2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练29向量的概念及线性运算理
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.3 平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 符号表示 坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a·b )·c ＝a·(b·c )．( × ) 教材改编题1．(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )B ．a·b ＝b·c ，则a ＝cC ．a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0D ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 D2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________． 答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0， 故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝______；a ·b ＝______. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·邹城模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →|＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316 AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝__________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b |a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则c ＝(7，2)， ∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. (2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则 ①|OP 1—→|＝|OP 2—→|； ②|AP 1—→|＝|AP 2—→|； ③OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→； ④OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→.以上结论正确的有________．(填序号) 答案 ①③解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故①正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故②错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故③正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故④错误．题型三 平面向量的实际应用例5 (2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论不正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 B解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ， 则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线， 则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·四川乐山第一中学模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·宜昌模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋－32＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )C．a·b≤|a||b|D．|a－b|≤|a|＋|b|答案 B解析根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影为－2 2C．2m＋n＝4D．mn的最小值为2答案 C解析对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝15×2＝1010，所以向量a在b上的投影为|a |cos θ＝5×1010＝22，故B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 错误．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方， 得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·南昌模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233， 在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·恩施质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( )A ．12B ．－12C ．20D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD →＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的角平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ，∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________．答案 1 1120 解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ，∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( )A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≥|a |＋1答案 A解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 错误．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ，又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.4 平面向量中的综合问题题型一 平面向量在几何中的应用例1 (1)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为( ) A ．37 B ．3 6 C ．3 3 D ．6答案 A解析 因为CD →＝2DB →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →， 设AB ＝x ，则AD 2→＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →2， 得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0， 因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60° ＝62＋92－2×6×9×12＝37.(2)已知平行四边形ABCD ，证明：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)． 证明 取AB →，AD →为基底，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴AC →2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2， DB →2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2，上面两式相加，得AC →2＋DB →2＝2(a 2＋b 2)， ∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1 (1)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________. 答案 －1解析 方法一 在等腰△ABE 中， 易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2， 则BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →) ＝AD →·AB →＋AD →·BE →－AB →2－AB →·BE →＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150° ＝15－10－12＋6＝－1.方法二 在△ABD 中，由余弦定理可得BD ＝AD 2＋AB 2－2×AD ×AB ×cos ∠BAD ＝7， 所以cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝－2114，则sin ∠ABD ＝5714.设BD →与AE →的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD ＋30°) ＝－cos(∠ABD －30°)＝－cos ∠ABD ·cos 30°－sin ∠ABD ·sin 30°＝－714， 在△ABE 中，易得AE ＝BE ＝2， 故BD →·AE →＝7×2×⎝⎛⎭⎫－714＝－1. (2)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(6,8)，且AB →|AB →|＋AD →|AD →|＝AC →|AC →|，则下列结论不成立的是( )A ．四边形ABCD 为菱形B ．∠BAD ＝120°C ．|AC →|＝10 3 D ．|BD →|＝10 3 答案 C解析 AB →＝DC →＝(6,8)，则四边形ABCD 为平行四边形， 设m ，n ，p 都是单位向量，m ＋n ＝p ， 则(m ＋n )2＝p 2，m 2＋2m ·n ＋n 2＝p 2， 1＋2m ·n ＋1＝1，则m ·n ＝－12＝cos 〈m ，n 〉，所以〈m ，n 〉＝120°，因此由AB →|AB →|＋AD →|AD →|＝AC→|AC →|知∠BAD ＝120°，且AC 是∠BAD 的角平分线，因此四边形ABCD 是菱形，而|AB →|＝10，所以|BD →|＝3|AB →|＝103，|AC →|＝10. 题型二 和向量有关的最值(范围)问题命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2 (2022·兰州模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF →＝xAE →＋yDC →(x >0，y >0)，则2－3x 4y 2＋1的最大值为( )A.12B.34 C ．1 D ．2答案 A解析 设BD ，AE 交于O ，因为DE ∥AB ，所以△AOB ∽△EOD ， 所以AO OE ＝ABDE＝2，所以AO ＝2OE ，则AE →＝32AO →，所以AF →＝xAE →＋yDC →＝32xAO →＋yAB →，因为O ，F ，B 三点共线， 所以32x ＋y ＝1，即2－3x ＝2y ，所以2－3x 4y 2＋1＝2y 4y 2＋1＝24y ＋1y ，因为x >0，y >0， 所以4y ＋1y≥24y ·1y＝4， 当且仅当4y ＝1y ，即y ＝12时等号成立，此时x ＝13，所以2－3x 4y 2＋1＝24y ＋1y≤24＝12.命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)， F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)， 且－1<x <3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)． 高考改编已知P 是边长为2的正方形ABCD 内的一点，则AP →·AB → 的取值范围是______． 答案 (0,4)解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)， 且0<x <2.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(0,4)． 命题点3 与模有关的最值(范围)问题例4 已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(－3，1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 方法一 由题意得|a |＝1，|b |＝2， a·b ＝sin θ－3cos θ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3， 所以|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝4×12＋22－8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3 ＝8－8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3. 所以|2a －b |2的最大值为8－8×(－1)＝16， 故|2a －b |的最大值为 4⎝⎛⎭⎫此时θ＝2k π－π6，k ∈Z . 方法二 因为a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(－3，1)， 所以2a －b ＝(2cos θ＋3，2sin θ－1)， 所以|2a －b |＝2cos θ＋32＋2sin θ－12＝8－4sin θ－3cos θ＝8－8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3. 故|2a －b |的最大值为8－8×－1＝4⎝⎛⎭⎫此时θ＝2k π－π6，k ∈Z . 方法三 由题意得|2a －b |≤2|a |＋|b |＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a ，b 方向相反时不等式取等号，故|2a －b |的最大值为4.思维升华 向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2 (1)(2022·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为( ) A.3－1 B ．22－1 C ．23－1 D.7－1 答案 C解析 因为|AB →＋AC →|2 ＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得 |AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥ ||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立． 因此|AP →|的最小值为23－1.(2)(2022·广东实验中学模拟)如图，在△ABC 中，BD →＝13BC →，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________，λ2－2μ的最小值是________．答案 2 －14解析 因为在△ABC 中，BD →＝13BC →，所以DC →＝2BD →. 由向量定比分点公式得 AD →＝21＋2AB →＋11＋2AC →，即AD →＝23AB →＋13AC →.因为点E 在线段AD 上移动(不含端点)， 所以设AE →＝xAD →(0<x <1)． 所以AE →＝2x 3AB →＋x 3AC →，对比AE →＝λAB →＋μAC →， 可得λ＝2x 3，μ＝x3.得λμ＝2x 3x3＝2； 代入λ＝2x 3，μ＝x 3可得λ2－2μ＝⎝⎛⎭⎫2x 32－2×x3 ＝4x 29－2x3(0<x <1)， 根据二次函数性质知当x ＝－－232×49＝34时，(λ2－2μ)min ＝49×⎝⎛⎭⎫342－23×34＝－14.课时精练1．(2022·杭州模拟)边长为2的正△ABC 内一点M (包括边界)满足：CM →＝13CA →＋λCB →(λ∈R )，则CA →·BM →的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－43，23 B.⎣⎡⎦⎤－23，23 C.⎣⎡⎦⎤－43，43 D ．[－2,2]答案 B解析 因为点M 在△ABC 内部(包括边界)， 所以0≤λ≤23，由CA →·BM →＝CA →·(BC →＋CM →) ＝CA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA →＋λCB → ＝－2＋43＋2λ＝－23＋2λ∈⎣⎡⎦⎤－23，23. 2．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 答案 C 解析 OP →·BC →＝OA →·BC →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝OA →·BC →＋λ(－|BC →|＋|BC →|) ＝OA →·BC →.则OP →·BC →－OA →·BC →＝0， 即AP →·BC →＝0，故AP ⊥BC ， 即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．3．(2022·新余模拟)已知△ABC 是顶角A 为120°，腰长为2的等腰三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－12 B ．－32 C ．－14 D ．－1答案 A解析 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B (－3，0)，C (3，0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ,1－y )，PB →＝(－3－x ，－y )，PC →＝(3－x ，－y )， 所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )， P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (1－y ) ＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －122－12≥－12， 当P ⎝⎛⎭⎫0，12时，所求的最小值为－12. 4. (2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A (前轮)，圆D (后轮)的半径均为3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC →·BP →的最大值为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析 骑行过程中，A ，B ，C ，D ，E 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动．如图，以AD 所在直线为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A (－4,0)，B (－2,23)，C (2,23)，圆D 方程为(x －4)2＋y 2＝3，设P (4＋3cos α，3sin α)，则AC →＝(6,23)，BP →＝(6＋3cos α， 3sin α－23)，AC →·BP →＝6(6＋3cos α)＋23(3sin α－23)＝63cos α＋6sin α＋24 ＝12⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α＋24＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋24， 易知当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1时， AC →·BP →取得最大值36.5．(2022·黄石模拟)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 答案 C解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →) ＝(PC →＋CE →)·(PC →－CE →) ＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小， 即PE →·PF →最小．此时PE →·PF →的最小值为(1＋2)2－4＝5.6．(2022·上海市金山中学模拟)已知A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，且OA →＝mOB →＋2nOC →(m >0，n >0)，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．10B ．9C ．8D ．4 答案 C解析 因为A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，且OA →＝mOB →＋2nOC →(m >0，n >0)， 所以m ＋2n ＝1，所以2m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋2n ) ＝4＋4n m ＋mn ≥4＋24＝8，当且仅当4n m ＝mn，即m ＝12，n ＝14时等号成立．7．(2022·中央民族大学附属中学模拟)已知圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，点P 在直线y＝x ＋3上，线段AB 为圆C 的直径，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.322 B ．3 2 C ．4 2 D ．3答案 B解析 因为C 为AB 的中点， 所以P A →＋PB →＝2PC →， 从而|P A →＋PB →|＝|2PC →|＝2|PC →|，可知|PC →|的最小值为点C 到直线y ＝x ＋3的距离， d ＝|1－1＋3|2＝322，所以|P A →＋PB →|min ＝2×322＝3 2.8．(2022·上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的动点，点Q 在以D 为圆心、以1为半径的圆上运动，则AP →·AQ →的取值范围为( ) A ．[0,2] B ．[1－2，2] C ．[0，2＋1] D ．[1－2，1＋2]答案 D解析 如图分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，设P (t ，t )，Q (cos θ，1＋sin θ)， ∴AP →＝(t ，t )，AQ →＝(cos θ，1＋sin θ)，t ∈[0,1]，θ∈[0,2π)， ∴AP →·AQ →＝t cos θ＋t ＋t sin θ＝t ⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1， ∴AP →·AQ →∈[1－2，1＋2]，∴AP →·AQ →的取值范围为[1－2，1＋2]．9．(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 2 2解析 由题意可得，|AC →|是正方形的对角线长， 故|AC →|＝2， 又AB →＋BC →＝AC →，所以|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2.10．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． AO →＝(2,0)， AP →＝(x ＋2，y )，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时等号成立．11．(2022·赣州模拟)已知在面积为3的△ABC 中，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，CB →＝3CD →，P 为AD 上一点，且满足CP →＝12CA →＋mCB →，则|CP →|的最小值为________．答案 1解析 在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边的长为a ，b ，c ， 因为sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ， 所以由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以C ＝60°，因为A ，P ，D 三点共线， 所以CP →＝λCA →＋(1－λ)CD →， 即CP →＝λCA →＋(1－λ)·13CB →，所以λ＝12，即CP →＝12CA →＋16CB →，而S △ABC ＝12ab sin C ＝3⇒ab ＝4，所以|CP →|＝⎝⎛⎭⎫12CA→＋16CB →2＝14CA →2＋16|CB →|·|CA →|cos C ＋136CB →2 ＝14CA →2＋136CB →2＋13 ≥2×12b ×16a ＋13＝2×112×4＋13＝1， 当且仅当a ＝3b 时等号成立．12. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是矩形ABCD 内的动点，且点P 到点A 的距离为1，则PC →·PD →的最小值为________．答案 2－2 2解析 如图，以A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴，AD 边所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则D (0,1)，C (2,1)，设P (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， PC →＝(2－cos θ，1－sin θ)， PD →＝(－cos θ，1－sin θ)，∴PC →·PD →＝－2cos θ＋cos 2θ＋1－2sin θ＋sin 2θ ＝2－2(sin θ＋cos θ) ＝2－22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1， 即θ＝π4时，PC →·PD →取最小值，最小值为2－2 2.。
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练31平面向量的数量积理
且|O→A| ＝ |A→B| ，则向量 C→A在向量 C→B方向上的投影为 (
)
1
3
A. 2
B．－ 2
1
3
C．－ 2
D. 2
答案 D
解析 因为 2A→O＝A→B＋ A→C，所以 A→B－→AO＋ (A→C－ A→O) ＝ 0，即 O→B＝－ O→C，即外接圆的圆心 O 为
BC的中点，所以△ ABC是以 BC为斜边的直角三角形．
＝[ λ A→B＋ (1 － λ )A→C] ·（A→B＋ A→C) ＝ 4＋ A→B· A→C＝ 6. 故选 B.
