高三数学-2018年苏州市高三七校联考数学试卷(20184)江苏精品

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2018年江苏省高三年级数学第七次综合考试

2018年江苏省高三年级数学第七次综合考试数学试题（试卷总分：160分考试时间：120分钟）一、填空题（共14题，每小题5分，共计70分） 1.设集合{}1A x x =>-,{}5B x x =≤，则AB = .2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 ( ) A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种4不等式⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x 的解集为( ) A ．{x|0<x<1} B ．{x|x<0或x>1} C ．{x|x>0}D ．{x|x<1}5.甲、乙两同学各自独立地考察两个变量X 、Y 的线性相关关系时，发现两人对X 的观察数据的平均值相等，都是s ，对Y 的观察数据的平均值也相等，都是t ，各自求出的回归直线分别是21,l l ，则直线l 1与l 2必经过同一点 .6.在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AC AM >的概率是 .7.右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位: cm ），可知这个几何体的表面积是 2cm .8.设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且满足2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 .9.以下伪代码： Read xIf x ≤-1 Then()f x ←x +2Else If -1<x ≤1 Then()f x ←2xElse ()f x ← 2x -+End IfPrint ()f x根据以上伪代码，若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是．10.根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ．11.已知)3,3(A ，O 是原点，点P 的坐标为),(y x 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-002303y y x y x则z =的取值范围是．12.给出下列四个命题：①“k=1”是“函数π的最小正周期为kx kx y 22sin cos -=”的充要条件； ②函数6)62sin(ππ轴向右平移的图象沿x x y -=个单位所得的函数表达式是x y 2cos =；③函数a R ax ax y 则实数的定义域是,)12lg(2+-=的取值范围是（0，1）；④设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为1：2；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）． 13．92x21x ）（-的展开式中9x 的系数是． 14．若实数，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≥-+03y 4x 33y 02y x 2则22y x +的最大值等于．二：解答题（共6小题，共计90分） 15.（本小题满分14分）已知c b a ,,分别是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且222sin sin sin sin sin A C B A C +-= （1）求角B 的大小；（2）若3c a =，求tan A 的值．16.（本小题满分14分）如图，已知在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．A 1 QB 1C 1（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ；（2）求证：PC 1∥面MNQ ．17.（本小题满分15分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=)10(31000108)100(3018.10)(22x x xx x x R ．（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）18.（本小题满分15分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程； (3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．19. （本小题满分16分）已知函数()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]2,1上单调递增．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围；（3）若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点，求实数p 的取值范围．20. （本小题满分16分）已知集合{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=，其中()2,1>≤≤∈n n i R a i ，()A l 表示()n j i a a j i ≤<≤+1的所有不同值的个数．（1）已知集合{}8,6,4,2=P ，{}16,8,4,2=Q ，分别求()P l ，()Q l ；（2）若集合{}n A 2,,8,4,2⋅⋅⋅=，求证：()()21-=n n A l ；（3）求()A l 的最小值．附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）选做题：在D C B A ,,,四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.A.选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△A MC 的外接圆交BC 于点N ．若AC=12AB ，求证：BN=2AM ．第21－A 题B.选修4-2：矩阵与变换设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量．C.选修4-4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段AB 的长．D.选修4-5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥必做题：第22题、第23题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1PD AD ==，2AB =，点E 是AB 上一点，AE 等于何值时，二面角P EC D --的平面角为4π．23.已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101nn a =∑的值；（2）101nn na=∑的值．BCD PEA数学试题（答案）1. ](5,1- 2. 10 3。

江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案

苏州市2018届高三调研测试数学Ⅰ试题 2018．1命题指导思想1.数学试卷坚持“原创为主，改编为辅”的命题方式，知识点不超纲，基本题不设障碍，原创题能围绕考生熟悉的情境来设置，改编题基本来自于教材以及通用复习资料，体现平稳中有变化，平和里有创新，坚持能力立意，尊重教学习惯。

2.强化“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本经验积累）”、“四能（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力）”的新课标理念，彰显数学文化，体现考查学生必备知识与关键能力（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）。

3.试题形式朴实大气，重本质而轻外形。

在知识点、思想方法和能力考查等方面科学搭配，落实知识与能力并重、思想与方法同行的高三复习策略。

4.试题起点较低、知识覆盖全面、解题入口宽泛、题目从易到难，遵循考试心理规律，契合考生考试习惯，符合“上手容易深入难”的常规命题思路。

参考公式：球的表面积公式S =4πr 2，其中r 为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知i 为虚数单位，复数3i 2z 的模为 ▲ ． 2．已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为 ▲ ． 4．苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ ．5．已知42a =，log 2a x a =，则正实数x = ▲ ．6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为 ▲ ．7．已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≤≥≤则23z x y =-的最大值为 ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 ▲ ．9．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ▲ ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）10．如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=︒，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = ▲ m ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = -2x上，则圆C 的标准方程为 ▲ ．12．已知正实数a ，b ，c 满足111a b +=，111a b c+=+，则c 的取值范围是 ▲ ．DCBA13．如图，△ABC 为等腰三角形，120BAC ∠=︒，4AB AC ==，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ ．14．已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()sin )2f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；（2）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调增区间．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABHG ；（2）求证：平面ABHG ⊥平面CFED ．17. （本小题满分14分）如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2αθ<≤，其中锐角α的正切值为12）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；（2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．A 1B 1C 1D 1ABCDEF G HA在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>P到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点(0,1)M-的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若2123n n n a S S -++=（n ∈N *，n ≥2），且12a =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若12n n S λ+⋅≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10n T ．若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得(1)k n knT T +为定值，求首项1a 的值．已知函数32,0,()e ,0.x x x x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-⎪⎩≥（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()()e 3x f x f x -+=-在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数,[0,2]m n ∈，且||1m n -≥，使得()()f m f n =，求证：1e e 1a-≤≤．2018届高三调研测试数学Ⅱ（附加题）2018．121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F . 求证：2PF PD PE =⋅.B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求4M β．C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θρθ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．AD ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB =BP =2，AD =AE =1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP ．（1）求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23．（本小题满分10分）在正整数集上定义函数()y f n =，满足()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，且(1)2f =．（1）求证：9(3)(2)10f f -=；（2）是否存在实数a ，b ，使1()13()2nf n a b=+--，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案一、填空题（共70分） 12．23．(2,0)-4．1105．126．48 7．9- 8．94 9．30π10．18 11．22(1)(2)2x y -++= 12．4(1,]313．[11,9]--14．3ln 22+ 二、解答题（共90分）15. 解（1）2()sin )2f x x x x =+-223cos cos sin 2x x x x x =++-3(1cos2)1cos2222x xx +-=+ ···················································· 2分cos 222x x =-+2cos(2)23x π=++． ··········································· 4分当223x k π+=π+π，即()3x k k π=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．此时，()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π⎧⎫=π+∈⎨⎬⎩⎭Z ．····································································································· 7分（注：结果不写集合形式扣1分）（2）因为()2cos(2)23f x x π=++，令2222()3k x k k ππ+π+π+π∈Z ≤≤， ··············································· 8分解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤， ····················································· 10分又[,]22x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，令0k =，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在[,]22ππ-的单调增区间是,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ························ 14分（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16. 证明：（1）因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以11EF A B ∥，在正方体1111ABCD A B C D -中，A 1B 1∥AB ，（注：缺少A 1B 1∥AB 扣1分）所以EF AB ∥． ········································ 3分又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ，（注：缺少AB ⊂平面ABHG 不扣分）所以EF ∥平面ABHG ． ······························· 6分（2）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，又BH ⊂平面11BB C C ，所以BH CD ⊥．① ············································ 8分设BHCF P =，△BCH ≌△1CC F ，所以1HBC FCC ∠=∠，因为∠HBC +∠PHC =90︒，所以1FCC ∠+∠PHC =90︒．所以90HPC ∠=︒，即BH CF ⊥．② ···················································· 11分由①②，又DCCF C =，DC ，CF ⊂平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED ．A 1B 1C 1D 1 A B C DE FG H P又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED ． ··························································· 14分（注：缺少BH ⊂平面ABHG ，此三分段不给分）17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=︒-，50AB =，则5050cos(90)sin AP θθ==︒-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθθθθ︒-=︒-==︒-． 50cos 100100sin PC BP θθ=-=-． ························································· 4分（注：AP ，BP 写对一个给2分）由A 到P 所用的时间为1225sin AP t θ==，由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ-==-， ·························· 6分所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为12242cos 62cos 4()sin 33sin 3sin 3t f t θθθθθθ-==+=++-． ································· 8分函数()f θ的定义域为(,]2απ，其中锐角α的正切值为12.（2）由（1），62cos 4()3sin 3f θθθ-=+，(,]2θαπ∈，2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=，令()0f θ'=，解得1cos 3θ=， ······························· 10分设θ0∈(0,)π，使01cos θ=····································································································· 12分所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =0050cos sin θθ≈17.68 km ，答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少．············ 14分（注：结果保留根号，不扣分）18. 解（1）由题意c a =，故a =， ··················································· 1分又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=， ····································································································· 2分解得3c =，a =2229b a c =-=， ········································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ··················································· 6分（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ···································· 7分当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ············ 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ··············································· 9分对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k +==-++． ················································· 12分（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分）因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k-+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ·············· 16分19. 解（1）①当2n ≥时，由212,3n n n a S S -++= ①则2112,3n n n a S S ++++= ②②-①得22111()3n n n n a a a a ++-=-，即13n n a a +-=，2n ≥···························· 2分当2n =时，由①知2212123a a a a +++=，即2223100a a --=，解得25a =或22a =-（舍），所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ················································· 5分（注：不验证213a a -=扣1分）②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n n S -++==，由题意可得212322n n n S n nλ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立，记2232n n n nc ++=，则2113(1)(1)2n n n n c -+-+-=，2n ≥，所以21231142n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ················································ 8分当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =，且31516c =，278c =，112c =，所以当3n =时，2232n n n n c ++=取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为15[,)16+∞. ······················································· 11分（2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ⋅⋅⋅=，两边取常用对数，12lg lg lg n n T a a a +++=．令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ····························· 13分若(1)k n knT T +为定值，令(1)k n knT T μ+=，则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qkn kn kn a qμ++-++=-+，即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q qμμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，因为0,1q q >≠，问题等价于2221(1)0,(1)0.k k k k a q μμ⎧+-=⎪⎨+-==⎪⎩或将1k k+=(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或. 因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，所以21a q =，又0,n a >故1a =. ························································ 16分20. 解（1）当2a =-时，32,0,()e +2,0,x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩≥当0x <时，32()f x x x =-+，则2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得0x =或23x =（舍），所以0x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数. ··············································· 2分当0x ≥时，()e 2x f x x =-，()e 2x f x '=-，令()0f x '=，解得ln2x =，当0ln2x <<时，()0f x '<，当ln2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(0,ln 2)上为减函数，在区间(ln 2,)+∞上为增函数，且(0)10f =>. ················································································· 4分综上，函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)，单调增区间为(ln 2,)+∞．····································································································· 5分（注：将单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)写出(,ln 2)-∞的扣1分）（2）设0x >，则0x -<，所以32()()e x f x f x x x ax -+=++-，由题意，32e e 3x x x x ax ++-=-在区间(0,)+∞上有解，等价于23a x x x=++在区间(0,)+∞上有解. ············································· 6分记23()(0)g x x x x x=++>，则322222323(1)(233)()21x x x x x g x x x x x +--++'=+-==， ························ 7分令()0g x '=，因为0x >，所以22330x x ++>，故解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，故函数()g x 在1x =处取得最小值(1)5g =. ············································· 9分要使方程()a g x =在区间(0,)+∞上有解，当且仅当min ()(1)5a g x g ==≥，综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5,)+∞. ······································· 10分（3）由题意，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由()()f m f n =，可得m n =，与条件||1m n -≥矛盾，所以0a >. ·············· 11分令()0f x '=，解得ln x a =，当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.若存在,[0,2]m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于m ，n 之间， ······················ 12分不妨设0ln 2m a n <<≤≤，因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n =≤，由02m n <≤≤，||1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故(1)()()f f m f n =≤，又()f x 在(,ln )m a 上单调递减，且0ln m a <≤，所以()(0)f m f ≤．所以(1)(0)f f ≤，同理(1)(2)f f ≤． ··················································· 14分即2e 1,e e 2,a a a -⎧⎨--⎩≤≤解得2e 1e e a --≤≤，所以1e e 1a-≤≤.·············································································· 16分2018届高三调研测试数学附加题参考答案21B 选修4－2 矩阵与变换解矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， ··················· 2分令()0f λ=，解得123,1λλ==-，解得属于λ1的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，属于λ2的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． ······· 5分令12m n =+βαα，即111711m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,7,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4,3m n ==-．····································································································· 7分所以44441212(43)4()3()=-=-M M M M βαααα44441122113214()3()433(1)11327λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⨯-⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αα． ············· 10分 21C 选修4－4 坐标系与参数方程解由曲线C 的极坐标方程是22cos =sin θρθ，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ．所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x ． ··················································· 2分由直线l 的参数方程1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，得40x y --=，所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································· 4分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得2870t t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以221212122||2()4284762AB t t t t t t =-=+-=-⨯=， ············· 7分因为原点到直线40x y --=的距离|4|222d -==，所以△AOB 的面积是11(62)(22)1222S AB d =⋅⋅=⨯⨯=． ····················· 10分 21D 选修4－5 不等式选讲解因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ·························· 4分因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，所以|1||1|3x x -++≥．当1x <-时，23x -≥，即32x -≤；当11x -≤≤时，23≥不成立；当1x >时，23x ≥，即32x ≥；综上，实数x 的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞． ···································· 10分22. 解（1）因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P （0，2，0），B （0，0，0），D （2，0，1），E （2，1，0），C （0，0，1），因为BC ⊥平面ABPE ，所以(0,0,1)BC =为平面ABPE 的一个法向量， 2分(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220,x x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则2z =，故(0,1,2)=n ，4分设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则225cos ||||15BC BC θ⋅===⋅⨯n n ，显然π02θ<<，所以平面PCD 与平面ABPE 25····· 6分（2）设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25．设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==-≤≤，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． ··· 7分由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)=n ，所以22cos ,55984BN BN BN λλ⋅<>===⋅-+n n |||n |，即29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． ·································· 9分 y PNEDA当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． ··········· 10分 23. 解（1）因为()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，整理得4()(1)()2f n f n f n -+=+，由(1)2f =，代入得421(2)222f -==+，1472(3)1522f -==+，所以719(3)(2)5210f f -=-=． 2分（2）由(1)2f =，1(2)2f =，可得41,55a b =-=． ································· 3分以下用数学归纳法证明存在实数，41,55a b =-=，使1()1431()525n f n =+---成立．① 当1n =时，显然成立． ································································· 4分 ② 当n k =时，假设存在41,55a b =-=，使得1()1431()525k f k =+---成立，····································································································· 5分那么，当1n k =+时，141431()()4()525(1)1()212431()()525k k f k f k f k ⎡⎤-+⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦+==+++--- 11238()11525111232631431()()()525525525k k k k +-+==+=+-------，即当1n k =+时，存在41,55a b =-=，使得11(1)1431()525k f k ++=+---成立．9分由①，②可知，存在实数，41,55a b =-=，使1()13()2n f n a b =+--对任意正整数n 恒成立． ··················································································· 10分。

