2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)
数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}22B x x x =+<，则A B =I （ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ()11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UC. ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求A B I 得解.【详解】由题得12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭=1{|2x x ≥或0}x <，{}22B x x x =+<={|21}x x -<<，所以A B =I ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U . 故选：C【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题 3.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4.每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ） A.45B.310C.58D.25【答案】C 【解析】 【分析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.的【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则()0.8,()0.5P A P AB ==.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为()0.55(|)()0.88P AB P B A P A ===.故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.在ABC V 中，6AB =，3BC =，则A ∠的最大值是（ ）A.π6B.π4C.π3D. arcsin【答案】A 【解析】 【分析】先求出cos A ,再利用基本不等式求A ∠的最大值.【详解】由题得22369279cos 2612412b b b A b b b +-+===+≥=⨯⨯ 因为0A π<<,所以06A π<≤.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】连结111,B D AB ，由11//B D EF ，可知异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，分别求出1111,,AD AB D B ，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结111,B D AB ，因为11//B D EF ，所以异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，在11AD B V 中，1AD ==，1AB ==，11D B ==，所以11cos 5AD B ∠==. 故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题. 7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别为线段AD 、CD 的中点，用平面1B MN 截正方体，保留包含点B 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】作出平面1B MN 与正方体表面的交线，即得主视图.【详解】如图所示，平面1B MN 截平面11ABB C 的交线为1B F ,平面1B MN 截平面11BCC B 的交线为1B E ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A. 故选：A【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.若0x ∀>，21221x x a +⋅+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. (),1-∞- C. (],2-∞- D. (),2-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，再通过求函数211y [()]2()22x x=-⋅的值域得解. 【详解】由题得211[()]2()22x xa <-⋅， 设1(),0,012xt x t =>∴<<Q . 所以2()2(01)f t t t t =-<<， 所以()(1)1f t f >=-， 所以1a ≤-. 故选：A【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且213PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A. y =B. y =C.y x =D. y 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，进而根据12||3||PF PF =，分别求得2||PF 和1||PF ，进而根据勾股定理建立等式求得a 和c 的关系，然后求解渐近线方程． 【详解】由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=， 又12||3||PF PF =， 得2||PF a =，1||3PF a =；在RT △12PF F 中，2221212||||||F F PF PF =+， 22249c a a ∴=+，即2225c a =，则2223b a =．即b ，双曲线22221x y a b-=一条渐近线方程：y =；故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握． 10.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种．A. 6B. 12C. 18D. 36【答案】A 【解析】 【分析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，且数列{}n S 的最大项为8S ，取12231111n n n T a a a a a a +=+++L ，则n T 的最大项为（ ） A.49 B.715C.1631D.4181【答案】B 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，80a …，90a „． 所以15701580d d +⎧⎨+⎩…„，解得151578d --剟， 由于2a 为整数， 所以2d =-．则15(1)(2)172n a n n =+--=-． 所以：111111()(172)(152)2217215n n n b a a n n n n +===-----g ， 所以：1111111()213131121721515n T n n =-+-++⋯+---， 111(+)215152n=--， 令1152n b n=-，由于函数1()152f x x=-的图象关于(7.5,0)对称．且27130b b b b <<<<<L ，8910110b b b b <<<<⋯<． 71n b b =„．故：117(1)21515n T -=„．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．12.已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -≤成立，其中e 为自然对数的底数，则2ba -的最小值为（ ） A. 12-B. e 2-C. 1e-D. 2e-【答案】A 【解析】 【分析】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2()(0),a x bf x xe x --=>对a 分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解. 【详解】由题得(2)21a x b xe --≤， 设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x ba xb f x xex f x e x a ----'=>∴=+-，由()0f x '>得1(2)0,(2)1x a a x +->∴-<，当2a >时，12x a <-，所以函数f(x)在1(0,)2a -上单调递增，在1(+)2a ∞-，上单调递减， 所以12max 11()()1,22bf x f e a a --==≤-- 所以121ln(2)2,12ln(2),2ba e ab a b -----≤-∴--≤-∴≥，所以1ln(2)22(2)b a a a ---≥--， 设1lnt2(0),()2a t t g t t---=>∴=， 所以22ln ()4tg t t'=，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增， 所以min 1()(1)2g t g ==-.所以此时2ba -的最小值为12-.当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --≤. 故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题．把答案填写在答题纸相应位置上．13.若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．【答案】49【解析】 【分析】由积分的几何意义可得，20m =⎰，利用积分基本定理求解后可求正实数m 的值．【详解】由积分的几何意义可得，223m x==⎰323202|3m m =解得49m =． 故答案为：49【点睛】本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题． 14.若关于x 的不等式2320ax x a -+≥的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是______．【答案】3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】分离参数可得2231xa x +…，根据基本不等式即可求出．【详解】不等式2320ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞， 即x R ∀∈，2320ax x a -+≥恒成立， 2231xa x ∴+…， 当0x =，0a …， 当0x ≠时，213||||a x x +…，因为213||||xx+所以)a∈+∞．故答案为：3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.已知a r，br均为非零向量，且23a b=rr，若3|2|a b a kb+≥+r rr r恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．【详解】非零向量ar，br夹角为θ，若2||3||a b=rr，23||||cos||cos2a b a b bθθ=⨯⨯=r r rr rg，不等式|3||2|a b a kb++r rr r…对任意θ恒成立∴22(3)(2)a b a kb++r rr r…，，即22222227||9||cos9||6||cos||4b b b k b k bθθ-+++r r r r r…；整理可得，29()(96)cos04k kθ-+-…恒成立，cos[1θ∈-Q，1]，∴229960499604k kk k⎧-+-⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩……，解得32k=，故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．16.已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．【解析】 【分析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',先求出12O O ''=，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.【详解】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',所以1223O O ''=⨯=，由题得圆台的高为由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x ,则BM=x , 在直角ABG ∆中，222(2)(2)x x +=+-， 所以32x =， 所以下底半径为372+=22， 所以圆台的体积为2217[4+()32ππ⋅+⨯=【点睛】本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，1BC =，12AB AA ==．的（1）证明：11A B AC ⊥；（2）若12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，E 、F 分别为11A B 、AC 的中点，求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）θ=【解析】 【分析】（1）先证明1A B ⊥平面11AB C ，可得11A B AC ⊥；（2）由12AB AA ⋅=-u u u r u u u r 得1π3ABB ∠=，延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ．证明BG AB ⊥，BG BC ⊥，AB BC ⊥,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线EF 与平面1BEC 的夹角． 【详解】解：（1）连结1AB ．∵ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ． 又∵11B C BC ∥，∴11B C ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴111A B B C ⊥∵11ABB A Y 中，1AB AA =，∴11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥． 因为111,AB B C ⊆平面11AB C ,1111AB B C B ⋂=, 所以1A B ⊥平面11AB C ，因为1AC ⊆平面11AB C 所以11A B AC ⊥.（2）∵12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，且12AB AA ==，∴12π3AA B ∠=， ∴1π3ABB ∠=． 延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ． ∵11π3GB B ABB ∠=∠=，且11B G =，12BB =，∴1BG A G ⊥且BG =BG AB ⊥．又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ， ∴BG AB ⊥，BG BC ⊥．又∵AB BC ⊥，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，，其中各点坐标为(E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(1C ，∴1,1,2EF ⎛=- ⎝u u u r，(0,BE =u u ur，(1BC =u u u u r ．取平面1BEC 的法向量为(),,n a b c =r，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r，即200b a b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-r，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则sin cos ,n EF θ===u u ur r ，∴θ= 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.已知函数()()22cos 1f x p x x =-+，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 1sin 2b Bc C ==，再求范围得解.【详解】（1）依题意()()22cos 1f x p x x =-22cos cos p x x x =--1cos 22p x x =--π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==． 因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增， 解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ． （2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角，∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中tan ,3C ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X （分钟）表示步行到校的时间，可以认为()22,4X N ~．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y （分钟）描述骑车到校的时间，可以认为()16,16Y N ~．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z （分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为()10,64Z N ~．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？ （2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量()0,1N η~，则()1168.26P η-<<=％，()2295.44P η-<<=％，()3399.74P η-<<=％．【答案】（1），三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）() 5.79E ξ≈（元），()0.668D ξ≈（元2） 【解析】 【分析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，求出()12597.72P X <<％．若骑车到校，则不迟到概率记为()225PX <， ()225P X <∈（97.72％，99.87％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，()32597.72P X <<％．比较即可做出选择；（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出()1E ξ和()1D ξ，再求ξ的期望与方差. 【详解】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，取122μ=，12σ=， 则1124μσ+=，11226μσ+=，()()11195.442526197.722P X P X -<<<=-=％％．若骑车到校，则不迟到的概率记为()225P X <，取216μ=，24σ=， 则2220μσ+=，22224μσ+=，22328μσ+=，则()()2241195.4497.72P X <=--=％％， ()()2281199.7499.87P X <=--=％％， ∴()()()()2222524,28P X P X P X <∈<<=（97.72％，99.87％）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，取310μ=，38σ=， 则3318μσ+=，33226μσ+=，()()33252697.72P X P X <<<=％．综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为()()2168.262015.872P X ->==％％，∴()15,15.87B ξ~％，∴()1515.87E ξ=⨯％0.7935=，()1515.87D ξ=⨯％()115.870.668⨯-≈％．又∵()111255ξξξξ=+-=+，∴()()15 5.79E E ξξ=+≈（元），()()10.668D D ξξ=≈（元2）【点睛】本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知()ln f x m x =，从原点O 作()y f x =图像切线，切点为P，已知OP =，其中e 为自然对数的底数． （1）求m 的值； （2）若()()()212g x f x x k =++有两个极值点1x ，2x ， （i ）求参数k 的范围； （ii ）若假定12x x <，求()21g x x 的取值范围． 【答案】（1）1m =（2）（i ）(),2k ∈-∞-（ii ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求出切点P 为(),e m ，再根据OP ==求出m 的值；（2）（i ）()()2111g x x k x kx x x'=++=++，()21h x x kx =++，则()h x 在()0,∞+有两零点，得到k 的不等式，解不等式即得解；（ii ）先求出()222121ln 2g x x x x x =+，再利用导数求函数的值域得解. 【详解】（1）∵()mf x x'=，从原点O 作()y f x =图像的切线， 设切点()00,ln x m x ，∴000ln 00m x mx x -=-，∴0x e =，∴切点P 为(),e m ．又∵OP ==，且0m >，∴1m =．（2）（i ）依题意()()21ln 2g x x x k =++，其中0x >， ∴()()2111g x x k x kx x x'=++=++，取()21h x x kx =++， 若函数()g x 有两个极值点，则()h x 在()0,∞+有两零点， ∴02k ->，240k ->，∴(),2k ∈-∞-． （ii ）若1x ，2x 为()g x 的极值点，则1x ，2x 为()210h x x kx =++=的两根，∴121=x x ，12x x k +=-．又∵12x x <，∴1201x x <<<，∴()()()222222221ln 2g x x x g x x x x k x ==++． 又∵22210x kx ++=，∴221k x x =--，∴()222121ln 2g x x x x x =+， 取()()1ln 12p x x x x x =+>，∴()211ln 02p x x x'=+->， ∴()p x 在()1,+∞单调递增，∴()p x 的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，即()21g x x 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点(),0P a ，且与抛物线C 交于A 、B 两点，90AFB ∠=︒． （1）求a 的取值范围；（2）若1a ≥，点E 的坐标为()1,0-，直线EA 与抛物线的另一个交点为M ，直线EB 与抛物线的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴交于点(),0Q b ，求+a b 的取值范围．【答案】（1）((),33a ∈-∞-++∞U （2）(6,)+∞【解析】【分析】（1）设直线l 为(0)x my a m =+≠，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为交点，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r 得226140a a m -+=>，即得解；（2）求出点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用(),0Q b 在直线MN 上得到1a b a a +=+，设()1f a a a =+，利用导数求出函数的取值范围.【详解】（1）依题意，设直线l 为(0)x my a m =+≠，代入24y x =得2440y my a --=，其判别式为216160m a ∆=+>，∴2m a >-． 设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭为交点， ∴124y y m +=，124y y a =-．∵焦点F 的坐标为()1,0， ∴2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2221,4y FB y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u uu r ． ∵90AFB ∠=︒， ∴()2222212121212121211111441642y y y y FA FB y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r224610a m a =--+=，∴226140a a m -+=>，∴3a >+3a <-∵()2221616424416410m a a a a a ∆=+=-++=->成立．∴((),33a ∈-∞-++∞U ．（2）若1a ≥，则3a >+ 设点233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭为直线EA 、直线EB 与抛物线的交点．设直线EA 为11x m y =-，代入24y x =得21440y m y -+=，∴134y y =，∴314y y =， 同理可得424y y =， ∴点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又∵(),0Q b 在直线MN 上， ∴21144,QM b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，22244,QN b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 共线， ∴2212124444b b y y y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴221212212112441616161614444b y y y y y y ay ay a y y ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． ∵12y y ≠，∴1b a =， ∴1a b a a +=+，设()1f a a a=+， ∴()2110f a a'=->在322a >+时恒成立， ∴()f a 在322,)++∞（单调递增，(322)6f +=∴+a b 的取值范围为．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为，射线与曲线C 交于点P ，点Q 满足，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，当为何值时，最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线l 的参数方程为，其中t为参数（2）当时，取得最大值【解析】【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C的直角坐标方程为，求出点Q的直角坐标为，再写出直线l的参数方程；（2）设交点M，N所对应的参数分别为1t，，求出，再求出最大值得解.【详解】（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为．∵点P的极径为，又∵，∴点Q极径为，∴点Q的直角坐标为，∴直线l的参数方程为，其中t为参数．（2）将l的参数方程代入，的设交点M，N所对应的参数分别为1t，，则，∴，当即时取等．【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23.已知正实数x、y满足．（1）若，求x的范围；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）1 4【解析】【分析】（1）化简得，再解分类讨论解不等式得解；（2）先化简原式为，再利用基本不等式求最小值.【详解】（1）∵，∴，取，若，则，或，或，解得．（2）∵，∴，当且仅当时取等．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－ － ＝－ － ＝－ － ，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－ － ≤－ －2＝－ ，∴－ － 的上确界为－ ，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 － － |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则 ＋ ＝2 ，∵|3 － － |＝0，
∴3 － － ＝0，
∴3 ＝ ＋ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝ ，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝ ，α为锐角，所以cosα＝ ，sinα＝ ＝ ，所以tanα＝ ＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝ ＝ ＝－ .