11．(xx ·河南鹤壁高级中学段考 ) 如图， BC， DE是半径为 1 的圆 O的两条直径， B→F＝ 2→FO，
则F→D· F→E等于 (
)
3 A．－ 4
8 B．－ 9
1 C．－ 4
C； P→1P2与 P→1P6的夹角为
2 π，故其数量积小
3
于 0，可排除 D；设正六边形的边长是
a
，则
→ P1P2
·P→1P3＝
→ |P 1P2||P
→ 1P3|cos30
°＝
3 2a
2，P→1P2·
→ P1P4
＝|P→1P2||P →1P4|cos60 °＝ a2. 故选 A.
8．(xx ·河南高中毕业年级考前预测 ) △ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，2→AO＝ A→B＋ A→C，
C 由 a＝(1 ， 2) ，可得 a2＝ | a| 2＝ 12＋ 22＝ 5.
∵| a－ b| ＝ 2 5，∴ a2－2a· b＋ b2＝20. ∴5－2×5＋ b2＝20. ∴ b2＝25. ∴｜b| ＝ 5，故选 C.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数训练 文
第五章平面向量与复数考纲链接1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB→的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a是一个与a同向的____________．－a|a|是一个与a________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量OB→就是a与b的________(如图1)．推广：A1A2→＋A2A3→＋…＋A n－1A n＝____________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，BC→＝AD→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠： 1．(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A. (2015·湖北联考)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解：由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，故OC →＝2OA →－OB →.故选A.(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．解：在△ABC 中，MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.故填12；－16. (2015·全国)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，∴存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0.∵a ，b 不平行， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.故填12.类型一 向量的基本概念给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，可得AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．由a ＝b 可得|a |＝|b |且a ∥b ；由|a |＝|b |且a ∥b 可得a ＝b 或a ＝－b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.点拨：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a方向上的单位向量．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算(1) 在△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 解：∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝ 45(CB→－CA →)＝45a －45b .故选D.(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 解：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .故选A.点拨：(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)(2015·福建模拟)在△ABC 中，AD→＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b 2D ．c ＝3b 2－a 2解：因为在△ABC 中，BC →＝BD →＋DC →＝BD →＋ 12AD→＝BD →＋12(BD →－BA →)＝32BD →－12BA →，所以c ＝32b －12a .故选D.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)， ∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1， 即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．综合(1)(2)可知，原命题成立． 点拨： 证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用． (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC→＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝ 2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k － λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.故填±1.(3)(2015·南京模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ→＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解法一：∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝13(OA →＋OB →)＝13m OP →＋13n OQ →.由P ，G ，Q 三点共线可得， 13m ＋13n＝1，故1m ＋1n ＝3. 解法二：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，且λ≠0，即 n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3.故填3.1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/a ＝±b ； (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C.2．已知两个非零向量a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解：∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB→＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ且p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.故选B.3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上．故选B.4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.5．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．故选C.6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ， 消去λ得mn ＝－2.故选A.7．如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______．解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋ (1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝ 12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12. 8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝ AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即平行四边形的对角线相等，故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．故填直角三角形．9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD→＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14a －b .10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝ －8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线． 又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43. 11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b表示向量OM →.解：∵A ，M ，D 三点共线， ∴OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①∵C ，M ，B 三点共线，∴OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋1－λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b .设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB→(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C，若C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．故选D.§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝________， j ＝________，0＝________.4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝__________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．自查自纠：1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2015·全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解：AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝ λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， 故m －n ＝－3.故填－3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，互异的三点A ，B ，C 满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.解：∵OC →＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.故填13.类型一 向量共线充要条件的坐标表示平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. (2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3)．点拨：解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－ x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． (1)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．解：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，因为(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，所以存在唯一的实数λ使得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1）， 解得x ＝4(x >0)．故填4.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k ＝________.解：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线.AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ， k＋1)．∵AB →∥AC →，AC →≠0，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故填1.类型二 平面向量基本定理及其应用(1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基底e 1，e 2下的坐标为________． 解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长．设v ＝OP →，则v 的坐标就是点P 的坐标(x ，y )．|OP |＝r ，α＝∠xOP.当r ＞0时，由三角函数定义知cos α＝x r ，sin α＝yr，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α. v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立．故填(r cos α，r sin α)．(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH→＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.点拨：①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程．②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一．特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组．应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现．(1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠AC B.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解法一：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得AD DB ＝AC BC ＝|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23AB →. 所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令CB ＝1，CA ＝2，AB ＝3，则∠DCB ＝30°，所以BD ＝33.故BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选B.(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12. 所以λμ＝4.故填4.类型三 求向量的坐标已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)， c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－ 3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝ (0，20)．∴M (0，20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝ (9，2)，∴N (9，2)． ∴MN →＝(9，－18)．点拨：向量的坐标运算主要利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是______________． 解：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7， 所以向量OB →的坐标是(4，7)．故填(4，7)．1．对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B. 2．(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.3．(2015·沈阳检测)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 解：因为在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，AM →＝ 12AC →，所以AM →＝12(AB →＋AD →)＝12×(－1，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6.故选B. 4．(2015·江西检测)已知向量a ＝(－1，2)， b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )．由m ＝－6得a ＋b ＝(2，－4)＝－12a ，所以a ∥(a ＋b )；由a ∥(a ＋b )得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.故 “m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．故选A. 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点， ∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2解：因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.故选A.6．(2015·山西联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解：依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.故选D. 7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解：u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝ 2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3)．因为u ∥v ，v ≠0，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.故填12. 8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 解：设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ， 消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6.∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 9．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当实数k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ使得AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝ λ(a ＋m b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ， 解得m ＝32. 解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝ (8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，又BC →≠0，∴8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，得m ＝32.10．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．点M 在第二或第三象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 解得t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，∴A ，B ，M 三点共线． 11．如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标． 解：设OP →＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t －4，4t )，AC →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．∵AP →与AC →共线，∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3)．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解：由题意得，OC →＝kOD →(k <0)，又|k |＝|OC →||OD →|<1，∴－1<k <0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，由平面向量的基本定理知m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．故填(－1，0)．§5.3 平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于__________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：____________________；③分配律：_____________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|||a－||b|________||a＋||b.3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________.②a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或||a＝____________.④ cosθ＝____________.⑤||a·b≤____________.4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝________________；||a＝________________.②a⊥b⇔____________________.③||x1x2＋y1y2≤________________________.自查自纠：1.||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④≤3．①|a|cosθ②a·b＝0 ③|a||b| －|a||b| |a|2a·a④a·b|a||b|⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x21＋y21x21＋y21②x1x2＋y1y2＝0 ③x21＋y21x22＋y22(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1 B．0 C．1 D．2解：因为2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.故选C.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2，1)，则AD→·AC→＝( )A．2 B．3 C．4 D．5解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以AD→·AC→＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.(2015·北京)设a，b是非零向量，“a·b ＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则 cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB ＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________.解：如图所示，AB→·AD→＝AB→·(AB→＋BD→)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF→的值为________．解：根据题意，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋16AB →·DC →＋ 23BC →·AD →＋19BC →·DC →＝2×1×12＋16×2×1＋23× 1×1×12＋19×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2918.故填2918.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||AC→，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形．且A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，∴C ＝π3，B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA→|cos π6＝32.故选A.点拨：数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 解：因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即向量a 与b 反向，则3a ＋2b ＝0.由此可得3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.故选B.(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB→|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＋52＝322.故选A. 类型二 数量积的基本运算已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等．。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量法则(或几何意义)运算律运算交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法a－b＝a＋(－b)数乘|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题 1．给出下列命题：①若a 与b 都是单位向量，则a ＝b ； ②直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量；③若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合； ④海拔、温度、角度都不是向量． 则所有正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④答案 D解析 ①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量． 2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 平面向量的概念例1 (1)给出下列命题，正确的有( )A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 B解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D 教师备选下列命题为假命题的是()A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 B思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a|是与a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)下列命题不正确的是() A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使a|a|＋b|b|＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c答案 A解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为a|a|与b|b|都是单位向量，所以只有当a|a|与b|b|是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的() A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是______，最小值是________． 答案 2 023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023| ＝2 023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时， e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式不正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 C解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →， 而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ， CE ＝2AD ， BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB → ＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·资阳模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( )A ．－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC → D ．－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝⎛⎭⎫13AB →＋13AC → ＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知，AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， ∴3P A →＝PB →－PC →＝CB →， ∴P A →∥CB →，且两向量方向相同， ∴S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △P AB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ， 又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 根据正六边形的性质， 易得，BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋CB →＝CF →.2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件． 3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a C ．a ＋b ＝b D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c C ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确． 5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b＝12a ＋14b . 6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23 C.12 D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋AB →＋12AD → ＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →答案 A解析 由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C 错误；AT →＋BQ→＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不符合题意，所以D 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________.答案 53解析 AC →＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →， 又因为AC →＝AB →＋AD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 是________三角形． 答案 直角解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点， 且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 为直角三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案 34 3 3 解析 ∵B ，D ，C 三点共线，∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3. 16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________.答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，设OA ′→＝2OA →，OC ′→＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x＝3y＝6z，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。
2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第五章 平面向量含答案
2．几种特殊向量
名称
定义
备注
零向量
长度为 0 的向量
零向量记作 0，其方向是任意的
单位向量
长度等于 1 个单位的向量
a 单位向量记作 a0，a0＝|a|
平行向量 相等向量 相反向量
方向相同或相反的非零向量 (也叫共 线向量)
0 与任意向量共线
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量 不一定是相等向量
③λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中错误的命题的个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选 D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当 a＝0 时，不论 λ 为何值，
λa＝0.③错误，当 λ＝μ＝0 时，λa＝μb＝0，此时，a 与 b 可以是任意向量．故错误的命题有 3 个，故选 D.
