青岛版(五四)数学八年级上5.5.1三角形内角和定理(同步练习).docx
青岛版八年级数学上册三角形内角和定理
5.5 三角形内角和定理（1）1．根据下列条件，求ABC ∆中，C ∠的大小： （1）︒=∠︒=∠36,65B A ；（2）A C B ∠=∠=∠2； （3）︒=∠-∠︒=∠15,105C B A ；（4）C B A ∠=∠=∠．2．（1）一个直角三角形的两个锐角相等，这两个锐角各多少度？（2）一个直角三角形的两个锐角中，一个角是另一个角的2倍，这两个锐角各多少度？3．已知：如图，︒=∠︒=∠70,60,//ADE C BC DE ，求B A ∠∠、的度数．4．已知：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，︒=∠∠=∠80,ADC BAD B ，求ABC ∆各内角的度数．5．一个三角形中能不能有两个直角或两个钝角？为什么？ 6．如图，已知AB CD ACB ⊥︒=∠,90，垂足是D ．（1）2,1∠∠有什么关系？（2）2∠∠、B 有什么关系？为什么？B ∠∠、1不是相等？为什么？7．如图，BD AD ⊥于D ，AE 平分︒=∠︒=∠∠34,70,C B BAC ，求DAE ∠的度数．三角形内角和定理（1） 1．在ABC ∆中，如果C B A ∠=∠=∠2121，那么C B A ∠∠∠,,分别等于多少度？ED CBA 2．已知：如图，E DC AB ,//是BC 上一点，43,21∠=∠∠=∠．求证：ED AE ⊥．3．如图，在ABC ∆中，EC AE B BAC ⊥︒=∠︒=∠,60,50，垂足为CD E ,平分ACB ∠且分别与AE AB,交于点F D ,．求AFC ∠的度数．4．如图，已知BC AD CD AB //,//． 求证：︒=∠+∠+∠18021B ．5．如图，已知︒=∠50A ，（1）如图（1），ABC ∆的两条高CE BD ,相交于点O ，求BOC ∠的度数． （2）如图（2），ABC ∆的两条角平分线CN BM ,相交于P 点，求BPC ∠的度数．6．若一个三角形三个内角度数之比为1：5：6，那么，你能判断出它是一个什么形状的三角形吗？三角形内角和定理（1）一、选择题1.如图所示,BC ⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的关系是( )D CB AA.∠AED>∠BEDB.∠AED<∠BEDC.∠AED=∠BEDD.无法确定2.关于三角形内角的叙述错误的是( ) A.三角形三个内角的和是180°； B.三角形两个内角的和一定大于60° C.三角形中至少有一个角不小于60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长3.下列叙述正确的是 ( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；D.三角形中至少有一个锐角.4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( ) A.50° B.55° C.45° D.40°6.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角C.大于60°的角D.大于等于60°的角 二、填空题1.直角三角形的两个锐角___________.2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________ 三角形.3.在△ABC 中,∠A=∠B=110∠C,则∠C=_______. 4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=•120°,•则∠A=• ,• ∠B=______.5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,则∠B=∠________,∠C=∠________.6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.三、计算题1.如图,已知:∠A=∠C. 求证:∠ADB=∠CEB.E DCA2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.ED CBA3.如图,在正方形ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.E FDCBA四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120°,•∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDCBA五、小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长BC 到D,延长AC 到E,过点C 作CF ∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?EFDC BA六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.DCBA七、我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n 边形的内角和等于多少度?三角形内角和定理（2）一.选择题1.以下命题中正确的是（ ）A.三角形的三个内角与三个外角的和为540°B.三角形的外角大于它的内角C.三角形的外角都比锐角大D.三角形中的内角中没有小于60°的2.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列说法正确的有（ ）①三角形的外角大于它的内角；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③三角形的外角中至少有两个钝角；④三角形的外角都是钝角. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.三角形的三个外角之比为2∶2∶3，则此三角形为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形5.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形6.如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x 为（ ）βαxA.α－βB.β－αC.180°－α＋βD.180°－α－β二.填空题7.直接根据图示填空：（1）∠α＝_________ （2）∠α＝_________ （3）∠α＝_________; （4）∠α＝_________ （5）∠α＝_________ （6）∠α＝_________α38°62° 20°α°30°25°150°α（1） （2） （3）70°α°70°60°20°α20°135°45°α（4） （5） （6） 8.如图△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF ＝________.ABC D FE 123 AC DE12B C AED9.在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于等于∠B 的两倍，那么∠A ＝______，∠B ＝_______，∠C ＝_______.10.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝________. 11.如图，比较∠A.∠BEC.∠BDC 的大小关系为_______________________.12.如图，把△ABC 的纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1.∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为___________________. 三.解答题13.如图，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°A BFD E14.D 为△ABC 的边AB 上一点，且∠ADC ＝∠ACD.求证：∠ACB ＞∠BA15.如图，D 在BC 延长线上一点，∠ABC ，∠ACD 平分线交于E. 求证：∠E ＝12∠A AE16.如图，D 为AC 上一点，E 是BC 延长线上一点，连BD ，DE.求证：∠ADB ＞∠CDE.四.拓展探究（不计入总分）17.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计算一下，∠ABP ＋ ∠ACP ＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？