一类时滞差分方程中的混沌李宗成
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第 24卷 第 3期
20 09 年
6月
山东建筑大学学报 JOU RNAL OF SHANDONG JIANZHU UN IVER SITY
文章编号: 1673- 7644( 2009) 03- 0224- 05
一类时滞差分方程中的混沌
V o .l 24 N o. 3 June 2009
李宗成, 赵庆利
( 1) 称点 zI X 为 f 在 B r ( z )上的一个扩张不动
2 26
山 东 建筑 大 学 学报
2 009 年
点, 其中 r > 0为某常数, 如果 f ( z ) = z 且存在常数 K
> 1, 使得:
d ( f ( x ), f ( y ) ) \Kd (x, y ), Px, y I Br ( z),
(山东建筑大学 理学院, 山东 济南 250101)
摘要: 利用返回扩张不动点理论, 研 究了一类时滞差分方程 中的混 沌存在 性问题, 证明 了此类 时滞差分 方程在
一定条件下在 D evaney 和 L -iY o rke意义下混沌, 并且给出了计算机模拟。
关键词: 时滞差分方程; 返回扩张不 动点; D evaney意义下混沌; L -iY orke意义下混沌
#x
(
t)
=
~Ax
(
t)
+
~
Bx
(
t-
S)
( 1-
x(
t-
S)
)
( 2)
其中: A~ < 0为已知参数, ~B为未知参数, S> 0为已知
时滞。方程 ( 2)经常被附加如下形式的初始条件:
x ( s) = < ( s), sI [ - S, 0]
其中, <: Rv R 为已知函数。这个时滞微分方程经
第 3期
李宗成等: 一类时滞差分方程中的混沌
22 5
1988年, L. H. E rbe和张炳根在美国 Chio国际微分 方程会议上作报告 [ 3] , 利用时滞微分方程的振动性
和非振动性研究它的离散形式 ( 时滞差分 方程 ) 的
振动性和非振动性。 I. GÊyri和 G. Ladas的专著中 第 13章介绍了 1988~ 1990年间时滞差分方程的振 动性结果 [ 4] 。近十几年来, 时滞差分方程的研究发
的混沌存在性问题:
x ( n + 1) = Ax ( n ) + Bx ( n - k ) ( 1- x ( n - k ) ), n\0
( 1)
其中: k\ 1为固定整数, A为已知参数, B为待定参
数, 方程 ( 1) 为如下著名的时滞 L og istic微分方程通
过 Euler离散法得到的离散系统:
下面给出关于 Rn 上映射在其不动点附近的扩
张性与映射在该不动点的 Jacob i矩阵特征值之间的
关系, 以及一个关于映射 混沌判定的结果, 见文献
[ 19] 中的定理 4. 3和定理 4. 4。 引理 1. 1[ 19] 映射 f: Rn y Rn 在不动点 z I Rn
的某邻域内连续可微, Df ( z )为其在点 z 的 Jacob i矩
Abstract: T his paper is concerned w ith chaos o f a c lass of de lay difference equat ions by em ploying the snap-back repeller theory. It is proved that th is type o f delay d ifference equations is chao tic in the sense o f bo th Devaney and L -i Yorke under certa in cond it ions. Som e com puter sim ulations are also prov ided. K ey w ord s: de lay d ifference equat ion; snap-back repe ller; chaos in the sense o f D evaney; chaos in the sense of L -i Yorke