长度相等且方向相反的两个向量
若 a，b 为相反向量，则 a＝－b
a 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量 和
|a|
a －.
|a|
3．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向 量和的运
算
(1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)
若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是 3.
考点二 平面向量的线性运算
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则―E→B ＝( )
2019届高三数学文一轮复习题组训练：第五章 平面向量
题组层级快练(二十九)1．已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a ＝(1，2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 C解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C. 2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( )A ．(－8，1)B ．(－1，－32)C ．(1，32)D ．(8，－1)答案 B解析 设P(x ，y)，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8，1)＝(－4，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32. ∴P(－1，－32)．故选B.3．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1答案 D解析 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量． 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－4，6)D ．(4，－6)答案 D解析 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.5．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝(1，－2)，AC →＝(3，λ)，则λ＝( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．4答案 A解析 在△ABC 中，∵AB →＝(1，－2)，AC →＝(3，λ)，∴BC →＝AC →－AB →＝(2，λ＋2)．又∵∠B ＝90°，∴AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1.故选A.6．(2018·湖北襄阳模拟)设向量a ＝(m ，2)，b ＝(1，m ＋1)，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．－2或1D ．m 的值不存在答案 A解析 向量a ＝(m ，2)，b ＝(1，m ＋1)，因为a ∥b ，所以m(m ＋1)＝2×1，解得m ＝－2或1.当m ＝1时，a ＝(1，2)，b ＝(1，2)，a 与b 的方向相同，舍去；当m ＝－2时，a ＝(－2，2)，b ＝(1，－1)，a 与b 的方向相反，符合题意．故选A.7．在▱ABCD 中，若AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线交点为O ，则CO →等于( ) A ．(－12，5)B ．(－12，－5)C ．(12，－5)D ．(12，5)答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1，10)＝(－12，－5)．8．(2018·湖北襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( ) A ．k ＝－2 B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线. 因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C.9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3，1)，b ＝(1，3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选A.10．(2017·安徽合肥一模)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2，k)，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________． 答案 －6解析 ∵a ＝(1，3)，b ＝(－2，k)，∴a ＋2b ＝(－3，3＋2k)，3a －b ＝(5，9－k)．∵(a ＋2b )∥(3a －b )，∴－3(9－k)－5(3＋2k)＝0，解得k ＝－6.11．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D 的坐标为________． 答案 (2，4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y)，则DC →＝(4，2)－(x ，y)＝(4－x ，2－y)，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x ，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y)＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 故点D 的坐标为(2，4)．12．已知A(－3，0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________． 答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)． 由∠AOC ＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.13．(2018·河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________． 答案 1解析 ∵点A(1，0)，B(1，3)，点C 在第二象限，OC →＝－4OA →＋λOB →，∴C (λ－4，3λ)．∵∠AOC ＝150°，∴∠COx ＝150°，∴tan150°＝3λλ－4＝－33，解得λ＝1.14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n ＝________．答案 3解析 方法一：如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形． OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →. ∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°， ∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴m n ＝333＝3. 方法二：由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)．又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝(m ，3n)，故由tan30°＝3n m ＝33，可知m n＝3.15．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.答案 (1)E(－13，23)，F(73，0) (2)略解析 (1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23)，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1，0)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)．∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)．又AB →＝(4，－1)， ∵4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.16．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |，0<θ<π，求θ的值． 答案 (1)14 (2)π2或3π4解析 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin (2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.17．(2018·潍坊二模)已知向量AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y)，CD →＝(－2，－3)． (1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． 答案 (1)x ＋2y ＝0(2)x ＝－6，y ＝3，S 四边形ABCD ＝16解析 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， ∴DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y)． 又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y)， ∴x(2－y)－y(－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)， 又AC →⊥BD →， ∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②，化简得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)， 当y ＝－1时，x ＝2.此时AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)． ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.1．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)答案 A解析 设OP →与x 轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝35，sin θ＝45，则由三角函数定义，可得OQ→＝(|OP →|cos (θ＋3π4)，|OP →|sin (θ＋3π4))．∵|OP →|cos (θ＋3π4)＝62＋82×(cos θcos 3π4－sin θsin 3π4)＝10×[35×(－22)－45×22]＝－72，|OP →|sin (θ＋3π4)＝62＋82×(sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4)＝10×[45×(－22)＋35×22]＝－2，∴OQ →＝(－72，－2)， 即点Q 的坐标为(－72，－2)．2．(2018·吉林普通高中二模)在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t)CB →.若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1 C.3－22D.3＋12答案 A解析 ∵CD →＝tCA →＋(1－t)CB →，∴A ，B ，D 三点共线．由题意建立如图所示的直角坐标系，设AC ＝BC ＝1，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．直线AB 的方程为x ＋y ＝1，直线CD 的方程为y ＝3x ，联立解得x ＝3－12，y ＝3－32，∴D(3－12，3－32)，∴CD →＝(3－12，3－32)．∵CA →＝(1，0)，CB →＝(0，1)，∴tCA →＋(1－t)CB →＝(t ，1－t)，∴(3－12，3－32)＝(t ，1－t)，解得t ＝3－12.故选A. 3．与直线3x ＋4y ＋5＝0的方向向量共线的一个单位向量是( )A ．(3，4)B ．(4，－3)C ．(35，45)D ．(45，－35)答案 D4．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________． 答案 (－1，1)或(－3，1)解析 设a ＝(x ，y)，∵b ＝(2，－1)，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∵a ＋b 平行于x 轴，∴y －1＝0，y ＝1，故a ＋b ＝(x ＋2，0)，又∵|a ＋b |＝1，∴|x ＋2|＝1，∴x ＝－1或x ＝－3，∴a ＝(－1，1)或a ＝(－3，1)．5．(2018·湖南长沙一模)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 是矩形内部一点(不含边界)，且AP ＝1.若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (1，2]解析 ∵在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，∴AP →＝xAB →＋yAD →＝x(3，0)＋y(0，2)＝(3x ，2y)．∵|AP →|＝1，∴(3x)2＋(2y)2＝1.令3x ＝cos θ，2y ＝sin θ，θ∈(0，π2)，则3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋π4)， ∵π4<θ＋π4<34π，∴22<sin (θ＋π4)≤1， 1<3x ＋2y ≤2，即3x ＋2y 的取值范围是(1，2]．。
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练29向量的概念及线性运算理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练29向量的概念及线性运算理1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a |B ．a ＝|a |eC ．a ＝－|a |eD ．a ＝±|a |e答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误； 对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D.3．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO →答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.4．(xx·课标全国Ⅰ，文)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC → D.12BC → 答案 A解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.5．(xx·安徽示范性高中二模)△ABC 内一点O 满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，直线AO 交BC 于点D ，则( ) A ．2DB →＋3DC →＝0 B ．3DB →＋2DC →＝0 C.OA →－5OD →＝0 D ．5OA →＋OD →＝0 答案 A解析 ∵△ABC 内一点O 满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，直线AO 交BC 于点D ，∴15OA →＋25OB →＋35OC →＝0.令OE →＝25OB →＋35OC →，则15OA →＋OE →＝0，∴B ，C ，E 三点共线，A ，O ，E 三点共线，∴D ，E 重合．∴OA→＋5OD →＝0，∴2DB →＋3DC →＝2OB →－2OD →＋3OC →－3OD →＝－OA →－5OD →＝0.故选A. 6．(xx·吉林大学附属中学摸底)在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →＝( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →答案 D解析 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →.故选D.7．(xx·江西赣吉抚七校监测)在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近点B)，那么EF →＝( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12AD →D.12AB →－23AD →答案 D解析 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点(靠近点B)，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →－23AD →.故选D.8．(xx·安徽毛坦厂中学期中)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 的中点，则AG →＝( )A.23AB →＋13AD →B.13AB →＋23AD →C.34AB →＋34AD →D.23AB →＋23AD → 答案 C解析 连接AF ，AE ，由G 为EF 的中点，得AG →＝12(AF →＋AE →)＝12(AD →＋DF →)＋12(AB →＋BE →)＝12(AD →＋12DC →)＋12(AB →＋12BC →)＝12(AD →＋12AB →)＋12(AB →＋12AD →)＝34AB →＋34AD →.故选C. 9．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1答案 C解析 由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.10．(xx·北京西城一模)在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则( ) A.AD →＝13AB →－23AC →B.AD →＝13AB →＋23AC →C.AD →＝23AB →－13AC →D.AD →＝23AB →＋13AC →答案 D解析 因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13AC →.故选D.11．(xx·河北衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点．若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4答案 B解析 方法一：因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1.故选B. 方法二：由AN →＝14NC →，得AC →＝5AN →，∴AP →＝mAB →＋25AC →＝mAB →＋2AN →，∴m ＋2＝1，得m ＝－1.12.(xx·河南中原名校质检)如图，已知在△ABC 中，D 为边BC 上靠近B点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点．若CE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( ) A ．－13B ．－12C ．－14D.12 答案 B解析 方法一：依题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，∴CE →＝CA →＋AE→＝CA →＋12AD →＝－AC →＋12(23AB →＋13AC →)＝－AC →＋13AB →＋16AC →＝13AB →－56AC →.∵CE →＝mAB →＋nAC →，∴m ＝13，n＝－56，∴m ＋n ＝13－56＝－12.故选B.方法二：∵在△ADC 中，E 为AD 中点，∴CE →＝12(CA →＋CD →)＝12(－AC →＋23CB →)＝12[－AC →＋23(AB →－AC →)]＝13AB →－56AC →，∴m ＝13，n ＝－56，m ＋n ＝－12.13．(xx·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上答案 B解析 ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.14．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，则P 一定为△ABC 的( ) A ．AB 边中线的三等分点(非重心) B ．AB 边的中点 C ．AB 边中线的中点 D ．重心答案 A解析 如图所示，设AB 的中点是E ，则OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)＝13(OE →＋2OC →)．∵O 是△ABC 的重心，∴2EO →＝OC →，∴OP →＝13(OE →＋4EO →)＝EO →，∴点P在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选A.15．(xx·北京东城)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( ) A ．[0，1] B ．[0，3] C ．[0，12]D ．[12，2]答案 C解析 如图所示，过点C 作CF⊥AB，垂足为F.在Rt △BCF 中，∠B＝30°，BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝ 3.∵AB ＝23，∴AF ＝ 3.由四边形AFCD 是平行四边形，可得CD ＝AF ＝3＝12AB.∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋μAB →，∴DE →＝μAB →.∵DE →∥DC →，DC →＝12AB →，∴0≤μ≤12.故选C.16．如图所示，下列结论不正确的是________．①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .答案 ②④解析 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.17．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________． 答案 －4解析 ∵A，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.18.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 答案 2解析 AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2，故填2.1．