把你的想法与同伴交流，看谁说得更有道理．ABCPD三角形内角和定理（2）一、选择题：1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.下列叙述正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形的外角大于内角C.三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角D.三角形每一个内角都只有一个外角 3.下列说法正确的是( )A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角C.三角形的外角和等于180°D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角4.在△ABC 中,∠A 、∠B 的外角分别是120°、150°,则∠C=( ) A.120° B.150° C.60° D.90°5.如图1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5是∠1的( ) A. 2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍5432180︒30︒1EDCBA(1) (2) (3) 6.三角形的外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形是( )三角形. A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 二、填空题1.在△ABC 中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的外角等于________.2.如图2,∠1=________.3.五角形的五个内角的和是________.4.由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.5.如图3,∠BAC_______∠BEC.6.在△ABC,∠A:∠B:∠C=∠1:∠2:∠3,则它们外角的比是_______. 三、计算题1. 如图,△ABC 中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B 、∠C 的度数.D CA2. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.DCBA3.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,•求∠DOB 的度数.ODCBA四、如图,△ABC 中,∠A=90°,∠C 的平分线交AB 于D,已知∠DCB=2∠B.•求∠ADC 的度数.DCBA五、如图,P 是△ABC 内的一点,连接PB 、PC,求证:∠BPC>∠A.PCBA六、如图,E是BC延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC>∠B21EDCBA七、如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P=90°-12∠A;△ABC•两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC=90°+12∠A;那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM•的夹角∠M=_____∠A.MQPCBA三角形内角和定理（2）1．如图，已知：︒=∠︒=∠⊥29,29,DAABDE，求ACB∠的度数．2．如图，已知：在ABC∆中，43,21,90∠=∠∠=∠︒=∠B，求D∠的大小．3．如图，P 是ABC ∆内一点，延长BP 交AC 于点D ．用符号“＜”表示A ∠∠∠,2,1的关系．4．如图，已知：D 是ABC ∆的外角平分线与BA 的延长线的交点．求证：B BAC ∠>∠．5．如图，已知：P 是ABC ∆内一点．求证：BAC BPC ∠>∠．6．已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分AD CE BAC ⊥∠,，垂足为E ． 求证：（1）ADC AEC ∠>∠；（2）B AEC ∠>∠．7．如图，在ABC ∆中，AB CE B A ⊥︒=∠︒=∠,70,30，垂足为CF E ,平分ACB ∠，求FCE ∠的度数．8．如图，在ABC ∆中，DB 和DC 分别平分内角ABC ∠和BG ACB ,∠和CG 分别平分外角CBE ∠和︒=∠∠40,A BCF ，求BDC ∠和G ∠的度数．9．如图，已知在五角形ABCDE 中，求证：︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A ．10．如图，ABC ∆中，B C ∠>∠，D 为BC 上一点，（且不与C B ,重合） 求证：B ADB ∠>∠．11．如图，ABC ∆的两个外角EAC ∠和FCA ∠的平分线交于D 点． 求证：ABC ADC ∠-︒=∠2190．12．如图，ABC ∆中，AE BC AD C B ,,⊥∠>∠平分BAC ∠． 求证：)(21C B DAE ∠-∠=∠．三角形内角和定理（2）1、已知∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角.（如图）求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE =360°.2、已知，如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上的一点，BE 、CD 相交于点F ， ∠A =62°，∠ACD =35°，∠ABE =20°求：（1）∠BDC 的高度； （2）∠BFD 的度数.3、已知，如图，BE 、CE 分别是△ABC 的内角、外角的平分线，若∠A =40°.求∠E 的度数.三角形内角和定理一、选择题:1．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠BOC=α，则∠A 等于（ ）A ．90°-2αB ．90°-2α C ．180°-2α D ．180°-2α图1 图2 图3 图42．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（ ） A ．5：4：3 B ．3：2：1 C ．1：2：3 D ．2：3：43．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A．55° B．70° C．55°或70° D．以上均有可能5．如图2，射线BA，CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B=40°，那么x的值是（• ）A．40 B．60 C．80 D．100二、填空题:6．如果三角形三个外角度数之比为4：2：•3，•则这个三角形的各外角度数分别为______．7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______．9．如图4所示，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=•DC，•则∠C=________.三、解答题:10．已知：如图所示，P是△ABC内一点，求证：∠BPC>∠BAC．ACPB11．如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC，求证：∠ACD>•∠ABC．12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°，•求这个等腰三角形的各内角的度数．三角形内角和定理一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD•的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，•∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A= ，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B间的夹角）•就越大，如图所示，你如何证明．四、经典题6．如图所示，∠1大于∠2的是（）7．如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E•的大小是（）A．30° B．40° C．50° D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B•顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，•小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1 图2 图3 小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=•180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．。
