初三数学暑假作业之练习1操作探究题

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(暑假作业)初中九年级数学暑假作业以及答案

初中九年级数学暑假作业以及答案每年的暑假生活都有许多美好的快乐回忆，而今年的暑假生活也快要结束了，同学们的暑假作业都完成得如何了呢下面是我为大家带来的有关2021初中九年级数学暑假作业以及答案，希望大家喜欢。

2021初中九年级数学暑假作业以及答案一、填空题(每题2分，共26分)1. 将方程化为(x+m)2=n 的形式为___________。

2 . 方程的一个根为=2，那么另一根是=_________，k=_______。

3. 如图1所示，点E、C在BF上，∠1=∠B，EF=BC，要证明∠DEF∠∠ABC，假设根据“SAS〞，需补充条件________;假设根据“ASA〞需要补充的条件_____________。

(1) (2) (3)4. 如图2所示，平行四边形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，那么∠BEC=__________。

5. 四边形ABCD的两条对角线相交于点O，当时，四边形是_______。

6 . 在中心投影下，在同一方向上等长的两个杆子，所形成的影长;而在平行投影中，等长的两个杆子的影长(填“相等〞或“不相等〞)7 . 如图3所示是反比例函数的图象，那么与O的大小关系是________0。

8. 写出具有性质“图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一象限内，随的增大而增大〞的一个反比例函数________。

9. 如图4所示，在等腰梯形ABCD中，AD∠BC，AB=DC，CD=BC，E 是BA、CD延长线的交点，，那么=__________。

10 . 在∠ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，那么∠ABC 是________三角形。

11. 在∠ABC，边AB的中垂线与AC边相交，所得的锐角为50°，那么∠A=____度。

12. =2，=5，那么的值等于7的概率是_____________。

13. 一个袋中有5个黑球和假设干个白球，从袋中任意摸出一个球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验共300次，结果有100次出现黑球，那么估计袋中可能有________个白球。

中考数学“动手操作”专题训练试题[1]

中考数学“动手操作”专题训练试题江苏文页一、选择题1，如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（）A.25°B.30°C.45°D.60°2，如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）.按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形3，Rt △ABC 中，斜边AB =4，∠B=60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（）A．3π B ．3π2 C ．π D ．3π4 4，用一把带有刻度尺的直角尺, ①可以画出两条平行的直线a 和b, 如图(1); ②可以画出∠AOB 的平分线OP, 如图(2); ③可以检验工件的凹面是否为半圆, 如图(3); ④可以量出一个圆的半径, 如图(4). 这四种说法正确的有（）图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5，如图1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm6，当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）图1 图2A B CD在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒7，如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（）A.20B.22C.248，如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（）A.18B.16C.12D.89，把一张正方形纸片按如图.对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为10，如图，将n 个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A 1、 A 2、…、A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（）A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41-n cm 2D ．n )41( cm 2 二、填空题11，在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是＿＿＿.① ② ③ ④ ⑤A ．B ．C ．D ．12，如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是度.13，用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为＿＿＿°.14，如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是．15，如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm.16，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度.17，如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为 0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E 上升了 __米.A图（2）图（1）DM N18，小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为_________．三、解答题19，如图是一个食品包装盒的侧面展开图。

中考数学操作探究型问题专题训练

近年来中考数学试题难度增大，加强对学生动手操作能力的考查
操作探究型问题：
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题。

（一）利用图形的变换作图
①利用平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离
②利用旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度
③利用轴对称：作出一个图形的轴对称图形
④利用位似：把一个图形放大或缩小
（二）设计测量方案题
对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学知识，设计测量方案，得出测量结果。