(xx·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 答案 B解析 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 2．(xx·山东胶州期中)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，对角线AC ，DB 相交于点O.若AD →＝a ，AB →＝b ，则OC →＝( ) A ．－a 3－b3B.a 3＋b6 C.2a 3＋b 3D.2a 3－b 3答案 B解析 ∵AB∥CD，AB ＝2CD ，∴△DOC∽△BOA 且AO ＝2OC ，则AO →＝2OC →＝23AC →，OC →＝13AC →，而AC→＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，∴OC →＝13AC →＝13(a ＋12b )＝13a ＋16b .3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对答案 C解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．4．在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA →＋PC →＝AB →－PB →，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( ) A.34 B.12 C.13 D.23答案 A解析 由已知的向量关系式2PA →＋PC →＝AB →－PB →，得2PA →＋PC →＝AP →，即PC →＝3AP →，所以点P 在AC 上，且PC ＝3AP ，由相似的性质知，△PBC 与△ABC 在边BC 上的高的比为3∶4，则△PBC 与△ABC 的面积比为3∶4，选A.5．(xx·衡水中学调研卷)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形答案 A解析 如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0知，c(PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c)PA →＋(c －b)PC →＝0，而PA →与PC →为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c.故选A.6．(xx·沧州七校联考)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 答案 －12解析 因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.8．(xx·山东栖霞高中)如图所示，已知△AOB，点C 是点B 关于点A 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，若OE →＝λOA →，则实数λ的值为________． 答案 45解析 设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则知OB →＋OC →＝2OA →.∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，EC →∥DC →，∴2－λ2＝153，∴λ＝45. 9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________． 答案 b －12a解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .10．(xx·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________． 答案 12 －16解析 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. 11．(xx·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.。
2019-2020年高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例真题演练集训理新人教A版
2019-2020年高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例真题演练集训理新人教A 版1．[xx·四川卷]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案：B解析：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，故选B. 2．[xx·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案：A解析：∵ AB →⊥AC →，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t＋t ，t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.3．[xx·天津卷]在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．答案：2918解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得AD ＝DC ＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－(2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝(1,0)． ∵ BE →＝λBC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ，32λ，∴ E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ.∵ DF →＝19λDC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19λ，0，∴ F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32.∴ AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ ≥1718＋229λ·12λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时等号成立，符合题意．∴ AE →·AF →的最小值为2918.4．[xx·江苏卷]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案：78解析：解法一：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (b ，c )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，13c ，BA →＝(b ＋a ，c )， CA →＝(b －a ，c )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b3＋a ，c 3，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3－a ，c 3，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋a ，23c ，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ，23c ，由BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，解得b 2＋c 2＝458，a 2＝138，则BE →·CE →＝49(b 2＋c 2)－a 2＝78.解法二：设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2＝58， 则BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78.课外拓展阅读巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．[典例] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解法一：目标不等式法 [思路分析][解析] 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0， 所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a＋b|＝2.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B解法二：向量基底法[思路分析][解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝m a＋n b.由|c|＝1，即|m a＋n b|＝1，可得(m a)2＋(n b)2＋2mn a·b＝1，由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0.整理，得m2＋n2＝1.而a－c＝(1－m)a－n b，b－c＝－m a＋(1－n)b，故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－n b]·[－m a＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0.又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，故(a＋b－c)2＝[(1－m)a＋(1－n)b]＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2＝3－2(m＋n)．又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.故|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B 解法三：坐标法 [思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则A (1,0)，B (0,1)． 设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1.则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得 (1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0， 整理，得1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1. 而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， 则|a ＋b －c |＝－x2＋－y2＝3－x ＋y .因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1，即|a ＋b －c|≤1. 所以|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B解法四：三角函数法 [思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．因为|c|＝1，设∠COA＝θ，所以C点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a－c＝(1－cos θ，－sin θ)，b－c＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，整理，得sin θ＋cos θ≥1.而a＋b－c＝(1－cos θ，1－sin θ)，则|a＋b－c|＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ.因为sin θ＋cos θ≥1，所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.[答案] B解法五：数形结合法[思路分析][解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，|c |＝|OC →|. 由(a －c )·(b －c )≤0，可知CA →·CB →≤0，则π2≤∠BCA <π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD →＝a ＋b ，如图所示，因为a ＋b －c ＝OD →－OC →＝CD →， 所以|a ＋b －c |＝|CD →|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离，显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1，即|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B。
2020版高考文科数学第一轮复习练习：第五章 平面向量、复数 课后跟踪训练28
课后跟踪训练(二十八)基础巩固练一、选择题1．e1，e2为不共线的两个向量，下列命题正确的个数为()①λe1＋u e2(λ，u∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋u e2的实数对(λ，u)有无穷多个；③若向量λ1e1＋u1e2与λ2e1＋u2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋u1e2＝λ(λ2e1＋u2e2)；④若实数λ，u使得λe1＋u e2＝0，则λ＝u＝0.A．1 B．2 C．3 D．4[解析]对于①、②，由平面向量基本定理可知①正确，②错误；对于③，满足条件的λ有无数多个，故③错误；对于④，因为e1与e2不共线，λe1＋μe2＝0，得λ＝μ＝0，故④正确．故选B.[★答案★] B2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，则2a＋b的坐标为()A．(1,5) B．(－1,4)C．(0,3) D．(2,1)[解析]∵a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴2a＋b＝(2,4)＋(－1，1)＝(1,5)．故选A.[★答案★] A3．若向量a＝(2,1)，b＝(－2,3)，则以下向量中与向量2a＋b共线的是()A．(－5,2) B．(4,10)C．(10,4) D．(1,2)[解析]因为向量a＝(2,1)，b＝(－2,3)，所以2a＋b＝(2,5)．因为4×5－10×2＝0，故向量(4,10)与向量2a＋b共线，故选B.[★答案★] B4．(2018·广西柳州模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，2)，若(k a ＋b)∥(a－3b)，则实数k的取值为()A ．－13 B.13 C ．－3 D ．3[解析] k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.故选A. [★答案★] A5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2[解析] 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.故选A.[★答案★] A 二、填空题6．已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则顶点D 的坐标是________．[解析] 设D (x ，y )， ∵A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)， ∴AB →＝(1,5)，DC →＝(－3－x,4－y )． ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5.解得x ＝－4，y ＝－1.∴点D 的坐标为(－4，－1)． [★答案★] (－4，－1)7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．[解析] ∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2)． [★答案★] (－4，－2)8．已知A (－1,2)，B (a －1,3)，C (－2，a ＋1)，D (2,2a ＋1)，若向量AB →与CD →平行且同向，则实数a 的值为________．[解析] 解法一：由已知得AB →＝(a,1)，CD →＝(4，a )，因为AB →与CD →平行且同向，故可设AB →＝λCD →(λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ，1＝aλ，解得⎩⎨⎧a ＝2，λ＝12.故所求实数a ＝2.解法二：由已知得AB →＝(a,1)，CD →＝(4，a )，由AB →∥CD →，得a 2－4＝0，解得a ＝±2.又向量AB →与CD →同向，易知a ＝－2不符合题意．故所求实数a ＝2.[★答案★] 2 三、解答题9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)． 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.能力提升练11．(2019·江西南昌十校二模)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( )A ．2 6 B.2512 C.2524D.256[解析] ∵a ∥b ，∴(3y －5)×1＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝5. ∵x >0，y >0，∴5＝2x ＋3y ≥26xy ，∴xy ≤2524，当且仅当3y ＝2x 时取等号．故选C. [★答案★] C12．(2019·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (3，0)，B (1,2)．动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ，μ∈[0,1]，λ＋μ∈[1,2]，则所有点P 构成的图形的面积为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．2 3[解析] 以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，如图所示，∵OP →＝λOA →＋μOB →，且λ，μ∈[0,1]，λ＋μ∈[1,2]， ∴点P 位于△ABC 内部(包含边界)．∴所有点P 构成的图形的面积为12×3×2＝ 3.故选C. [★答案★] C13．(2019·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．[解析] P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． [★答案★] {(－13，－23)}14．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)且OP →＝OA →＋tAB →. (1)求点P 在第二象限时，实数t 的取值范围；(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t ；若不能，请说明理由．[解] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)， ∴OA →＝(1,2)，AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)．(1)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >0，且(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.由⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，得此方程组无解， ∴四边形OABP 不可能为平行四边形．拓展延伸练15．(2018·广东化州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2,3)，B (3,2)，C (1,1)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，设OP →＝mAB →－nCA →(m ，n ∈R )，则2m ＋n 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3[解析] 由已知得AB →＝(1，－1)，CA →＝(1,2)，设OP →＝(x ，y )， ∵OP →＝mAB →－nCA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n ，y ＝－m －2n ，∴2m ＋n ＝x －y .作出平面区域如图所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点B (3,2)时，截距最小，即z 最大．∴z 的最大值为3－2＝1，即2m ＋n 的最大值为1.故选B.[★答案★] B16．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是________．[解析] 据已知可知AB →∥AC →，又∵AB →＝(a －1,1)，AC →＝(－b －1,2)，∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号，∴1a ＋2b 的最小值是8.[★答案★] 8感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2019届高考数学一轮复习第五章平面向量复数课时跟踪训练28平面向量的综合应用文2018072431