青岛版数学八年级上册5.5三角形内角和定理
教学设计一、学习目标1.能根据三角形的内角和定理推出直角三角形的性质理2.会写出“直角三角形的两锐角互余”这一性质定理的逆命题，即直角三角形的判定定理3.会利用直角三角形的性质定理和判定定理解决有关问题。
二、重点直角三角形的性质及判断方法三、难点直角三角形的性质及判断方法的应用四、教学过程（一）演练导学1.说出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假（1）两直线平行，内错角相等（）逆命题：________________ （）（2)对顶角相等（）逆命题：________________（）（3）若x²=y²，则x=y （）逆命题：________________2 在△ABC ,∠A+∠B+∠C =___度，若∠C=90°则∠A+∠B=____度，此时我们称∠A与∠B__（二）得出结论直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余（三）解惑质疑例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D求证：∠1=∠B（四）跟踪练习1.如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。
（五）演练导学你能说出直角三角形性质定理的逆命题吗?逆命题_____________________它是真命题还是假命题？若是真命题，请写出证明过程（六）解惑质疑例2. 已知：如图，A,B,E三点在同一条直线上DB⊥AE, AB=DB, BC=BE求证：AF⊥DE（七）跟踪练习如图，已知：AB∥CD, AE平分∠BAC,CE 平分∠ACD求证：△AEC是直角三角形（八）达标测试（九）反馈总结这节课你有什么收获？与同学交流一下你的心得，请写下来吧。
初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.5 三角形内角和定理-章节测试习题
章节测试题1.【答题】一个三角形中最多有______个内角是钝角，最多可有______个内角是锐角.【答案】1 3【分析】根据三角形内角和定理解答即可.【解答】一个三角形中最多有1个内角是钝角，如果一个三角形中出现2个或3个内角是钝角，那么三角形的内角和就大于180°，不符合三角形内角和是180°；一个三角形中最多有3个内角是锐角，如任意锐角三角形.故答案为：1，3.2.【答题】如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，那么∠ADE的度数是______.【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理解答即可.【解答】∵DE∥BC，∴∠AED=∠C=70°，又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°，∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−70°−50°=60°，故答案为：60°.3.【答题】如图，∠α=______．【答案】17°【分析】根据三角形内角和定理解答即可.【解答】解：∵三角形内角和是180°，∴40°+32°=55°+α，解得α=17°．4.【答题】三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于______．【答案】40°【分析】根据三角形内角和定理解答即可.【解答】解：设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，列方程得，x+2x+2x﹣20°=180°，解得x=40°．答：这个三角形的最小角度数为40°．5.【答题】已知Rt△ABC，，,则______.【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理解答即可.【解答】在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，所以∠A+∠B=90°，又因为∠A−∠B=30°，所以∠A=60°，故答案为：60°6.【答题】在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=______度.【答案】84【分析】本题考查了三角形的角平分线概念和三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．【解答】解：∵∠BOC＝132°，∴∠OBC＋∠OCB＝48°，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB）＝96°，∴∠A＝180°－96°＝84°．故答案为：84．7.【题文】如图，直线a∥b，BC 平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2 的度数.【答案】55°【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠ABD=70°，由角平分线的定义得到∠EBD= ∠ABD=35°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠ABD=70°，∵BC平分∠ABD，∴∠EBD=∠ABD=35°，∵DE⊥BC，∴∠BED=90°∴∠2=90°-∠EBD=55°．8.【题文】如图，已知l1∥l2，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线l1，l2上，，若l2平分∠ABC，交AC于点D，∠1=26°，求∠2的度数．【答案】38°【分析】根据平行线的性质先求得∠ABD=26°，再根据角平分线的定义求得∠ABC=52°，再根据直角三角形两锐角互余即可得.【解答】解：∵l1∥l2，∠1=26°，∴∠ABD=∠1=26°，又∵l2平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=52°，∵∠C=90°，∴Rt△ABC中，∠2=90°﹣∠ABC=38°．9.【题文】如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，DE经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点D、E。
青岛版八年级数学上册同步练习附答案5.5 三角形内角和定理
5.5 三角形内角和定理一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠C=70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）（第1题图）A. 360°B. 250°C. 180°D. 140°2. 三个内角之比是1：5：6的三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2=80°，那么∠1的度数为（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°（第3题图）（第4题图）4. 如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°5. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）A. 90 °B. 180°C. 360°D. 270°（第5题图）（第6题图）6. 如图，O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A. 95°B. 120°C. 135°D. 无法确定7. P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A 的大小关系是（）A. ∠A>∠2>∠1B. ∠A>∠2>∠1C. ∠2>∠1>∠AD. ∠1>∠2>∠A（第7题图）（第8题图）8. 如图，△ABC的角平分线BO，CO相交于点O，∠A=120°，则∠BOC=（）A. 150°B. 140°C. 130°D. 120°9. 在△ABC中，若∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°10. 