtan 238f x x æö=-+ç÷èø，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ìü¹+ÎíýîþZ C ．()f x 在π3π,1616æöç÷èø上单调递增D ．()f x 的图象关于点π,016æöç÷èø对称4．关于函数()y f x =，其中()tan tan f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间π0,2æöç÷èø上是严格增函数；③()f x 在[]π,π-有3个零点； ④()f x 的最小正周期为π．其中所有正确结论的编号是（）．A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③5．函数()()tan sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 既有最大值又有最小值1．（2024·湖北荆州·三模）函数π()tan(23f x x =+的最小正周期为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π62．（2023·河南·模拟预测）已知函数π()tan 23f x x æö=+ç÷èø，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间π7π,1212éùêúëû上单调递增C ．()f x 图象的一个对称中心为π,012æöç÷èøD ．()f x 的最小正周期为π3．（多选）已知函数()ππtan 124f x x æö=++ç÷èø，则（）A ．()f x 的一个周期为2B ．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ìü¹+ÎíýîþC ．()f x 的图象关于点1,12æöç÷èø对称D ．()f x 在区间[]1,2上单调递增9．（2024·湖南长沙·二模）已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕæö=+><<ç÷èø的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k æù-+ÎçèûB ．()5π2π2π,2πZ 33k k k æù--ÎçúèûC ．()4ππ2π,2πZ 33k k k æù--ÎçúèûD ．()π2π2π,2πZ 33k k k æù-+Îçúèû1．（2023·天津·高考真题）已知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()f x 的一个周期为4，则()f x 的解析式可以是（）A ．sin 2x pæöç÷èøB ．cos 2x p æöç÷èøC ．sin 4x p æöç÷èøD ．cos 4x pæöç÷èø2．（2024·北京·高考真题）设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·全国·高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为．4．（2023·全国·高考真题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf = ．5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b p ωωæö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T p p <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（）A ．1B ．32C ．52D ．36．（2023·全国·高考真题）已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63æöç÷èø单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f æö-=ç÷èø（）A ．B ．12-C ．12D1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则π7π46f f æöæö+-=ç÷ç÷èøèø（）A B C ．0D 2．（2024·重庆·三模）已知函数()sin()0,0,22f x A x A p p ωϕωϕæö=+>>-<<ç÷èø的部分图像如图所示，若1()3f q =，则523f p q æö+=ç÷èø（）A ．29-B ．29C ．79-D ．793．（2024·全国·模拟预测）已知直线ππ,123x x ==是函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø图象的两条相邻的对称轴，且ππ4312f f æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，则()f ϕ=（）A ．BC ．1-D ．14．（2024·安徽·三模）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕæö=+><ç÷èø的部分图象如下图所示，若曲线()y f x =过点3π,28A æö--ç÷èø，(B ，()()11,C x f x ，()()22,D x f x ，且()()1212f x f x =-=-，则()12cos 22x x -=（）A ．78B ．78-C D ．5．（2024·广东汕头·三模）已知 A ，B ，C 是直线y m =与函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A ，B ，C 两点的横坐标分别为12,x x ，若21π4x x -=，则（）A ．π4ϕ=B ．π()2f =C ．()f x 的图象关于(π,0)中心对称D ．()f x 在π[0,]2上单调递减1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数π()cos()0,02f x x ωϕωϕæö=+><<ç÷èø的部分图象如图所示，若x "ÎR ，()()f x m f x +=-，则正整数m 的取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕæö=+>><<ç÷èø的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为π,16æöç÷èø，与x 轴的一个交点的坐标为5π,012æöç÷èø．设M ，N 为直线y t =与()f x 的图象的两个相邻交点，且π3MN =，则t 的值为（）A ．12±B ．12-C ．12D ．3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，直线1y =-与函数()()00πsin 20,2f x A x A ϕϕæö=+><ç÷èø的图象的三个相邻的交点分别为A ，B ，C ，其横坐标分别为A x ，B x ，C x ，且2()C B B A A x x x x x -=-=，则ϕ的值为（）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π31．