（三）动手操作题
动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型。

(人教版)九年级上册数学暑假作业答案

（人教版）九年级上册数学暑假作业答案
P65，
1-2页答案
一、选择题
1.D;
2.A;
3.B;
4.B;
5.A;
6.D.
二、填空题
7.120;8.37.5;9.90deg;，5;10.AB、BC、CA;ang;BAC、
ang;C、ang;B;11.略;12.A，60;13.全等.
三、解答题
14.⑴旋转中心是A点;⑵逆时针旋转了60deg;;⑶点M转到了AC的中点位置上;15.略;16.⑴B;⑵C，B，A;⑶ED、EB、BD.
3-5页答案
一、选择题
1.B;
2.D;
3.A;
4.C;
5.B;
6.C.
二、填空题
7.答案不唯一，如由和甲;8.90;9.三，相等;10.2
三、解答题
12.六，60，两种;13.⑴点A，⑵90deg;，⑶等腰直角三角形;14.旋转中心是A，60deg;，△ADP是等边三角形;15.
图略.
精品小编为大家提供的九年级上册数学暑假作业答案就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰富自己，锻炼自己。

新九年级数学暑假作业指导练习
初三暑假作业数学习题答案。

九年级数学操作与探究创新探究全练

九年级数学操作与探究创新探究全练1、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.2、如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．4、已知，四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AC=AD，对角线AC平分∠BAD，直角三角板30°角的顶点与A点重合，（1）如图，当三角板的两边分别与BC、CD交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；（2）如图，当三角板的两边分别与BC、CD的延长线交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明．5、（1）如图1，△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形，连接BD、CE，BD与CE、AC分别交于点O、点P．通过观察或测量，猜想：①线段BD和CE的数量关系为_________．②BD和CE之间的夹角∠BOC=_________．（2）现将图1中的△ADE绕着点A顺时针旋转一个角度，得到图2，BD的延长线与CE的延长线交于点O，与AC交于点P，问（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，予以证明；若不成立，说明理由．6、探索与证明：（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明7、正方形ABCD中，点P是CD所在直线上一点，连接PA，分别过B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P在DC边上时，通过观察或测量，猜想线段BE、DF、EF应满足怎样的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当点P在DC的延长线上时，通过观察或测量，猜想线段BE、DF、EF应满足怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，当点P在CD的延长线上时，线段BE、DF、EF又具有怎样的数量关系，请直接写出结论（不必进行证明）．8、如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．9、如图，点E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；（2）如图2，当点F 在线段CB 的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E 从点D 向点B 的运动过程中，四边形AFNM 的面积是否会发生变化？若发生了变化，请说明理由；若没有发生变化，请求出其面积的值．10、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且∠FAE=∠DAE ．（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF 的度数；（2）若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C 不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．11、问题背景：如图1，四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接BG ，DE ．问题探究：（1）①如图1所示，当G 在CD 边上时，猜想线段BG 、DE 的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．类比研究：（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图所示），且BC AB =CGCE =k （其中k ＞0），请直接写出线段BG 、DE 的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断．拓展应用：（3）在（1）中图2中，连接DG 、BE ，若AB=3，EF=2，求BE 2+DG 2的值12、在△ABC 中，AB=AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．（1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．13、如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF 交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF 的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．14、（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF=120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是；BE+BF与的BC数量关系是；（写出结论即可，不必证明）将（1）中的∠EDF绕D点顺时针旋转一定的角度（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F 点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF=120°这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；（3）将（1）中的∠BDE绕D点逆时针旋转一定的角度，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF=120°”这一条件仍然不变，则DE与DF的数量关系是；BE、BF、BC这三者之间的数量关系是．（写出结论即可，不必证明）15、如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．16、操作：在△ABC 中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 与PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．17、如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM=21BD ，EN=21CE ，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k •AC （k ＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．18、（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．19、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3＝h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．。