在不等边三角形中，最小的角可以是（）A. 80°B. 65°C. 60°D. 59°11. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°（第11题图）（第12题图）12. AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（）A. 20°B. 18°C. 38°D. 40°二、解答题13. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠C，∠DAE的度数．（第13题图）14. 在△ABC中，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于F，∠ABE=23°．求∠AFE的度数．（第14题图）15. 在△ABC中，∠A=50°．（1）如图①，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC=°；（2）如图②，∠ABC，∠ACB的三等分线分别对应交于O1，O2，则∠BO2C=°；（3）如图③，∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于O1，O2，…，O n-1（内部有n-1个点），求∠BO n-1C（用n的代数式表示）；（4）如图③，已知∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n-1C=60°，求n的值．（第15题图）答案一、1. B【分析】如答图.∵∠C=70°，∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=110°.∵∠1+∠CEF=180°，∠2+∠CFE=180°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠CEF+∠CFE）=360°-110°=250°.故选B.（第1题答图）2. B【分析】∵该三角形的三个内角度数之比为1：5：6，∴该三角形最大的内角度数为：180°×=90°，∴该三角形是直角三角形．故选B．3. B【分析】根据平行线的性质，得∠2=∠1+30°，所以∠1=50°．故选B．4. C【分析】∵BC⊥AE，∴∠BCE=90°．∵CD∥AB，∴∠DCB=∠B=40°，∴∠ECD=∠BCE-∠DCB=90°-40°=50°．故选C．5. B【分析】连接CD.根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BDC+∠ACD+∠C+∠D+∠E=∠EDC+∠ECD+∠E=180°．故选B．6.C【分析】由∠A=80°，得∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°.由∠1=15°，∠2=40°，得∠OBC+∠OCB=100°-15°-40°=45°，所以∠BOC=180°-45°=135°．故选C．7. D【分析】根据三角形外角的性质，得∠1=∠2+∠DCP，∠2=∠A+∠ABD，则∠1>∠2>∠A．故选D．8. A【分析】∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°．∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=30°，∴∠BOC=150°．故选A．9. A【分析】由题意知，∠B=2∠A，∠C-∠A=20°，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．故选A．10. D【分析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．11. A【分析】∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°．∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°．∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D-∠A=65°-25°=40°．故选A．12. A【分析】∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD= 14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，∴∠DAE=34°-14°=20°．故选A．二、13. 解：∵在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，∴∠C=180°-80°-60°=40°.∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-40°=50°.又∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=25°.14. 解：∵在△ABC中，由AD⊥BC，∴∠BDF=90°.∵BE平分∠ABC交AD于F，∠ABE=23°，∴∠DBF=∠ABE=23°，∴∠BFD=180°-90°-23°=67°，∴∠AFE=∠BFD=67°.15. 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°．∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的两条平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°．∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°．（2）∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°，∴∠BO2C=180°-（）°=（）°．（3）∵点O n-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，BC+∠O n-1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°，∴∠O n-1∴∠BO nC=180°-×130°．-1（4）∵∠BO n-1C=60°，∴180°-×130°=60°，解得n=13．。
初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.5 三角形内角和定理-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值．【答案】140°【分析】根据的是三角形内角和定理以及角平分线性质解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）=40°，∴x=180°﹣（∠2+∠4）=140°．2.【题文】在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．【答案】∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°【分析】此题考查三角形内角和定理，解此题的关键是得出∠B、∠C与∠A之间的数量关系.【解答】解：根据题意，得3∠A=∠B，5∠A=∠C.由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，则∠A+3∠A+5∠A=180°，解得∠A=20°.则∠B=3∠A=60°，∠C=5∠A=100°.3.【题文】已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E.求证：∠CFE=∠CEF．【答案】证明见解析.【分析】根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．【解答】证明：如图，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF.4.【题文】已知：△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠A-20°，求∠A的度数.【答案】50°.【分析】根据题意，设∠A的度数为x°，然后分别表示处∠B、∠C，再根据三角形的内角和列方程求解即可.【解答】解：设∠A=x度，则∠B=2x度，∠C=x°-20°，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+x-20=180，∴x=50，即∠A=50°.5.【题文】已知：△ABC中, ∠A=1050 , ∠B－∠C=150 ,求∠B、∠C的度数. 【答案】∠A=30°；∠B=45°【分析】根据三角形的内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°，再把∠A=105°，∠B=∠C+15°代入可计算出∠C，然后计算∠B的度数．【解答】解：：∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=105°，∠B=∠C+15°，∴105°+∠C+15°+∠C=180°，∴∠C=30°，∴∠B=∠C+15°=30°+15°=45°．6.【题文】如图，在△ABC中，∠B = 50º，∠C = 70º，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数。