江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）.本卷满分160 分，考试时间为120分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：球的表面积公式 S=4 n 2，其中r 为球的半径一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上 .1已知i 为虚数单位，复数z 诗弓的模为 2. 已知集合 A 二｛1,2a ｝，B =｛ -1,1,4｝，且 A 5B ，则正整数 a 二 ▲23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =-8x 的焦点坐标为 ▲苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ .已知 4a =2，log a x=2a ，则正实数 *=▲_.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为▲.苏州市2018届高三调研测试数学试题2018. 14. 5.开始：'（第6题图）I0 < x < 3, 7.已知变量x , y 满足x y > 0, 则z=2x-3y 的最大值为▲x - y 3 < 0,已知等比数列｛ an ｝的前n 项和为S n ，且詈「罟，a「a2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 _▲忽略不计，结果保留 n AB , CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角.CAD =45，则这两座建筑物 AB 和CD 的底部之间的距离BD 二 ▲ m .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点A （2, -1）的圆C 和直线x y =1相切，且圆心在直线 y- _2x 上，则圆C 的标准方程为 ▲ .11 1 112.已知正实数a ， b ， c 满足 1， 1，则c的取值范围是▲a b a +b c13. 如图，△ ABC 为等腰三角形，• BAC=120，AB = AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的BC一点，贝U PB PC 的取值范围是▲ .（第13题图）14 •已知直线y = a 分别与直线y =2x -2，曲线y =2e x - x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为▲.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出1515，则33的值为 ▲9. 10.如图，两座建筑物（第10题图）（第 9题图）（容器壁的厚文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) =(. 3cosx sin x)2-2 3sin2x .(1)求函数f(x)的最小值，并写岀f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x ■，匸，求函数f (x)的单调增区间.IL 2 216. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCD -A1BQ1D1中，已知E, F, G,H 分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点.(1)求证：EF //平面ABHG ;(2)求证：平面ABHG丄平面CFED .17. (本小题满分14分)如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西B角(w n，21其中锐角：•的正切值为-)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽2车到城市 C .已知船速为25km/h，车速为75km/h.(1 )试建立由A经P到C所用时间与二的函数解析式；(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.18. (本小题满分16分)北•.东2x 2 yxOy 中，椭圆C ：p 牙=1(a b . 0)的离心率为a b点P 到一个焦点的距离的最小值为3(、. 2 —1).(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0, —1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由.19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S n .a 2 +2(1 )若 S n= -----------------5迂N *, n 》2),且 a t =2 .3① 求数列｛a n ｝的通项公式；②若S n w ■・2n1对任意n N *恒成立，求实数■的取值范围；(2)数列｛a n ｝是公比为q (q >0, q -1)的等比数列，且｛a n ｝的前n 项积为10Tn •若存在正整数k ,对任意N *，使得卫3 为定值，求首项a 1的值.T kn20. (本小题满分16分)'32x x ,x ：： 0,已知函数f(x)二x、e x —ax, x > 0.(1 )当a =2时，求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f (-X )• f (x)二e* _3在区间(0,+ ：：)上有实数解，求实数 a 的取值范围;在平面直角坐标系，椭圆上动(3)若存在实数m,n [0,2],且|m-n| >1 ,使得f (m) = f (n),求证：1 w 旦w e . e —122018届高三调研测试数学n （附加题）2018. 1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题•若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分•第22、23题为必答题•每小题10分，共40分•考试时间30分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选•其中两题.，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A .选修4 -1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD_AB 于点D，PE_AC 于点E，PF _ BC 于点F.B .选修4 - 2:矩阵与变换（本小题满分10分）C .选修4 - 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）求证：PF—PDPE.DBPFOCEAi x =1 t,在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数)，以原点0为』=t -3极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为亍=竺二，若直线Isin 日与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积. D .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)已知 a , b , c € R , a 2 b 2c 2 =1，若 |x -1| |x 1|> (a -b • c)2 对一切实数 a , b ,c 恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE AB 二BP =2, AD=AE=1 , AE 丄 AB , 且 AE // BP . (1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； (2)线段PD 上是否存在一点 N ,使得直线BN 与2平面PCD 所成角的正弦值等于 -?若存在，试确定5点N 的位置；若不存在，请说明理由.23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数 y = f( n)，满足f( n)[ f(n • 1) • 1] =2[2 - f (n • 1)]，且f(1)=2 .9(1) 求证：f (3) - f (2p101(2) -------------------------------------------------------- 是否存在实数a , b ,使f(n) = 1，对任意正整数n 恒成立，并证a(-3)n -b 2明你的结论.z CB苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案、填空题(共70 分)15.解(1) f (x) =( 3cosx sinx)2 -2 3sin 2x亠2 .3sin xcosx 亠sin? x -2 . 3sin 2x= cos2x - ■ 3sin2x 2 =2cos(2x )2 . 3■TT-TT当2x 2k 二•二，即x =k (k ・Z )时，f (x)取得最小值0.3 3此时，f (x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为』xx=k^+上，k € Z 》.I3 J....................................................................... •分(注：结果不写集合形式扣 1分) (2)因为 f(x) =2cos(2x ) 2 ,3设 BH P]CF =P , △ BCH ◎△ CC 1F ，所以 HBC =”FCC 1, 因为/ HBC + Z PHC=90，所以 ZFCC 1 + / PHC=90 .11.3 2. 2 3. (-2,0)4.102 210. 1811. (x -1) (y 2) =2二、解答题(共90分)195.6. 487. -9 8.9.2443 In 2 12. (1-] 13. [-11,-9]14.322二 3cos3(1 cos2x) 1 -cos2x2 2i£：3sin 2x令〔2k 二 w 2x< ^;：>2^:(^= Z ), (3)解得 k 二 w x w k 二(k Z ),.....................................................................3 6又 x ・［一二 T ，令 k 「1, x -匸二，令 k=0 , x 二二，2 2 126」 13 2」口丿〕和徑兰］ .............IL 2, 6. IL 3,21分，其中写对一个区间给 2分)B 1C 1的中点，所以EFJi Ji•10分所以函数在的单调增区间是 2 2(注：如果写成两区间的并集，扣 16.证明：(1)因为E , F 是A 1D 1 ,在正方体 ABCD - A 1BQD 1中， (注：缺少 A 1B 1 / AB 扣1分)所以 EF // AB . .......................Ji Ji14分A 1B 1 // AB ,又EF 二平面ABHG , AB 平面 ABHG , (注：缺少 AB 二平面ABHG 不扣分) 所以EF //平面 ABHG ........................................ 6分(2)在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CD —平面 BB 1C 1C , 又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH — CD .①.........C 1H3分C11分所以.HPC =90，即 BH _CF •② ................由①②，又 DC "CF =C , DC , CF 平面 CFED , 所以BH —平面CFED • 又BH 平面ABHG ,所以平面 ABHG 丄平面 CFED •............................................................................. 14分（注：缺少BH 平面ABHG ，此三分段不给分）（注：AP , BP 写对一个给 2分）由A 至U P 所用的时间为右二塑 —25 si n 日50cos J100 -si n 日75所以由A 经P 到C 所用时间与9的函数关系为函数f （力的定义域为（:•，匸］，其中锐角:-的正切值为-2 2（2）由（1）, f （®=6：4日十朕（口£ ,3sin 日 32f G ） =6H，令 f （刃“，解得 COST -1 , •9si n 日311设 (0, —)，使 COS^o :312分所以，当v - -0时函数f （9）取得最小值，此时 BP=50cos 玉二经2胡7.68 km ,sin 日0 2 答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. (14)（注：结果保留根号，不扣分）17•解（1）由题意，轮船航行的方位角为9,所以 N BAP = 90“一日,AB=50 ,贝U AP =•50cos(90 -力50BP = 50ta n(90 -^)=50sin(90 - ^) cos(90 - RPC =100 - BP =100 -50cos v2cos 3sin r由P 到C 所用的时间为t 2 f (力二t 1 t 2 二4 2cos v3 3sin 二 6 - 2cos 二 4一 3si nr 310分1分解得 c=3, a = 3.. 2，所以 b 2 =a 2 _c 2 =9,...............................................2 2所以椭圆C 的标准方程为 —•X=1. ..........................................................................18 9(2)当直线l 的斜率为0时，令y = _1，则x = 4 ,此时以AB 为直径的圆的方程为 X 2 (y • 1)=16 •...........................................当直线I 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 • y 2 =9 , ...........................『x 2 +(y +1) =16,联立解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3) •[x 2 +y 2 =9,猜想以AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) • .........................................................对一般情况证明如下：设过点M(0,-1)的直线I 的方程为y=kx-1与椭圆C 交于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),f y 二kx -1,22则 2 2 整理得(1 - 2k )x-4kx -16 =0 ,x 2y =18,所以 E +x 2=—, x 1x 21 +2k②-①得an -an 4(a2 -a 2)，即时记a +2当 n =2 时，由①知 a a 2 a 12，即 a ； -3a 2 T0 = 0 , 解得a 2 =5或a 2 ■ -2（舍）, 所以a 2 =3，即数列｛a .｝为等差数列，且首项印=3, 所以数列｛a .｝的通项公式为a .=3n -1.18.解(1)由题意一,故 a,a 2又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为 3(.. 2 一1)，所以a - c = 3'.空-3 ,2分 4分16 ~21 2k12分3分） (注果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给因为 TA TB 二区，％-3)化』2 -3) 7X 2 丫必 -3(% y 2)92= )^X 2(kjq-1)(kx 2 T) 一3(心-1 kx 2 一 1) 9 =(k"X 1X 2 -4k (X 1 X 2) 16-16(k 2 1) 16k 2 -16(1 2k 2)2 … 2 16- 1+2k 2 1 +2k 2所以TA_TB • 所以存在以AB 为直径的圆恒过定点1 2k 216 =0 , 19•解（1）①当 n > 2 时，由 S n S n 1 =T ,且定点 a ： 2 3，T 的坐标为(0,3) •16分(注：不验证a ? -a<i =3扣1分)S n3n 2 + n■ >扩2^对一切n N *恒成立,②由①知,2an=3n -1，所以"込口UJ ,记c -汇记 c n - _n 2 n，则 C n tWZ), n > 2 ,2n 12所以c n ③「忙4，n > 2 , n 2当n 4时,13C n <C n!，当 n =4 时，C 4，且 1615C3 :16 所以当n =3时, 2 3n 亠 n 15 代取得最大值一，2 16 15 所以实数•的取值范围为右；).• 11分(2)由题意，设 n 」 an 二 a 1q(q >0,q 式1), a 1 a^10Tn ，两边取常用对数,T n =lga i Iga 2 Hl Iga n • 令 b n =lga n =n Igq lg 印-lg q , 则数列｛0｝是以lga i 为首项，lgq 为公差的等差数列, 13分(k +1)nlga 十(k+1)n[(k+1)n_ 1]T T(k 1) nlga 1 lgq若上少为定值，令上少一I ,贝V T kn T kn kn lg a 1 如第一1)lg q 2 即{[( k 1)2 - 'k 2]lg q}n [(k 1) -」k](lg aL)lg q =0对 n N * 恒成立, q l7k +1)2 _“2 =0 因为q 〉0,q 右，问题等价于广l) k O ， i (k 1)-」k =0或a ； = q. 将-—=\、1 代入(k ■ 1) - "k =0 ,解得」=0或"=1. k因为k ・N *，所以J0/-1, 所以a ； =q ，又a n - 0,故耳=.q.16分由题意可得20.解(i )当 …时，e +2x, x > 0,322当 X ：：：0 时，f(x)二-x x ,则 f(x)=—3x 2x =「x(3x -2),2令 f (x) =0，解得 X = 0 或 X 丄(舍)，所以 x ：：：0时，f (x) ::： 0,3所以函数f(x)在区间(亠,0)上为减函数. ...................................... •分当 x > 0 时，f(x) =e x -2x , f (x) =e x —2 ,令 f (x) =0，解得 x = In2，当 0 ：：： x ：：： ln2 时，f (x) ：：：0，当 x In2 时，f(x) . 0 , 所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(In2,；)上为增函数，且 f (0) =1>0................................................................................................... •分综上，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0)和(0,1 n 2)，单调增区间为(I n2,；)............................................................................................................................ 5分(注：将单调减区间为 (-：：,0)和(0,ln2)写出(-：,ln2)的扣1分) (2)设 x • 0 ,则-X ：：： 0 ,所以 f (-x) • f (x) = x 3 • x 2 • e x —ax , 由题意，x 3 x 2 e x -ax =e x -3在区间(0,；)上有解，等价于 x 2 x 3在区间(0,；)上有解.x记 g(x) =x 2 x 3(x 0),则 g (x) =2x ・1 -2 -2-2xxx令g (x) =0，因为x • 0 ,所以2x 2 3x 3 0，故解得x =1 , 当 x^(0,1)时，g(x)c0，当 x^(1,亦)时，g(x)n0,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,=)上单调递增，故函数g(x)在x =1处取得最小值 g(1) = 5. .................................................... 9分要使方程a =g(x)在区间(0,；)上有解，当且仅当a > g(x)min 二g(1)=5 ,综上，满足题意的实数 a 的取值范围为［5, ；). ............................ 10分 (3)由题意，f (x) =e x -a ,当a <0时，f (x)・0，此时函数f (x)在［0,；)上单调递增，由f (m) = f (n)，可得m = n ,与条件| m - n |> 1矛盾，所以a 0 . ........................ 11分令 f (x) =0，解得 x = lna ,x3 2x 3 x 2 -3 (x -1)(2x 2 3x 3)当x (0,ln a)时，f (x) ：：0,当x (l n a,；)时，f (x) 0 ,所以函数f (x)在(0,l n a)上单调递减，在(I na,；)上单调递增.若存在m, n可0,2］, f(m)=f( n)，则lna介于m, n之间， (12)不妨设 0 < m ：：： In a ::: n < 2,因为f(x)在(m,l n a)上单调递减，在(I na, n)上单调递增，且 f(m)=f( n), 所以当 m < x < n 时，f (x) < f (m) = f (n),由 0 < m ::: n < 2 , | m -n 1，可得 1 二［m, n ］，故 f (1)< f (m) = f (n), 又f (x)在(m,lna)上单调递减，且0匕m ：：： Ina ，所以f (m) < f (0).所以f ⑴w f (0)，同理f ⑴w f(2) . (14)e _a w 1即-；解得 e-1 w a w e 2 -e ,|e -a w e -2a,所以1 w 旦w e. (16)e —12018届高三调研测试数学附加题参考答案21A 选修4— 1几何证明选讲证明连PB , PC ,因为.PCF,. PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以.PCF =/PBD. ......................... 2 分因为 PD _BD , PF _ FC ,所以△ PDBPFC ，故匹二EB ................. 5分PF PC 同理， PBF =PCE , 又 PE _EC , PF _FB , PF所以△ PFB PEC ，故竺PEPD PF 2所以——=——，即PF =PD PE . (10)PF PE21B 选修4— 2矩阵与变换九 _1 -2解矩阵M 的特征多项式为f 仏)==丸2—2k —3 , .......................... 2分一2 九一1令f( ■) =0，解得'1 =3,匕二-1，解得所以 M 4 ：二 M 4(4 打 _3： 2) =4(M " J -3(M 4 2) =4(人4円)一3(财口PB PC属于入的一个特征向量为令：二m ： 1 • nd ,即了=¥ "，属于甩的一个特征向量为«2】1」 1 w 1n 1，所以 m n^7 1 <1m-n=7, 解得 m = 4, n - -3.卜(町擋］ 10分8分2) =4 汉34fl21C选修4—4坐标系与参数方程所以曲线C 的直角坐标方程是 \ =1 由直线I 的参数方程一'l y =t -3所以直线l 的普通方程为x _y -4 =0 ...........................................将直线I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程y 2=2x ,得t 2 -8t • 7 = 0, 设A , B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2, 所以 AB = .2 出—t 2 |= .2 馆 t 2)2 -4址2 二 2 . 82 -4 7 =6.2 , 因为原点到直线x —y —4=0的距离d= 2^2 ,42所以△ AOB 的面积是 AB d 二1(6 2) (2、一 2) =12 . ..................2 221D 选修4— 5不等式选讲解因为 a , b , c € R , a 2 b 2 c 2 =1,2 2 2 2由柯西不等式得(a-b ・c)< (a b c )(1 11^3, ...............因为|x-1| Tx ，1p (a -b c)2对一切实数a , b , c 恒成立，所以 | x -1| | x 1|> 3 . 3 当 x ：：： -1 时，-2x > 3，即 x < - 3 ； 2 当_K x <1时，2 > 3不成立； 3 当x ・1时，2x > 3，即x > 3；2综上，实数x 的取值范围为(亠一勻山？讼).，2 2，22. 解( 1)因为平面 ABCD 丄平面 ABEP ，平面 ABCD 门平面 ABEP 二AB , BP 丄AB , 所以BP 丄平面ABCD ，又AB 丄BC ,所以直线 BA , BP , BC 两两垂直，以B 为原点，分别以 BA , BP , BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P ( 0, 2, 0), B ( 0,生 0), D (・2, 0, 因为BC 丄平面ABPE ，所以BC =(0,0,1)为平面 ABpE 的一个法向量， ..................... 2分 PD =(2, -2,1),CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个法向量为n =(x,y,z),2x =0,令y 日，则2x -2y z =0,解由曲线C 的极坐标方程是「= 2°°：，得p 2sin 2 (=2 pcos 0.sin 0y 2=2x. .......................................(t 为参数)，得x -y —4 = 0 ,10分10分n CD =0,则n PD =0,z =2 ,故 n二(0,1,2) ,...............................................4分设平面PCD 岂平面ABPE 所成的二面角为二，则a n BC 2 2^5 cos^| n | | BC | 1 755n显然0 '—,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值2(2)设线段PD上存在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角设詣= ?JD=(2 打—2 扎知(0 =(2 九,2—2九,九).•••—分由(1)知，平面PC巳的一个法向量为n二(0,1,2),BN n 2 2所以cos ：：BN, n i：| BN | |n| 亦J9九2—8厂+4 51即9 ' -8 '-1=0，解得，-1或(舍去).92 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 -.••…54- f (n) 23•解(1)因为f(n)[f(n 1) 1]=2[2-f(n 1)]，整理得f(n 1)=f (n) + 24 一2由f(1)=2，代入得f⑵二—2+2以下用数学归纳法证明1- 1成立.5 2 5①当n =1时，显然成立.②当n = k时，假设存在a 4 1 1,b ，使得f (k) 1成立, 5 5 _4(_3)」5(2)54-_-那么，当时，吐"恭」14 3 k 1 (一5)(一3)飞11 25 2 512(3)k 8养匕)律―J12/ 3、k 2 6/ 3、k 1 4/ 3k 1 () () () 5 2 5 5 2 5 5 2a的正弦值等于-510分丄f(3)=——=—2，1 5，22 5 27 1所以f (3) -f (2)= -----------5 2 (2)由f ⑴=2 , f (2)910 .1，可得a二-里,b二12 5 5存在实数，a —£b」，使f(n)二5 5即当4 1 1n =k J时，存在a二—,b=-，使得f (k -1) 1成立•5 5 4( _3)k + —~~5^~2"5由①，②可知，存在实数, 数n恒成立. ......... a=，b=［，使f (n)= _________ 1_______ +1对任意正整5 5吨―•10分。