A．f(x)在 上单调递减
B．f(x)在 上单调递减
C．f(x)在 上单调递增
D．f(x)在 上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点 ，
辽宁省沈阳市皇姑区实验中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题
4 + 4 + 4 = 2 3 ， 内 切 球 的 半 径 为 1 ， 所 以 正 方 体 ABCD − A1B1C1D1 的 外 接 球 的 体 积 为
( ) 4 π
3
3 =4
3π ，内切球的表面积为 4π 12 = 4π ，故 A 正确，B 错误．
3
如图， M ， N ， S ，T 分别是棱 AB ， BC ， C1D1 ， A1D1 的中点． 因为 EMNFST 在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，所以平面 被此正方体
确． 10．【答案】CD
【解答】 f ( x) = 2cos2 x +
3 sin 2x = cos 2x +
3
sin
2 x
+1
=
2 sin
2 x
+
π 6
+1．
因为 T
=
2π 2
=
π ，所以
= 1，所以f(x)源自=2sin
2x
+
π 6
+1
．
令 2x + π = kπ (k ) ，得 x = − π + kπ (k ) ，
=
−1−
1i 2
，则 z
的虚部为 −
1 2
．
4．【答案】A
【解答】 sin − 2 cos = tan − 2 = 1 ． 3sin + cos 3 tan +1 10
5．【答案】C
【解答】因为 a//b ，所以 2n = 1 4 ， n = 2 ，所以 3a − nb = (4,8) ，故 3a − nb = 4 5 ．
高三考试数学试卷
辽宁省沈阳市重点高中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题
2020-2021学年度（上）市级重点高中联合体12月联考高三数学第I 卷（选择题）一、单项选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合 A = {—2,70.1,2},集合 B = {xly = log2（l —x ）},则 A^B=（）C先利用函数的定义域求法化简集合B,再利用交集的运算求解. 因为集合B = {x|y = log 2（l-x ）} = U|x<l （,集合心{-2,-1,0丄2}, 所以 AOB = {-2,-1.0}.故选：C.本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.C先根据复数除法法则化简，再根据复数模的定义求结果.（2 + i ）i （2 + i ）2i -4 + 3i 4 3.・• z = ------ = ---------- = -------- = ----- 1—12-i 5 5 5 5本题考查复数除法运算、复数的模，考查基本求解能力，属基础题.3・已知sin X + Y =m ,则 cosk 6丿B将角2x-二拆分成x+f 及特殊角的形式，利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理可得答3o案.A. {2}B. {12}C. {—2,70} D ・{—2,70,1}2.已知七A. 3C. 1D.心心+(|)2=1故选：CA ・1一2加$B ・ 2nr -1D ・ 2/n-l)B. 2 方法点睛：已知角的某种三角名称值，求其相关角的三角名称值问题，把题口中已知的角做体及特殊角一起，去构造需要求解的角，再利用诱导公式、倍角公式进行处理.4•等差数列｛"”｝中，已知坷>0,他+為<0,则｛陽｝前"项和S“的最小值为( )A.S4B. S、C. $6D. S?C先通过数列性质判断咳<0,再通过数列的正负判断S”的最小值.等差数列仏｝中，+^9 < 0 , A a5 +a() = 2a6 < 0 ,即a6<0.乂① >0, .•.｛©｝的前"项和S” 的最小值为Se •故答案选c本题考查了数列和的最小值，将S”的最小值转化为W”｝的正负关系是解题的关键.5.(l-x)(l + x)3的展开式中，疋的系数为()A. 2B. -2C. 3D. -3B由题意转化条件得(1 —X)(l +才=(l+x)‘—x(l+x)'，再由二项式定理写出(1 +才的通项公式, 分别令厂=3、r = 2,求和即可得解.详解】由题意(1-X)(1+ X)3=(1+ A-)3-A(1+ A-)\(1 +才的通项公式为几=C；•严•才=C；• 0 ,令广=3,则C；=C； = 1；令广=2,则CJ = C;=3；所以(l-x)(l + x)'的展开式中，F的系数为1-3 = -2.故选：B.本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.已知平面向量方，石满足”卜5, p+%4, p-b| = 6,则向量方在向量乙方向上的投影为( )A. 1B. 0C. —1D. —一2Ca-b通过条件可得bS根据公式-7■代值计•算即可.7b7解：由Q 十b =4 , a-b =6半方相减可得a 巧=一5,crb -5,所以向量方在向量乙方向上的投影为-g- = y = -1.故选：C.方=匕」）/ =也」2），计算向量方在向量乙方向上的投影的两个公式:«*aa-b（1）已知向量数量积和模长： 丁；7•抛物线C ： y 2= 4x 的焦点为N 为准线上一点，M 为）'轴上一点，ZMNF 为直角,若线段MF 的中点E 在抛物线C±,则4WVF 的面积为（）C设M （O"gE （g 冷）,E 在抛物线C 上可得〃匸±2血，由抛物线的对称性，不妨设川=2血， ”（一1/）,・・・而 =（1,271 — 〃），兩=（一2丿）••和页 =02迈-心・（-2』）=0,可得”=血，由两 点距离公式可得MN =也、NF = x/6,.\ S=-MN ・NF =JJx 点=也・2 2 2点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据MF 的中点E 在抛物线C 上， 确定M 点的坐标,再根据ZMVF 为直角，二血•万V = （l,2血-2/） = 0可得N 点的坐标, 由两点距离公式可得MN = *,NF = EU F £M N • NF =辱屁屁洋.8. 已知函数f （x ） = sin 血+acoss:,周期T<2兀,且在x= ^处取得最大值，则使得不等式用动2d 恒成立 实数兄的最小值为（)A. —B.C.D.迺 10 111213B（2）已知向量的坐标: V x 22+ y 22先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得（血卩二；■两 tan ——6⑪ 再根据/（f ） = 73,可得COS 名妇#=,②，通过①②求出d 的值，再根据三角函数的性3 6 认广+1 质可得e=i 次+ i, kwZ,求出I ^L …=H ,根据不等式川。
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设函数()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，则集合A B 为（ ） A ．（2，3） B ．(]2,3C ．[)3,2-D ．（-3，2）【答案】C【解析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤， 又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<， 所以{|32}A B x x ⋂=-≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题. 2．“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为（ ） A ．x A ∃∈，使得22250x x --< B ．x A ∃∈，使得22250x x --≤ C ．x A ∀∈，使得22250x x --≤ D ．x A ∀∈，使得22250x x -->【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为“x A ∀∈，使得22250x x --≤”． 故选：C3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由222a b >>可得1222a b >>，即1a b >>，可推出log 2log 2a b <， 当01a <<，1b >时，不等式log 2log 2a b <成立，但推不出222a b >>，根据充分和必要条件的定义可得“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的充分不必要条件， 故选：A.4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5．函数()2x xe ef x x --=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由1(1)e e 0f -=->排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，排除A, 1(1)0f e e -=->，故排除D. ()()()()()243222,xx x x x x e x e xx e x e f x x e e x ---+---++=='，当2x >时，()0f x '>，所以()f x 在()2+∞，单调递增，所以排除C ； 故选：B.6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ，空气的温度是0θ，t 分钟后物体的温度θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-（e 为自然对数的底数）求得．已知ln 20.693≈，把温度是100℃的物体放在10-℃的空气中冷却到45℃约需要（ ） A ．1.69分钟 B ．2.89分钟 C ．4.58分钟 D ．6.61分钟【答案】B【分析】根据题中的公式代入数据，根据指数与对数运算法则计算即可. 【详解】由题意得，()0.24451010010e t-=-++℃℃℃℃，化简得，0.241e2t-=， 即0.24ln 20.693t =≈， 所以()2.89min t ≈ 故选：B7．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增．若实数a 满足()()212log (log )22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]0,4C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据给定条件利用对数换底公式变形，再结合函数奇偶性、单调性求解不等式作答.【详解】函数()f x 是定义域为R 的偶函数，则1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，21222(log )(log )2(2)2(log )2(2)(|log |)(2)f a f a f f a f f a f +≤⇔≤⇔≤，函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，于是得：22|log |22log 2a a ≤⇔-≤≤22222log 2log log 2a -⇔≤≤，解得144a ≤≤，所以a 的取值范围是1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D8．已知5log 2a =，8log 3b =，0.012c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据给定条件利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较大小作答.【详解】函数5log y x =与函数8log y x =在(0,)+∞上都单调递增，238<<，则有58881log 2log log log 3log 812a =<==<=，即1a b <<， 函数2x y =在R 上单调递增，0.010>，则0.010221c =>=， 所以a b c <<. 故选：C 二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C ．一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，则这组数据总和等于60 D ．数据1a ，2a ，…，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，…，2n a 的方差为22s 【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A 正确， 根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B 正确；由一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，可知样本平均数为3，这组数据总和等于60，故C 正确；数据1a ，2a ，，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，，2n a 的方差为24s ，故D 错误.故选：ABC ．10．若a b >，则（ ） A ．22ac bc > B ．22a b --< C ．330a b -> D ．()ln 0a b ->【答案】BC【分析】由0c 判断A ；根据指数函数和幂函数的单调性判断BC ；由对数函数的性质判断D.【详解】0c 时，选项A 错误；利用()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可知22a b --<，选项B 正确；利用()3f x x =在R 上单调递增可知330a b ->，选项C 正确；若01a b <-<，则选项D 错误． 故选：BC11．已知函数()f x 在区间I 上连续，若对于任意1x ，2x I ∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为区间I 上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ） A ．1lny x= B ．23y x -= C ．231x y x +=+，()1,x ∈-+∞ D ．()121222x x y x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得. 【详解】对于A ，由1lny x=，可知()0,x ∈+∞，任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠， 则()()()()212121212ln ln ln ln 22222x x f x f x x x x x +⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-=->-1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B，23y x-==()(),00,x ∈-∞⋃+∞，函数在定义域上不连续，故B 错误；对于C ，231211x y x x +==+++，()1,x ∈-+∞，任意1x ，()21,x ∈-+∞，且12x x ≠， ∴()()1212112,2,11f x f x x x =+=+++12121212222212x x f x x x x +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭+， ∵()()()()121212121122112222211f x f x x x x x x x ++++++++==+++，∴()()121222211x x x x +++++12222x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭()()121212222112x x x x x x ++-++++ ()()()()()()()()()()22121212121212122411021122112x x x x x x x x x x x x x x ++-++-==>++++++++，即()()122f x f x +>122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()1212242222x x x x f x x x --⎛⎫=++=+⋅+ ⎪⎝⎭，可知R x ∈，任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，∵121224424x xx x ++>⋅，12122222242x x x x +⋅+⋅>⋅，()1212222x x x x +=+，∴()()121212121212224422222242222x x x x x x x x f x f x x x +++++⋅+⋅++=>+⋅()12122x x x x f +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD ．12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．()41ω=B ．()()2n n ωω=C ．()()231n n ωω+=+D ．()()4523n n ωω+=+【答案】ABD【分析】根据()n ω定义判断B 和D ，运用特殊值法判断A 和C 即可.【详解】对于选项A ，0124020212=⋅+⋅+⋅，()40011ω=++=，选项A 正确；对于选项B ，()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，所以()012k n a a a ω=+++ ()n ω=，选项B 正确；对于选项C ，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，所以()73ω=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，选项C 错误；对于选项D ，23201452225k k n a a a ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+()01223201232010112021222212021222k k k k a a a a a a ++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()12101120101011452.2322231212222k k k k k n a a a n a a a a a a ω+++=+++⋅⋅⋅++=⋅+⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅()012101121222k k a a a +=⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()01232k n a a a ω+=+++⋅⋅⋅+，因此()()4523n n ωω+=+．选项D 正确.故选：ABD【点睛】数列新定义类的题目，往往有一定的难度，需要在认真分析题意的基础上巧妙运用赋值等方法进行判断，从而快速准确地判断一些选项. 三、填空题13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠且()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦．【答案】2x （答案不唯一）【分析】取()2f x x =，利用幂函数的性质逐一验证即可.【详解】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一） 14．