青岛版数学八年级上册5.5《三角形内角和定理(2)》同步练习2
5.5 三角形内角和定理（2）一、选择题：1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形； C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.下列叙述正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形的外角大于内角C.三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角D.三角形每一个内角都只有一个外角 3.下列说法正确的是( )A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角C.三角形的外角和等于180°D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角4.在△ABC 中,∠A 、∠B 的外角分别是120°、150°,则∠C=( ) A.120° B.150° C.60° D.90°5.如图1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5是∠1的( ) A. 2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍5432180︒30︒1EDCB A(1) (2) (3) 6.三角形的外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形是( )三角形. A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 二、填空题1.在△ABC 中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的外角等于________.2.如图2,∠1=________.3.五角形的五个内角的和是________.4.由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.5.如图3,∠BAC_______∠BEC.6.在△ABC,∠A:∠B:∠C=∠1:∠2:∠3,则它们外角的比是_______. 三、计算题1. 如图,△ABC 中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B 、∠C 的度数.D CA2. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.DCBA3.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,•求∠DOB 的度数.ODCBA四、如图,△ABC 中,∠A=90°,∠C 的平分线交AB 于D,已知∠DCB=2∠B.•求∠ADC 的度数.。
青岛版初中数学八年级上册《三角形内角和定理》综合测试卷练习题卷练习题1
青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！5.5 三角形内角和定理一、选择题:1．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠BOC=a ，则∠A 等于（ ） A ．90°-2B ．90°-C ．180°-2D ．180°-α2αα2α图1图2图3图42．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（ ）A ．5：4：3B ．3：2：1C ．1：2：3D ．2：3：43．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上均有可能4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（ ）A ．55°B ．70°C ．55°或70°D ．以上均有可能5．如图2，射线BA ，CA 交于点A ，连接BC ，已知AB=AC ，∠B=40°，那么x 的值是（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100二、填空题:6．如果三角形三个外角度数之比为4：2： 3， 则这个三角形的各外角度数分别为______．7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______．9．如图4所示，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD= DC ， 则∠C=________. 三、解答题:10．已知：如图所示，P 是△ABC 内一点，求证：∠BPC>∠BAC ．ACPB11．如图所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于D ，AB>AC ，求证：∠ACD> ∠ABC ．12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°， 求这个等腰三角形的各内角的度数．参考答案一、1．C 点拨：因为BO 平分△ABC 的一个外角，所以可知∠3=12（∠A+∠2），同理∠4=（∠1+∠A ）．又因为∠3+∠4+∠BOC=180°，12即（∠A+∠2）+（∠1+∠A ）+=180°， 1212 同时∠1+∠2+∠A=180°，即可求得∠A 的度数． 2．A 点拨：因为三角形三个内角之比为1：2：3，所以可根据三角形内角和定理求得三个内角分别为30°，60°，90°， 即与它们相邻的外角分别为150°，120°，90°，即可求得对应的外角比． 3．C 点拨：三角形的外角与其相邻的内角互补， 由于这个外角小于与它相邻的内角，所以相邻的内角必是钝角，此三角形必为钝角三角形． 4．C5．C 点拨：因为AB=AC ，所以∠B=∠C ，所以x°=40°+40°=80°，所以x=80°．二、6．160°，80°，120°点拨：三角形的外角和等于360°， 可设外角度数分别为4x°，2x°，3x°， 故可求得各外角度数．7．直角三角形 点拨：因为外角大于任何一个与它不相邻的内角，故外角只能是与和它相邻的内角相等，而两角之和为180°，故外角及其相邻的内角均为90°．8．220° 点拨：本题的结构较简单， 可利用三角形的外角与内角的等量关系转化．∠1=∠5+∠4，∠2=∠3+∠5，所以∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠5=180°+40°=220 °； 也可利用四边形内角和为360°来解这道题．9．23 点拨：此题是三角形角的有关计算，因为AB=AD ．所以∠ADB=（180°-88°）×=46°．又因为AD=CD ，故∠C=1212∠ADB=23°．三、10．证明：连接AP并延长交BC于E．因为∠BPE是△BAP的一个外角，所以∠BPE>∠BAE．又因为∠CPE是△CAP 的一个外角，所以∠CPE>∠CAE．所以∠BPE+∠CPE>∠ABE+∠CAE．即∠BPC>∠BAC．点拨：本题也可延长BP，交AC于一点， 利用“三角形的外角大于与它不相邻的任一内角”来证明．11．解：因为AB>AC，所以延长CD交AB于点E，如图所示．因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠CAD．因为AD⊥CD，所以∠ADE=∠ADC=90°，所以∠AED+∠EAD=∠CAD+∠ACD=90°，所以∠AED=∠ACD，又因为∠AED是△BEC 的一个外角．所以∠AED>∠ABC，所以∠ACD>∠ABC．12．解：因为等腰三角形各内角度数和为180°，所以该等腰三角形顶角的一个外角为80°，所以等腰三角形的顶角为100°，所以等腰三角形的底角为40°，40°．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
青岛版初中数学八年级上册《三角形内角和定理》综合测试卷练习题卷练习题2
所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．