2018江苏高考数学试题(试卷版+详解版)

) 的图象关于直线 x 对称，则的值是 2 2 3
7．已知函数 y sin(2 x )(
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8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线线的距离为
x2 y 2 1( a 0, b 0) 的右焦点 F (c, 0) 到一条渐近 a 2 b2
be x ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函 x
数 f ( x) 与 g ( x ) 在区间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分 16 分）设 {an } 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列，{bn } 是首项为 b1 ，公比为 q 的等比数列．（1）设 a1 0, b1 1, q 2 ，若 | an bn | b1 对 n 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围；（ 2 ）若 a1 b1 0, m N* , q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得 | an bn | b1 对
（本小题满分 14 分） 15．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AB , AB1 B1C1 ．求证：（1） AB∥ 平面 A1 B1C ；（2）平面 ABB1 A1 平面 A1 BC ．（本小题满分 14 分） 16．已知 , 为锐角， tan （1）求 cos 2 的值；（2）求 tan( ) 的值．（本小题满分 14 分） 17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此

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10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

高考最新-2018届苏州市高三教学调研测试数学(附答案) 精品

2018届苏州市高三教学调研测试（数学）2018．9一、选择题1、设全集{01234}U =，，，，，集合{1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则U AB =ðA 、{1}B 、{01}，C 、{0123}，，，D 、{01234}，，，， 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-，则1a 等于A 、12-B 、12C 、32-D 、323、,a b R ∈，a b >，0ab >是11a b<成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为A 、平均数和方差都不变B 、平均数不变，方差改变C 、平均数改变，方差不变D 、平均数和方差都改变 5、函数21()cos (0)3f x x ωω=->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则ω等于 A 、2 B 、1 C 、12 D 、146、已知l m n 、、是直线，αβγ、、是平面，给出下列命题：（1）若//m l ，且m α⊥，则l α⊥；（2）若//m l ，且//m α，则//l α （3）若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n （4）若m αβ=，l βγ=，且//αβ，则//m l其中两个真命题的是A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（4）D 、（2）（4） 7、直线y kx =与圆22(4)4x y -+=相切，则直线的倾斜角为A 、6π，6π- B 、6π，56π C 、3π，3π- D 、3π，23π-8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为三内角,,A B C 所对的边，若2B A =，则:2b a 的取值范围是A 、(2,2)-B 、(0,2)C 、(1,1)-D 、(0,1) 9、已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为A 、(,2)-∞B 、(1,2)C 、(2,)+∞D 、(,1)-∞10、若动点P 的横坐标为x 、纵坐标为y 使lg lg ||lgy xy x -、、成等差数列，则点P 的轨A 、B 、C 、D 、11、若点O 为ABC ∆的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角C 等于A 、45B 、60C 、90D 、12012、某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单。