（2024·山西长治·一模）已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,-B ．(2,-C ．(2,1]--D ．[2,1]--2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()sin f x x x ωω=+(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（）A ．13B ．23C ．1D ．23．（2024·河南信阳·模拟预测）已知()πsin 3f x A x B ωæö=-+ç÷èø（0,0,A B ω>>为常数），()max 1()3f x f x ==，()min 2()1f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2，若()f x 在区间[],a b 上恰有8个零点，则b a -的最小值为（）A ．3πB ．11π3C ．7π2D ．10π34．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,t 上的值域为éùëû，则t 的取值范围为（）A ．5π2π,123éùêúëûB ．π5π,46éùêúëûC ．5π5π,126éùêúëûD ．5π,π12éùêúëû1．（2024·河北唐山·一模）已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则（）A ．()f x 在ππ,88éù-êúëû单调递增B ．3π,08æöç÷èø是()f x 的一个对称中心C ．()f x 在ππ,66éù-êëû的值域为éëD ．π8x =是()f x 的一条对称轴2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数()sin 21f x x =+，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()()g x a a =ÎR 在9π0,8éùêëû上有5个实数根，1x ，2x ，3x ，4x ，5x ()12345x x x x x <<<<，则()123452x x x x x ++++=（）A ．9π2B ．6πC ．7π2D ．5π3．（2024·天津红桥·一模）将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数π()sin(2)02g x x ϕϕæö=+<<ç÷èø的部分图象（如图所示）．对于1x "，2,[]x a b Î，且12x x ¹，若()()12g x g x =，都有()12g x x +=成立，则下列结论中不正确的是（）A ．π()sin 23g x x æö=+ç÷èøB ．π()sin 43f x x æö=-ç÷èøC ．()g x 在3ππ,2éùêúëû上单调递增D ．函数()f x 在4π0,3éùêúëû的零点为12,,,n x x x L ，则123185π22212n n x x x x x -+++++=L 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()1cos cos f x x x=-，现给出下列四个结论：①()f x 的图象关于点π,02æöç÷èø对称；②函数()()h x f x =的最小正周期为2π；③函数()()()2g x f x f x =+在π0,2æöç÷èø上单调递减；④对于函数()()()()()π2,0,,3π2g x f x f x x g x g x æö=+"Î=+ç÷èø．其中所有正确结论的序号为（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④5．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）设函数()f x 的定义域为R ，π(4f x -为奇函数，π()4f x +为偶函数，当ππ(,]44x Î-时，4()cos 3f x x =，则（）A ．(4π)()f x f x +=B ．()f x 的图象关于直线3π4x =对称C ．()f x 在区间3π(,2π)2上为增函数D ．方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解1．（2024·山东滨州·二模）已知函数π()sin (0)6f x x ωωæö=+>ç÷èø在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f æö=ç÷èø（）A ．B ．12-C ．12D 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>满足：对x "ÎR ，有()()π02f f x f æö££ç÷èø，若存在唯一的ω值，使得()y f x =在区间ππ,(0)44m m m éù-+>êúëû上单调递减，则实数m的取值范围是（）A ．π0,12æùçúèûB ．ππ,2812æùçúèûC ．ππ,2012æùçúèûD ．ππ,2820æùçúèû3．（2024·广西·模拟预测）已知函数211()cos sin (22h x x a x a =+-³，若()h x 在区间*()(0,πN )n n Î内恰好有2022个零点，则n 的取值可以为（）A ．2025B ．2024C ．1011D ．13484．（2024·山东烟台·三模）若定义在R 上的函数()f x 满足：π04f æö¹ç÷èø，3π04f æö=ç÷èø，且对任意1x ，2x ÎR ，都有()()()121212π44f x x f x x f x f x æö++-=×+ç÷èø，则（）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．π是()f x 的一个周期D ．()f x 图象关于π4x =对称5．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）已知函数()sin sin cos2f x x x x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点()π,0对称B ．()f x 的值域为[]1,2-C ．若方程()14f x =-在()0,m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63æùçúèûD ．若方程()()()2221R f x af x a a éù-+=Îëû在()0,2π上有6个不同的实根()1,2,,6i x i =L ，则61i i a x =å的取值范围是()0,3π一、单选题1．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以π为周期，且其图象关于点π,04æöç÷èø对称的是（）A ．tan y x =B ．