4．解：因为∠ECD 是△BCE 的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．
因为 BE，CE分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC= 1 ∠ABC， 2
∠ECD= 1 ∠ACD． 2
所以 1 ∠ACD= 1 ∠ABC+∠E，所以∠ACO=∠ABC+2∠E．
四、6．C 7．B 点拨：因为 AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°， 因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以 ∠E=40°． 五、 探究学习 1．解：（1）三角板旋转的度数为 180°-30°=150°． （2）因为 CB=BD，所以△CBD 为等腰三角形，
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（3）因为∠DBE 为△CBD 的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为 △CBD为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以 2∠BDC=∠DBE=30°，所 以∠BDC=15°．
点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，要有把现 实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．
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5.5 三角形内角和定理
一、七彩题: 1．（一题多解）如图，已知 AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求 ∠BCD的度数．
2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于 90°， ∠B，∠C 应分别等于 32°和 21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合 格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．
青岛版数学八年级上册5.5《三角形内角和定理(1)》同步练习
E D C BA 5.5 三角形内角和定理一、选择题1.如下图,BC ⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,那么∠AED 与∠BED 的关系是( )A.∠AED>∠BEDB.∠AED<∠BEDC.∠AED=∠BEDD.无法确定2.关于三角形内角的表达错误的选项是( )A.三角形三个内角的和是180°；B.三角形两个内角的和一定大于60°C.三角形中至少有一个角不小于60°；D.一个三角形中最大的角所对的边最长3.以下表达正确的选项是 ( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；D.三角形中至少有一个锐角.4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,那么△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰直角三角形；C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,那么∠B 等于( )A.50°B.55°C.45°D.40°6.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角；C.大于60°的角D.大于等于60°的角二、填空题1.直角三角形的两个锐角___________.2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么△ABC 是________三角形.D C B A 3.在△ABC 中,∠A=∠B=110∠C,那么∠C=_______. △ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=120°,那么∠A= ,∠B=______.5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,那么∠B=∠____,∠C=∠____.6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.三、计算题1.如图,:∠A=∠C.求证:∠ADB=∠CEB.ED C B A2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.E D C B A3.如图,在正方形ABCD 中,∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.E FDC B A四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一局部被摔碎,量得∠A=120°，∠D=105°，你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDC B A五、小明在证明“三角形内角和等于180°〞时用了如下图的辅助线的方法,即延长BC 到D,延长AC 到E,过点C 作CF ∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?E FD CB A六、请你利用“三角形内角和定理〞证明“四边形的内角和等于360°〞.四边形ABCD 如下图.DCB A七、我们已经证明了“三角形的内角等于180°〞,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180°……〞试猜测一下十边形的内角等于多少度?n边形的内角和等于多少度?参考答案一、二、1.互余 2.直角 3.150° 4.90°,30° 5.∠DAC;∠BAD 6.1;2三、1.∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB又∵∠A=∠C,∠B=∠B∴∠ADB=∠CEB2.∵∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°又∵AD平分∠BAC∴∠DAC=12∠BAC=12×84°=42°∵AE⊥BC∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°3.∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°四、∵∠PAD+∠BAD=180°∠PDA+∠ADC=180°∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°五、∵AB∥CF∴∠A=∠ACF ∠B=∠FCD又∵∠ACB=∠DCE∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°六、连接AC ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°∠D+∠DAC+∠ACD=180°∴ (∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°即四边形ABCD的内角和等于360°.七、十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°n边形的内角和:(n-2)×180°.。
青岛版八上数学5.5三角形内角和定理(1)
证明:过点A作PQ∥BC,则
∠PAB=∠B( ∠QAC=∠C(
),
P AQ
),
1 3
2
又∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=1800 (
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (
B ).
E
A
F
B
C
),
C
所作的辅助线 是证明的一个 重要组成部分, 要在证明时首 先叙述出来.
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (
).
你还有其它方法来证明三角形内角
和定理吗?
A B
B
图2 C
已知:如图,△ABC.
A
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
分析:延长BC到D,过点C作 射线CE∥AB,这样,就相当 B
于把∠A移到了∠1的位置,
把∠B移到了∠2的位置.