江苏七市联考2018届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

2018 届高三年级第三次模拟考试 (十三 )数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )参照公式：柱体体积公式 V 柱体＝Sh ，此中 S 为柱体的底面积，h 为高 .锥体的体积公式1 h 为高．V 锥体＝ Sh ，此中 S 为锥体的底面积，3一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．1. 已知会合 A ＝ { － 1， 0， 3，5} ，B ＝ {x|x － 2>0} ，则 A ∩ B ＝ ________.2. 已知 (1＋3i )(a ＋ bi)＝ 10i ，此中 i 为虚数单位， a ， b ∈ R ，则 ab 的值为 ________．3. 已知一组数据 82， 91， 89， 88， 90，则这组数据的方差为 ________．4. 依据以下图的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．5. 函数 y ＝ lg(4－ 3x － x 2)的定义域为 ________．6. 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完整相同．现从中随机摸出1 只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ________．7. 在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 4∶5∶ 6，则 cos C 的值为________．x 2 y 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 12－b 2＝ 1(b>0) 的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为________．9. 已知 {a n } 是等比数列， S n 是其前 n 项和．若 a 3＝ 2，S 12＝4S 6，则 a 9 的值为 ________．10. 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8 倍，将其融化铸造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件 (不计资料消耗 )．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S ，S ，则S 1的值12S 2为 ________．11. 已知实数 a ，b ，c 成等比数列， a ＋ 6，b ＋2，c ＋ 1 成等差数列，则 b 的最大值为 ________．12. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 2，∠ DAB ＝ 60°，AC ＝ 3BC ，则边 CD 长的最小值为 ________．13. 如图，已知 AC ＝ 2，B 为 AC 的中点，分别以 AB ，AC 为直径在 AC 同侧作半圆，→ →M ，N 分别为两半圆上的动点 (不含端点 A ，B ，C)，且 BM ⊥ BN ，则 AM ·CN 的最大值为 ________．ax － 1，x ≤0，则实数 a 的取值 14.已知函数f(x)＝x 3－ax ＋ |x － 2|，的图象恰巧经过三个象限， x>0范围是 ________________ ．二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分 14 分 )如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C1D 1中，底面 ABCD 为平行四边形，C1B ＝ C1D. 求证：(1)B 1D1∥平面 C1BD ；(2)平面 C1BD ⊥平面 AA 1C1C.16. (本小题满分14 分)如图是函数f(x) ＝ A sin(ωx＋φ)A>0 ，ω >0， |π在一个周期内的图象．已知点φ|≤ 2P( －6， 0)， Q(－2，－ 3)是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数 f(x) 的分析式；(2)记∠ RPO＝α，∠ QPO＝β (，αβ均为锐角 )，求 tan(2 α＋β)的值．17.(本小题满分 14 分 )如图，某生态农庄内有向来角梯形地区ABCD ， AB ∥ CD， AB ⊥ BC，AB ＝ 3 百米，CD ＝ 2 百米．该地区内原有道路AC ，现新修一条直道DP( 宽度忽视不计 )，点 P 在道路 ACπ上 (异于 A ，C 两点 )，∠ BAC ＝6，∠ DPA＝θ.(1)用θ表示直道 DP 的长度；(2) 计划在△ ADP 地区内栽种赏析植物，在△CDP 地区内栽种经济作物．已知栽种赏析DP 植物的成本为每平方百米 2 万元，栽种经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路的成本为每百米 1 万元，求以上三项花费总和的最小值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2y2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F，P 为右准线a2＋b2上一点，点Q 在椭圆上，且FQ⊥FP.1(1) 若椭圆的离心率为2，短轴长为 2 3.①求椭圆的方程；②若直线OQ ， PQ 的斜率分别为k1， k2，求 k1·k2的值；(2) 若在 x 轴上方存在P， Q 两点，使O， F， P， Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．19. (本小题满分16 分)已知数列 {a n} 知足 a n＋1＋ (－ 1)n a n＝n＋5(n∈N* )，数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.2(1)求 a1＋a3的值；(2)若 a1＋a5＝ 2a3.①求证：数列 { a2n} 为等差数列；②求知足 S2p＝ 4S2m(p， m∈N* )的全部数对 (p， m)．20. (本小题满分16 分)关于定义在区间 D 上的函数f(x) ，若存在正整数k，使不等式1k<f(x)<k恒建立，则称f(x)为 D(k) 型函数．(1) 设函数 f(x) ＝ a|x|，定义域 D＝ [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]．若 f(x) 是 D(3) 型函数，务实数 a 的取值范围；(2)设函数 g(x) ＝ e x－ x2－ x，定义域 D＝ (0，2)．判断 g(x) 能否为 D(2) 型函数，并给出证明． (参照数据： 7< e2<8)2018 届高三年级第三次模拟考试(十三 )数学附带题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】此题包含 A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 41：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分 )如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ 3，BC ＝6，AC ＝ 4，D 是边 BC 上一点， AC 与过点 A ，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长.B. [ 选修 42：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分)1 0 1 2， C ＝AB . 已知矩阵 A ＝ 1 ， B ＝3－ 1 0(1) 求矩阵 C ；(2) 若直线 l 1 ：x ＋ y ＝ 0 在矩阵 C 对应的变换作用下获得另向来线 l 2，求 l 2 的方程．C. [ 选修 44：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )x ＝ 3＋ 3t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 C 的参数y ＝ 1－ 4t方程为 x ＝ rcos θ，4，求 r 的值．(θ为参数， r >0)．若直线 l 被圆 C 截得的弦长为y ＝ rsin θD. [ 选修 45：不等式选讲](本小题满分10 分)已知 a， b， c 是正实数，且a＋b＋ c＝ 5，求证： a2＋2b2＋c2≥ 10.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分 )将 4 本不一样的书随机放入以下图的编号为1， 2， 3， 4 的四个抽屉中．(1)求 4 本书恰巧放在四个不一样抽屉中的概率；(2) 随机变量X 表示放在 2 号抽屉中书的本数，求X 的散布列和数学希望E(X) ．123423.(本小题满分 10 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点，直线 l 过点 F 与抛物线订交于 A ，B 两点 (点 A 在第一象限 )．4 2(1)若直线 l 的方程为 y＝3x－3，求直线 OA 的斜率；(2)已知点 C 在直线 x＝－ p 上，△ ABC 是边长为 2p＋ 3 的正三角形，求抛物线的方程．2018 届江苏七市联考高三年级第三次模拟考试(十三 )数学参照答案1.{3 ， 5}2.33. 104.－ 25. (－ 4，1)6. 0.37. 188. 2339. 610. 2511.3412. 61－ 3213. 1414. (－∞， 0)∪ (2，＋∞ )15. (1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1 ∥ DD1 ，且 BB1 ＝ DD1 ，因此四边形BDD1B1 为平行四边形，因此 B1D1 ∥BD.(4 分 )又 BD ? 平面 C1BD ，B1D1 ?平面 C1BD ，因此 B1D1 ∥平面 C1BD.(6 分 )(2)如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连接 C1O.由于底面ABCD 为平行四边形，因此 O 为 BD 的中点．又 C1B ＝ C1D ，因此 C1O⊥ BD.(8 分 )在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD.又 BD ? 平面 ABCD ，因此 C1C⊥ BD.(10 分)由于 C1O∩C1C＝ C1， C1O， C1C? 平面 AA1C1C ，因此 BD ⊥平面 AA1C1C.(12 分 )由于 BD ? 平面 C1BD ，因此平面C1BD ⊥平面 AA1C1C.(14 分 )16. (1) 如图，由于图象在一个周期内的最低点为Q(－ 2，－ 3)，与 x 轴的交点为P(－6，0)，因此 A ＝ 3， T＝ 4× (－ 2＋6)＝ 16，因此ω＝ 2π T＝π8，因此 f(x) ＝3sinπ8x＋φ .(3 分)将点 Q(－2，－ 3)代入，得－ 3＝ 3sin－ 2× π 8＋φ，因此－π 4＋φ＝－π 2＋ 2kπ， k∈ Z，因此φ＝－π 4＋ 2kπ， k∈ Z.(5 分 )又 |φ |≤ π 2，因此φ＝－π 4，因此 f(x) ＝3sinπ8x－π 4.