射, S 为 X 的具有至少两个不同点的子集。称 S 为 f
的一个不规则集, 如果对任意两个不同点 x, y I S,
有 lim inf d ( f n ( x ), f n ( y ) ) = 0, lim sup d ( f n ( x ),
ny ]
ny ]
f n ( y ) ) > 0, 如果 f 存在一个不可数的不规则集, 则
的大小。
本文安排如下: 第 1节给出一些预备知识; 第 2
节对系统 ( 1) 的混沌问题进行转化; 第 3 节证明了 系统 ( 1) 在一定条件下存在混沌, 并通过计算机模 拟进行了验证。
1 预备知识
本节介绍离散动力系统的两种混沌定义, 以及 第 3节将要用到的几个引理。
1975年, 美籍华人学者李天岩和美国数学家 J. A. Yorke首次给出了一个严格的混沌数学定义, 并 得到了一个混沌判定定理 [ 9] 。此后, / 混沌 0 ( chaos) 作为一个新的科学名词正式出现在科学文献中。
在以后的研究中, 又出现了几种不同的混沌定义, 根
据不同问题的需求, 它们中有的较强, 有的较弱。关 于几种混沌定义以及各种定义之间的关系, 可以参
考文献 [ 10] ~ [ 14] 。为了方便, 我们给出两种混沌 定义: D evaney意义下混沌和 L -i Y orke意义下混沌。
Βιβλιοθήκη Baidu
定义 1. 1 设 (X, d )为度量空间, f: X v X 为映
注 1. 1 文献 [ 16] 证明了如果 f 在 V 上连续, 那么在定义 1. 2 中 条件 的 ( i) 和 ( ii) 可 推出条 件
( iii) 。从而, 此时定义 1. 2中条件 ( iii) 可以去 掉。 文献 [ 17] 证明了在某些条件下, Devaney 意义下混
沌蕴含了 L -i Yorke意义下混沌。但是, 在一般情况
及 yI I 都存在解 xI N。
证明: 因为 Q在 [ - r, r ] 上连续可微, 并且 Q( 0)
= 0, Qc( 0) X 0。由隐函数定理, 可得 Q在 x = 0的某 邻域内是严格单调的。所以, 对 0的充分小邻域 N,
0 引言
混沌 ( chaos) 是非线性科学研究的中心内容之 一, 是非线性动力系统中普遍存在的一种运动形式, 它广泛地存在于自然界, 诸如物理、化学、生物学、地 质学, 以及工程技术、社 会科学等各领域。一般而 言, 混沌是指在确定性的系统中, 不需要附加任何随 机因素亦可出现的类似随机的动力学行为 ( 内在随 机性 )。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对 初始条件十分敏感。因此, 从长期意义上讲, 系统的 行为是不可预测的。
阵。则 z 为 f 在某范数下的扩张不动点的充分必要
条件是 Df ( z )的所有特征值之绝对值大于 1。
引理 1. 2 设 Q: [ - r, r ] < Rv R为连续可微函
数。假设 Q( 0) = 0, Qc( 0) X 0。则对 0: R 的充分小
邻域 N 以 及 R 的 任意 有 界 区间 I, 存 在 正 常数 B* B* (N , I ), 使得方程 BQ( x ) = y 对任意 |B |> B*
目前, 对于时滞差分方程的研究主要集中在解 的振动性及稳定性等方面。这类方程从时滞微分方 程的 差 分 近 似 中 提 出, 也 从 各 种 应 用 问 题 中 提 出 [ 2] 。并且时滞差分方程与 中立型微分方 程密切 相关, 所以引 起了国内外数学 工作者的广泛关 注。
收稿日期: 2008- 12- 29 基金项目: 山东建筑大学博士基金项目 ( 724018) 作者简介: 李宗成 ( 1979- ), 男, 山东安丘人, 山东建筑大学理学院讲师, 博士, 主要从事微分方程与动力系统的研究.