1 32
C
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三 兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾 气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和 你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的， 否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
3、举一反三：
4、这一部分知识所在知识系统中的位置：
下图中的几个图形是五角星和它的变形：
（1）图（1）是一个五角星，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°； （2）图（1）中的点A向下移到线段BE上时，五个角的和（即 ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论； （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五 个角的和
八年级数学上册 5.5 三角形内角和定理 三角形内角和的应用素材 (新版)青岛版
三角形内角和定理的活用
从三角形的内角和定理易得到结论：三角形的三个内角和的一半等于90°．这个结论
在解决有关三角形半角的问题时很有用处，现举几例说明．
例1． 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，G 为BC 延长线上一点，GM ⊥AD 于M ，
分别交AB 、AC 于E 、F ．
求证：∠BGE ＝2
1（∠ACB-∠B ）．
证明：因为GM ⊥AD ，所以∠BGE+∠ADG ＝90°．又
∠ADG ＝
21∠A+∠B ，所以∠BGE ＝90°-21∠A-∠B ＝21∠B+21∠ACB-∠B ＝2
1（∠ACB-∠B ）． 例2． 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，三条内角平分线相交于O 点，过O 作OH ⊥BC 于H
点，求证：∠COH ＞∠CAD ．
证明：因为OH ⊥BC ，所以∠COH ＝90°-∠BCO ＝90° -21∠ACB ＝21∠A+21∠B ．又∠CAD ＝2
1∠A ，所以∠COH ＞∠CAD ． 例3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AE⊥BC 于E ，若∠B＞∠C，证明：∠DAE＝2
1（∠B－∠C）．
证明：因为AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝
2
1∠BAC.又因为AE ⊥BC 于E ，所以∠BAE＝90°－∠B，所以
2 ∠DAE＝∠BAD－∠BAE ＝21
∠BAC－（90°－ ∠B） ＝ 21
∠BAC－90°+ ∠B ＝21∠BAC－21
（∠BAC+∠B+∠C ）+∠B ＝21∠BAC－21∠BAC -21∠B -21∠C +∠B ＝ 21∠B－21
∠C＝ 21
（∠B－∠C）．。
初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.5 三角形内角和定理-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：设∠C=k°，则三个内角的度数分别为4k°，4k°，k°，根据三角形内角和定理，可知4k°+4k°+k°=180°，得k°=20°，即∠C的度数是20°．选B.2.【答题】一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：最大内角=180°×=90°，另外内角=180°×=45°．故三角形为等腰直角三角形．选D.3.【答题】一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 都有可能【答案】C【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：三角形的三角内角和等于180度，如果其中两个内角之和小于第三个内角，说明第三个内角大于90度，因此这个三角形是钝角三角形；选C.4.【答题】一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 何类三角形不能确定【答案】A【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，所以有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形．选A.方法总结：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系．5.【答题】一个三角形的两个内角和小于第三个内角，这个三角形是（）三角形．A. 锐角B. 钝角C. 直角D. 等腰【答案】B【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：三角形的三角内角和等于180度，如果其中两个内角之和小于第三个内角，说明第三个内角大于90度，因此这个三角形是钝角三角形；选B.6.【答题】如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（）A. 360°B. 180°C. 280°D. 320°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】由图可得：∠1+∠2+∠3+∠4=180°+180°−80°=280°.选C.7.【答题】如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】连接AC.∵在△ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠B=180°;在△AOC和△DOE中,∠2+∠4=∠D+∠E;∴∠1+∠D+∠3+∠E+∠B=180°,即∠1+∠B+∠3+∠D+∠E=180°.故选A.8.【答题】适合条件∠A=∠B=∠C的三角形ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 都有可能【答案】B【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵三角形的内角和是180°，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴∠C=3x=90°，∴此三角形是直角三角形．9.【答题】如图，点P是△ABC三条角平分线的交点，若∠BPC=108°，则下列结论中正确的是（）A. ∠BAC=54°B. ∠BAC=36°C. ∠ABC＋∠ACB=108°D. ∠ABC＋∠ACB=72°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理和角的平分线解答即可．【解答】解：如图，∵△BPC中，∠BPC=108°，∴∠1+∠2=180°-108°=72°，∵点P是△ABC三条角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×72°=144°，故C、D错误；在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=144°，∴∠BAC=180°-144°=36°，故B正确．选B.10.【答题】如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为（）A. 62°B. 68°C. 78°D. 90°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵∠A=70°，∠ACD=20°，∴∠BDF=∠A+∠ACD=70°+20°=90°，在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDF-∠ABE=180°-90°-28°=62°，∴∠CFE=∠BFD=62°．选A.11.【答题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（）A. 120°B. 80°C. 60°D. 40°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．选C.12.【答题】如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可．【解答】∵BC⊥AE，∴∠BCE=90°.∵CD∥AB，∴∠DCB=∠B=40°，∴∠ECD=∠BCE-∠DCB=90°-40°=50°.选C.13.【答题】如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A. 360°B. 250°C. 180°D. 140°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】如图，∵∠C=70°，∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=110°，又∵∠1+∠CEF=180°，∠2+∠CFE=180°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠CEF+∠CFE）=360°-110°=250°.选B.14.【答题】已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（）A. 一定有一个内角为45°B. 一定有一个内角为60°C. 一定是直角三角形D. 一定是钝角三角形【答案】C【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=∠A，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，即△ABC一定是直角三角形；选C.15.