|sin |y x =C ．22cos 1y x =-D ．sin cos y x x=-2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()cos 2210f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的图象的一个对称中心为（）A ．π,012æö-ç÷èøB ．π,012æöç÷èøC ．π,112æö-ç÷èøD ．π,112æöç÷èø3．（2024·天津北辰·三模）已知函数()22cos 2cos 2f x x x x =+，则下列结论不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的图象关于点5π1,242æöç÷èø对称C ．若()f x t +是偶函数，则ππ124k t =+，Z k ÎD ．()f x 在区间π0,4éùêúëû上的值域为[]0,14．（2024·福建泉州·一模）已知函数()f x 的周期为π，且在区间ππ,63æöç÷èø内单调递增，则()f x 可能是（）A ．π()sin 3f x x æö=-ç÷èøB ．π()cos 3f x x æö=-ç÷èøC ．π()sin 23f x x æö=-ç÷èøD ．π()cos 23f x x æö=-ç÷èø5．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·吉林长春·模拟预测）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．π2,6A ϕ==B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．函数()f x 在ππ,32æöç÷èø上单调递减D ．函数()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称二、多选题7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x =×，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的最小值为12-D ．()f x 在π0,2éùêëû上单调递增8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，则（）A ．()f x 在区间π5π,1212æöç÷èø单调递减B ．()f x 在区间π11π,612æö-ç÷èø有两个极值点C ．直线5π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =+是曲线()y f x =在0x =处的切线9．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数()2πcos2cos 2,3f x x x æö=++ç÷èø则（）A ．函数()f x 的图象关于点7π,012æöç÷èø对称B ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位长度后所得到的图象关于y 轴对称C ．函数()f x 在区间[]0,π上有2个零点D ．函数()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()πcos 03f x x ωωæö=+>ç÷èø，则（）A ．当2ω=时，π6f x æö-ç÷èø的图象关于π2x =对称B ．当2ω=时，()f x 在π0,2éùêúëûC ．当π6x =为()f x 的一个零点时，ω的最小值为1D ．当()f x 在ππ,36æö-ç÷èø上单调递减时，ω的最大值为1一、单选题1．（2024·全国·三模）若偶函数()()()πcos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕæö=+++><ç÷èø的最小正周期为π2，则（）A ．2ω=B ．ϕ的值是唯一的C ．()f xD ．()f x 图象的一条对称轴为π4x =2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数()cos2πf x x =，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（）A ．(21)y f x =-B ．12x y f æö=-ç÷èøC ．122x y f æö=-ç÷èøD ．122y f x æö=-ç÷èø3．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数()πsin 212f x x æö=-ç÷èø的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a éùêúëû和7π4,6a éùêúëû上均单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．π7π,624éö÷êëøB ．ππ,62éö÷êëøC ．7ππ,242éö÷êëøD ．π7π,1224éö÷êëø4．（2024·山东济宁·三模）已知函数1()cos )cos 2f x x x x =+-，若()f x 在区间π[,]4m -上的值域为[，则实数m 的取值范围是（）A ．ππ[,62B ．ππ[,]62C ．π7π[,612D ．π7π,612éùêúëû5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数ππ()sin()0,0,22f x A x A ωϕωϕæö=+>>-<<ç÷èø，且π2π,63x x ==是函数y =()f x 相邻的两个零点，R,()3x f x "Î£，则下列结论错误的是（）A ．3A =B ．2ω=C ．π6ϕ=-D ．ππ1212f x f x æöæö-=--ç÷ç÷èøèø二、多选题6．（2024·山东·模拟预测）已知函数()sin2cos2f x a x x =+的图象关于直线π6x =对称，则下列结论正确的是（）A ．07π6f æö=ç÷èøB ．π12f x æö-ç÷èø为奇函数C ．若()f x 在[],m m -单调递增，则π06m <£D ．()f x 的图象与直线15π224y x =-有5个交点7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，下列说法正确的是（）A ．若函数图象过原点，则0ϕ=B ．若函数图象关于y 轴对称，则ππ,2k k ϕ=+ÎZ C ．若函数在零点处的切线斜率为1或1-，则其最小正周期为2πD ．存在18ω=，使得将函数图象向右平移π6个单位后与原函数图象在x 轴的交点重合8．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数()()πsin 06f x x ωωæö=->ç÷èø，则下列结论正确的是（）A ．