2020年中考数学复习专题：操作探究性问题

专题：操作探究型1. (12分)综合与实践问题情景在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题：在矩形纸片ABCD和矩形纸片EFGH 中，BC＝GF＝1，AB＝EF＝3.将两张矩形纸片按照如图①所示的方式摆放，使点E与点A 重合，点F落在AB的垂直平分线l上．试判断点H是否在线段AD的垂直平分线上．探究展示勤奋小组发现点H在线段AD的垂直平分线上，并展示了如下的证明方法：证明：如图①，连接BF，∵点F是AB垂直平分线上的点，∴EF＝BF.∵AB＝EF，∴AB＝EF＝BF，∴△ABF是等边三角形．(依据1)∴∠F AB＝60°，∠DAF＝∠DAB－∠F AB＝90°－60°＝30°.∴∠HAD＝∠HEF－∠DAF＝90°－30°＝60°.连接DH.∵AD＝EH，∴△ADH是等边三角形．∴HA＝H D.∴点H在线段AD的垂直平分线上．(依据2)反思交流(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别指什么？(2)创新小组受勤奋小组的启发继续探究，将两张矩形纸片按照如图②所示的方式摆放，使点H与点B重合，边HG与边CD相交于点P，且PB＝PD，连接PF，发现PD＝PF.请你给予证明；探索发现(3)将两张矩形纸片按照如图③所示的方式摆放，使点C与点E重合，边EF与边AB相交于点P.若CP平分∠BCD，过点G作GM⊥CD于点M，交EF于点N，延长CB交GH于点Q，连接NQ.试判断四边形MNQC的形状并加以证明；(4)在如图③四边形BPNQ中，你可以求出这个四边形的哪几条边长？请你任选一条边并求出它的长度．图②图③2. (12分)综合与实践——猜想、证明与拓广问题情境：数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图①，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG.猜想证明：(1)当图①中的点E与点B重合时得到图②，此时点G也与点B重合，点H与点A重合，同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：__________；(2)希望小组的同学发现，图①中的点E在边BC上运动时，(1)中结论始终成立．为证明这两个结论，同学们展开了讨论：小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．请你参考同学们的思路，完成证明；(3)创新小组的同学在图①中，发现线段CG∥DF.请你说明理由；联系拓广：(4)如图③，若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD”，∠ABC＝α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，直接写出结果(用含α的式子表示)．3. (12分)综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题，如图①，四边形ABCD是正方形，点E 是CB延长线上的一点(BE<AB)，连接AE，过点A作AG⊥AE交边CD于点G，连接EG.独立思考(1)勤奋小组发现AE＝AG，请你证明这个结论；合作交流(2)希望小组受勤奋小组的启发，继续探究，提出了这样的问题：如图②，当BE>AB时，过点A作AG⊥AE，交DC的延长线于点G.连接EG，过点A作AF⊥EG，F为垂足，F A，CD的延长线交于点H，连接EH.①求证：DH ＋BE ＝EH ；②当点A 是GH 垂直平分线上的点时，请判断DH ，AD 的数量关系，并说明理由；深入探究(3)四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，点E 为直线BC 上任意一点，过点A 作AG ⊥AE 交直线CD 于点G ，连接BG .若CE AB ＝12，参照以上探究过程，试探究当点E 在BC 上或点E在BC 延长线上，任选一种情况，在图③中画出图形，并直接写出此时BG 的长．参考答案1. (1)解：依据1：三边都相等的三角形是等边三角形；依据2：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；(2分) (2)证明：如解图①，连接DG . ∵CD ＝BG ，PD ＝PB ， ∴CD －PD ＝BG －PB . ∴CP ＝GP .在△PBC 和△PDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PB ＝PD ，∠1＝∠2，CP ＝GP ，∴△PBC ≌△PDG (SAS)． ∴DG ＝BC . ∵BC ＝GF ， ∴DG ＝GF .∵∠DGP ＝∠C ＝90°，∠BGF ＝90°， ∴∠DGF ＝∠DGP ＋∠FGB ＝90°＋90°＝180°. ∴D 、G 、F 三点在同一直线上． ∴PG 垂直平分DF . ∴PD ＝PF ；(6分)(3)解：四边形MNQC 是正方形．证明：如解图②，分别延长DC 、GH 相交于点K . ∵∠BCD ＝90°，CP 平分∠BCD ， ∴∠1＝∠2＝12∠BCD ＝12×90°＝45°.∴∠3＝∠4＝45°.∴在Rt △CHK 中，∠K ＝45°. ∴CH ＝KH ＝1.根据勾股定理可得，CK ＝12＋12＝ 2. 在Rt △CMN 中，∵∠1＝45°， ∴∠MNC ＝∠1＝45°. ∴∠FNG ＝∠MNC ＝45°. ∴Rt △FGN 是等腰直角三角形． ∴FN ＝FG ＝1.∴CN ＝CF －FN ＝3－1＝2. 由勾股定理得，CM ＝ MN ＝ 2. ∴CQ ＝ MN ＝ 2. 