函数f （x ）＝ln |x |11x --的零点的个数是 【答案】3【分析】由f （x ）＝0得ln |x |11x =-，然后分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：由f （x ）＝ln |x |11x -=-0得ln |x |11x =-，设函数y ＝ln |x |与y 11x =-，分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象如图： 由图象可知两个函数的交点个数为3个， 故函数的零点个数为3个， 故答案为3【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【答案】13[,]34【分析】根据分段函数在R 上单调递减可得01a << ，且二次函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，所以02ba-≥，且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），从而可得答案．【详解】由题分段函数在R 上单调递减可得01a << 又因为二次函数图像开口向上，所以4302a --≥，解得34a ≤ 且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）， 将0x =代入可得31a ≥，解得13a ≥所以a 的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确01a <<且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）属于一般题．16．已知1a >，2a b ab +-=，则4a b -的最小值为______． 【答案】1【分析】由题可得21a b a -=-，进而可得44131a b a a -=-+--，利用基本不等式即得. 【详解】∵2a b ab +-=，1a >， ∴21111a b a a -==---， ∴44134311a b a a -=-+-≥-=-，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立，∴4a b -的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 17．计算下列各式：(1)()3122318642--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(2)552lg 4lg log log 48++．【答案】(1)312； (2)43. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即得.【详解】(1)()()()()331212433212323181864282216-----⎛⎫⎛⎫-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32133128822⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．(2)285551lg 5lg 42lg 4lg log log 4lg 4882lg8lg 5⎛⎫++=⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭14133=+=．18．已知集合1282xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---≤．(1)当2a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}23A B x x ⋂=≤≤(2)a ≤【分析】（1）首先解指数不等式得到{}13A x x =-≤≤，再求A B 即可.（2）首先根据题意得到{}21B x a x a =≤≤+，再根据充分不必要条件求解即可.【详解】(1)，2a =时，{}25B x x =≤≤，{}23A B x x ⋂=≤≤(2){}2221310124a a a B x a x a ⎛⎫+-=-+>⇒=≤≤+ ⎪⎝⎭， p 是q 的充分不必要条件，则且A B ≠，所以2a ≤19．已知幂函数()()22722m f x m m x -=+-（m Z ∈）的定义域为R ，且在[)0,∞+上单调递增． (1)求m 的值；(2)[]1,2x ∀∈，不等式()320af x x -+>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1m =或3m =- (2)98a >【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】(1)22211m m m +-=⇒=或3m =-， 又因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1m =，()6f x x -=（舍），3m =-，()2f x x =.(2)[]1,2x ∀∈，2320ax x -+>恒成立，[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立． 令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()232g t t t =-，则()g t 在区间13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()max 3948g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故98a >． 20．已知函数()lg f x x =，若ab >，()()f a f b =，求证：2224a b a b+-≥-． 【答案】证明见解析 【分析】根据分段函数单调性及函数值相等，得到()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，利用对数运算得到1ab =，对不等式变形后利用基本不等式进行证明.【详解】证明：()[)()lg ,1,,lg ,0,1,x x f x x x ∞⎧∈+⎪=⎨-∈⎪⎩()f x 在()0,1单调递减：在[)1,+∞上单调递增，所以()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，()()()lg lg 0lg 01f a f b a b ab ab =⇒+=⇒=⇒=，()2222224a b ab a b a b a b a b a b-++++==-+---， ()4424a b a b a b a b-+≥-=--，当且仅当 4a b a b -=-即21a =+，21b =-时等号成立，所以2224a b a b ++≥-． 21．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）81.5,82.【分析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a ；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.020100.420.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0200.040100.820.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.020100.0400.50x ++⨯+=得2x =，故乙样本数据的中位数为80282+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5.22．已知函数()()log 1x a f x a kx =++（0a >且1a ≠，k ∈R ）是偶函数．(1)求k 的值：(2)若0a ∀>且1a ≠，函数()y f x =的图象与函数()12g x x b =+的图象都没有交点，求b 的值；(3)设函数()24log 3x a h x c a c ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数c 的取值范围．【答案】(1)12k =- (2)0(3){}()31,c ∈-⋃+∞【分析】（1）利用()()f x f x -=列方程，化简求得k 的值.（2）由()()f x g x =分离常数b ，结合对数函数的性质求得b 的值.（3）由()()f x h x =列方程，利用换元法，结合对c 分类讨论来求得c 的取值范围.【详解】(1)()()f x f x =-，即()(log 1log 1)x x a a a kx a kx -++=+-，()()2log 1log 1x x a a kx a a -=+-+，12log log 1x x a a x a kx a x a --⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭， 12k =-． (2)()11log 122x a a x x b +-=+，即()log 1x a b a x =+-， ()log 1log x x a a b a a =+-，11log log 1x a a x x a b a a ⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为111xa +>， 所以()0,1a ∈，()1log 1,0a x y a⎛⎫=+∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,a ∈+∞，()1log 10,a x y a ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭， 所以0b =．(3)由题意得，()22411log log 1log 32x x x a a a x a c a c a x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一解， 222244033143x x x x x c a c c a a c a c a ⎧⎛⎫⋅-=⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩有唯一解． 令x t a =，()0,t ∈+∞，有唯一解，()241103c t ct ---=有唯一解． 设()()24113r t c t ct =---， 当1c =时，()413r t t =--，()0,t ∈+∞，()0r t <，所以不符合题意； 当1c >时，()010r =-<，4161616251039999r c c ⎛⎫=---=-< ⎪⎝⎭，所以恰好一个大于43的解：符合题意；当1c <时，()244103c c ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭， 解得3c =-或34， 3c =-，12t =符合题意； 34c =，2t =-不符合题意， 综上，{}()31,c ∈-⋃+∞.【点睛】求解方程根、函数图象的交点、函数零点等问题，可考虑分离常数法来进行求解.如本题中第（2）问，()f x 与()g x 有0个交点，转化为()()f x g x =有0个解，分离常数b 后，转化为b 与1log 1a x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象没有交点来进行求解.。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2020-2021学年高一上学期12月月考试题 数学 Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高一（ 17 届）数学试题命题人： 数学组 审校人： 数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一．选择题：（满分60分）1.已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤3}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,3]C ．(1,3)D ．(1,3]2.若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( C )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5] 3.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四周体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆4. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5.假如一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 26.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( ) A ．与点E ，F 位置有关 B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值7.若始终线上有相异三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交且不垂直D ．l ∥α或l ⊂α8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2 9. 已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1 10. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－2，12 11.已知函数f (x )=log 2(t +1t−m),(t >0)的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A.（−∞，−2） B.（−2,2） C. [2,+∞) D .(−∞,+∞)12.2x 3−x 2−2x +1=0的三个根分别是α，β，γ，则α+β+γ+αβγ的值为（）A ．-1B ．0C ．−12 D ．12第Ⅱ卷 （90分）二．填空题：(满分20分)13. 若方程4(3)20xxm m +-•+=有两个不相同的实根，则m 的取值范围是 14. 已知在三棱锥BCD A -中, 22CABD,23CD ，2ADAB BC ,则该棱锥的外接球半径15. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为16. 在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最终经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是三.解答题：（70分）17. 已知定义在R 上的单调函数f (x )满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有 f (x 0x 1＋x 0x 2)＝f (x 0)＋f (x 1)＋f (x 2)恒成立． 求：(1)f (1)＋f (0)； (2)x 0的值．18. 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：平面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．。
2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．OA 、OB 、OC 共线 B ．OA 、OB 共线 C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【答案】D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论. 【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底， 所以OA 、OB 、OC 共面， 所以O 、A 、B 、C 四点共面， 故选：D2．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2C．D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.3．与曲线2211636x y +=共焦点，且与双曲线22146x y -=共渐近线的双曲线的方程为（ ） A ．221128y x -=B ．221812y x -=C ．221128x y -=D ．221812x y -=【答案】A【分析】先由与椭圆共焦点得到220c =，且焦点在y 轴上，从而巧设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，利用222c a b =+即可得解.【详解】因为曲线2211636x y +=为椭圆，焦点在y 轴上，且2361620c =-=，又因为所求双曲线与双曲线22146x y -=共渐近线，所以设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，即22164y x λλ-=--，则26420c λλ=--=，解得2λ=-， 所以所求双曲线为221128y x -=.故选：A.4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ） A ．13B ．23C ．16D ．56【答案】B【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =，16d =， 故任意两人所得的最大差值243d =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 5．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()6353a a a =+，则117S S =（ ） A ．117B ．227C ．337D ．667【答案】D【分析】先利用等差公数的通项公式得到15130a d +=，再利用等差公数的前n 项和公式即可得解. 【详解】因为{}n a 是公差不为零的等差数列，()6353a a a =+，所以()1115324a d a d a d +=+++，得15130a d +=， 令()50d k k =≠，则113a k =-，则所以()()()()1111711111011115111325111266276737131572772a d a d k k S S a d k k a d ⨯++-+⨯=====⨯+-+⨯+. 故选：D.6．已知圆22()()1x a y b -+-=经过原点，则圆上的点到直线2y x =+距离的最大值为（ ） A ．22 B ．22+ C ．21+ D ．2【答案】B【分析】由题意画图，数形结合可知2=21+1OB =，当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大，进而可求结果.【详解】如图：22()()1x a y b -+-=圆心为(,)a b ，经过原点，可得221a b += 则圆心(,)a b 在单位圆221x y +=上，原点(0,0)到直线2y x =+的距离为=21+1OB 延长BO 交221x y +=于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 延长线交圆C 于点D ， 当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大为2+1OB 此时，圆22()()1x a y b -+-=上点D 到直线2y x =+的距离最大为22OB 故选：B【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D 到直线2y x =+的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点M ，N 在C 上，且123F F MN =，12F M F N ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D 【答案】D【分析】根据123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ，且12PF F △为等腰直角三角形，可得N 的坐标，分别求出12,NF NF ，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ， 且12PF F △为等腰直角三角形， 所有1OP OF c ==，如图，则2,33c c N ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，()2,0F c ，所以1NF ==，23NF ==，则122NF NF a -==，即a =，则c e a === 故选：D.8．