课时跟踪训练(二十八) 平面向量的综合应用[基础巩固]一、选择题1．(2018·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形[解析] 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.[答案] C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [解析] 解法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC →|＝|b |＝2，|AB →|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC →2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.解法二：BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB →与BC →的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.[答案] C3．(2017·云南省高三统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12[解析] AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23 [解析] 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3.[答案] A5．(2018·河南郑州七校联考)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10[解析] 依题意得，AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5.[答案] C6．(2018·福建高三质检)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →.若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2[解析] 以点A 为坐标原点，以AB →的方向为x 轴的正方向，以AC →的方向为y 轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ →＝(－2,1－λ)，CP →＝(2λ，－1)．∵BQ →·CP →＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.[答案] A 二、填空题7．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．[解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC →与AB →的夹角为90°.[答案] 90°8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．[解析] 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝2a －b2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.[答案] 49．(2018·湖北襄阳优质高中联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．[解析]如图，以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)．设F (m,2)，0≤m ≤2，由AF →·AB →＝(m,2)·(2，0)＝2m ＝2，得m ＝1，则F (1,2)，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.[答案]2三、解答题10．已知四边形ABCD 为平行四边形，点A 的坐标为(－1,2)，点C 在第二象限，AB →＝(2,2)，且AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.(1)求点D 的坐标；(2)当m 为何值时，AC →＋mAB →与BC →垂直． [解] (1)设C (x ，y )，D (m ，n )，则AC →＝(x ＋1，y －2)． ∵AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.∴AB →·AC→|AB →||AC →|＝222＋22·x ＋12＋y －22＝22，化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.① 又AB →·AC →＝2(x ＋1)＋2(y －2)＝2，化为x ＋y ＝2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.又点C 在第二象限，∴C (－1,3)．又CD →＝BA →，∴(m ＋1，n －3)＝(－2，－2)，解得m ＝－3，n ＝1.∴D (－3,1)．(2)由(1)可知AC →＝(0,1)， ∴AC →＋mAB →＝(2m,2m ＋1)，BC →＝AC →－AB →＝(－2，－1)．∵AC →＋mAB →与BC →垂直，∴(AC →＋mAB →)·BC →＝－4m －(2m ＋1)＝0，解得m ＝－16.[能力提升]11．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形[解析] 因为AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为AB →，AC →方向上的单位向量，故由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可得BC ⊥AM (M 是∠BAC 的平分线与BC 的交点)，所以△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，所以∠BAC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． [答案] A12．(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118[解析]建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.设F (x 0，y 0)，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－34，EF →＝(x 0，y 0)．∵DE →＝2EF →，∴2x 0＝14，2y 0＝－34，即x 0＝18，y 0＝－38.∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38.∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，BC →＝(1,0)，∴AF →·BC →＝18.故选B.[答案] B13．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．[解析] 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图平面直角坐标系，则C (1,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，x ∈[0,1]单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32.[答案] 3214. (2018·广东湛江一中等四校联考)如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P在线段BM 上且满足AM MC ＝MPPB＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为________．[解析] ∵|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，∴AB →·AC →＝2×3×cos120°＝－3. ∵MP →＝23MB →，∴AP →－AM →＝23(AB →－AM →)，化为AP →＝23AB →＋13AM →＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.∴AP →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋29AC →·(AC →－AB →)＝49AB →·AC →＋29AC →2－23AB →2＝49×(－3)＋29×32－23×22＝－2.[答案] －215．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12， 故x 的值为5π12.16．(2017·江西上饶调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． [解] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0<C <π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ， ∴sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.[延伸拓展](2017·陕师大附中四模)如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB为直径的圆弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围是________．[解析] 设CD 的中点为M ，连接PM ，则PC →·PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫PM →－12CD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →＋12CD →＝|PM →|2－14|CD →|2＝|PM →|2－4.易知|PM →|∈[2,25]，故PC →·PD →的取值范围是[0,16]． [答案] [0,16]附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019高考数学一轮复习第5章平面向量与复数专题研究平面向量的综合应用练习理
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题研究 平面向量的综合应用1．设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．|a |≠|b |答案 A解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选A.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．以上都不正确答案 B解析 在平行四边形中，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.3．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |最大值为 2.故选B.4．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析 由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．(2017·保定模拟)若O 是△ABC所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0， ∴三角形为直角三角形，故选B.6．(2015·山东，理)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a×a×cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.7．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－1答案 B解析 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选B.8．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 因a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形．9．(2018·天津模拟)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118答案 B解析 如图以直线AC 为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，C(1，0)，B(12，32)，F(1，34)，∴AF →＝(1，34)，BC →＝(12，－32)．∴AF →·BC →＝12－38＝18，选B.10．(2018·安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA →与OB →关于y 轴对称，向量a ＝(1，0)，则满足不等式OA →2＋a ·AB →≤0的点A(x ，y)的集合用阴影表示为( )答案 B解析 ∵A(x，y)，向量OA →与OB →关于y 轴对称，∴B(－x ，y)，AB →＝(－2x ，0)．∵OA →2＋a ·AB →≤0，∴x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1≤0，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B. 11．(2016·四川)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494C.37＋634D.37＋2334答案 B解析 由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE|＋12＝72，则|BM →|max 2＝494，选B.12．(2015·山东，文)过点P(1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________． 答案 32解析 在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线PA ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO＝π6，则PA →，PB→的夹角为π3，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos π3＝32.13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →， BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12. 14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________． 答案 6解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又F(1，0)，所以FA →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，得x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义可得|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6.15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________． 答案 26解析 连接OC 、OD 、MC 、ND ，则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 答案 (1)2 2 (2)1解析 (1)∵m＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n. 两式相减，得m －n ＝y －x.令m －n ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.17．(2017·江西上饶中学调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，cosA)，m ·n ＝sin2C.(1)求角C 的大小；(2)若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． 答案 (1)π3(2)6解析 (1)m ·n ＝sinA ·cosB ＋sinB ·cosA ＝sin(A ＋B)， 对于△ABC，A ＋B ＝π－C ，0<C<π， ∴sin(A ＋B)＝sinC ，∴m ·n ＝sinC ，又m ·n ＝sin2C ， ∴sin2C ＝sinC ，cosC ＝12，C ＝π3.(2)由sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，可得2sinC ＝sinA ＋sinB ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b.∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18， 即abcosC ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.1．(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O.记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( ) A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2 D ．I 2<I 1<I 3 答案 C解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO<AF ，而∠AFB＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．所以I 1<0，I 3<0，I 2>0，只需再比较I 1与I 3的大小．作AG⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB<BG ＝GD<OD ，而OA<AF ＝FC<OC ，∴|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD<0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3，∴I 3<I 1<I 2，故选C.。
2020版高考数学一轮总复习 第五单元平面向量与复数 课后作业全集 含解析
平面向量的概念及线性运算1．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于(D)A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积之比是(B) A.13 B.12 C.23 D.34由CP →＝2PA →知，PA ∶PC ＝1∶2，所以S △PAB S △PBC ＝PA PC ＝12. 3．设a ，b 是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是(C) A ．a ＝－b B ．a∥bC ．a ＝2bD ．a∥b 且|a|＝|b|因为向量a |a|的方向与a 相同，向量b |b|的方向与b 相同，且a |a|＝b |b|，所以向量a 与b 的方向相同，故可排除A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a|＝2b |2b|＝b |b|， 故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件． 4．(2018·石家庄一模)△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD →＝12DA →，设CB →＝a, CA →＝b ，则CD→＝(B)A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b因为AB →＝CB →－CA →＝a －b .因为BD →＝12DA →，所以AD →＝23AB →＝23a －23b ，所以CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b.5．已知a ，b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a ，12b ，t (a ＋b )三向量的终点在一条直线上，则实数t ＝13.因为a ，12b ，t (a ＋b )的终点在一条直线上，所以t (a ＋b )－a ＝λ(a －12b )， 即(t －λ－1)a ＋(t ＋12λ)b ＝0，又因为a ，b 不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧t －λ－1＝0，t ＋12λ＝0，解得t ＝13.6．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝ 3 .由题意可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，所以xy＝3.7．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作平行四边形AOBD ，C 为OD 与AB 的交点，若BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，试用a ，b 表示MN →.因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b .所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b . 又OD →＝a ＋b ，故ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .8．(2019·石家庄市第一次模拟)已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是(B)A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)OD →＝|OD →||OC →|OC →＝|OD →||OC →|(λOA →＋μOB →)＝λ|OD →||OC →|OA →＋μ|OD →||OC →|OB →，因为A ，B ，D 共线，所以λ|OD →||OC →|＋μ|OD →||OC →|＝1， 所以λ＋μ＝|OC →||OD →|，由题意易知|OC →||OD →|>1，所以λ＋μ∈(1，＋∞)．9．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，若△ABC 的面积为12 cm 2，则△PBC 的面积为 8 cm 2.因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝AP →＋PB →，所以PC →＝2AP →，所以点P 是CA 的三等分点， 所以S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. 因为S △ABC ＝12 cm 2，所以S △PBC ＝23×12＝8 cm 2.10．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示AD →，AG →； (2)求证：GA →＋GB →＋GC →＝0.(1)AD →＝12(a ＋b )，AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，(2)证明：由(1)知GA →＝－13(a ＋b )，设BC →＝c ，同理可得： GB →＝－13(－a ＋c )，GC →＝－13(－b －c )，所以GA →＋GB →＋GC →＝－13(a ＋b －a ＋c －b －c )＝0.平面向量的基本定理与坐标表示1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为(A) A ．(35，－45) B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)注意与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|.2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b (C) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限角平分线因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴，故选C.3．