又∵MN ∥CQ ，∴四边形MNQC 是平行四边形． ∵∠QCM ＝90°， ∴四边形MNQC 是矩形． ∵CM ＝MN ，∴四边形MNQC 是正方形；(10分)(4)解：(答案不唯一)由(3)可知MC∥NQ，又∵四边形ABCD是矩形，∴BP∥NQ.∴△CPB∽△CNQ.∴PBNQ＝CBCQ.∵CQ＝NQ＝2，CB＝1，∴PB＝CBCQ·NQ＝12×2＝1.(12分)2. (1)解：GF＝GD，GF⊥GD；(1分)(2)证明：如解图①，连接AF.∵点D关于直线AE的对称点为点F，∴直线AE是线段DF的垂直平分线，∴AF＝AD，GF＝GD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠AFG＝∠ADG.(2分)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.设∠BAF的度数为n，∴∠F AD＝90°＋n.(3分)∵AF ＝AD ＝AB ， ∴∠AFB ＝∠ABF ，∴∠AFB ＋∠ABF ＝180°－n ， ∴∠AFB ＋∠ADG ＝180°－n ，(4分)∴∠FGD ＝360°－∠F AD －∠AFG －∠ADG ＝360°－(90°＋n )－(180°－n )＝90°， ∴GF ⊥GD ；(5分)(3)解：如解图②，连接AF ，BD . 由(2)得FG ＝DG ，FG ⊥DG ，∴∠GFD ＝∠GDF ＝180°－∠FGD2＝45°.(6分)∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°， ∴∠BDC ＝∠DBC ＝45°， ∴∠FDG ＝∠BDC ，∴∠FDG －∠BDG ＝∠BDC －∠BDG ；即∠FDB ＝∠GDC .(7分)∵在Rt △FDG 中，sin ∠DFG ＝DG DF ＝sin45°＝22，在Rt △BDC 中，sin ∠DBC ＝DC DB ＝sin45°＝22， ∴DG DF ＝DC DB ，∴DG DC ＝DFDB，(8分) ∴△BDF ∽△CDG ，∴∠DGC ＝∠DFG ＝45°，(9分) ∴∠DGC ＝∠FDG ， ∴CG ∥DF ；(10分) (4)∠DFG ＝90°－α2.(12分)【解法提示】如解图③连接AF ，BD ，∵点D 与点F 关于AE 对称，∴AE 是线段DF 的垂直平分线，∴AD ＝AF ，∠1＝∠2，AE ⊥DF ，∠DAE ＝∠F AE ，∴∠DAE ＝90°－∠2，∴∠DAF ＝2∠DAE ＝180°－2∠2.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .∴∠AFB ＝∠ABF ＝∠DFG ＋∠1.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠ABD ＝12α.∴在四边形ADBF 中，(∠DFG ＋∠1)＋(∠DFG ＋∠1＋12α)＋12α＋(180°－2∠1)＝360°.∴2∠DFG ＋2∠1＋α－2∠1＝180°.∴∠DFG ＝90°－12α.3. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°. ∵∠ABE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠D ＝∠ABE . ∵AG ⊥AE ， ∴∠EAG ＝90°，∵∠EAB ＋∠BAG ＝∠DAG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠EAB ＝∠GAD ，在△ADG 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠BAE ，AD ＝AB ，∠D ＝∠ABE ，∴△ADG ≌△ABE (ASA)， ∴AG ＝AE ；(4分)(2)①证明：根据题意可得∠ABE ＝∠ADG ＝90°， ∵AG ⊥AE ， ∴∠EAG ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAG ＝∠DAG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠EAB ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠BAE ，AD ＝AB ，∠ADG ＝∠ABE ， ∴△ADG ≌△ABE (ASA)， ∴DG ＝BE ，AG ＝AE ， ∴△AEG 是等腰直角三角形，又∵AF ⊥EG ，∴AF 是EG 边上的中线， ∴AF 垂直平分EG ， ∴EH ＝GH ，∴GH ＝DH ＋DG ＝DH ＋BE . ∴DH ＋BE ＝EH ；(7分) ②解：DH ＝(2＋1)AD ；理由如下：∵A 是GH 垂直平分线上的点，∴AD ⊥HG ，DH ＝DG ，由(2)①知DG ＝BE ，∴DH ＝BE ，∴DH ＋DC ＝BE ＋BC ，即CH ＝CE ，∴△CEH 是等腰直角三角形，∴∠CHE ＝45°.∵HE ＝HG ，HF ⊥EG ，∴HF 平分∠CHE ，∴∠AHD ＝12∠CHE ＝12×45°＝22.5°，如解图①，在DH 上取一点K ，使DK ＝AD ，则∠AKD ＝45°，∴∠HAK ＝∠AKD －∠AHD ＝45°－22.5°＝22.5°，∴∠HAK ＝∠AHD ，∴AK ＝HK .在Rt △ADK 中，AK ＝2AD ，∴KH ＝2AD ，∴HD ＝HK ＋DK ＝2AD ＋AD ＝(2＋1)AD ；(10分)(3)解：(答案不唯一)答案1：当点E 在BC 上时，画出图形如解图②，此时BG ＝213.(12分)答案2：当点E 在BC 延长线上时，画出图形如解图③，此时BG ＝229.。