(7 分 )(2)点 R 的横坐标 xR＝ xQ＋ 12T＝－ 2＋8＝ 6，因此 R(6， 3)． (9 分 )由于α，β均为锐角，进而 tan α＝ 14， tan β＝34，因此 tan 2α＝ 2tan α 1－ tan2 α＝ 2× 141－ 142＝ 815， (12 分 )因此 tan(2α＋β )＝ tan 2α＋ tan β 1－ tan 2α tan β＝ 815＋ 341－ 815× 34＝7736.(14 分 )17.(1) 过点 D 作 DD ′垂直于线段 AB ，垂足为 D′ .在 Rt△ ABC 中，由于 AB ⊥ BC ，∠ BAC ＝π 6， AB ＝ 3，因此 BC＝3.在 Rt△ ADD ′中，由于 AD ′＝ 1， DD ′＝ 3，因此 AD ＝ 2，因此 sin ∠ DAD ′＝ 32，因此∠ DAD ′＝π 3.由于∠ BAC ＝π 6，因此∠ DAP ＝π 6.(2 分 )在△ ADP 中，由正弦定理得ADsinθ ＝DPsinπ 6，因此 DP＝ 1sin θ，π 6< θ <5π6.(6 分 )(2) 在△ ADP 中，由正弦定理得APsin ∠ ADP ＝ ADsin 因此 AP＝ 2sin ∠ ADPsin θ＝ 2sin 5π 6－θ sin θ，因此 S△APD ＝ 12AP?PD?sin θ＝ 12?2sin 5π 6－θ sinθ ，θ ?1sinθ?sinθ＝ sin 5π 6－θsinθ .S△ ADC ＝ 12AD?DC?sin ∠ADC ＝ 12× 2× 2sin 2π 3＝ 3，因此 S△DPC＝ S△ADC －S△ APD ＝ 3－ sin 5π 6－θ sin θ .(8 分 )设三项花费总和为f( θ )，则 f( θ )＝ sin 5π 6－θ sin θ × 2＋ 3－ sin 5π 6－θsin θ× 1＋ 1sin θ ×1＝3＋ sin 5π 6－θ＋ 1sin θ，＝12cos θ＋1sinθ＋ 332，π6<θ <5π6， (10 分 )因此 f′ (θ )＝－ 12－ cos θ sin2 θ .令 f′ ( θ)＝ 0，θ＝ 2π 3.当θ化， f ′ (θ )， f( θ)的化状况以下：因此当θ＝2π 3 ， f( θ )min ＝ 23.故以上三用和的最小23 万元． (14 分 )18.(1) ① 的焦距 2c.由意，得ca＝ 12，2b＝ 23，a2＝ b2＋ c2，解得 a＝2， b＝ 3， (2 分 )因此的方程x24＋ y23＝ 1.(4 分 )②由①得焦点F(1， 0)，准方程x＝ 4，焦点 P(4，t) ， Q(x0， y0) ， x204 ＋ y203＝ 1，因此 y20＝ 3－ 34x20.因此 FQ→＝ (x0－1， y0) ， FP→＝ (3， t)，因 FP⊥FQ，因此 FQ→ ?FP→＝ 3(x0 － 1)＋ ty0 ＝0，因此－ ty0＝ 3(x0 －1)． (6 分 )因此k1?k2＝ y0x0?y0－ tx0 － 4＝ y20 － ty0x20 － 4x0＝ 3－ 34x20 ＋ 3（ x0－ 1） x20 － 4x0 ＝－34.(10 分 )(2)Pa2c， t， Q(x0， y0) ．因 FP⊥ FQ，因此△ FPQ 的外接即以PQ 直径的x－a2c(x－ x0)＋ (y－ t)(y － y0) ＝ 0.(12 分 )由意知焦点 F、原点 O 均在上，因此 c－ a2c（c－ x0）＋ ty0 ＝ 0， a2cx0＋ ty0＝ 0，消去 ty0 得 c－a2c(c－x0) － a2cx0＝ 0，因此 x0＝ c－ a2c.(14 分 )因点 P，Q 均在 x 上方，因此－ a<c－ a2c<c，即 c2＋ ac－ a2>0，因此 e2＋ e－1>0.因 0<e<1，因此5－12<e<1.(16 分)19. (1) 由条件，得a2－ a1＝ 3，① a3＋a2＝ 72，②②－①得 a1＋ a3＝ 12.(3 分)(2) ①因 an＋ 1＋( －1)nan＝ n＋ 52，因此 a2n－ a2n－ 1＝ 2n＋ 42，③a2n＋ 1＋a2n＝ 2n＋ 52，④④－③得 a2n－ 1＋ a2n＋ 1＝ 12， (6 分 )因此 1＝ 12＋ 12＝ (a1＋ a3)＋ (a3＋ a5)＝ 4a3，因此 a3＝ 14，进而 a1＝ 14.(8 分 )因此 a2n－1－ 14＝－ a2n－ 3－14＝⋯＝ (－ 1)n－ 1?(a1－14)＝ 0，因此 a2n－1＝ 14，将其代入③式，得a2n＝ n＋ 94，因此 a2(n＋ 1)－a2n＝ 1(常数 )，因此数列 {a2n} 等差数列． (10 分 )②注意到a1＝ a2n＋ 1，因此 S2n＝a1＋ a2＋⋯＋ a2n＝ (a2＋ a3)＋ (a4＋ a5)＋⋯＋ (a2n＋a2n ＋1)＝＝ n22＋3n.(12 分 )由 S2p＝ 4S2m 知 p22＋ 3p＝ 4m22＋3m.因此 (2m＋ 6)2＝ (p＋ 3)2＋ 27，即 (2m＋ p＋ 9)(2m － p＋ 3)＝ 27.又 p， m∈ N* ，因此 2m＋ p＋9≥ 12 且 2m＋ p＋ 9， 2m－p＋ 3 均正整数，因此 2m＋ p＋9＝ 27， 2m－ p＋ 3＝ 1，解得 p＝ 10， m＝ 4，因此所求数对为 (10， 4)． (16 分 )20. (1) 由于 f(x) ＝a|x|是 D(3) 型函数，因此13＜ a|x|＜ 3 在[ －3，－ 1]∪ [1， 3]上恒建立，即 13|x|＜ a＜ 3|x|在 [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]上恒建立． (2 分 )又 |x|的取值范围为 [1， 3]，因此 a＜ 3|x|min＝ 1， a＞ 13|x|max＝ 13，因此实数 a 的取值范围为13，1.(4 分 )(2)g(x) 是 D(2) 型函数．证明以下：①先证明g(x) ＜ 2，记 h(x) ＝ x2 ＋x＋ 2ex，0＜ x＜ 2，因此 h′ (x)＝－（ x2 － x＋1） ex＝－ x－ 122＋ 34ex＜ 0，因此 h(x) 在 (0， 2)上为单一减函数， (6 分 )因此 h(x) ＞ h(2)＝ 8e2＞ 1，因此 x2＋ x＋ 2ex＞ 1，即 ex－ x2－ x＜ 2，因此 g(x) ＜ 2 建立． (8 分 )②再证明g(x) ＞ 12.记 r(x) ＝ x2＋ x＋ 12ex， 0＜ x＜2，因此 r′ (x) ＝－ x2－x－ 12ex.令 r′ (x) ＝0，得 x＝ 1＋ 32∈(0 ，2)，记 x0＝ 1＋ 32，则 x0＋ 12＝ x20.当 0＜ x＜ x0 时， r′ (x) ＞ 0；当 x0＜ x＜2 时， r′ (x) ＜ 0，因此 r(x) 在(0， x0)上为单一增函数，在 (x0， 2)上为单一减函数，因此 r(x)max ＝r(x0) ＝ x20＋ x0＋ 12ex0＝ 2x20ex0.(12 分 )要证 g(x) ＞ 12，只需证 r(x) ＜ 1，只需证 r(x)max ＜1，即证 2x20ex0＜ 1，即证 (2x0)2 ＜ ex0，即证 2ln 2 ＋2ln x0 ＜ x0.(*)要证明 (*) 式，先证当x＞ 1 时， ln x ＜ x2－ 12x.记 p(x) ＝ln x － x2－ 12x， x＞ 1，因此 p′ (x)＝ 1x－12－ 12x2＝－（ x－ 1） 22x2＜ 0，因此 p(x) 在 (1，＋∞ )上为单一减函数，因此 p(x)<p(1) ＝ 0，即 ln x<x2 － 12x 得证，因此 2ln 2<2 × 2－ 122＝ 12， 2ln x0<2?x20 －12x0＝ x0－ 1x0，故要证明 (*) 式，只需证明 12＋ x0－1x0<x0 ，即证 x0<2.又 x0＝ 1＋32<2，进而 g(x)>12.由①②得12<g(x)<2 ，即 g(x) 是 D(2) 型函数． (16 分 )21. A.由于过点A，B，D的圆O与AC相切，因此∠ CAD＝∠ ABC.又∠ ACD ＝∠ BCA ，因此△ ACD ∽△ BCA ， (5 分 )因此 ADAB ＝ACBC.由于 AB ＝3，BC＝6，AC＝4，因此 AD3 ＝46，因此 AD ＝ 2.(10 分)B. (1) C ＝AB ＝ 10－ 111203＝12－ 11.(4 分 )(x′， y′ )，(2) 设直线 l1：x＋ y＝ 0 上随意一点 (x ，y)在矩阵 C 对应的变换作用下获得点则 x′ y′＝ 12－ 11xy，其坐标变换公式为x′＝ x＋2y ， y′＝－ x＋ 2y.(6 分 )由此得 x＝x′－ 2y′ 3，y＝ x′＋ y′3，代入 x＋ y＝ 0，得 2x′－ y′ 3＝ 0，即 2x′－ y′＝0,因此直线l2 的方程为2x－ y＝0.(10 分 )C.直线 l 的一般方程为 4x＋3y－ 15＝0，圆 C 的一般方程为 x2＋ y2＝ r2.(4 分 )由于圆心C(0 ， 0)到直线l 的距离 d＝ |－ 15|5＝3，又直线 l 被圆 C 截得的弦长为4，因此 r＝ 32＋22＝ 13.(10 分)D. 由柯西不等式得[a2＋ (2b)2＋ c2]?12＋ 222＋12≥ (a＋ b＋ c)2.(6 分)由于 a＋ b＋ c＝ 5，因此 (a2＋ 2b2＋ c2)×52≥ 25，因此 a2＋ 2b2＋ c2≥ 10，当且仅当a＝ 2b＝c 时取等号． (10 分 )22. (1)将 4 本不一样的书放入编号为1， 2，3，4 的四个抽屉中，共有44＝ 256(种 )不一样放法．记“ 4 本书恰巧放在四个不一样抽屉中”为事件事件 A 共包含 A44 ＝24(个 )基本领件，因此 P(A) ＝24256＝ 332，因此 4 本书恰巧放在四个不一样抽屉中的概率为A ，332.(3 分 )(2)X 的可能取值为 0， 1， 2，3， 4，P(X ＝ 0)＝ 3444＝ 81256， P(X ＝ 1)＝ C14× 3344＝ 2764 ，P(X ＝ 2)＝C24× 3244＝ 27128，P(X ＝ 3)＝C34× 344＝ 364， P(X ＝4)＝ C4444＝ 1256.因此 X 的散布列为：X01234P812562764271283641256(8 分)因此 X 的数学希望E(X) ＝ 0× 81256＋1× 2764＋2× 27128＋ 3× 364＋ 4× 1256＝ 1.(10 分 )23.(1) 由题意，焦点 Fp2， 0 在直线 l 上，因此 43× p2－ 23＝ 0，解得 p＝1.因此抛物线的方程为y2＝ 2x.由 y＝ 43x－ 23， y2＝ 2x 消去 x 得 2y2－ 3y － 2＝0，因此 y＝ 2 或 y＝－ 12.由于点 A 在第一象限，因此点 A 的坐标为 (2， 2)，因此直线OA 的斜率为 1.(3 分 )(2)依题意，直线 l 的斜率存在，且不为零．设直线 l 的方程为 y＝kx － p2，设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2)， C(－ p， y3)， AB 的中点为M(x0 ， y0)．由 y2＝ 2px， y＝ kx－ p2 消去 y 得 k2x2－ (k2p ＋ 2p)x＋ 14k2p2 ＝0，＝ 4p2＋ 4k2p2>0 ，x1， 2＝（ k2p ＋ 2p）±2k2，因此 AB ＝ x1＋ x2＋ p＝ 2p＋ 2pk2＝ 2p＋ 3，即 2pk2＝ 3.(5 分 )MC ＝（ x0＋ p） 2＋（ y0－ y3） 2＝ 1＋1k2|x0 ＋ p|.由于 x0＝ x1＋ x22＝k2p ＋ 2p2k2＝ 12p＋ pk2 ，因此 MC ＝1＋ 1k232p＋ pk2，将 1k2＝ 32p 代入得 MC ＝1＋ 32p32p＋ 32.(8 分 )由于△ ABC 是边长为2p＋ 3 的正三角形，因此 MC ＝32(2p ＋ 3)，因此 1＋ 32p32p＋ 32＝ 32(2p＋ 3)，解得 p＝ 3，因此抛物线的方程为y2＝ 23x.(10 分 )。