称 f 是在 L -i Yorke意义下混沌。 定义 1. 2[ 15] 设 (X, d )为度量空间称映射 f: V
< X v V 在 V 上是在 Devaney意义下混沌, 如果满足
下列条件:
( i)f 的周期点集在 V 上是稠密的; ( ii)f 在 V 上是拓扑传递的;
( iii) f 在 V 上对初始条件具有敏感依赖性。
展十分迅速, 研究内容涉及到时滞差分方程的振动
性、非振动解的分类、正解的存在性 及解的稳定性
等。 R. P. Agraw al等人的几本专著系统地介绍了
差分方程的基本理论和他们在振动理论方面的一系
列研究成果 [ 5- 7] 。
虽然在时滞差分方程的振动性及稳定性等方面
已取得了一些丰硕的成果, 但是目前对时滞差分方
中图分类号: O19; O 415. 5
文献标识码: A
Chaos in a class of delay difference equations
L I Zong-cheng, ZHAO Q ing- li
( Schoo l of Sc ience, Shandong Jianzhu U n iv ers ity, Jinan 250101, Ch ina)
其中 B r ( z ) = {x I X: d (x, z ) [ r }是以 z 为中心的闭
球, 常数 K称为 f 在 B r ( z )上的一个扩张系数。进一
步, 如果 z是 f (Br (z) )的内点, 则称 z 为 f 在 B r (z) 上的正则扩张不动点。
( 2) 假设 z 为 f 是 Br ( z)上的扩张不动点, 其中
r > 0为某常数。如果存在点 x0 I B r ( z ), 和正整数 m, 使得 f m ( x0 ) = z, 其中 B r ( z ) = { x I X: d ( x, z ) < r }是以 z 为中心的开球, 则称 z 为 f 的返回扩张不动
点。进一步, 如果存在正常数 m L与 r0, 使得 Br0 ( x0 ) < B r ( z )且
d (f m ( x ), f m ( y ) ) \ Ld ( x, y ), Px, y I Br 0 (x0 ), 则称 z 为 f 的一个非退化返回扩张不动点。如果
f (Br ( z ) )是开集且存在正常数 D0, 使得 BD0 ( x0 ) < Br ( z )且对每一个正常数 D[ D0, z 是 f m (BD( x0 ) )的 内点, 则称 z为 f 的一个正则返回扩张不动点。
程混沌问题的研究却很少, 主要是因为时滞差分方
程是高阶差分方程, 研究起来非常复杂和困难。我
们已经知道在常差分方程中存在混沌, 而常差分方
程是时滞差分方程的特殊情况 ( 时滞为零 ) 。从而,
在时滞差分方程中一定会存在混沌现象。所以, 对 时滞差分方程中混沌问题的研究具有重要的理论和
实际意义。
本文主要研究一类如下形式的时滞差分方程中
由于物理学、控制理论、生物学、医学和经济学 等自然科学和边缘科学的进一步发展, 研究者们提
出了许多由差分方程描述的具体数学模型。例如, 著名 的虫 口 模 型 ) L og istic 映射 中 会 出现 混 沌 现 象 [ 1] 。而许多用连续动力系统描述的问题, 也可将 它们离散化。例如, 采用常微分方程的 Po incar映 射方法或微分方程的数值计算格式, 将它们化为某 种差分方程。差分系统的一些定性性质将为分析原 微分系统的性质提供一些有用的信息。因而, 对差 分方程的混沌研究不论在理论上还是在实际应用上 都具有重要的意义。
下 L -i Yo rke意义下混沌不能推得 Devaney意义下混 沌, 反例见文献 [ 13] 中的例 2. 1。
为了研究方便, 下面给出映射的扩张不动点和 返回扩张不动点的概念, 见文献 [ 18] 中的定义 2. 1
~ 2. 4。 定义 1. 3[ 18]
映射。
设 (X, d )为度量空间, f: X vX 为
常被用来描述电化学嵌入反应的动力学行为, 以及
生理系 统的动力 学行为等。文献 [ 8 ] 研究 了方程