江苏省2022学年中考数学试题研究几何图形操作探究型问题练习

几何图形操作探究型问题★1.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．(1)如图①，若点D是AC的中点，连接PC.①求BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形；(2)如图②，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．第1题图解：(1)①在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，∴BA＝AC2＋BC2＝42＋22＝25，又∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝2，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝BC2＋CD2＝22＋22＝22，由翻折可知，BP＝BA＝25；②证明：∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，∴∠ADB＝∠BDP＝135°，∴∠PDC＝135°－45°＝90°，∴∠BCD＝∠PDC＝90°，∴DP∥BC，∵DP＝AD＝BC＝2，∴四边形BCPD是平行四边形；(2)如解图，连接PA，分别过点D作DN⊥AB于点N，过点P作PE⊥AC于点E，延长BD交PA 于点M ，则△ABP 为等腰三角形，BM ⊥AP.第1题解图设BD ＝AD ＝x ，则CD ＝4－x ，在Rt △BDC 中，由勾股定理得：BD 2＝CD 2＋BC 2， ∴x 2＝(4－x )2＋22， ∴x ＝52，∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ， ∴BN ＝AN ＝12AB ＝5，在Rt △BDN 中，DN ＝BD 2－BN 2＝（52）2－（5）2＝52，由△BDN ∽△BAM ，可得DN AM ＝BDAB，∴52AM ＝5225， ∴AM ＝2， ∴AP ＝2AM ＝4，由△ADM ∽△APE ，可得AM AE ＝ADAP，∴2AE ＝524， ∴AE ＝165，∴EC ＝AC －AE ＝4－165＝45，易证四边形PECH 是矩形， ∴PH ＝EC ＝45.★2.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 为边AB 上一动点，连接CE 并将其绕点C 顺时针旋转90°得到CF ，连接DF ，以CE 、CF 为邻边作矩形CFGE ，GE 与AD 、AC 分别交于点H 、M ，GF 交CD 延长线于点N .(1)证明：点A 、D 、F 在同一条直线上；(2)随着点E 的移动，线段DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由； (3)连接EF 、MN ，当MN ∥EF 时，求AE 的长．第2题图(1)证明：由旋转可知∠ECF ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ＝CB ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∠DCF ＋∠DCE ＝∠ECF ＝90°， ∴∠DCF ＝∠BCE ，在△CDF 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ∠DCF＝∠BCE CD ＝CB， ∴△CDF ≌△CBE ， ∴∠CDF ＝∠B ＝90°，∴∠ADF ＝∠CDF ＋∠CDA ＝180°， ∴点A 、D 、F 在同一条直线上；(2)解：DH 有最小值，设BE ＝x ，则AE ＝1－x ，由(1)得DF ＝BE ＝x ，易证∠DCF ＝∠AEH ， ∴tan ∠DCF ＝tan ∠AEH ＝DF CD ＝AHAE， ∴11x AH x=-，解得AH ＝x －x 2，∴DH ＝1－AH ＝(x －12)2＋34，∴当x ＝12时，DH 有最小值，且DH 最小＝34；(3)解：如解图，过点E 作EP ⊥AC 于点P .