1.1 正弦定理(1)教学设计

§2.1.1 正弦定理（1）教学设计
一、教材分析
正弦定理是高中新教材北师大版必修⑤第二章第一节第一课时的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。

提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。

在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题： （1）已知两角和一边，解三角形：
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析
本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修④三角函数和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。

高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。

三、三维目标 1．知识与技能：
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2．过程与方法:
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情感态度与价值观：
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、学法：
引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a
b
c
A B C =
=
，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

五、教法
教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式
整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。

（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。

（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）当堂检测——巩固对正弦定理的的理解
六、教学用具：电脑、多媒体。

教学过程
一、创设情景
如图1．1-1，固定∆ABC 的边BC 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C 二、探索研究 (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c
==, A 则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c
从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则
sin sin a
b
A
B
=
，
同理可得sin sin c
b
C B =
，
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
C
b a
A D c B
(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A 作j AC ⊥
，
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+
∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j
()()0
0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即
sin sin =a c A C
同理，过点C 作⊥ j BC ，可得 sin sin =
b c
B C
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
[理解定理]:（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
，
sin sin c
b
C
B
=
，
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a =
； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

三、处理导学案上的预习自测
四、【合作探究】（学生讨论，展示和点评后，老师再进行归纳总结）
例1.
（2
）45,2,,ABC c A a b B C ∆=== 中，求和
例2． 如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在
所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).
在．
a c C A ABC 求中，,,,.345601===∆ .,,,.c
b a A ABC 求中，若133
2===∆π
b B A a ABC 求中，若在,,,)( 4560121===
∆
五、课堂小结 1．正弦定理：
sin sin a b A B =sin c
C
=
=k 2．正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角． ※ 知识拓展
sin sin a b A B =2sin c
R C
==，其中2R 为外接圆直径. 六、当堂检测 1．在ABC ∆中，若
cos cos A b
B a
=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2．已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1
D ．2∶23．在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定
七、作业布置：见专家伴读第47页测水平。