设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a∥b”的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件当a∥b 时，有2×4－(x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝±3.所以x ＝a∥b ，但a∥b x ＝3.故“x ＝3”是“a∥b ”的充分不必要条件．4．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a∥b ，则b ＝(D) A ．(32，－12) B ．(32，12) C ．(－32，－12) D ．(32，12)或(－32，－12)设b ＝(x ，y )，由条件得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3y －3x ＝0，所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 5．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为 (5,14) .设B (x ，y )，由AB →＝3a 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14，即B 的坐标为(5,14)．6．(2017·山东卷)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝ －3 .因为a ∥b ，所以2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.7．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，若AP →＝AB →＋tAC →(t ∈R )，试求t 为何值时，点P 在第二象限？设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,1)＝(x －2，y －1)， AB →＋tAC →＝(3,5)－(2,1)＋t [(3,2)－(2,1)]＝(1,4)＋t (1,1)＝(1,4)＋(t ，t )＝(1＋t,4＋t )， 由AP →＝AB →＋tAC →得(x －2，y －1)＝(1＋t,4＋t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝5＋t ，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t <0，y ＝5＋t >0.所以－5<t <－3，即当－5<t <－3时，点P 在第二象限．8．(2018·广州一模)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1,1)，若|a ＋b|＝|a|＋|b|，则实数m ＝ 2 .由|a ＋b|＝|a|＋|b|可知，向量a 与b 共线且同向，所以m ×1－2×1＝0，所以m ＝2.9．(2018·深圳市第二次调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，点A ，B 在圆C 上，且|AB |＝23，则|OA →＋OB →|的最小值是 8 .(方法一)设AB 的中点为D ，则CD ＝1.延长CD 交圆C 于点E ，则D 为CE 的中点．因为|OA →＋OB →|＝|OC →＋CA →＋OC →＋CB →|＝|2OC →＋CE →|， 设E (4＋2cos θ，3＋2sin θ)，所以|OA →＋OB →|＝|(8,6)＋(2cos θ，2sin θ)| ＝|(8＋2cos θ，6＋2sin θ)| ＝＋2cos θ2＋＋2sin θ2＝104＋θ＋4cos θ＝104＋θ＋φ≥104－40＝8.(方法二)因为|OA →＋OB →|＝|OC →＋CA →＋OC →＋CB →|＝|2OC →＋CE →|≥2|OC →|－|CE →|＝2×5－2＝8.10．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α，α∈[0，2π3]，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.平面向量的数量积1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝(12，32)，BC →＝(32，12)，则∠ABC ＝(A)A ．30° B．45° C ．60° D．120°因为BA →＝(12，32)，BC →＝(32，12)，所以|BA →|＝1，|BC →|＝1， BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32， 所以cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤〈BA →，BC →〉≤180°， 所以∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝(B) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b .因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以原式＝2×12＋1＝3.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b|＝1，则|a ＋b|＝(B) A. 3 B.7 C ．3 D ．7|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝|a|2＋2|a||b|cos 60°＋|b|2＝4＋2×2×1×12＋1＝7，故|a ＋b|＝7.4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b ，且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为(B) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3因为2a ＋3b 与k a －4b 垂直，所以(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＋(3k －8)a·b ＝2k －12＝0， 解得k ＝6.5．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝ 2 .因为a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.6．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为 311.由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， 所以AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311.7．已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a|2－|b|2＝12， 又因为|a|＝1，所以|b|＝|a|2－12＝22.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22， 所以θ＝45°.(2)因为(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，所以|a －b|＝22. (a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， 所以|a ＋b|＝102. 设a ＋b 与a －b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b||a ＋b|＝1222×102＝55.8．(2018·深圳一模)在△ABC 中，AB ⊥AC ，|AC |＝2，BC →＝3BD →，则AD →·AC →＝(D) A.263B ．22 C ．23 D.233因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)，所以AD →·AC →＝AB →·AC →＋13(AC →2－AB →·AC →)，＝13AC →2＝23＝233.9．(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是 4 ，最大值是 2 5 .设a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝1，|b |＝2， 所以|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b2＋a －b2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ.因为θ∈[0，π]，所以cos 2θ∈[0,1]，所以y 2∈[16,20]，所以y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．10．(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈[π6，7π6]， 从而－1≤cos(x ＋π6)≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量的应用1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则(B) A ．|v 1|<|v 2| B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|＝|v 2|D ．|v 1|与|v 2|的大小不确定2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则(A) A ．a⊥b B ．|a |＝|b | C ．a∥b D ．|a|>|b|(方法一)因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2.所以a 2＋b 2＋2a ·b ＝a2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b .(方法二)利用向量加法的平行四边形法则． 在ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .3．已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的(C)A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心．由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心． 由PA →·PB →＝PB →·PC→PA →－PC →)·PB →＝CA →⊥PB →，同理，AP →⊥BC →，CP →⊥AB →，所以P 为△ABC 的垂心．4．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为(D)A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]因为a ⊥b ，所以2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，则z ＝2x ＋3y ，x ，y 满足不等式||x ＋||y ≤1， 画出可行域如下：当z ＝2x ＋3y 经过点A (0,1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值3，当z ＝2x ＋3y 经过点C (0， －1)时，z ＝2x ＋3y 取得最小值－3.5．两人一起提重为|G |的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F |，则|F|与|G|的关系是 |F|＝|G|2cosθ2.按力的平行四边形法则有|F|＝|G|2cosθ2.6．在正三角形ABC 中，D 是BC 边上的点，若AB ＝3，DC →＝2BD →，则AB →·AD →＝ 152 .如图，在△ABD 中，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝9＋|AB →|·|BD →|·cos 120° ＝9－32＝152.7．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2，3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(1)因为m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，所以OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．所以|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)因为OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n ),即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得：m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图可知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.8．(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为(C)A ．－15B ．－9C ．－6D ．0如图，连接MN .因为BM →＝2 MA →，CN →＝2NA →，所以AM AB ＝13＝AN AC ，所以MN ∥BC ，且MN BC ＝13，所以BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)， 所以BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2) ＝3(2×1×cos 120° －12)＝－6.9．已知A (a,0)，B (3,2＋a )，直线y ＝12ax 与线段AB 的交点为M ，且AM →＝2MB →，则a ＝－4或2 .设M (x 0，y 0)，由AM →＝2MB →，得(x 0－a ，y 0)＝2(3－x 0,2＋a －y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0－a ＝6－2x 0，y 0＝4＋2a －2y 0，又y 0＝12ax 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＝6＋a ，12ax 0＝4＋2a －ax 0，解得a ＝－4或2.10．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E ，求证：BE ＝14BA .如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a ，设OE →＝m a ＋n b ，因为O ，E ，D 三点共线，所以m n ＝13.①AE →＝OE →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AB →＝b －a ，又A ，E ，B 三点共线，所以m －1－1＝n1，即m ＋n －1＝0.② 由①②解得m ＝14，n ＝3m ＝34，故OE →＝14a ＋34b .所以BE →＝OE →－OB →＝14a ＋34b －b ＝14a －14b ，又BA →＝a －b ，所以BE →＝14BA →，即BE ＝14BA .复数的概念与运算1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(D) A ．3－2i B ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2ii(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i.2．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)(1＋i )2(1－i )3＝(D)A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i(1＋i )2(1－i )3＝2i －2i (1－i )＝－11－i ＝－1＋i (1－i )(1＋i )＝－12－12i.3．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝3－b i ，则a ＋b i1－i＝(B) A ．2－i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋i因为a ＋i ＝3－b i ，所以a ＝3，b ＝－1， 则a ＋b i 1－i ＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，故选B. 4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是(D)A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i因为CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →，所以CA →对应的复数为－1－3i －(2＋i)＝－3－4i.5．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝(B)A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i因为z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，所以z －＝1－i.6．(2018·深圳一模)已知a ∈R, i 为虚数单位，若复数z ＝a ＋i1－i ，且|z |＝1，则a ＝(D)A ．±2B ．1C ．2D ．±1(方法一)z ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i2，所以|z |＝(a －12)2＋(a ＋12)2＝1，解得a ＝±1. (方法二：利用模的性质)|z |＝|a ＋i||1－i|＝a 2＋12＝1，得a 2＋1＝2，所以a ＝±1.(方法三：代入验证法)a ＝1时，z ＝1＋i1－i ＝i ，满足|z |＝1；a ＝－1时，z ＝－1＋i1－i＝－1，满足|z |＝1.故选D.7．i 是虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则复数z1＋i对应的点是(D)A ．EB ．FC ．GD ．H由复数的几何意义知z ＝3＋i.因为z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－i.所以z1＋i对应的点为H (2，－1)．8．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为(C)A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ．[916，7]由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ， 由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4 ＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4 ＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈[－916，7]．9．(2017·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是 10 .(方法一)因为z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，所以|z |＝(－1)2＋32＝10.(方法二)|z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.10．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为 －2 .因为a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，所以－a ＋25＝0，所以a ＝－2.11．(2018·湖北5月冲刺试题)已知复数2－a i1＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a ＝ 2 .因为2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i ))(1＋i )(1－i )＝(2－a )－(2＋a )i 2对应的点在虚轴上，所以2－a ＝0，所以a ＝2.12．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是 3 .|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|表示圆上的点到点(2,2)的距离，利用数形结合可知，其最小值为3.。
2020版高考文科数学第一轮复习练习：第五章平面向量、复数课后跟踪训练29版含解析
基础巩固练 一、选择题 1．设向量 a＝(2,2)，b 与 a 的夹角为 3π，且 a·b＝－ 2，则 b 的坐
4 标为 ( )
A．(0，－ 1)
B．(－1,0)
C．(0，－ 1)或(－1,0)
D．以上都不对
[解析 ] 设 b＝(x，y)，则 a·b＝2x＋2y＝－ 2，即 x＋y＝－ 1，①
[答案 ] C
4．已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，且 a 与 b 的夹角为 120°，|b|＝ 2|a|，则 a 与 c 的夹角为 ( )
A．60° B．150° C．120° D．90° [解析 ] 由 a＋b＋c＝0，得 c＝－ (a＋b)，所以 a·c＝－ a·a（＋b)＝ －|a|2－a·b＝－ |a|2－2|a|2cos120 ＝°－ |a|2＋|a|2＝0，故 a 与 c 的夹角为 90°故．选 D. [答案 ] D
→ 5．△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足 AB＝2a，
→ AC＝2a＋b，则下列结论正确的是 ( )
A ． |b|＝ 1 C． a·b＝ 1
B．a⊥b →
D．(4a＋ b)⊥ BC
→
→
1→ → → →
[解析 ] ∵AB＝2a，AC＝2a＋b，∴a＝ AB，b＝AC－AB＝BC，∵
2
△ABC 是边长为 2 的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝1A→B·B→C＝－ 1，故 a， 2
→→→ →
→ → →→
b 不垂直，4a＋b＝2AB＋BC＝AB＋AC，故(4a＋b) ·BC＝(AB＋AC) ·BC
→ ＝－ 2＋2＝0，∴ (4a＋b)⊥BC，故选 D.