苏州2018高三零模数学试卷及答案

A1 G E B1 H D1 F C1
D A B
C
17. （本小题满分 14 分）如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨 C 公路相连，B，C 之间的距离为 100km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50km处．从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 θ 角（ ≤ 其中锐角的正切值为
A E P F
▲
．
13．如图，△ABC 为等腰三角形， BAC 120 ，
AB AC 4 ，以 A 为圆心，1 为半径的圆分
» 上的别交 AB，AC 与点 E，F，点 P 是劣弧 EF uuu r uuu r B 一点，则 PB PC 的取值范围是 ▲ ．
C （第 13 题图）
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为 ▲ ．
N
高三数学Ⅰ第 1 页，共 4 页
0 ≤ x ≤3, 7．已知变量 x，y 满足 x y ≥ 0, 则 z 2 x 3 y 的最大值为 x y 3 ≤0,
A
▲
．（容器壁的厚度
（第 9 题图）
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 A(2, 1) 的圆 C 和直线 x y 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上，则圆 C 的 D 标准方程为 ▲ ．
（第 10 题图）
B
12．已知正实数 a，b，c 满足
1 1 1 1 1 ，则 c 的取值范围是 1， ab c a b
π ， 2
北东
1 ）航行到海岸公路 P 处登陆，再换乘汽 2

2018江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)

2018江苏一、填空题1．已知集合A ＝{0，1，2，8}，B ＝{－1，1，6，8}，那么A ∩B ＝．【解析】由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1，8}．2．若复数z 满足i •z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．【解析】因为i •z ＝1＋2i ＝i(－i ＋2)，则z ＝2－i ，则z 的实部为2．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为90． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．【解析】由伪代码可得I ＝3，S ＝2；I ＝5，S ＝4；I ＝7，S ＝8；因7＞6，故结束循环，输出S ＝8． 5．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为．【解析】要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．7．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是．【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，得sin(2π3＋φ)＝±1，因－π2＜φ＜π2，故π6＜2π3＋φ＜7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是．【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，故|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，故b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，故双曲线的离心率e ＝ca＝2．9．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为．【解析】因函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，故函数f (x )的最小正周期是4．因在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，故f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，故该多面体的体积为13×(2)2×1×2＝43．11．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为．【解析】f ′(x )＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，故此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a 3，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜a 3，则f (x )在(0，a3)上单调递减，在(a 3，＋∞)上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，故f (a 3)＝1－a 327＝0得，a ＝3，故f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，故f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为．【解析】因AB →·CD →＝0，故AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，故∠BAD ＝45°．设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan(θ＋π4)＝－3．又B (5，0)，故直线AB 的方程为y ＝－3(x－5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得x ＝3，y ＝6，故点A 的横坐标为3．13．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为．【解析】因∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，故∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a ＞0，c ＞0，故1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．14．已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为．【解析】所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26．当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1．求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【解析】(1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因AB 不在平面A 1B 1C 内，A 1B 1⊆平面A 1B 1C ，故AB ∥平面A 1B 1C ． (2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又AA 1＝AB ，故四边形ABB 1A 1为菱形，故AB 1⊥A 1B ．又AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，故AB 1⊥BC ．又A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊆平面A 1BC ，BC ⊆平面A 1BC ，故AB 1⊥平面A 1BC ．因AB 1⊆平面ABB 1A 1，故平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ． 16．(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)因tan α＝43，tan α＝sin αcos α，故sin α＝43cos α．因sin 2α＋cos 2α＝1，故cos 2α＝925，故cos2α＝2cos 2α－1＝－725．(2)因α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55，故sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，故tan(α＋β)＝－2．因tan α＝43，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211．17．(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．17．【解析】(1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，故OH ＝10．过O 作OE ⊥BC 于点E ，则OE ∥MN ，故∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，连接OG ，则GK ＝KN ＝10．令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈(0，π6)．当θ∈[θ0，π2)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，故sin θ的取值范围是[14，1)．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是[14，1)．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k (sin θcos θ＋cos θ)，θ∈[θ0，π2)．设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈[θ0，π2)，则f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f ′(θ)＝0得，θ＝π6，当θ∈(θ0，π6)时，f ′(θ)＞0，故f (θ)为增函数；当θ∈(π6，π2)时，f ′(θ)＜0，故f (θ)为减函数，因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(3，12)，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．(1)若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)因椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，故可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．又点(3，12)在椭圆C 上，故⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．因圆O 的直径为F 1F 2，故其方程为x 2＋y 2＝3．(Ⅱ)(1)设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，故直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0．由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0(*)，因直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0．因x 0＞0，y 0＞0，故x 0＝2，y 0＝1．故点P 的坐标为(2，1)．(2)因△OAB 的面积为267，故12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20），故AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2．因x 20＋y 20＝3，故AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52满足(*)式的Δ＞0，x 20＝20舍去，则y 20＝12，故P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22．综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋32．19．(本小题满分16分)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数．若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”． (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值．(3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，e ()xb g x x=．对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．19．【解析】(1)证明函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”．(2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g′(x )＝1x．设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*)，得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝⎛⎭⎫e －122＝e 2．当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”．因此，a 的值为e 2．(3)对任意a ＞0，设h (x )＝x 3－3x 2－ax ＋a ．因h (0)＝a ＞0，h (1)＝－2＜0，且h (x )的图象是不间断的，故存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，令()302e 1x x b x =-，则b ＞0．函数f (x )＝－x 2＋a ，()e x b g x x =，则f ′(x )＝－2x ，．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得()22e e 12x x b x a xb x x x -+⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩，即()()()00320030202e e 1e 122e 1x x x x x x a x x x x x x x -+=⋅---=⋅-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(**)，此时，x 0满足方程组(**)，即x 0是函数f (x )与g (x )在区间(0，1)内的一个“S 点”．因此，对任意a ＞0，存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S点”．20．(本小题满分16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若 |a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【解析】(1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1，因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52，因此，d 的取值范围为[73，52]．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1．若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因q ∈(1，m2]，则1＜qn －1≤q m≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －in －1b 1＞0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．故取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项(n ＝2，3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1），当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －qn －1)－q n ＋2＞0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增，故()()2e 1x b x g x x -'=数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项为q m －2m ．②设f (x )＝2x (1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0，所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nn q n －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＜1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项为q m m ．因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b 1（q m －2）m ，b 1q m m ．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长．【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，故PC ⊥．又因为23PC =2OC =，故224OP PC OC =+=．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，故2BC =．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2．(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标．【解析】1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0，故A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2． (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，故曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，故A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6．连接OB ．因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，故AB ＝4cos π6＝23．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解析】由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2．因x ＋2y ＋2z ＝6，故x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1．则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ．以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．因AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，从而BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0，2，2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎫32，12，0，因此AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AC 1→＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1，1)．设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝55，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．(本小题满分10分)设n ∈N *，对1，2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记f n (k )为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．【解析】(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，故f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5．(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，故f n (0)＝1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，故f n (1)＝n －1．为计算f n ＋1(2)，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n ．当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22．因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22．。