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为52的双曲线222:1(0)y C x a a -=>上支的一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则可求出焦点坐标和渐近线方程，上焦点为15)F ，则由双曲线的定义可得1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性取一条渐近线2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则将问题转化为求出14PF d ++，而1PF d +的最小值为15)F 到渐近线2y x=的距离，从而可求得答案【详解】因为双曲线222:1(0)y C x a a -=>5，215a +=24a =，则 双曲线方程为2214y x -=，5c =所以下焦点(0,5)F -，渐近线方程为2y x =±， 设上焦点为15)F ，则1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和为14PF d PF d +=++，因为1PF d +的最小值为1F 到渐近线2y x =1=，所以14PF d PF d +=++的最小值为415+=，即PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5， 故选：D二、多选题9．已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）． A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD【分析】根据211n S n n =-，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC.【详解】解：因为22111211124n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；当1n =时，110a =，当2n ≥时，由211n S n n =-，得()()211111n S n n -=---，两式相减得：212n a n =-+， 又110a =，适合上式， 所以212n a n =-+，故C 正确；因为120n n a a --=-<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确； 故选：BCD10．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-（m ∈*N ，且2m ≥），则必定有（ ） A ．0m S > B ．0m S <C ．10m S +>D ．10m S +<【答案】AD【分析】根据等差数列求和公式即可判断. 【详解】∵11m m a a a +-<<-， ∴10m a a +>，110m a a ++<， ∴()102m m a a m S +⨯=>,()()111102m m a a m S +++⨯+=<,故选：AD.11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1126AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||21666AC A 错误； 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅=，所以10AC DB ⋅=，即1AC DB ⊥，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--=，所以0AC BD ⋅=，即AC BD ⊥，因为1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA 的夹角也是120︒，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-，AC AB AD =+所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅，1||36BD ∴= 同理，可得||63AC =11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=，所以111cos ||||63AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅，所以选项D 正确． 故选：AC ．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于不同的A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点()3,1Q ，则||AQ AF +的最小值是4B ．3OA OB ⋅=-C ．若12AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为D ．4||AF BF +的最小值是9 【答案】ABD【分析】对于A ，过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B ，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根据与系数的关系，从而可求出OA OB ⋅的值，对于C ，由12AF BF ⋅=，可得AF BF ⋅()()211112x x =++=，化简后将选项B 中的式子代入可求出m 的值，从而可求出直线的斜率，对于D ，根据选项B 中的式子可求得111AF BF +=，则4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意知，C 的准线方程为=1x -，焦点F （1，0），过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则||AQ AF AQ AA +='+，故||||AQ AF +的最小值是点Q 到C 的准线的距离，即为4，故A 正确；设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=．所以124y y =-，124y y m +=，221212144y y x x =⋅=，()21212242x x m y y m +=++=+， 所以OA OB ⋅=1212143x x y y +=-=-，故B 正确； 若||6AF BF ⋅=，又11AF x =+，21BF x =+，所以AF BF ⋅()()1211x x =++()22111x x x x =+++2142112m =+++=，解得2m =AB 的斜率为1k m =22==C 错误； 11AF BF +211111x x =+++()()12211111x x x x +++=++21122121x x x x x x ++=+++1=，所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭45+5249BF AF AF BF =+≥+=，当且仅当3||2AF =，3BF =时，等号成立，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题13．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且38S =，67S =，则459a a a ++⋯+=________． 【答案】78-【解析】由题意及等比数列前n 项和的性质知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，解得9S 的值，45993a a a S S +++=-，代入计算即可．【详解】根据由题意知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即8，78-，97S -成等比数列，所以()29(1)87S -=-，解得9178S =．所以45993177888a a a S S +++=-=-=-．故答案为：78-14．已知向量()0,2,2a =-，向量()6,3,1b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为____________．【答案】1-【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果. 【详解】因为()0,2,2a =-，()6,3,1b =，所以()0623214a b ⋅=⨯-⨯+⨯=-，22a =，4b =， 所以向量a 在b 方向上的投影数量为4cos ,14a b a b a a b a a bb⋅⋅-⋅=⋅===-⋅. 故答案为：1-.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线20mx y -+=与曲线y =数m 的取值范围是__________． 【答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【分析】做出曲线y 20mx y -+=过定点()02，，数形结合即可求出结果.【详解】由题意可知，曲线y ()1,0-，半径为1的圆的上半部分（含端点），则直线20mx y -+=与曲线y 20mx y -+=过定点()02，，可考虑临界状态，即直线与半圆相切时或直线经过点()2,0-， 当过点()2,0-时，2020m --+=，即1m =，当直线20mx y -+=20211m m --+=+，解得34m =，数形结合可知有两个不同的公共点时实数m 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：3,14⎛⎤⎥⎝⎦.四、双空题16．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．【答案】 603π︒＃＃ 132⎛ ⎝⎭【分析】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B 如图所示，则()1211112F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠，即可求解，又因为点P 位于点A 与B 之间，所以121260F BF F AF ∠<︒<∠，利用正切值即可求解离心率范围．【详解】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B ，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭如图所示：依题意得()121111223060F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 依题意得点P 位于点A 与B 之间，故121260F BF F AF ∠<︒<∠所以122tan tan 60tan tan 30F BF OAF ∠<︒⎧⎨∠>︒⎩，则22333cb ac b ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪>⎩ 化为2323012e e e ⎧+-<⎪⎨>⎪⎩，解得1323e << 故答案为：60︒，13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭五、解答题17．已知()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，点()3,2,3A --，()2,3,2B --． (1)求2a b +的值．(2)在线段AB 上，是否存在一点E ，使得OE b ⊥？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（O 为坐标原点） 【答案】(1)13(2)存在，152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；（2）利用空间向量共线定理得到OE 关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E 的坐标.【详解】（1）因为()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，所以()()()()()221,4,52,3,22,8,102,32,20,5,1a b -+-=-+-=-+=⨯，则23201a b =++.（2）假设线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，则设()01AE AB λλ=≤≤， 因为()3,2,3A --，()2,3,2B --，所以()()()2,3,23,2,31,1,1AB ----=-=--， 又因为OE OA AE AB λ-==，所以()()(),,3,2,33,2,3OE AB OA λλλλλλλ=+=--+--=----+， 因为OE b ⊥，()2,3,2b =-，所以()()()2332230λλλ--+--+-+=，解得67λ=，满足01λ≤≤， 所以6661520153,2,3,,777777OE ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，且152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和是n S ，且25517,35a a S +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11,1,2,n n n b n a a +==，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 【答案】（1）32n a n =-；（2）31+nn . 【分析】（1）由题设有11251751035a d a d +=⎧⎨+=⎩求1a 、d ，写出{}n a 的通项公式；（2）应用裂项相消法，求{}n b 的前n 项和n T 即可.【详解】（1）由题意，25151251751035a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)32n a a n d n =+-=-. （2）由111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， ∴12111111...(1...)34473231n n T b b b n n =+++=⨯-+-++--+11(1)33131nn n =⨯-=++. 19．如图，四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FC ⊥平面ABCD ，12AD FC AB ==.（1）证明：平面ACFE ⊥平面BCF ；（2）若M 为EF 的中点，求平面ABM 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）21919. 【分析】（1）由题可得AC ⊥BC ，AC ⊥CF ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证； （2）利用坐标法即求.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒， ∴∠CBA =60°又12AD BC AB ==，∴在△ACB 中，∠ACB =90°，即AC ⊥BC ， 又FC ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，又BCCF C =，∴AC ⊥平面BCF ，又AC ⊂平面ACFE ， ∴平面ACFE ⊥平面BCF .（2）如图以C 为原点建立空间直角坐标系，设AB =2，则AD =1，CF =1，AC =3，∴3(3,0,0),(0,1,0),((0,0,0),(0,0,1)A B M C F ， 则3(3,1,0),(2AB AM =-=-， 设平面ABM 的法向量(,,)m x y z =，∴00m AB m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令2x =，则(2,23,m =，平面BCF 的法向量可取(3,0,0)n CA ==，∴cos ,412m n mn m n ⋅===+ ∴平面ABM 与平面BCF . 20．已知数列{}n a 是等差数列，且12312a a a ++=，816a =.(1)若数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，试求出数列{}n b 的通项公式；(2)令3nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)4n b n =，*n ∈N ；(2)()12133n n S n +=-⋅+.【分析】(1)利用等差数列性质求出数列{}n a 公差及通项公式，由2n n b a =求解作答. (2)由(1)的结论求出n c ，再用错位相减法计算作答.【详解】（1）等差数列{}n a 中，2123312a a a a =++=，解得24a =，公差28282a d a -==-， 则()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=，因此，2224n a n n =⨯=， 依题意，24n nb a n ==，所以数列{}n b 的通项公式4n b n =，*n ∈N .（2）由(1)知，343n nn n c b n =⋅=⋅，则()21438344343n nn S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 因此，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143nn n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-，所以()12133n n S n +=-+.21．如图，设点,A B 在x 轴上，且关于原点O 对称．点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，且PAB 的面积为20．（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）以,A B 为焦点，且过点P 的椭圆记为C ．设00(,)M x y 是C 上一点，且013x -<<，求0y 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(3,4)-；（Ⅱ）[25,4)(4,25]--．【分析】（Ⅰ）设(,0),(,0)A c B c -，根据点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，得到直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--，两方程联立用c 表示点P 的坐标，再根据PAB 的面积为20，由1||||202P S AB y =⋅=求得c 即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -，P (3,4)-，从而由1(||)2a PA PB =+求得a ，进而得到椭圆C 的方程，然后根据013x -<<求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：设(,0),(,0)A c B c -，则直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--．