()0,2ω"Î，()f x 在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若2ω=且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则ω的取值范围为58,33éö÷êëøD ．存在()0,2ωÎ，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数9．（2024·河北张家口·三模）已知函数2()2sin cos =+f x x x x ，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点π,03æöç÷èø对称C ．将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为5π12D ．若15π12242f a æö-=ç÷èø，其中a 为锐角，则sin cos a a -10．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕp =+>><<，其部分图象如图所示，且直线y A =与曲线π11π()2424y f x x æö=-££ç÷èø所围成的封闭图形的面积为π，下列叙述正确的是（）A ．2A =B ．π()24y f x =+为奇函数C ．π2π3π2024π08888f f f f æöæöæöæö++++=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL D ．若()f x 在区间π,6a a æö+ç÷èø（其中0a >）上单调递增，则a 的取值范围是5π7π,2424éùêúëû1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2023·北京·高考真题）设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕæö=+><ç÷èø．(1)若(0)f =ϕ的值．(2)已知()f x 在区间π2π,33-éùêúëû上单调递增，2π13f æö=ç÷èø，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f æö=ç÷èø条件②：π13f æö-=-ç÷èø；条件③：()f x 在区间ππ,23éù--êúëû上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+Î.（1）求函数22y f x p éùæö=+ç÷êúèøëû的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x p æö=-ç÷èø在0,2p éùêúëû上的最大值.4．（2020·全国·高考真题）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π25．（2020·山东·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （）A ．πsin(3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +D ．5πcos(2)6x -6．（2020·全国·高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2p 对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．7．（2019·浙江·高考真题）设函数()sin ,f x x x =ÎR .（1）已知[0,2),q Îp 函数()f x q +是偶函数，求q 的值；（2）求函数22[()][(124y f x f x p p =+++ 的值域.8．（2019·全国·高考真题）设函数()f x =sin （5x ωp +）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2p 有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2p ）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2p ）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10p ）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④9．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以2p 为周期且在区间(4p ，2p )单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │10．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2p,p ）单调递增-p p有4个零点④f(x)的最大值为2③f(x)在[,]其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③。

高考数学(易错集)专题03 函数的图像与性质理(2021年最新整理)

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专题03 函数的图像与性质1．（2016·课标全国乙）函数y＝2x2－e｜x|在[－2,2]的图象大致为( ）答案D2．（2016·山东）已知函数f(x）的定义域为R，当x<0时，f（x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x）＝－f（x）；当x〉错误!时，f错误!＝f错误!,则f(6)等于（）A．－2B．－1C．0D．2答案D解析当x〉错误!时,f错误!＝f错误!，即f(x)＝f（x＋1)，∴T＝1,∴f(6）＝f(1）．当x<0时，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f（－x)＝－f（x）,∴f(6)＝f（1)＝－f（－1)＝2,故选D.3．(2016·上海)设f(x），g（x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题:①若f（x）＋g（x），f（x)＋h（x）,g（x）＋h(x）均为增函数，则f(x），g（x)，h(x）中至少有一个为增函数；②若f(x）＋g(x），f（x)＋h（x),g(x）＋h（x)均是以T为周期的函数，则f（x)，g（x)，h（x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题答案D4．(2016·北京）设函数f(x)＝错误!（1）若a＝0，则f（x）的最大值为________；（2）若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是________．答案(1）2 （2)（－∞，－1)解析(1)当a＝0时，f（x）＝错误!若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1）．由f′(x)＞0得x＜－1,由f′（x)＜0得－1＜x≤0。