2018年高考江苏数学卷及答案解析

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每题5小分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合==-{0,1,2,8},{1,1,6,8}A B ,那么A B ⋂=__________.2.若复数z 满足12i z i ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z z 的实部为__________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________.5.函数()f x =__________.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率是__________.7.已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图像关于直线3x π=对称,则ϕ的值是__________.8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ,则其离心率的值是__________. 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2)-上cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩,则((15))f f 的值为__________.10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11.若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________.12.在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ,若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为__________. 13.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=∠o的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为__________.14.已知集合{}{}**|21,,|2,n A x x n n N B x x n N ==-∈==∈,将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________.二、解答题15.在平行四边形1111ABCD A B C D -中, 1111,AA AB AB B C =⊥1.求证: //AB 平面11A B C2.平面11ABB A ⊥平面1A BC16.已知,αβ为锐角, ()4tan ,cos 3ααβ=+= 1.求cos2α的值。

(完整版)2018江苏高考数学试题及答案word版

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3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每题5小分，共计70分。

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1.已知集合==-{0,1,2,8},{1,1,6,8}A B ,那么A B ⋂=__________.2.若复数z 满足12i z i ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z z 的实部为__________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________.5.函数()2log 1f x =-__________.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率是__________.7.已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图像关于直线3x π=对称,则ϕ的值是__________.8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ,则其离心率的值是__________. 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2)-上cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩,则((15))f f 的值为__________.10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11.若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________.12.在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ,若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为__________. 13.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为__________.14.已知集合{}{}**|21,,|2,n A x x n n N B x x n N ==-∈==∈,将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________.二、解答题15.在平行四边形1111ABCD A B C D -中, 1111,AA AB AB B C =⊥1.求证: //AB 平面11A B C2.平面11ABB A ⊥平面1A BC 16.已知,αβ为锐角, ()45tan ,cos 35ααβ=+=- 1.求cos2α的值。

2018年高考数学江苏卷-答案解析

江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{1,8}【解析】观察两个集合即可求解。

【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+，故2,1,2i a b z ==-=-.【考点】复数的运算 3.【答案】90【解析】8989909191905++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <，第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入；第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入，第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =，故最后输出S 的值为8.【考点】伪代码5.【答案】[2,)+∞【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】310【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。

总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310【考点】古典概型7.【答案】：6π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k ππ∈Z ，故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a=与坐标轴的夹角为60。

故22224b c a b a a ==+=，故2c e a==. 【考点】双曲线的几何性质9.【答案】2【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4，所以11(15)(1),(1)122f f f =--=-+=∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫===⎪⎝⎭.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】4 3【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，141233⨯⨯=.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】3-【解析】3221()212f x x ax a xx=-+⇒=+令'322312()2,()20231g x x g x x xx x=+=->⇒-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∵有唯一零点∴32(1)213()231a g f x x x==+=⇒=-+求导可知在[1,1]-上，min max()(1)4,()(0)1f x f f x f=-=-==∴min max()()3f x f x+=-【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵AB为直径∴AD BD⊥∴BD即B到直线l的距离。

高三数学-2018年下学期江苏高三联考数学卷精品

2018年下学期江苏高三联考数学卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥侧面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） cl S 21=锥侧如果事件A ‘B 要互独立，那么其中c 表示底面周长，l 表示斜高 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）或母线长如果事件A 在一次试验中发生的球的体积公式概率是P ，那么n 次独立重复试验中 334R V π=球恰好发生k 次概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第I 卷一、选择题1、已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，4），那么sin(-α)等于A 、53 B 、-53 C 、54 D 、-542、下列四命题①a b ab a =⋅2；②（a ·b 2）=a 2·b 2；③若e 为单位向量，且a//e ，则a=|a|e ；④（a-b ）2=a 2-2ab+b 2。

其中正确的命题的个数是A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个3、0<a<1，则,log 1x y a= y=（1-a ）x 在同一坐标平面内的图象为4、方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的曲线不可能是A 、直线B 、抛物线C 、圆D 、双曲线5、正三棱锥的侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，则tan α:tan β的值为A 、33B 、3C 、21D 、26、若a>b>c ，且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是A 、ac>bcB 、ab>bcC 、ab<bcD 、ac<bc7、在平面直角坐标系中，由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+>xy y x xy 20确定的点(x,y)的集合是A 、第一象限内的点组成的集合B 、直线y=x 上的点（除原点外）组成的集合C 、射线y=x(x>0)上的点组成的集合D 、第三象限内的点及射线y=x(x>0)上的点组成的集合8、在正方体的一个表面内画一条直线，则与他异面的正方体的棱的条数最少有 A 、7条 B 、6条 C 、5条 D 、4条 9、等差数列{a n }中，a 1=a(a ≠0)，a 2=b ，则此数列中恰有一项为0的充要条件是（）A 、(a-b)∈N *B 、(a+b)∈N *C 、b a a -∈N *D 、ba b -∈N *10、若y=ax ，xb y -=在(0，+∞)上都是减函数，则对函数y=ax 3+bx 的单调性描述正确的是（）A 、在(-∞，+∞)上单调增B 、在(0，+∞)上单调增C 、在(-∞，+∞)上单调减D 、在(-∞，0)上单调增，在(0，+∞)上单调减11、设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，以P(29，0)为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于M 、N ，则|MF|+|NF|的值为A 、8B 、18C 、22D 、412、若x ∈R ，n ∈N *，定义)1()1(-++=n x x x D n x ，例如)1()2()3(33-⋅-⋅-=-D ，则函数f(x)=x 99-⋅x D 的奇偶性为A 、是偶函数而不是奇函数B 、是奇函数而不是偶函数C 、是偶函数也是奇函数D 、既不是奇函数也不是偶函数第II 卷二、填空题13、将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表组的频率是。

2018年江苏高考数学试卷及参考答案详细解析清晰版

②直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点．若 △OAB 的面积为 2 6 ， 7
求直线 l 的方程． 19．（本小题满分 16 分）
记 f (x), g(x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数．若存在 x0 R ，满足 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ，则称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”．（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；（2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f (x) x2 a ， g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与
5
5
因此 tan( ) 2 ．
因为 tan 4 ，所以 tan 2 2 tan 24 ，
3
1 tan2 7
因此， tan( ) tan[2 ( )] tan 2 tan( ) 2 ． 1+ tan 2 tan( ) 11
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知
f
(x)
|cxos212x
,0 |, -
2
x
x
2, 0,
则 f ( f (15)) 的值
为
▲．
10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 f (x) 在[1,1] 上的最大值与最小值的和为 ▲ ．
)(
)
的图象关于直线