( 2) 的稳定性和分岔行为, 并通过计算机模拟给出
了一个混沌吸引子, 但是没有给出严格的理论证明。 本文将证明它所对应的离散动力系统在一定条件下
存在混沌。这里, 我们指出在方程 ( 1) 中 的参数 A 可以为正参数或负参数, 这取决于 A~ 和离散化步长
20 09 年
6月
山东建筑大学学报 JOU RNAL OF SHANDONG JIANZHU UN IVER SITY
文章编号: 1673- 7644( 2009) 03- 0224- 05
一类时滞差分方程中的混沌
V o .l 24 N o. 3 June 2009
李宗成, 赵庆利
( 1) 称点 zI X 为 f 在 B r ( z )上的一个扩张不动
2 26
山 东 建筑 大 学 学报
2 009 年
点, 其中 r > 0为某常数, 如果 f ( z ) = z 且存在常数 K
> 1, 使得:
d ( f ( x ), f ( y ) ) \Kd (x, y ), Px, y I Br ( z),
(山东建筑大学 理学院, 山东 济南 250101)
摘要: 利用返回扩张不动点理论, 研 究了一类时滞差分方程 中的混 沌存在 性问题, 证明 了此类 时滞差分 方程在
一定条件下在 D evaney 和 L -iY o rke意义下混沌, 并且给出了计算机模拟。
关键词: 时滞差分方程; 返回扩张不 动点; D evaney意义下混沌; L -iY orke意义下混沌
#x
(
t)
=
~Ax
(
t)
+
~
Bx
(
t-
S)
( 1-
x(
t-
S)
)
( 2)
其中: A~ < 0为已知参数, ~B为未知参数, S> 0为已知
时滞。方程 ( 2)经常被附加如下形式的初始条件:
x ( s) = < ( s), sI [ - S, 0]
其中, <: Rv R 为已知函数。这个时滞微分方程经
第 3期
李宗成等: 一类时滞差分方程中的混沌
22 5
1988年, L. H. E rbe和张炳根在美国 Chio国际微分 方程会议上作报告 [ 3] , 利用时滞微分方程的振动性
和非振动性研究它的离散形式 ( 时滞差分 方程 ) 的
振动性和非振动性。 I. GÊyri和 G. Ladas的专著中 第 13章介绍了 1988~ 1990年间时滞差分方程的振 动性结果 [ 4] 。近十几年来, 时滞差分方程的研究发
的混沌存在性问题:
x ( n + 1) = Ax ( n ) + Bx ( n - k ) ( 1- x ( n - k ) ), n\0
( 1)
其中: k\ 1为固定整数, A为已知参数, B为待定参
数, 方程 ( 1) 为如下著名的时滞 L og istic微分方程通
过 Euler离散法得到的离散系统:
下面给出关于 Rn 上映射在其不动点附近的扩
张性与映射在该不动点的 Jacob i矩阵特征值之间的
关系, 以及一个关于映射 混沌判定的结果, 见文献
[ 19] 中的定理 4. 3和定理 4. 4。 引理 1. 1[ 19] 映射 f: Rn y Rn 在不动点 z I Rn
的某邻域内连续可微, Df ( z )为其在点 z 的 Jacob i矩
Abstract: T his paper is concerned w ith chaos o f a c lass of de lay difference equat ions by em ploying the snap-back repeller theory. It is proved that th is type o f delay d ifference equations is chao tic in the sense o f bo th Devaney and L -i Yorke under certa in cond it ions. Som e com puter sim ulations are also prov ided. K ey w ord s: de lay d ifference equat ion; snap-back repe ller; chaos in the sense o f D evaney; chaos in the sense of L -i Yorke