由2(),1(),2y x c y x c =+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 解得3,54.5c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以34(,)55c cP -． 故PAB 的面积214||||25P S AB y c =⋅=．所以24205c =， 解得5c =．所以点P 的坐标为(3,4)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -．所以PAPB 设以,A B 为焦点且过点P 的椭圆方程为2222:1x y C a b +=．则1(||)2a PA PB =+=22220b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214520x y +=． 所以220014520x y +=， 即220020(1)45x y =-．因为013x -<<，所以209x <≤． 所以21620y <≤． 所以0y的取值范围是[4)(4,25]--．22．已知O 为坐标原点,1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >,0b >）的左, 右焦点,126F F =,若直线10x y --=与双曲线C 点的右支有公共点P . (1)求C 的离心率的最小值;(2)当双曲线C 的离心率最小时,直线():2l y k x =+()0k ≠与C 交于M ,N 两点,求OMONk k k k +的值.【答案】(2)10【分析】(1) 由于3c =,所以离心率的最小值即为求a 的最大值,连接1PF ,2PF ,要使双曲线C 的离心率最小,只需a 最大,即122a PF PF =-最大,求出()23,0F 关于直线10x y --=的对称点为A ,连接PA ,1F A ,则12112a PF PF PF PA F A =-=-≤即可求出a 最大值,进而求出离心率最小值;(2)由(1)可得离心率最小值时的,a b ,可得双曲线方程,联立直线与双曲线方程,设M ,N 两点坐标,求出,OM ON k k ,代入上式即可.【详解】（1）解:由题知126F F =,()()123,03,0F F ∴-，,设2F 关于直线10x y --=的对称点为(),A x y , 则11331022yx x y ⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩, 解得12x y =⎧⎨=⎩, 故()1,2A ,连接1PF ,2PF ,PA ,1F A , 则2PF PA =, 则122a PF PF =-1PF PA =- 1F A ≤==,故ac e a ∴=≥=故双曲线C ; （2）由(1)知双曲线C, 此时2a b ==,双曲线方程为22154x y -=,联立得()222154y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩, 消去y 并整理得()2222452020200k xk x k ----=,则有2450k -≠且()()()()222222044520208040k k k k ∆=-+⨯-+=->,即204k ≤<且245k ≠, 设()11,M x y ,()22,N x y ,则21222045k x x k +=-,2122202045k x x k +=--, 则12121111OM ONy y k k x x +=+1212x x y y =+ 122112x y x y y y +=()()()()12212122222x kx k x kx k k x x +++=++()()1212212122224kx x k x x k x x x x ++=+++⎡⎤⎣⎦222222222202020224545202020244545k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⨯-+⨯ ⎪--⎝⎭=⎛⎫+-+⨯+ ⎪--⎝⎭ 10k=, 1101OMON OM ON k k k k k k k ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛:本题考查双曲线性质以及直线与双曲线的位置关系,属于难题,常用的解决直线与圆锥曲线位置关系的思路为:(1)设直线方程(注意斜率存在不存在以及斜率为0的情况),设交点坐标, (2)联立直线与圆锥曲线方程,(3)设为不求,韦达定理(注意判别式的正负), (4)列出满足题意的方程,进行化简.。
2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}02A x x =<<，{}2340B x x x =+-<，则A B ⋃=（ ） A ．()0,1B ．()4,2-C ．4,2D ．()4,0-【答案】B 【分析】求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为{}()23404,1B x x x =+-<=-，{}02A x x =<<，所以()4,2A B ⋃=-． 故选：B.2．命题：n ∃∈N ，235n n >+，则该命题的否定为（ ）A ．N n ∀∈，235n n >+B ．N n ∀∈，235n n ≤+C ．n ∃∈N ，235n n ≤+D ．n ∃∈N ，235n n <+ 【答案】B【解析】根据特称命题的否定可得出结论.【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：N n ∀∈，235n n ≤+.故选：B.【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.3．已知0.64a =，9log 9.1b =，ln 2c =，则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．b<c<aD ．a c b <<【答案】B【分析】先利用函数单调性求得2a >，12b <<，01c <<，进而求得a b c 、、之间的大小关系【详解】因为0.60.5442=>=a ，9991log 9log 9.1log 812b =<=<=，0ln 2lne 1c <=<= 所以12c b a <<<<．故选：B ．4．已知a ∈R ，则“11a ≤”是“1a >”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式11a ≤，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由11a ≤可得1110a a a--=≥，解得1a ≥或a<0， 因为{0a a <或}1a ≥ {}1a a >，因此，“11a≤”是“1a >”的必要不充分条件， 故选：A.5．某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的60%分位数为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5 【答案】B【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，根据560%3⨯=，结合百分数的定义，即可求解.【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，且560%3⨯=，可得这组数据的60%分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为34 3.52+=. 故选：B.6．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数 【答案】D【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.【详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.7．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中S N叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（ ）（参考数据：0.210 1.58≈）A ．1559B ．3943C ．1579D ．2512【答案】C【解析】由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．【详解】由题意得：()()()222log 1log 19960%log 199W W W λ+-+≈+， 则()22log 1 1.6log 100λ+≈， 1.6 3.230.211001*********λ+≈==⋅≈， 1579λ∴≈故选：C8．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、多选题9．若幂函数()()2111m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递增，则（ ）A ．3m =B ．()11f -=C ．4m =-D ．()11f -=-【答案】AB 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于m 的等式与不等式，求出m 的值，即可得出合适的选项.【详解】因为幂函数()()2111m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递增，所以，211110m m m ⎧+-=⎨->⎩，解得3m =，故()2f x x =，所以，()11f -=. 故选：AB.10．定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+内单调递减，则下列判断错误的是（ ）A ．()()2f a f a <-B ．()()π3f f >-C ．45f f ⎛⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．()()211f a f +<【答案】ABD【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数的奇偶性和单调性可判断BC 选项.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+内单调递减，则函数()f x 在(),0∞-内单调递增，对于A 选项，当0a =时，()()()20f a f a f =-=，A 错；对于B 选项，()()()π33f f f <=-，B 错；对于C 选项，45f f f ⎛⎛⎫=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 对； 对于D 选项，当0a =时，()()211f a f +=，D 错.故选：ABD.11．已知实数a ，b 满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．0b a <<B ．0a b <<C ．a b =D ．0b a << 【答案】ABC【分析】在同一坐标系中作出函数1()2x y =和函数1()3x y =的图象，再作出一条直线与两个图象相交，借助图象分析a ，b 满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时a ，b 的大小关系， 【详解】函数1()2x y =和函数1()3x y =的图象如图所示：若a ，b 均为正数，则0a b >>；若a ，b 均为负数，则0a b <<，若0a b ，11123a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：ABC ．1251-510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽51-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．168cmB ．172cmC ．176cmD ．180cm【答案】BC【分析】设身高为cm x ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A B C D 、、、,假设身高为cm x ，即cm =AD x ，51-，51ACCD-∴=51AC-∴=. AC CD x+=，且51AC-=，51=CD x-+，51=x+,5151CD x-∴==+，51-，51ABBC-∴=51AB BC-∴=, AB BC CD x++=,且51AB-，51CD-=，5151BC x--+=，)52BC x∴=,)515173552AB BC x---∴===,由题意可得7352651105AB xCD⎧-<⎪⎪⎨-⎪=>⎪⎩，73551xx⎧<⎪-⎪∴⎨⎪>⎪-⎩178.21169.89xx<⎧∴⎨>⎩，169.89178.21x∴<<,故BC正确. 故选：BC三、填空题13．已知一组样本数据1、2、m、8的极差为8，若0m>，则其方差为______．【答案】252##12.5【分析】根据极差的定义可求得m的值，再根据方差的定义可求得这组数据的方差.【详解】因为该组数据的极差为8，所以18m-=，解得9m=．因为这组数据的平均数为128954x+++==，所以，这组数据的方差为()()()()22222152585952542s-+-+-+-==.故答案为：252. 14．已知1a >，则21a a +-的最小值为m ，取得最小值时a n =，则2n m -=______． 【答案】1【分析】利用基本不等式可求得m 的值，利用等号成立的条件可求得n 的值，进而可求得2n m -的值.【详解】因为1a >，所以()22111111a a a a +=-++≥=--，当且仅当1a =1m =，1n =，所以，21n m -=．故答案为：1.15．已知())ln31f x x =+，则()1lg 3lg 3f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于______． 【答案】2【分析】计算出()()f x f x +-的值，即可得解.【详解】对任意的x ∈R 33x x >≥30x >，故函数()f x 的定义域为R ，因为()()))ln 31ln 31ln122f x f x x x +-=+++=+=． 所以，()()()1lg 3lg lg 3lg 323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 故答案为：2.16．已知函数()()22,01,0x x a x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，且函数()y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)1,-+∞【分析】作出函数()f x 的图象，由题意可知，函数()f x 与直线y x =的图象有3个交点，数形结合可得出关于实数a 的不等式，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：当[)1,0x ∈-时，()()(]211,1f x x a a a =-+++∈+， 当0x ≥时，()()1f x f x =-，所以，函数()f x 在[)0,∞+上的图象可视为函数()f x 在[)1,0-上的图象每次向右平移1个单位后得到，①若函数22x x a y --+=的图象恒在直线y x =的下方时，则22x x a x --+<，则()2min 934a x x <+=-， 则当(),0x ∈-∞时，函数()y f x x =-无零点，且当0x ≥时，()1f x a x ≤+<，此时，函数()y f x x =-无零点，不合乎题意；②若函数22x x a y --+=的图象与直线y x =相切，对于方程22x x a x --+=，即230x x a +-=，940a ∆=+=，解得94a =-，此时32x =-， 当0x ≥时，()1f x a x ≤+<，此时，函数()y f x x =-只有一个零点，不合乎题意；③若904a -<<时，如下图所示：由图象可知，函数()f x 与函数y x =在(),0∞-上的图象有2个交点，若使得函数()y f x x =-有3个零点，则10a +≥，解得1a ≥-，此时10a -≤<；④当0a ≥时，由图象可知，函数()f x 与函数y x =在(),0∞-上的图象只有1个交点，函数()f x 与函数y x =在[)0,∞+上的图象必有2个交点，此时，函数()y f x x =-有3个零点，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.故答案为：[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．计算下列各式的值： (1)()0223127110.528-⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)3335322log 2log log 83log 59-+- 【答案】(1)73 (2)1-【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式()232321313*********.520.2529⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--÷=--÷=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()447131933=--⨯=+=． （2）解：原式233333329log 4log log 83log 483log 33231932⎛⎫=-+-=⨯⨯-=-=-=- ⎪⎝⎭. 18．已知集合124x A x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，(){}lg 10B x x =->，{}1C x m x m =<<+． (1)求集合A 、B ；(2)若()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围．【答案】(1){}2A x x =<-，{}2B x x =>(2)(][),32,-∞-⋃+∞【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性可分别求得集合A 、B ；（2）求出集合A B ⋃，利用集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式，即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）解：{}{}2122224x x A x x x x -⎧⎫=<=<=<-⎨⎬⎩⎭， (){}{}{}lg 10112B x x x x x x =->=->=>. （2）解：由（1）可知{2A B x x ⋃=<-或}2x >，显然C ≠∅，因为()C A B ⊆⋃，所以，12m +≤-或2m ≥，解得3m ≤-或2m ≥.因此，实数m 的取值范围是(][),32,-∞-⋃+∞.19．已知函数()()22log 4f x x =-． (1)求函数()f x 的单调区间;(2)当0x <时，求不等式()11f x -<的解集．【答案】(1)单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为(),2-∞-(2)(-【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求出函数()g x 的增区间和减区间；（2）由()11f x -<可得出()220log 42x <-<，结合对数函数的单调性以及二次不等式的解法，结合0x <可得出x 的取值范围.