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学 (江苏卷) 精校版(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B =________． 2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．5．函数()f x =________．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．7．已知函数()s i n 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到一条，则其离心率的值是________． 9．函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,0221,202x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，则()()15f f 的值为________．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．11．若函数()()3221f x x ax a =-+∈R 在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．14．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数{}n a 列的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号求证：（1）AB ∥平面11A B C ；（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．16．（14分）已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=（1）求cos2α的值；（2）求()tan αβ-的值．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点()1F，)2F，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若OAB△的面积为7，求直线l的方程．19．（16分）记()f x'，()g x'分别为函数()f x，()g x的导函数．若存在x∈R，满足()()00f xg x=且()()00f xg x''=，则称x为函数()f x与()g x的一个“S点”．（1）证明：函数()f x x=与()222g x x x=+-不存在“S点”；（2）若函数()21f x ax=-与()lng x x=存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数()2f x x a=-+，()exbg xx=．对任意0a>，判断是否存在0b>，使函数()f x与()g x在区间()0,+∞内存在“S点”，并说明理由．20．（16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设10a =，11b =，2q =，若1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若110a b =>，*m ∈N，(q ∈，证明：存在d ∈R ，使得1n n a b b -≤对2n =，3，，1m +均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．数学II （附加题）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲]如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C．若PC =BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换]已知矩阵2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求A 的逆矩阵1A -；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点()3,1P '，求点P 的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的方程为sin 2π6ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（10分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值；（2）求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值．23．（10分）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(),s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求()32f ，()42f 的值；（2）求()()25n f n ≥的表达式(用n 表示)．2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案(江苏卷)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．【答案】{}1,8 2．【答案】2 3．【答案】90 4．【答案】8 5．【答案】[)2,+∞6．【答案】310 7．【答案】π6-8．【答案】2 9．【答案】210．【答案】4311．【答案】3- 12．【答案】3 13．【答案】9 14．【答案】27二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB A B ∥．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．（2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形．又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此11AB A B ⊥．又因为111AB B C ⊥，11BC B C ∥，所以1AB BC ⊥．又因为1A BBC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．16．【答案】（1）725-；（2）211-．【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为α，β为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=，所以()sin αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan 2tan 2tan tan 21tan 2tan 11ααβαβααβααβ-+-=-+==-⎡⎤⎣⎦++． 17．【答案】（1）1,41⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH MN ⊥，所以10OH =．过O 作OE BC ⊥于E ，则OE MN ∥，所以COE θ∠=，故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为()()240cos 40sin 108004sin cos cos θθθθθ⨯+=+，CDP △的面积为()()1240cos 4040sin 1600cos sin cos 2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN MN ⊥，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==．令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．当0π2,θθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1,41⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为()30k k >，则年总产值为()()48004sin cos cos 31600cos sin cos k k θθθθθθ⨯++⨯-()8000sin cos cos k θθθ=+，0π2,θθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．设() sin cos cos f θθθθ=+，0π2,θθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()()()222cos sin sin 2sin sin 12sin 1sin 1f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．令()=0f θ'，得π6θ=，当0π6,θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()>0f θ'，所以()f θ为增函数；当ππ,62θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f θ'，所以()f θ为减函数，因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值． 18．【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=；圆O 的方程为223x y +=；（2）①点P的坐标为)；②直线l的方程为y =+．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为()1F，)2F ，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a ba b +=-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得2241a b ==⎧⎨⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()00000,,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧⎪⎪⎨+==-+⎪⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为0x ，00y >，所以0x =01y =．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB的面积为7，所以127AB OP ⋅=，从而7AB =．设()11,A x y ，()22,B x y ，由（*）得120024x x y =+，所以()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+⋅ ⎪⎝⎭+．因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得2052x =（2020x =舍去），则2012y =，因此P的坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．综上，直线l的方程为y =+．19．【答案】（1）见解析；（2）a 的值为e2；（3）对任意0a >，存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”．【解析】（1）函数()f x x =，()222g x x x =+-，则()1f x '=，()22g x x '=+．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得222122x x x x =+-=+⎧⎨⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“S ”点．（2）函数()21f x ax =-，()ln g x x =，则()2f x ax '=，()1g x x'=．设0x 为()f x 与()g x 的“S ”点，由()0f x 与()0g x 且()0f x '与()0g x '，得2001ln 12ax x ax x ⎧-==⎪⎨⎪⎩，即200201ln 21ax x ax -==⎧⎨⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e e 22a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意0a >，设()323h x x x ax a =--+．因为()00h a =>，()11320h a a =--+=-<，且()h x 的图象是不间断的，所以存在()00,1x ∈，使得()00h x =，令()03002e 1x x b x =-，则0b >．函数()2f x x a =-+，()e x bg x x=，则()2f x x '=-，()()2e 1x b x g x x -'=．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得()22e e 12x x b x a xb x x x -+⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩，即()()()00320030202e e 1e 122e 1xx x x x x a x x x x x x x -+=⋅---=⋅-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（**），此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数()f x 与()g x 在区间()0,1内的一个“S 点”．因此，对任意0a >，存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”．20．【答案】（1）d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，证明见解析．【解析】（1）由条件知：()1n a n d =-，12n n b -=．因为1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立，即()1121n n d ---≤对1n =，2，3，4均成立，即11≤，13d ≤≤，325d ≤≤，739d ≤≤，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由条件知：()11n a b n d =+-，11n n b b q -=．若存在d ，使得1n n a b b -≤（2n =，3，，1m +）成立，即()11111n b n d b q b -+--≤（2n =，3，，1m +），即当2n =，3，，1m +时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2n =，3，，1m +均成立．因此，取0d =时，1n n a b b -≤对2n =，3，，1m +均成立．下面讨论数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值和数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值（2n =，3，，1m +）．①当2n m ≤≤时，()()()1112222111n n nn n n n n n q q q q q nq q nq n n n n n n -----+----+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而()120n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭单调递增，故数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值为2m q m -． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，()()ln 21ln 220x f x x =--<'，所以()f x 单调递减，从而()()01f x f <=．当2n m ≤≤时，()111112111nn n q q n n f q n n n n --⎛⎫⎛⎫=≤-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因此，当21n m ≤≤+时，数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，故数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值为mq m ．因此，d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．数学II （附加题）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【答案】2【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，所以OC PC ⊥．又因为PC =2OC =，所以4OP ==．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，所以2BC =．B ．【答案】（1）12312A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）()3,1-．【解析】（1）因为2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 221310A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12312A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设(),P x y ，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因此点P 的坐标为()3,1-．C ．【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以曲线C 的圆心为()2,0，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为sin 2π6ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则直线l 过()4,0A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则π6OAB ∠=．连结OB ，因为OA 为直径，从而π2OBA ∠=，所以4cos 6πAB ==l 被曲线C截得的弦长为 D ．【答案】4【解析】由柯西不等式，得()()()222222212222x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时23x =，43y =，43z =，所以222x y z ++的最小值为4．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．【答案】（1；（2【解析】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，设AC ，11A C 的中点分别为O ，1O ，则OB OC ⊥，1OO OC ⊥，1OO OB ⊥，以{}1,,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为12AB AA ==，所以()01,0A -,，)B，()0,1,0C ，()10,1,2A -，)12B ，()10,1,2C ．（1）因为P 为11A B的中点，所以1,22P ⎫-⎪⎪⎝⎭，从而1,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,2AC =，故111cos ,205BP AC BPAC BP AC ⋅-<>===⋅．因此，异面直线BP 与1AC ．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,,022Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此33,02AQ ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,2,2AC =，()10,0,2CC =．设(),,x y z =n 为平面1AQC 的一个法向量，则100AQ AC ⎧=⋅=⎨⎪⋅⎪⎩n n即3022220x y y z +=+=⎨⎪⎩，不妨取)1,1=-n ，设直线1CC 与平面1AQC 所成角为θ，则111sin cos ,5CCCC CC θ⋅=<>===⋅n n n，所以直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值为5． 23．【答案】（1）2，5；（2）5n ≥时，()2222n n n f --=．【解析】（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有()123=0τ，()132=1τ，()213=1τ，()231=2τ，()312=2τ，()321=3τ，所以()301f =，()()33122f f ==．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()433322105f f f f =++=．（2）对一般的()4n n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ，所以()01n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以()11n f n =-．为计算()12n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=，因此，5n ≥时，()2222n n n f --=．。

2018江苏高考数学试题及答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅CD AB ，则点A 的横坐标为．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为．14．已知集合{}*∈-==Nn n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若23PC=，求BC的长．B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．（1）求A的逆矩阵1-A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P'，求点P的坐标．C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cosρθ=，求直线l被曲线C截得的弦长．D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求222x y z++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1310．（2）因为Q 为BC的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩ 不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

江苏2018年数学高考真题卷(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．【答案】｛1，8｝2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．【答案】23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．【答案】904．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．【答案】85．函数()f x 的定义域为 ▲ ．【答案】[)∞+，26．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．【答案】103 7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．【答案】6-π8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐，则其离心率的值是 ▲ ．【答案】29．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤则((15))f f 的值为 ▲ ．【答案】22 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．【答案】34 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．【答案】-312．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．【答案】313．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．【答案】914．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．【答案】2715．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地△，要求,A B块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．△的面积，并确定sinθ的（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．。

江苏省苏州市2018届高三期初调研数学试卷及答案

苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷数学I (试题）注意事项： 1.本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效。

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 A= {xl-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B= 。

2.已知),,(32为虚数单位i R b a i ibi a ∈+=-+，则a + b 的值是 . 3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 .4.有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7，现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），巳知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数.6.若双曲线122=-y mx ( m > 0)的右焦点与抛物线y= 8x 的焦点重合，则m 的值是 . 7. 将函数)<<0)(2sin(πϕϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则ϕ的值是 .8.已知平面向量a=(2,1), a•b=10,若|a +b|=25,则|b|的值是 .9.如图，正四棱锥P -ABCD 的底面一边AB 的长为32cm ，侧面积为38cm2,则它的体积为 cm 3. 10.已知函数b a abx x x f 2)(2+++=。

若4)0(=f ,则)1(f 的最大值是 .11.等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，且 a n -S n = n 2-16n+15(n≥2,n∈N * )，若对任意n∈N *，总有S n ≤S k ,则k 的值是. 12.已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x 2 + y 2 - 4x - 2y + t = 0上恰有两个不同的点P ，使得△PA B 的面积为21，则实数t 的取值范围是 . 13.已知函数x a x x f +=)( (a > 0)，当x∈ [1,3]时，函数)(x f 的值域为A ，若A ∈[8,16]，则a 的值是 .14.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，xx f 2)(=，若对任意的x∈ [a,a + 2]，不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2018年江苏高考数学真题(word版)

值与最小值的和为
12.在平面直角坐标系xOy中，A为直线I:y = 2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以
AB为直径的圆C与I交于另一点D，若AB CD= 0,则点A的横坐标为
13.在.ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.ABC=120,.ABC的平分线
2018
数学
1. 已知集合A=io,1,2,8},B={—1,1,6,8〉，那么B=
2.若复数z满足i=：1• 2i，其中i是虚数单位，则z的实部为_
3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这
裁判打出的分数的平均数为
4. 一个算式的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S
的值为
5.函数f(x)=JlogzX-1的定义域为
6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中选2名学生去参加，
则恰好有2名女生的概率为
7.已知函数y二sin(2x「:)()的图象关于直线x =—
223
对称，则®的值是
2 2
x y
&在平面直角坐标系xOy中.若双曲线 —2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一
a b
<3
条渐近线的距离为上3c,则其离心率的值是
2
兀Xc”C
cos——,0cx^2,
2
9.函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x€R),且在区间(一2,2］上，f(x) ={|1
丨x+-,—2£x^0,2
则f (f(15))的值为
10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面
体的体积为
32
11.若函数f(x)=2x -ax 1(a R)在(0/::)内有且只有一个