射, S 为 X 的具有至少两个不同点的子集。称 S 为 f
的一个不规则集, 如果对任意两个不同点 x, y I S,
有 lim inf d ( f n ( x ), f n ( y ) ) = 0, lim sup d ( f n ( x ),
ny ]
ny ]
f n ( y ) ) > 0, 如果 f 存在一个不可数的不规则集, 则
的大小。
本文安排如下: 第 1节给出一些预备知识; 第 2
节对系统 ( 1) 的混沌问题进行转化; 第 3 节证明了 系统 ( 1) 在一定条件下存在混沌, 并通过计算机模 拟进行了验证。
1 预备知识
本节介绍离散动力系统的两种混沌定义, 以及 第 3节将要用到的几个引理。
1975年, 美籍华人学者李天岩和美国数学家 J. A. Yorke首次给出了一个严格的混沌数学定义, 并 得到了一个混沌判定定理 [ 9] 。此后, / 混沌 0 ( chaos) 作为一个新的科学名词正式出现在科学文献中。
在以后的研究中, 又出现了几种不同的混沌定义, 根
据不同问题的需求, 它们中有的较强, 有的较弱。关 于几种混沌定义以及各种定义之间的关系, 可以参
考文献 [ 10] ~ [ 14] 。为了方便, 我们给出两种混沌 定义: D evaney意义下混沌和 L -i Y orke意义下混沌。
Βιβλιοθήκη Baidu
定义 1. 1 设 (X, d )为度量空间, f: X v X 为映
注 1. 1 文献 [ 16] 证明了如果 f 在 V 上连续, 那么在定义 1. 2 中 条件 的 ( i) 和 ( ii) 可 推出条 件
( iii) 。从而, 此时定义 1. 2中条件 ( iii) 可以去 掉。 文献 [ 17] 证明了在某些条件下, Devaney 意义下混
沌蕴含了 L -i Yorke意义下混沌。但是, 在一般情况
及 yI I 都存在解 xI N。
证明: 因为 Q在 [ - r, r ] 上连续可微, 并且 Q( 0)
= 0, Qc( 0) X 0。由隐函数定理, 可得 Q在 x = 0的某 邻域内是严格单调的。所以, 对 0的充分小邻域 N,
0 引言
混沌 ( chaos) 是非线性科学研究的中心内容之 一, 是非线性动力系统中普遍存在的一种运动形式, 它广泛地存在于自然界, 诸如物理、化学、生物学、地 质学, 以及工程技术、社 会科学等各领域。一般而 言, 混沌是指在确定性的系统中, 不需要附加任何随 机因素亦可出现的类似随机的动力学行为 ( 内在随 机性 )。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对 初始条件十分敏感。因此, 从长期意义上讲, 系统的 行为是不可预测的。
阵。则 z 为 f 在某范数下的扩张不动点的充分必要
条件是 Df ( z )的所有特征值之绝对值大于 1。
引理 1. 2 设 Q: [ - r, r ] < Rv R为连续可微函
数。假设 Q( 0) = 0, Qc( 0) X 0。则对 0: R 的充分小
邻域 N 以 及 R 的 任意 有 界 区间 I, 存 在 正 常数 B* B* (N , I ), 使得方程 BQ( x ) = y 对任意 |B |> B*
目前, 对于时滞差分方程的研究主要集中在解 的振动性及稳定性等方面。这类方程从时滞微分方 程的 差 分 近 似 中 提 出, 也 从 各 种 应 用 问 题 中 提 出 [ 2] 。并且时滞差分方程与 中立型微分方 程密切 相关, 所以引 起了国内外数学 工作者的广泛关 注。
收稿日期: 2008- 12- 29 基金项目: 山东建筑大学博士基金项目 ( 724018) 作者简介: 李宗成 ( 1979- ), 男, 山东安丘人, 山东建筑大学理学院讲师, 博士, 主要从事微分方程与动力系统的研究.