【详解】（1）解：对于函数()f x ，有240x ->，解得<2x -或2x >，所以，函数()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+，因为内层函数24u x =-的减区间为(),2-∞-，增区间为()2,+∞，外层函数2log y t =为增函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为(),2-∞-.（2）解：由()11f x -<可得()111f x -<-<，即()02f x <<，即()220log 42x <-<，所以，2144x <-<，因为0x <，解得x -<<因此，当0x <时，不等式()11f x -<的解集为(-.20．统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[500,1000)元之间．（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000,2500)的应抽取多少人；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.【详解】（1）因为(0.00020.00040.00030.0001)5000.5+++⨯=， 所以0.520.001,0.0005500a a ===， 月收入在[2000,2500)的频率为0.25，所以分层抽样抽出100人中月收入在[2000,2500)的人数为0.2510025⨯=；（2）收入在[500,1500)的频率是0.3，收入在[1500,2000)的频率是0.25，所以样本数据的中位数在[1500,2000)， 且为0.2150050019000.25+⨯=（元） （3）7500.112500.217500.2522500.25⨯+⨯+⨯+⨯27500.1532500.051900+⨯+⨯=（元）所以平均数为1900元.21．已知函数()()33x x f x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由；（2）在（1）的结论下，若不等式()()4120t t f f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）14m <- 【分析】（1）通过奇函数的性质()00f =，可以求出1λ=-，然后证明()f x 是奇函数即可；（2）对函数()f x 求导可证明()f x 是R 上单调递增函数，由奇函数的性质，原不等式等价于()()412t t f f m ->-，从而412t t m ->-，即421t t m <+-，再求出421t t +-在[]1,1t ∈-上的最小值，令m 小于得到的最小值即可．【详解】（1）若()f x 为奇函数，则()00f =，即1+=0λ，解得1λ=-，()()()3333x x x x f x f x ---=-=--=-， 故存在1λ=-，使得()f x 为奇函数（2）()33x x f x -=-（x ∈R ），()()33ln30x x f x -'=+>，则()f x 在R 上为增函数，∵()f x 为奇函数，()()4120t t f f m -+->，即()()412t t f f m ->-，又()f x 在R 上为增函数，∴412t t m ->-，则()[]()2421221,1,1t t t t m t <+-=+-∈-恒成立， 令12,22t n ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2215124m n n n ⎛⎫<+-=+- ⎪⎝⎭， 令()21524g n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ()min 14g n =-，∴14m <- 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，考查了含参不等式恒成立问题，属于难题．22．已知函数()()()4log 41x f x kx k =++∈R 与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中()f x 是偶函数． (1)求实数k 的值及()f x 的值域；(2)求函数()g x 的定义域；(3)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)12k =-，函数()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数k 的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得函数()f x 的值域；（2）由已知可得出4203x a a ⋅->，对实数a 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得函数()g x 的定义域；（3）令20x t =>，由()()f x g x =可知关于t 的方程()241103a t a ---=有且只有一个正根，对实数a 的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数a 的不等式（组），综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：由函数()f x 是偶函数可知()()f x f x -=，所以，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-， 所以，()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++， 则21k =-，故12k =-，所以，()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+- ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=， 当且仅当0x =时，等号成立，故函数()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）解：对于函数()g x ，则有4203x a a ⋅->. 当0a =时，4203x a a ⋅-=，不合乎题意； 当0a >时，423x >，得24log 3x >； 当a<0时，423x <，得24log 3x <. 综上所述，当0a >时，函数()g x 的定义域为24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当a<0时，函数()g x 的定义域为24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （3）解：函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，即方程()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根， 即方程142223x x x a a +=⋅-有且只有一个实根， 令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根. ①当1a =时，34t =-，不合题意; ②当1a ≠时，由()216Δ4109a a =+-=得34a =或3-， 若34a =，则2t =-不合题意；若3a =-，则12t =满足要求. 若()2164109a a ∆=+->，可得3a <-或34a >. 则此时方程()241103a t a ---=应有一个正根与一个负根， 所以，101a -<-，解得1a >，因为3a <-或34a >，故1a >. 综上，实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
故选： B
【点睛】
第 1 页 共 23 页
本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题
3．若复数 z 的共轭复数 z 满足： 1 i z 2i ，则复数 z 等于（ ）
A．1 i
B． 1 i
C．1 i
D． 1 i
【答案】 D
【解析】 由 1 i z
概念可求出复数 z .
2i 得出 z
2i
，利用复数的除法法则求出
）
第 2 页 共 23 页
π
A．
6
π
B．
4
π
C．
3
【答案】 A
【解析】 先求出 cos A ,再利用基本不等式求
【详解】
A 的最大值 .
由题得 cos A 36 b2 9 27 b2
9
b
9b
2
26b
12b 4b 12
4b 12
D ． arcsin 5 5
3， 2
因为 0 A
故选： A
,所以 0 A . 6
20 分钟不抽筋，则 P( A) 0.8, P ( AB) 0.5 .
P( AB) 0.5 5
所以他能顺利完成 90 分钟比赛的概率为 P (B | A)
.
P( A) 0.8 8
故选： C
【点睛】
本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
.
5．在 V ABC 中， AB 6， BC 3，则 A 的最大值是（
V AD1B1 中， AD1
AA1 2 A1D12
5 ， AB1
BB12 AB2
5，
D1 B1
C1B12 C1D12 2 2 ，所以 cos AD1B1
辽宁省沈阳市实验中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， 的面积是 ，______？
【答案】答案见解析.
18.某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
命题学校：辽宁省实验中学
命题人：高三数学组校对人：高三数学组
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. 或
CHale Waihona Puke D. 或【答案】D2.复数 满足： ，则 的虚部等于（）
A. B. C.0D.1
【答案】B
3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（ ）
A.m1＞m2，s1＞s2B.m1＞m2，s1＜s2
22.设函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值．
（2）求证：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为 ，求 的分布列和数学期望；
2020届辽宁省沈阳市实验中学第一学期高三年级阶段检测试卷与答案
{正文}2020届辽宁省沈阳市实验中学第一学期高三年级阶段检测数学（理）试题一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 （ ） A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰C ．120)S y y dy =-⎰（D ．10S y dy =⎰（3．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为 （ ） A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈4．函数xy 1ln=与12+--=x y 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （ ）5．已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF c =则该双曲线的离心率为 （ ）A ．51-B ．312+ C ．31+ D ．512+ 6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45o ,∠CAB=105o 后，就可 以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A ．502mB ．503mB ．252mD 2527．已知P 是边长为2的正ABC ∆边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+ （ ） A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关8．函数()2sin()25f x x ππ=+，若对任意x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤12(,)x x R ∈成立，则12x x -的最小值为 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．129．已知1:0,:420x x x p q m x-≤+-≤，若p q 是的充分条件，则实数m 取值范围是（ ） A．2m >B．2m ≤C ．2m ≥D ．6m ≥10．已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么714a a ⋅的最大值为（ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在11．已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P －ABC 的体积为 （ ）A ．5B ．10C ．20D ．3012．函数)(x f y =定义域为),21(+∞,f （1） =f （3） =1 ,f （x ）的导数)522()('-+=x x a x f ，其中a 为常数且a>0，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤-1)2(2122y x f y x 所表示的平面区域的面积等于 （ ）A ．51 B ．53C ．21D ．1 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，则该几何体的表面积是 ．14．有下列说法：①n S 是数列{}n a 的前n 项和，若21n S n n =++，则数列{}n a 是等差数列； ②若实数x ,y 满足422=+y x ,则2-+y x xy的最小值是21-；③在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC ∆ 为等腰直角三角形；④ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中正确的有 ．（填上所有正确命题的序号） 15．根据下面一组等式 S 1=1 S 2=2+3=5 S 3=4+5+6=15 S 4=7+8+9+10=34 S 5=11+12+13+14+15=65 S 6=16+17+18+19+20+21=111 S 7=22+23+24+25+26+27+28=175,可得S 1+S 2+…+S 99=16．设定义域为R 的函数()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-,0,44,0,1521x x x x x f x 若关于x 的方程()()()01222=++-m x f m x f有7个不同的实数根，则实数=m ．三、解答题：17．（满分12分）已知函数1)(+=x xx f ，若数列}{n a （n ∈N*）满足：11=a ，)(1n n a f a =+（Ⅰ）证明数列}1{na 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{n c 满足：nnn a c 2=，求数列}{n c 的前n 项的和n S ．18．（满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为 60． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角D BE F --的余弦值；19．（满分12分）某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A （优秀）、B （良好）、C （及格）三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人．已知x 与y 均为B 等级的概率为0．18．xy A B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b（Ⅰ） 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0．3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．（满分12分） 设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p，2C 是以直线032=-y x 与230xy为渐近线，以0,7为一个焦点的双曲线．（I ）求双曲线2C 的标准方程；（II ）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FB FA ⋅的最大值．21．（满分12分）已知函数)0(ln )(,42)(2>=+=a x a x g x x x f（I ）若直线l 1交函数f （x ）的图象于P ，Q 两点，与l 1平行的直线l 2与函数)(x f 的图象切于点R ，求证 P ,R ,Q 三点的横坐标成等差数列；（II ）若不等式)(4)(x g x x f -≤恒成立,求实数a 的取值范围；（III ）求证:e nn 1ln ....44ln 33ln 22ln 4444<++++〔其中*∈≥N n n ,2, e 为自然对数的底数）． 请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =U （ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D【解析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞U ．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式11a<的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a<，等价与1110a a a --=<，即10a a ->，解得0a <或1a >， 所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ）①(3)y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解. 【详解】①(3)y x x =--,定义域为R ,化简解析式为3y =，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，是函数；②y =，定义域为2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ∈∅，所以不是函数；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩，定义域为R ，对应法则对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数，定义域为R ，当1x =时，y 有两个值0,1与之对应，所以不是函数.故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题.4．已知图像连续不断的函数()f x 在区间()(),0.1a b b a -=上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间(),a b 等分的次数至少是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．10【答案】D【解析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足0.00012nb a-<精确度确定． 【详解】设需计算n 次，则n 满足0.10.000122nn b a -=<，即21000n >． 