[答案 ] D 二、填空题 6．已知两个非零向量 a，b 满足 |a|＝|b|＝|a－b|＝2，则 a 在 b 方 向上的投影为 ________． [解析 ] 解法一 ：(几何法 )如图所示，因为 |a|＝|b|＝|a－b|＝2，所 以∠BAD＝60°，所以 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos〈a，b〉＝2×cos60°＝ 1.
高考数学一轮复习第五章 平面向量与复数
第五章 平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.数系的扩充和复数的引入 (1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义.§5.1 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念 (1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________.(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的.(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________.－a|a |是一个与a ________的单位向量.(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量____________.(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量.(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示.2.向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1).推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝___________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2).在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图).3.向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4.两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________.自查自纠：1.(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2.(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3.(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4.b ＝λa如果a ，b 是两个单位向量，则a 与b 一定( )A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等 解：|a |＝|b |＝1，故选D.如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝()A.0B.BE →C.AD →D.CF →解：BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，故选D.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线.故选C.(2013·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝__________.解：由向量加法的平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.故填2.如图，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于__________________.解：OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.故填34OA →＋14OB →.类型一 向量的基本概念下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量a ≠b ，则a 与b 的方向必不相同； ③|a |＞|b |，则a ＞b ；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量.其中正确的是( )A.①⑤B.④C.⑤D.②④解：温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a ≠b ，a 与b 的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错；正方形ABCD 中AB →与CD →共线，但A ，B ，C ，D 四点不共线，④错；作图易得⑤正确.故选C.点拨：(1)与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质；(2)概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习；(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的，熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||a ＝||b ，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确．．．的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5解：两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故①不正确；||a ＝||b ，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.类型二 向量的线性运算(1)如图所示，下列结论正确的是()①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A.①②B.③④C.①③D.②④解：由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误.故正确的为①③，故选C.(2)(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解：易知OA →＝OM →＋12CA →，OB →＝OM →＋12DB →，OC →＝OM →＋12AC →，OD →＝OM →＋12BD →，而CA →＝－AC →，DB →＝－BD →，∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.点拨：向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.(1)(2013·北京模拟)如图，在△ABC中，BD ＝2D C.若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A.23a ＋13bB.23a －13bC.13a ＋23bD.13a －23b 解：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →，又∵AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A .类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性. 若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性. 若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， ∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线.综合(1)(2)可知，原命题成立.点拨：证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合.注意：本例的结论可作定理使用.(1)如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511C.311 D.211解：注意到N ，P ，B 三点共线，因此我们有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.(2)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线.故选A.(3)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A.－1或3B. 3C.－1或4D.3或4解：∵向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，∴m a－3b ＝λ[]a ＋（2－m ）b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－3＝λ（2－m ）.解得m ＝－1或m ＝3.故选A.1.准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/ a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，向量的共线与向量的平行是一致的.2.向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.3.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算，在学习的时候要注意它们的联系与区别.4.对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件.1.下列命题中正确的是( ) A.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB.若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC.对于任意向量a ，b ，有|a ＋b |≥|a －b |D.对于任意向量a ，b ，有|a |＋|b |≥|a ＋b | 解：对于选项A ，若b ＝0，结论不一定成立，A 错；对于选项B ，模相等方向不一定相同或相反，B 错；对于选项C ，若非零向量a 与b 方向相反，则|a ＋b |＜|a －b |，C 错；D 正确.故选D.2.(2014·武汉调研)如图所示的方格纸中，有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝()A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解：如图，取点M ，由向量加法的平行四边形法则有OP →＋OQ →＝OM →＝FO →，故选C.3.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A.点M 在线段AB 上B.点B 在线段AM 上C.点A 在线段BM 上D.O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上.故选B.4.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝()A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.5.(2013·湖北八校联考)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A.平行且方向相反B.平行且方向相同C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由题意得AD →＝AE →＋ED →＝13AC →＋23AB →，BE →＝BD →＋DE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝CD →＋DF →＝23CB →＋13CA →，则AD →＋BE →＋CF →＝－13BC →.故选A.6.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解：∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴BD AD ＝BC AC ＝12，∵AB →＝CB →－CA →＝a －b ，∴AD →＝23AB →＝23a －23b ，∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b ，故选B.7.如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______.解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12.8.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD→⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1，故填1.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a＝14a －b .10.在△ABC 中，设D 为边BC 的中点，求证：3AB →＋2BC →＋CA →＝2AD →.证明：∵D 为BC 的中点， ∴AB →＋AC →＝2AD →.左边＝3AB →＋2BC →＋CA →＝AB →＋2(AB →＋BC →)＋CA →＝AB →＋2AC →＋CA →＝AB →＋AC →＝2AD →＝右边，得证.11.已知线段AB 和AB 外一点O ，求证：(1)若M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)；(2)若AP →＝tAB →(t ∈R )，则OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.证明：(1)如图甲，由三角形法则可得OA →＋AM →＝OM →，OB →＋BM →＝OM →，图甲∴OA →＋OB →＋AM →＋BM →＝2 OM →. ∵M 是AB 的中点， ∴BM →＝－MB →＝－AM →， ∴AM →＋BM →＝0.于是OA →＋OB →＝2OM →，故OM →＝12(OA →＋OB →).(2)如图乙，∵AP →＝tAB →，图乙∴OP →＝OA →＋AP → ＝OA →＋tAB → ＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB→(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确.故选D.§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________.2.向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图).(2)向量夹角θ的范围是_______________.a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________.3.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解.(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为________.显然，i ＝______， j ＝______，0＝______.4.平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________.※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y ).当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).自查自纠：1.a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2.(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3.(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4.(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是( )A.若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C.对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.已知点A (－1，1)，点B (2，y )，向量a ＝(1，2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A.5B.6C.7D.8解：AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.(2014·广东)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝________.解：易知b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故填(2，－1).(2013·北京模拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2).若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.解：k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.故填－1.类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A.－2B.－13C.－1D.－23解：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)－2λ×1＝0，∴λ＝－1，故选C.(2)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，m )，若2a －b 与a ＋3b 共线，则m ＝ ____________.解：2a －b ＝(5，2－m )，a ＋3b ＝(6，1＋3m )，由2a －b 与a ＋3b 共线得5(1＋3m )－6(2－m )＝0，解得m ＝13.故填13.点拨：此类题目在近几年高考中多次出现，既考查了向量的线性运算及向量的坐标表示，又考查了学生对向量共线充要条件的理解及计算能力.解决此类题目，我们只需要牢记向量共线充要条件的坐标表示形式：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0即可.(1)(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A.－ 2B. 2C.－2或 2D.0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C.1 D.2 解：因为a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)，又∵(a ＋λb )∥c ，∴(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.故选B.类型二 平面向量基本定理及其应用 (1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基e 1，e 2下的坐标为________.解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长.设v ＝OP →，则v 的坐标就是点P 的坐标 (x ，y ).|OP |＝r ，α＝∠xOP.当r ＞0时，由三角函数定义知cos α＝x r ，sin α＝y r，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α.v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立.故填(r cos α，r sin α).(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45bC.－25a ＋45bD.－25a －45b解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25. 故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.点拨：①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程.②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一.特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组.应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现.(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解：选项A ，C ，D 中，e 1与e 2共线，故不存在实数λ，μ使得a ＝λe 1＋μe 2；选项B 中，e 1与e 2不共线，设存在实数λ，μ使得(3，2)＝λ(－1，2)＋μ(5，－2)，解得λ＝2，μ＝1，∴a ＝2e 1＋e 2.故选B.(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12. 所以λμ＝4.故填4.类型三 求向量的坐标设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2，6)B.(－2，6)C.(2，－6)D.(－2，－6)解：设d ＝(x ，y ).因为4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，依题意，有4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6.故选D.点拨：将三角形法则推广后，便可得：在如图所示的n 边形A 0A 1…A n 中，有A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n＝A 0A n →，A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 0→＝0.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( )A.(2，4)B.(3，5)C.(－3，－5)D.(－2，－4) 解：如图，BD →＝BC →＋CD →＝(AC →－AB →)＋BA →＝AC →＋2BA →＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5).故选C.1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸.(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2.向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等，当且仅当其坐标相同.1.