称 f 是在 L -i Yorke意义下混沌。 定义 1. 2[ 15] 设 (X, d )为度量空间称映射 f: V
< X v V 在 V 上是在 Devaney意义下混沌, 如果满足
下列条件:
( i)f 的周期点集在 V 上是稠密的; ( ii)f 在 V 上是拓扑传递的;
( iii) f 在 V 上对初始条件具有敏感依赖性。
展十分迅速, 研究内容涉及到时滞差分方程的振动
性、非振动解的分类、正解的存在性 及解的稳定性
等。 R. P. Agraw al等人的几本专著系统地介绍了
差分方程的基本理论和他们在振动理论方面的一系
列研究成果 [ 5- 7] 。
虽然在时滞差分方程的振动性及稳定性等方面
已取得了一些丰硕的成果, 但是目前对时滞差分方
中图分类号: O19; O 415. 5
文献标识码: A
Chaos in a class of delay difference equations
L I Zong-cheng, ZHAO Q ing- li
( Schoo l of Sc ience, Shandong Jianzhu U n iv ers ity, Jinan 250101, Ch ina)
其中 B r ( z ) = {x I X: d (x, z ) [ r }是以 z 为中心的闭
球, 常数 K称为 f 在 B r ( z )上的一个扩张系数。进一
步, 如果 z是 f (Br (z) )的内点, 则称 z 为 f 在 B r (z) 上的正则扩张不动点。
( 2) 假设 z 为 f 是 Br ( z)上的扩张不动点, 其中
r > 0为某常数。如果存在点 x0 I B r ( z ), 和正整数 m, 使得 f m ( x0 ) = z, 其中 B r ( z ) = { x I X: d ( x, z ) < r }是以 z 为中心的开球, 则称 z 为 f 的返回扩张不动
点。进一步, 如果存在正常数 m L与 r0, 使得 Br0 ( x0 ) < B r ( z )且
d (f m ( x ), f m ( y ) ) \ Ld ( x, y ), Px, y I Br 0 (x0 ), 则称 z 为 f 的一个非退化返回扩张不动点。如果
f (Br ( z ) )是开集且存在正常数 D0, 使得 BD0 ( x0 ) < Br ( z )且对每一个正常数 D[ D0, z 是 f m (BD( x0 ) )的 内点, 则称 z为 f 的一个正则返回扩张不动点。
程混沌问题的研究却很少, 主要是因为时滞差分方
程是高阶差分方程, 研究起来非常复杂和困难。我
们已经知道在常差分方程中存在混沌, 而常差分方
程是时滞差分方程的特殊情况 ( 时滞为零 ) 。从而,
在时滞差分方程中一定会存在混沌现象。所以, 对 时滞差分方程中混沌问题的研究具有重要的理论和
实际意义。
本文主要研究一类如下形式的时滞差分方程中
由于物理学、控制理论、生物学、医学和经济学 等自然科学和边缘科学的进一步发展, 研究者们提
出了许多由差分方程描述的具体数学模型。例如, 著名 的虫 口 模 型 ) L og istic 映射 中 会 出现 混 沌 现 象 [ 1] 。而许多用连续动力系统描述的问题, 也可将 它们离散化。例如, 采用常微分方程的 Po incar映 射方法或微分方程的数值计算格式, 将它们化为某 种差分方程。差分系统的一些定性性质将为分析原 微分系统的性质提供一些有用的信息。因而, 对差 分方程的混沌研究不论在理论上还是在实际应用上 都具有重要的意义。
下 L -i Yo rke意义下混沌不能推得 Devaney意义下混 沌, 反例见文献 [ 13] 中的例 2. 1。
为了研究方便, 下面给出映射的扩张不动点和 返回扩张不动点的概念, 见文献 [ 18] 中的定义 2. 1
~ 2. 4。 定义 1. 3[ 18]
映射。
设 (X, d )为度量空间, f: X vX 为
常被用来描述电化学嵌入反应的动力学行为, 以及
生理系 统的动力 学行为等。文献 [ 8 ] 研究 了方程
( 2) 的稳定性和分岔行为, 并通过计算机模拟给出
了一个混沌吸引子, 但是没有给出严格的理论证明。 本文将证明它所对应的离散动力系统在一定条件下
存在混沌。这里, 我们指出在方程 ( 1) 中 的参数 A 可以为正参数或负参数, 这取决于 A~ 和离散化步长