由于92512,=1021024=，故计算10次就可满足要求，所以将区间(,)a b 等分的次数至少是10次． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二分法和指数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A ．a bc = B ．2b ac =C ．c ab =D ．2c ab =【答案】C【解析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为（ ）001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第2个样本编号（ ） A ．436 B ．578C ．535D ．522【答案】C【解析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．【详解】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436合适，789不合适，535合适， 则第2个编号为535， 故选：C ． 【点睛】本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．7．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.080.033≈，lg20.301≈，lg30.477)≈A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C【解析】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n 年，则n 2018150(18%)200-⨯+≥，进而得出．【详解】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n ，则n 2018150(18%)200-⨯+≥，则2lg2lg30.6020.477n 201820182021.8lg1.080.033--≥+≈+≈，取n 2022=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【解析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型. 9．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 10．设()1fx -是函数()()12x x f x a a -=-（1a >）的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为（ ）A ．21,2a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．21,2a a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭C ．21,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．[),a +∞【答案】A【解析】首先由函数()f x 求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将x a 看作整体解出，然后由1()1f x ->构建不等式解出即可．【详解】由题意设1()2x xy a a -=-整理化简得2210x x a ya --=，解得x a y =0x a >Q ，x a y ∴=log (a x y ∴=1()log (a f x x -∴=+由使1()1fx ->得log (1a x +>1a >Q ，x a ∴>，a x -所以0a x -≤①或0a x ->且221()x a x +>-②所以x a ≥或212a x a a-<< 由此解得：212a x a ->．故选：A ． 【点睛】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性．11．定义在R 上的函数()f x 满足:对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=+-，则A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()1f x -是偶函数D ．()1f x -是奇函数【答案】D【解析】设()()1F x f x =-，由()()()12121f x x f x f x +=+-，()()()1212F x x F x F x +=+，由特值法求得()00F =，令12,x x x x ==-，可得结果.【详解】设()()1F x f x =-，由()()()12121f x x f x f x +=+-， 可得()()()1212111f x x f x f x +-=-+- 则()()()1212F x x F x F x +=+， 令120x x ==，得()00F =， 令12,x x x x ==-，()()()00F F x F x =+-=， ()()1F x f x ∴=-是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()()0f x f x +-= (奇函数)或()()0f x f x --= (偶函数)是否成立．12．近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()131133x xf x +=-+，则()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-【答案】D【解析】分离常数法化简()f x ，根据新定义即可求得函数[()]y f x =的值域． 【详解】1313(31)3131831()3(1331331333133x x x x x x f x ++-=-=-=--=-∈-++++，8)3．∴当1(3x ∈-，0)时，[()]1y f x ==-；当[0x ∈，1)时，[()]0y f x ==； 当[1x ∈，2)时，[()]1y f x ==； 当[2x ∈，8)3时，[()]2y f x ==.∴函数[()]y f x =的值域是{}1,0,1,2-.故选：D ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．函数y =的定义域为______. 【答案】1(,1]2.【解析】由函数的解析式利用偶次根式被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式，解得x 的范围，可得函数的定义域． 【详解】由函数的解析式可得2x ﹣1＞0，且()0.5log 210x -≥，即0211x <-≤解得112x <≤，故函数的定义域为1(,1]2， 故答案为：1(,1]2．【点睛】本题主要考查求对数函数型的定义域，属于基础题．14．若()()1133132a a --+<-，则实数a 的取值范围是______.【答案】23(,)(,1)32-∞-U【解析】由题得113311()(),132a a<+-即11132a a <+-，解分式不等式得解. 【详解】由题得11331111()(),132132a a a a<∴<+-+-， 所以110132a a-<+-， 所以321320,0(1)(32)(1)(23)a a a a a a a ----<∴<+-+-， 所以(1)(23)(32)0a a a +--<，所以2332a <<或1a <-, 所以a 的取值范围为23(,)(,1)32-∞-U .故答案为：23(,)(,1)32-∞-U【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是______. 【答案】18a „【解析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值． 【详解】 280x y xy +-=Q28xy x ∴=- 又0x Q >，0y >，80x ∴->那么2226(8)10(8)1616(8)1010188888x x x x x x y x x x x x x --+-++=+===-++=----…当且仅当12x =，6y =时取等号． 不等式a x y +„恒成立， 所以18a „． 故答案为：18a „． 【点睛】本题考查了基本不等式的灵活运用能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．16．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为__________. 【答案】3(,)2-+∞【解析】根据题意，分析可得f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g （x +1）＞g （x +2），由函数奇偶性的定义分析可得g （x ）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＞|x +2|，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）+x 2，则f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g （x +1）＞g （x +2），若f （x ）为偶函数，则g （﹣x ）＝f （﹣x ）+（﹣x ）2＝f （x ）+x 2＝g （x ），即可得函数g （x ）为偶函数，又由当x ∈（﹣∞，0]时，g （x ）单调递增，则g （x ）在[0，+∞）上递减， 则g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＜|x +2|⇒（x +1）2＜（x +2）2，解可得x 32-＞， 即不等式的解集为（32-，+∞）； 故答案为：（32-，+∞）． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g （x ）的奇偶性与单调性，属于中档题．三、解答题17．已知函数()22()log log 28x f x x ⎛⎫=⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，函数()1423x x g x +=--. （1）判断并求函数()f x 的值域；（2）若不等式()()0f x g a -≤对任意实数[]1,2a ∈恒成立，试求实数x 的取值范围.【答案】（1）[4-，)+∞；（2）[1,4].【解析】（1）根据对数的运算性质即可得到22()(log 1)4f x x =--，即可求出函数的值域；（2）先求出g （a ）的最小值，再得到222(log 1)1)x -„，解得即可【详解】（1）22()(log )[log (2)]8x f x x =⋅， 2222(log log 8)(log 2log )x x =-+，22(log 3)(1log )x x =-+，22222log 2log 3(log 1)44x x x =--=---…，即()f x 的值域为[4-，)+∞.（2）Q 不等式()f x g -（a ）0„对任意实数[]1,2a ∈恒成立，()f x g ∴„（a ）min ，122()423(2)223(21)4x x x x g x x +=--=-⋅-=--Q ， Q 实数[1,2]a ∈g ∴（a ）2(21)4a =--，g ∴（a ）在[1，2]上为增函数，g ∴（a ）(1)3min g ==-，22()(log 1)43f x x =---Q „，222(log 1)1x ∴-„，21log 11x ∴--剟，20log 2x ∴剟，解得14x ≤≤，故x 的取值范围为[1,4]【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图象和性质以及函数恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: [](]0,20,20,40，(]]]40,60,(60,80,(80,100.（1）根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（3）在抽取的100名手机使用者中在(]20,40和(]40,60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后再从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(]20,40和(]40,60的概率是多少？【答案】(1) 57分钟. (2)58分钟；(3) 35【解析】（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）设中位数为x ，则()0.0023200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-= 解得：170573x =≈（分钟） ∴这500名手机使用者中使用时间的中位数是57分钟（2）平均每天使用手机时间为：0.05100.230+0.350+0.270+0.259058⨯+⨯⨯⨯⨯=（分钟）即手机使用者平均每天使用手机时间为58分钟（3）设在(]20,40内抽取的两人分别为,a b ，在(]40,60内抽取的三人分别为,,x y z ， 则从五人中选出两人共有以下10种情况：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a x a y a z b x b y b z x y x z y z两名组长分别选自(]20,40和(]40,60的共有以下6种情况：()()()()()(),,,,,,,,,,,a x a y a z b x b y b z∴所求概率63105p == 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.19．已知函数()21x f x a e =-+（ 2.71828e =⋅⋅⋅）. （1）证明()f x 的单调性；（2）若函数()f x 为奇函数，当()0,x ∈+∞时，()xmf x e ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）3m ≤+【解析】（1）用定义证明函数在定义域内单调递增；（2）先根据函数的奇偶性求出a=1,从而得到2131x x m e e ≤-++-，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】（1）()f x 是R 上的单调递增函数．证明：因()f x 的定义域为R ，任取1x ，2x R ∈且12x x <． 则12121221222()()()11(1)(1)x x x x x x e e f x f x e e e e --=-=++++． x y e =Q 为增函数，∴120x x e e >>，∴110x e +>，210x e +>．21()()0f x f x ∴->，21()()f x f x ∴>，故()f x 是R 上的递增函数．（2）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，2211x x a a e e -∴-=-+++，22a ∴=，1a \=， 21()1=011x x x e f x e e -∴=->++， 因为()xmf x e ≤， 所以22()(1)3(1)2213111x x x x x x x x e e e e m e e e e +-+-+≤==-++---， 因为x>0,所以10x e ->，所以213331x x e e -++≥=+-，当且仅当211x x e e -=-即ln(1x =+时取最小值.所以3m ≤+【点睛】本题主要考查函数单调性的判定和奇偶性的应用，考查不等式的恒成立问题和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时，()0f x >恒成立，且()()nf x f nx =（n 是一个给定的正整数）.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）0a <时，解关于x 的不等式()()()()2211f ax nf x f a x nf a n n->-. 【答案】（1）()f x 为奇函数，证明见解析；（2）①当a n <- 时，原不等式的解集为2{|n x x a>或}x a <；②当a n =- 时，原不等式的解集为{|}x x n ≠-；③当0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2}n x a<. 【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明;（2）先证明函数的单调性，再利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可【详解】（1）()f x 为奇函数，证明如下；由已知对于任意 实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+ 恒成立．令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+所以(0)0f =．令y x =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=．所以对于任意x ，都有()()f x f x -=-．所以()f x 是奇函数．（2）设任意1x ，2x 且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<，又212121()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=-<得21()()f x f x <，根据函数单调性的定义知()f x 在(,)-∞+∞ 上是减函数． Q 2211()()()()f ax nf x f a x nf a n n->-．， 222()()[()f ax f a x n f x f ∴->-（a ）]．所以222()()f ax a x n f x a ->-，所以 222()[()]f ax a x f n x a ->-，因为 ()f x 在(,)-∞+∞ 上是减函数，所以222()ax a x n x a -<-．即2()()0x a ax n --<，因为0a <，所以2()()0n x a x a-->． 讨论：①当20n a a <<，即a n <- 时，原不等式的解集为2{|n x x a>或}x a <； ②当2n a a=，即a n =- 时，原不等式的解集为{|}x x n ≠-； ③当20n a a <<，即0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2}n x a<． 故①当a n <- 时，原不等式的解集为2{|n x x a>或}x a <；②当a n =- 时，原不等式的解集为{|}x x n ≠-；③当0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2}n x a<. 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．。
辽宁省沈阳二中2020届高三上学期12月月考试卷数学文科Word版含答案