【答题】若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】C【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，∴2x+7x+4x=180°，∴7x≈97°，∴这个三角形是钝角三角形．选C.16.【答题】如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（）A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：在△AEC中，∠A+∠E+∠C=180°，在△DBF中，∠D+∠B+∠F=180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=180°+180°=360°．选B.17.【答题】在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 30°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】∵4∠B=104°，∴∠B=26°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-104°-26°=50°．选A.18.【答题】在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个【答案】B【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时△ABC为直角三角形，①可以；②∵∠A=∠B=2∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C+2∠C+∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=2∠C=72°，△ABC为锐角三角形，②不可以；③∵∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时△ABC为直角三角形，③可以；综上可知：①③能确定△ABC为直角三角形．选B.19.【答题】在△ABC中，已知已知△ABC的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形的形状为（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形【答案】C【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】，∴这个三角形的形状为直角三角形，选C.20.【答题】Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（）A. 36°B. 46°C. 56°D. 66°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】根据直角三角形的两锐角互余可得∠A=90°-∠B=90°=54°=36°，选A.。
青岛版数学八年级上册5.5《三角形内角和定理(2)》专项练习—解答题2
5.5 三角形内角和定理〔2〕1、∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角.〔如图〕求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.2、，如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°求：〔1〕∠BDC的高度；〔2〕∠BFD的度数.3、，如图，BE、CE分别是△ABC的内角、外角的平分线，假设∠A=40°.求∠E的度数.参考答案1、证明：∵∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角.〔〕∴∠BAF =∠2+∠3.∠CBD =∠1+∠2∠ACE =∠1+∠3〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕 ∴∠BAF +∠CBD +∠ACE =2〔∠1+∠2+∠3〕〔等式的性质〕∵∠1+∠2+∠3=180°〔三角形的内角和定理〕∴∠BAF +∠CBD +∠ACE =2×180°=360°〔等量代换〕2、解：∵∠BDC =∠A +∠ACD 〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∠A =62° ∠ACD =35°∴∠BDC =62°+35°=97°〔等量代换〕〔2〕∵∠BFD +∠BDC +∠ABE =180°〔三角形内角和定理〕∴∠BFD =180°－∠BDC －∠ABE 〔等式的性质〕∵∠BDC =97° ∠ABE =20°〔〕∴∠BFD =180°－97°－20°=63°〔等量代换〕3、解：∵∠ECD 是△BCE 的外角〔〕∴∠ECD =∠EBC +∠E 〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕 ∵BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACD 〔〕∴∠EBC =21∠ABC ，∠ECD =21∠ACD 〔角平分线的定义〕 ∴21∠ACD =21∠ABC +∠E 〔等量代换〕∴∠ACD =∠ABC +2∠E 〔等式的性质〕又∵∠ACD 是△ABC 的外角〔〕∴∠ACD =∠A +∠ABC 〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕 ∴∠A +∠ABC =∠ABC +2∠E 〔等量代换〕∴∠A =2∠E 〔等式的性质〕∴∠E =21∠A =21×40°=20°〔等式的性质〕。
青岛版-数学-八年级上册-5.5 三角形内角和定理第3课时 作业
三角形内角和定理第3课时1．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（）A．50° B．45° C．40° D．25°3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A．44° B．34° C．54° D．64°4．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°6．如图所示的三角板中的两个锐角的和等于度．7．直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为．8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC.BD交于点P，且AB=BD，AP=4PC=4，则cos∠ACB的值是．9．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是．10．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有（填写所有正确的序号）．11.已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于F，试说明AE=AF．12. △ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BC于E．求证：AF=AD．参考答案1.解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．2.解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=50°，故选A．3.解：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．4.解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．5.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，则∠A′DB=55°﹣35°=20°．故选：C．6. 解：直角三角板中的两个锐角的和等于90度．故答案为：90．7. 解：∵直角三角形的一锐角为60°，∴另一锐角为90°﹣60°=30°．故答案为：30°．8. 解：作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD，由AB=BD得E是AD的中点，因此OE是△ACD的一条中位线，从而O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆，则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A.B.C.D四点，易知AP=4，PC=1，AC=AP+PC=5，因此，OA=OC=2.5．OP=OC﹣PC=1.5，由BE∥CD得，BP：PD=OP：PC=1.5，因此BP=1.5PD，从而AB=BD=BP+PD=2.5PD，由相交弦定理得BP•PD=AP•PC=4，即 1.5PD2=4，因此PD2=，从而AB2=（2.5PD）2=6.25PD2=，由勾股定理得BC2=AC2﹣AB2=52﹣=，因此BC=，∴cos∠ACB=BC：AC=．9.解：根据题意得：∠1+∠2=180°﹣90°=90°，故答案为：90°．10. 解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴△ACD与△ACB都为直角三角形，∴∠A+∠1=90°，∠A+∠B=90°，∴∠1=∠B，选项（3）正确；∵∠1=∠2，∴AC∥DE，选项（1）正确；∴∠A=∠3，选项（2）正确；∵∠1=∠B，∠1=∠2，∴∠2=∠B，即∠2与∠B不互余，选项（4）错误；∠2不一定等于∠A，选项（5）错误；则正确的选项有（1）（2）（3），故答案为：（1）（2）（3）．11. 证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AEF=90°，∵DA⊥BC，∴∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．12. 证明：∵∠BAC=90°，∴∠ADF=90°﹣∠ABD．∵AE⊥BC于E，∴∠AFD=∠BFE=90°﹣∠DBC．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∴∠AFD=∠ADF．∴AF=AD．。