八年级数学下册1.4.2角平分线的性质二课件

A
由角平分线性质，得出结论。
EB N
3、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°， AB = AC，BD平分∠ABC． 求证：BC = AB + AD
提示：由角平分线性质，得：AD=DE.
A
Rt△BAD≌Rt△BED（HL）
D
得：AB=BE
B
EC
又可证：△DEC是等腰直角三角形，DE=EC
变式训练：如图，△ABC中，∠A = 90°，AB = AC， BD是∠BAC的平分线，DE⊥BC于E，若BC = 10cm， 则△DCE的周长等于( A ) A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm
A
ND
F
M
∵BM是△ABC的角平分线，点P
B
在BM上，
P
C
E
∴PD=PE( 角平分线上的点到角两边距离相等 ).
同理：PE=PF. ∴PD=PE=PF.
即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
点P在∠A的平分线上吗？
三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边 的距离相等。
例1、如图，已知 EF⊥CD, EF⊥AB， MN⊥AC， M是EF的中点，需要添加一 个什么条件，就可使CM，AM分别为 ∠ACD和∠CAB的平分线呢？
在确定超市的位置时,一定要画出三个 角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如 何证明的?
若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB， 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
求证：AD是△ABC的角平分线。
提示：Rt△DEB ≌Rt△DFC（HL） E
F
得：DE=DF
B
DC
由角平分线性质，得出结论。
2、已知 BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，
BD，CE交点F，CF=BF， 求证：点F在∠A的平分线上.
提示：Rt△FEB ≌Rt△FDC（AAS）
M C D
F
得：DE=EF
A
分析：因为角平分线上的点到角
N
两边的距离相等，所以只要作
M
P
△ABC任意两角的平分线其交点 B
C
就是所求得P点。 口述作法
能证明作图结论吗？
如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AC于F
分线上。
A
D
用符号语言表述：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠1= ∠2
PD＝PE O
1 2
P C
即：OC是∠AOB的平分线
E
B
角的平分线是到角的两边距离相等的所有 点的集合.
动脑筋 你能在∆ABC中找到一点P，使其到三 边的距离相等吗？
如图，在△ABC中，作点P，使点P到三边 AB、BC、CA的距离相等。
解：∵AP是∠DAC的平分线。 又 PE⊥DB PF⊥AC
∴ PE=PF
D E A
P
F
在∆EBP中，BE+PE>PB
B
C
∴ BE+PF>PB
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
作业：P25 练习 P26 习题 3、5ຫໍສະໝຸດ 湘教版SHUXUE八年级下
本本节课内内容容
1.4.2
角平分线的性质（二）
A
1、怎样用尺规作角的平分线.
M
Ｃ
B
Ｎ
O
2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
反过来：
3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
理由：∵ NE⊥CD, MN⊥CA 且MN=ME
CE D
N M
∴ M在∠ACD的平分线上， A 即：CM是∠ACD的平分线
B F
同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上 任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为 点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
E G C
F
∴FG＝FM
A
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M BH D
FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF。 A
如图，有两条河流l1，l2 ，两个工厂A，B，现要在 这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离 相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标 出P点的位置。
解：（1）画AB的垂直平分线MN，
l1
（2）画∠α的平分线交直线
MN于P, 则P点就是中转站的位置。
PB
A
l2
变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上 修建一个超市.使这个超市到三条公路的距离相等, 应在何处修建?