2021 -2021学年度上学期12月阶段测试高三 (17届 ) 数学文科试题命题：高三数学备课组说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分2、客观题涂在答题卡上 ,主观题答在答题纸上第|一卷 (60分 )一．选择题 (此题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 )}log ,3{2a P = ,{}b a Q ,= ,假设}0{=Q P ,那么=Q P ( )A .{}0,3B .{}2,0,3C .{}1,0,3D .{}2,1,0,3 2．假设奇函数f (x )的定义域为R ,那么有 ( )A ．f (x )＞f ( -x ) C ．f (x )≤f ( -x ) C ．f (x )·f ( -x )≤0 D ．f (x )·f ( -x )＞03．假设a,b 是异面直线 ,且a ∥平面α ,那么b 与平面α 的位置关系是 ( ) A ．b ∥α B ．b 与α 相交C ．b ⊂αD ．以上三种情况都有可能 4.以下函数中 ,图象的一局部如右图所示的是 ( )(A )sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ (B )sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (C )cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (D )cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ,那么++2221a a (2)na +等于 ( ) A ．2)12(-n B ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．假设两个非零向量 ,满足| +| =|﹣| =2|| ,那么向量 +与﹣的夹角是 ( ) A ．B ．C ．D ．7．设变量x ,y 满足约束条件 ,那么z =﹣2x +y 的最||小值为( )A ． ﹣7B ． ﹣6C ． ﹣1D ． 28．以下函数中在上为减函数的是 ( )A ．y =﹣tanxB ．C ．y =sin2x +cos2xD ．y =2cos 2x ﹣1 9.圆柱被一个平面截去一局部后与半球 (半径为r )组成一个几何体 ,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如下列图 ,假设该几何体的外表积为1620π+ ,那么r =( )(A )1 (B )2 (C )4 (D )8γβα、、 ,且c b a ===γβγαβα ,, ,给出以下命题：①假设c a b a ⊥⊥, ,那么c b ⊥；②假设P b a = ,那么P c a = ；③假设c a b a ⊥⊥, ,那么γα⊥；④假设b a // ,那么c a //．其中正确命题个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．点P 为函数f (x ) =lnx 的图象上任意一点 ,点Q 为圆[x ﹣ (e + )]2 +y 2 =1任意一点 ,那么线段PQ 的长度的最||小值为 ( ) A ．B ．C ．D ． e +﹣112．f (x ) =x (1 +lnx ) ,假设k ∈Z ,且k (x ﹣2 )＜f (x )对任意x ＞2恒成立 ,那么k 的最||大值为 ( )A ． 3 B. 4 C ． 5 D ． 6第二卷 (90分 )二．填空题 (本大题共4小题 ,每题5分 , 共20分 )_____)1()10()0(2)0)(1(log )(.13123=-+⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+f f x x x x f x ，则 14.,0,5a b a b >+=若1++3________a b +，则最大值为15．正三角形ABC 的边长为2 ,将它沿高AD 翻折 ,使点B 与点C 间的距离为,此时四面体ABCD 外接球外表积为______．16 ．过双曲线 =1 (a ＞0 ,b ＞0 )的左焦点F (﹣c ,0 )作圆x 2 +y 2 =a 2的切线 ,切点为E ,延长FE 交抛物线y 2 =4cx 于点P ,O 为原点 ,假设,那么双曲线的离心率为 ．三．解答题 (本大题共6小题,总分值70分 ,解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. ) 17． (本小题总分值12分 ) 函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最||小正周期为π3 ,当[0,]x π∈时 ,函数()f x 的最||小值为0. (Ⅰ )求函数)(x f 的表达式；(Ⅱ )在△ABC ,假设A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值18. (本小题总分值12分 )设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2145a a =+(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.19. (本小题总分值12分 )在平面直角坐标系xOy 中,圆0321222=+-+x y x 的圆心为M ,过点P (0,2)的斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A 、B . (1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OB OA +与MP 平行?假设存在,求k 值,假设不存在,请说明理由.20. (本小题总分值12分 )点F 为抛物线2:4C y x =的焦点 ,点P 是准线l 上的动点 ,直线PF 交抛物线C 于,A B 两点 ,假设点P 的纵坐标为(0)m m ≠ ,点D 为准线l 与x 轴的交点．(1 )求直线PF 的方程；(2 )求DAB ∆的面积S 范围；(3 )设AF FB λ= ,AP PB μ= ,求证λμ+为定值21. (本小题总分值12分 ) 设函数()1xf x e -=-.(Ⅰ)证明:当x ＞-1时,()1x f x x ≥+; (Ⅱ)设当0x ≥时,()1xf x ax ≤+,求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题计分 . 作答时请在答题卡涂上题号. 22. (本小题总分值10分)221(1,)1024.(1)(2),x P y M x y d M d MP N PM PN +=+-=•已知是椭圆内一定点，椭圆上一点到直线的距离为当点在椭圆上移动时，求的最小值；设直线与椭圆的另一个交点为求的最大值。
2020年辽宁省沈阳市东旭中学高三数学理月考试卷含解析
2020年辽宁省沈阳市东旭中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 气象站预报甲地明天晴天的概率为0.3, 乙地明天晴天的概率为0.4, 则甲地或乙地明天晴天的概率为（）A． 0.7 B．0.12 C． 0.68 D． 0.58参考答案：D2. 已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+3与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：A 【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．3. 若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．1 B．5 C．4D．3+2参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，即圆心为（1，2），∵直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，∴直线过圆心，即2a+2b﹣2=0，∴a+b=1，则+=（+）（a+b）=2+1+，当且仅当，即a=时取等号，故+的最小值是3+，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用直线和圆的位置关系得到a+b=1是解决本题的关键．4. 在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.参考答案：答案：D5. 设函数，则下列结论错误的是…………………………（）A．的值域为 B．是偶函数C．不是周期函数 D．不是单调函数参考答案：C因为，所以函数的周期是，即是周期函数，所以C 错误。
辽宁省沈阳市实验中学2020年高三数学理月考试题含解析
辽宁省沈阳市实验中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．(1，2） C．（2，3） D．（3，10）参考答案：C2. 设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8 D．16参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．3. 平面上三点不共线，设,则的面积等于（）A． B．C． D．参考答案：C4. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。
5. 已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C6. 已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中平面向量，的夹角为，且||=，||=2，=3，再由D为边BC的中点，==2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案．解答：解：∵平面向量，的夹角为，且||=，||=2，∴=||||cos=3，∵由D为边BC的中点，∴==2，∴2=（2）2=4，∴=2；故选：A．点评：本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模7. 已知函数满足，若在(－2,0)∪(0,2)上为偶函数，且其解析式为，则的值为（）A．－1 B．0 C. D．参考答案：B∵，∴，∴函数的周期为4.当时，，∴,由函数在上为偶函数,∴．∴．选B．8. 已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）A． B． C． D．参考答案：D略9. 设等比数列中，前n项和为,已知，则A. B. C. D.参考答案：A因为，在等比数列中也成等比，即成等比，所以有，即，选A.10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B．C． D．参考答案： B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 记函数的定义域为，若存在使得成立，则称点是函数图像上的“稳定点”．若函数的图像上有且仅有两个相异的稳定点，则实数的取值范围为________ .参考答案：或且12. 已知函数f （x ）＝lnx －ax 的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数a 的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.13. 已知向量共线，则k=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，即 ，
则 ．即 ，
双曲线 一条渐近线方程： ；
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．
10．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（）种．
A．6B．12C．18D．36
（2）若 ， 、 分别为 、 的中点，求直线 与平面 的夹角．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）先证明 平面 ，可得 ；（2）由 得 ，延长 到 使得 ，连结 ．证明 ， ， ,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线 与平面 的夹角．
【详解】
解：（1）连结 ．
∵ 平面 ，且 ，∴ 平面 ．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得 ，设 对a分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解.
【详解】
由题得 ，
设 ，
由 得 ，
当 时， ，所以函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
所以 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，所以函数 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，
7．如图，在正方体 中，点 、 分别为线段 、 的中点，用平面 截正方体，保留包含点 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出平面 与正方体表面的交线，即得主视图.
【详解】
如图所示，平面 截平面 的交线为 ,平面 截平面 的交线为 ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A.
5．在 中， ， ，则 的最大值是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出 ,再利用基本不等式求 的最大值.
【详解】
由题得 ，
因为 ,所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
当 时， ，
因为 .
所以 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
15．已知 ， 均为非零向量，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．
【详解】
由积分的几何意义可得，
解得 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题．
14．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】分离参数可得 ，根据基本不等式即可求出．
【详解】
不等式 的解集是 ，
即 ， 恒成立，
，
当 ， ，
由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE= ,则BM= ,
在直角 中， ，
所以 ，
所以下底的半径为 ，
所以圆台的体积为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题
17．如图所示，在三棱柱 中， ，平面 平面 ， ， ．
（1）证明： ；
【答案】C
【解析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.
【详解】
设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则 .
所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解得 ，
由于 为整数，
所以 ．
则 ．
所以： ，
所以： ，
，
令 ，
由于函数 的图象关于 对称．
且 ， ．
．
故： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．
12．已知对于任意的 ，总有 成立，其中 为自然对数的底数，则 的最小值为（）
∴ 的单调递增区间为 ， ， ．
（2）∵ ，且 为锐角，
∴ ，∴ ，∴ ．
又∵ ， 为锐角，所以 ∴ ．
∴ ，
其中 ，∴ ．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量 （分钟）表示步行到校的时间，可以认为 ．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量 （分钟）描述骑车到校的时间，可以认为 ．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量 （分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为 ．
故选：B
【点睛】
本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题
3．若复数 的共轭复数 满足： ，则复数 等于（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得出 ，利用复数的除法法则求出 ，利用共轭复数的概念可求出复数 .
【详解】
， ，因此， ，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.
（ ％， ％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为 ，
11．设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，且数列 的最大项为 ，取 ，则 的最大项为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．
【详解】
等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数， ， ．
所以 ，
已知若随机变量 ，则 ％， ％， ％．
【答案】（1），三种方案都无法满足 原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2） （元）， （元2）
【解析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为 ，求出 ％．若骑车到校，则不迟到概率记为 ，
【答案】
【解析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心 组成一个边长为 的等边三角形，其中心为 ,先求出 ，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.
【详解】
由题得三个球是平放在一起，三个球的球心 组成一个边长为 的等边三角形，其中心为 ,
所以 ，
由题得圆台的高为 ，其轴截面如图所示，
【详解】
非零向量 ， 夹角为 ，若 ， ，
不等式 对任意 恒成立
，
，
即 ；
整理可得， 恒成立，
， ，
，
解得 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．
16．已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，假定每个冰淇淋球都是半径为 的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．
所以 .
所以此时 的最小值为 .
当 时，函数f(x)单调递增，不符合题意 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
13．若曲线 与直线 ， 所围成封闭图形的面积为 ，则正实数 ______．
【答案】
【解析】由积分的几何意义可得， ，利用积分基本定理求解后可求正实数 的值．
又∵ ，∴ 平面 ．
又 平面 ，∴
∵ 中， ，∴ 为菱形，∴ ．
因为 平面 , ,
所以 平面 ，因为 平面
所以 .
（2）∵ ，且 ，∴ ，
∴ ．
延长 到 使得 ，连结 ．
∵ ，且 ， ，
∴ 且 ，∴ ．
又∵平面 平面 ，∴ 平面 ，
∴ ， ．
又∵ ，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，
，
其中各点坐标为 ， ， ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连结 ，由 ，可知异面直线 与 所成角是 ，分别求出 ，然后利用余弦定理可求出答案.
【详解】
连结 ，因为 ，所以异面直线 与 所成角是 ，在 中， ， ， ，所以 .
故选A.
【点睛】
本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.
故选：A
【点睛】
本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．若 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A