(2014·北京)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9) 解：2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).故选A .2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A.a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B.a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C.a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D.a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选B.3.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，且满足p ∥q ，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解：由p ∥q 得4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)＝2ab sin C ，结合余弦定理得tan C ＝3，C ＝π3.故选B.4.(2014·安徽六校联考)“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：由向量a 与b 共线得(x ＋2)(2－x )－2＝0，∴x ＝±2，∴“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的充分不必要条件.故选A .5.(2013·北京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是( )A.3，1B.1, 3C.－1, 3D.－3，1 解：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.依题意，OC →＝(λ，μ)，λ＝|OC |cos 5π6＝－3，μ＝|OC |sin 5π6＝1.故选D.6.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A.若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B.a ⊙b ＝b ⊙aC.对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D.(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解：若a 与b 共线，则有a ⊙b ＝0，故A 正确；因为b ⊙a ＝pn －qm ，而a ⊙b ＝mq －np ，所以a ⊙b ≠b ⊙a ，故B 错误，易验证C ，D 皆正确.故选B.7.(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝____________.解：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ，tan θ＝12.故填12.8.(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23B C.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____________.解：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＋λ2＝12.故填12.9.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足什么条件？解：AB →＝OB →－OA →＝(2，1)，AC →＝OC →－OA →＝(1－m ，m ＋6)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则A ，B ，C三点不共线.当A ，B ，C 三点共线时，AB →＝λAC →，(2，1)＝λ(1－m ，m ＋6)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（1－m ），1＝λ（m ＋6），解得m＝－113.∴当m ≠－113时，点A ，B ，C 能构成三角形.10.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t ).若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0. ∴t ＜－23. (2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2. 此方程无解. 故四边形OABP 不可能成为平行四边形.11.如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标.解：设OP →＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t －4，4t )， AC →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6). ∵AP →与AC →共线，∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3).在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A.(－72，－2)B.(－72，2)C.(－46，－2)D.(－46，2)解法一：将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则向量OQ →与向量OP →的模相等，夹角为3π4，设OQ →＝(x ，y )，由OP →·OQ →＝6x ＋8y ＝－502，||OP →＝||OQ →＝x 2＋y 2＝10，解得x ＝－72，y＝－2，或x ＝2，y ＝－72，结合图形知Q 点在第三象限.则A 正确.解法二：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)⇒cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－2).故选A.§5.3 平面向量的数量积1.数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作____________，其中θ是a 与b 的夹角，||b cos θ叫向量b 在a 方向上的____________，即a ·b|a|. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于____________2.数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_________________________； ③分配律：______________________. (2)常用结论①(a ±b )2＝________________________； ②(a ＋b )·(a －b )＝_________________；③ a 2＋b 2＝0⇔______________________； ④|||a －||b |________||a ＋||b . 3.数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则① e ·a ＝____________. ② a ⊥b ⇔____________.③当a 与b 同向时，a ·b ＝____________； 当a 与b 反向时，a ·b ＝____________. 特别地，a ·a ＝____________或||a ＝____________.④ cos θ＝____________. ⑤||a ·b ≤____________. 4.数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ·b ＝________________；a 2＝________________；||a ＝________________.② a ⊥b ⇔____________________.③||x 1x 2＋y 1y 2≤________________________.自查自纠：1.||a ||b cos θ a ·b 投影 a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||b cos θ的乘积2.(1)①a ·b ＝b ·a ②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c(2)①a 2±2a ·b ＋b 2 ②a 2－b 2③a ＝0且b ＝0 ④≤3.①|a |cos θ②a ·b ＝0 ③|a ||b | －|a ||b ||a |2a ·a ④a ·b |a ||b |⑤|a ||b |4.①x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 21＋y 21②x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③x 21＋y 21x 22＋y 22(2014·山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－ 3 解：a ·b ＝3＋3m ＝|a ||b |cosπ6＝2·9＋m 2·32，解得m ＝3.故选B. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解：AB →·BC →＋AB →2＝0⇒AB →·(BC →＋AB →)＝0⇒AB →·AC →＝0⇒AB →⊥AC →.则△ABC 必定是直角三角形.故选B.(2013·北京海淀一模)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( )A.－12B.12C.－1D.1解：∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴2a ·b ＝－1，故a ·b ＝－12.故选A.(2014·江西)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解：∵a ＝3e 1－2e 2，∴|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12e 1·e 2＝9，∴|a |＝3.故填3.(2013·全国新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝____________.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则||a ＝||b ＝2.且a ·b ＝0.∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·(b －a )＝b 2－12a 2＝4－12×4＝2.故填2.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________.(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数.故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||AC →，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为( )A.32B.32C.3D.－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形.且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，∴∠C ＝π3，∠B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos π6＝32.故选A.点拨：数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)).其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题.(1)(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：设a 与b 的夹角为θ，则|a ·b |＝||a |·|b |cos θ|＝|a |·|b ||cos θ|＝|a |·|b |，则向量a ，b 夹角为0或π或者两个向量a ，b ，至少有一个为0，故a ∥b ，充分性成立；反之，若a ∥b ，则|a ·b |＝|a |·|b |，必要性成立.故选C.(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A.322B.3152C.－322D.－3152解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB→|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＋52＝322.故选A. 类型二 数量积的基本运算已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________.解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等.(2014·全国)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A.－1B.0C.1D.2解：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos60°－|b |2＝2×1×1×12－12＝0.故选B.类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝5D.x ＝0 解：由向量垂直的充要条件得2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0.故选D.(2)已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.||a ＝||bD.a ＋b ＝a －b解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0，∴a ⊥b .解法二：a ＋b ，a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线.∵|a ＋b |＝|a －b |，∴平行四边形的对角线相等.∴该平行四边形为矩形，∴a ⊥b .故选B.点拨：两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直.(1)(2014·湖北)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.解：由(a ＋λb )⊥(a －λb )，得(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0，即18－2λ2＝0，∴λ＝±3.故填±3.(2)(2013·广西)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：易知m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0，∴－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B.类型四 向量的夹角与模(1)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a－b )＝－2，则a 与b 的夹角为________.解：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.故填π3.(2)(2014·全国)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A.2B. 2C.1D.22解：∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，又|a |＝1，∴a ·b ＝－1.又(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴b 2＝2，即|b |＝2.故选B.点拨：由向量数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.(1)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________.解：由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a－c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B.1C. 2D.2解：|a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ， 由于a ·b ＝0，a ，b ，c 为单位向量，所以上式＝3－2c ·（a ＋b ），又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·（a ＋b ）≤1，故选B.。
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B．－ 1
C． 1
D． 4
答案 B
解析 方法一： 因为 A→P＝A→B＋ B→P＝ A→B＋ kB→N＝→AB＋ k(A→N－ A→B) ＝ (1 － k)A→B＋ k5A→C，且 A→P＝ m→AB＋
25A→C，所以
k2 1－k＝ m，5＝ 5，解得
k＝ 2， m＝－ 1. 故选 B.
方法二：由 A→N＝ 14N→C，得 A→C＝ 5→AN，
＋5O→D＝ 0，∴ 2D→B＋ 3D→C＝ 2O→B－ 2→OD＋ 3→OC－ 3→OD＝－ O→A－ 5→OD＝ 0. 故选 A.
6．(xx ·吉林大学附属中学摸底 ) 在梯形 ABCD中， A→B＝ 3→DC，则 B→C＝ (
)
A．－
13A→B＋
2A→D 3
B．－
23A→B＋
4A→D 3
C.23A→B－ A→D
解析
因为 B→C＝ 3B→D，所以
A→C－→AB＝ 3(A→D－ A→B) ，即
→AD＝
23A→B＋
1A→C. 3
故选
D.
11．(xx ·河北衡水中学三调 ) 在△ ABC中，A→N＝ 14N→C，P 是直线 BN上的一点． 若 A→P＝ m→AB＋ 25A→C，
则实数 m的值为 ( ) A．－ 4
∴A→P＝ m→AB＋ 25A→C＝ m→AB＋ 2→AN，∴ m＋2＝ 1，得 m＝－ 1.
A.A→D
B. 1A→D 2
C.B→C
D. 1B→C 2
答案 A
解析 E→B＋F→C＝ 1(A→B＋C→B) ＋ 1(A→C＋B→C) ＝ 1(A→B＋ A→C) ＝→AD，故选 A.
2
2
2
5．(xx ·安徽示范性高中二模 ) △ABC 内一点 O满足 O→A＋ 2→OB＋ 3→OC＝ 0，直线 AO交 BC于点 D，
前者是后者的充分不必要条件．
2．设 a 是任一向量， e 是单位向量，且 a∥ e，则下列表示形式中正确的是 ( )
a A． e＝ | a|
B． a＝ | a| e
C． a＝－ | a| e
D． a＝±｜a| e
答案 D
a 解析 对于 A，当 a＝0 时， | a| 没有意义，错误；
对于 B， C， D 当 a＝0 时，选项 B， C， D都对； 当 a≠ 0 时，由 a∥ e 可知， a 与 e 同向或反向，选 D.
9．已知向量 i 与 j 不共线，且 →AB＝ i ＋ mj ，A→D＝ ni ＋ j ，若 A，B， D三点共线，则实数 m，n
应该满足的条件是 ( )
A． m＋ n＝ 1
B． m＋n＝－ 1
C． mn＝ 1
D． mn＝－ 1
答案 C
解析 由 A，B，D 共线可设 A→B＝ λA→D，于是有 i ＋ mj ＝λ (n i ＋ j ) ＝ λ ni ＋λ j . 又 i ，j 不共
分点 ( 靠近点 B) ，那么 E→F＝ (
)
A.
12A→B－
1A→D 3
B.
14A→B＋
1A→D 2
C.13A→B＋
1A→D 2
D.
12A→B－
2A→D 3
答案 D
解析 在△ CEF中， E→F＝E→C＋ C→F. 因为点 E 为 DC的中点，所以 E→C＝1D→C. 因为点 F 为 BC的一 2
λ n＝ 1，
线，因此
即有 mn＝1.
λ ＝ m，
10．(xx ·北京西城一模 ) 在△ ABC中，点 D 满足 B→C＝ 3B→D，则 (
)
A.A→D＝
13A→B－
2A→C 3
B.A→D＝
13A→B＋
2A→C 3
C.A→D＝ 2A→B－ 1A→C 33
D.A→D＝2A→B＋ 1A→C 33
答案 D
)
A.
23A→B＋
1A→D 3
B.
13A→B＋
2A→D 3
C.34A→B＋ 34A→D
D. 23A→B＋23A→D
答案 C
解析 连接 AF，AE，由 G为 EF 的中点， 得 A→G＝12(A→F ＋ A→E) ＝12(A→D＋ D→F) ＋12(A→B＋ B→E) ＝ 1212B→C) ＝ 12(A→D＋ 12A→B) ＋ 12(A→B＋ 12A→D) ＝34A→B＋ 34A→D. 故选 C.
3．如图所示的方格纸中有定点 O， P，Q， E， F，G， H，则 O→P＋ O→Q＝(
)
A.O→H
B.O→G
C.E→O
D.F→O
答案 D
解析 在方格纸上作出 O→P＋ O→Q，如图所示，则容易看出 O→P＋→OQ＝ F→O，故选 D.
4．(xx ·课标全国Ⅰ，文 ) 设 D， E，F 分别为△ ABC 的三边 BC， CA， AB的中点，则 →EB＋ F→C＝ ()
个三等分点 ( 靠近点 B) ，所以 C→F＝ 23C→B. 所以 E→F＝ E→C＋C→F＝ 12D→C＋ 23C→B＝ 12A→B－23A→D. 故选 D.
8．(xx ·安徽毛坦厂中学期中 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB＝ 2AD， E， F 分别为 BC， CD的中
点， G为 EF的中点，则 A→G＝ (
2019-2020 年高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练 量的概念及线性运算理
29 向
1．对于非零向量 a，b，“ a＋ b＝0”是“ a∥ b”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A 解析 若 a＋b＝ 0，则 a＝－ b，所以 a∥ b；若 a∥ b，则 a＝ λ b，a＋ b＝ 0 不一定成立，故
D．－ 23A→B＋ A→D
答案 D 解析 在线段 AB 上取点 E，使 BE＝ DC，连接 DE，则四边形 BCDE为平行四边形， 则 B→C＝ E→D＝ →AD－ A→E＝ A→D－23A→B. 故选 D.
7．(xx ·江西赣吉抚七校监测 ) 在正方形 ABCD中， 点 E 是 DC的中点， 点 F 是 BC的一个三等
则(
)
A． 2D→B＋ 3→DC＝ 0
B． 3→DB＋ 2D→C＝ 0
C.O→A－ 5→OD＝ 0
D． 5→OA＋ O→D＝ 0
答案 A
解析 ∵△ ABC内一点 O满足 O→A＋ 2O→B＋ 3→OC＝ 0，直线 AO交 BC于点 D，∴ 15O→A＋ 25O→B＋35O→C＝
0. 令 O→E＝ 25→OB＋ 35O→C，则15O→A＋ O→E＝ 0，∴ B，C，E 三点共线， A，O，E 三点共线， ∴ D，E 重合．∴ O→A