第2题解图易证四边形CFGE 为正方形． ∵EF ∥MN ， ∴FN FG ＝EM EG， ∵FG ＝EG ， ∴FN ＝EM ，在△CFN 和△CEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FN ＝EM ∠CFN＝∠CEM CF ＝CE， ∴△CFN ≌△CEM ， ∴∠FCN ＝∠ECM ，由(1)得∠FCN ＝∠ECB ， ∴∠ECM ＝∠ECB ， ∴EP ＝EB ， ∴sin ∠EAP ＝EP AE ＝EBAE ＝21x x =-，解得x ＝11＋2，则AE ＝1－x ＝21＋2＝2－ 2.★3.如图①，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB ＝OD ，OC ＝OA ＋AB ，AD ＝m ，BC ＝n ，∠ABD ＋∠ADB ＝∠ACB .(1)填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为______； (2)求m n的值；(3)将△ACD 沿CD 翻折，得到△A ′CD (如图②)，连接BA ′，与CD 相交于点P .若CD ＝5＋12，求PC 的长．第3题图解：(1)∠ACB ＋∠BAD ＝180°；【解法提示】∵在△ABD 中，由三角形内角和得∠ABD ＋∠ADB ＋∠BAD ＝180°， ∵∠ABD ＋∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＋∠BAD ＝180°. (2)如解图①，过点B 作BE ∥AD ，交AC 于点E ，第3题解图①∴∠ADO ＝∠EBO ，∠DAO ＝∠BEO ， ∵OB ＝OD ， ∴△ADO ≌△EBO ， ∴BE ＝AD ＝m ，OE ＝OA ， ∵OC ＝OA ＋AB ， ∴CE ＝AB .∵∠ABO＋∠ADO＝∠ACB，∠ABO＋∠EBO＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴ABAC＝AEAB＝BEBC，∴AB2＝AC·AE＝(2OA＋AB)·2OA，即4OA2＋2OA·AB－AB2＝0，解得OA＝5－14AB，∴mn＝ADBC＝BEBC＝ABAC＝2ABOA AB＝AB5－12AB＋AB＝25＋1＝5－12；(3)如解图②，过点D作DG∥AB交AC于G，同理可得△DOG≌△BOA，第3题解图②∴DG＝AB，OG＝OA，∴CG＝AB，∴∠GCD＝∠GDC，∵∠ADG＝∠ADO＋∠ODG＝∠ADO＋∠ABO＝∠ACB，∴∠ADC＝∠ADG＋∠GDC＝∠ACB＋∠GCD＝∠BCD.由折叠可知∠A′DC＝∠ADC＝∠BCD，∴A′D∥BC，∴△A′DP∽△BCP，∴A′DBC＝DPCP＝5＋12－CPCP，由(2)知ADBC＝A′DBC＝mn＝5－12，即5＋12－CPCP＝5－12，解得CP＝1.★4.如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，把△ABE沿着AE折叠得到△AFE，AF的延长线交CD 于G ，连接CF .(1)证明：AE ∥FC ；(2)猜想线段CF ，EF ，AE 之间的数量关系，证明你的猜想； (3)若AB ＝9，AD ＝6，求CF 的长．第4题图解：（1）由折叠得，EF ＝EB ，∠FEA ＝∠BEA ， ∵点E 是BC 中点，∴EB ＝EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ， ∵∠BEF ＝∠BEA ＋∠FEA ＝∠ECF ＋∠EFC . ∴∠ECF ＝∠BEA ，∴AE ∥FC ；（2）EF 2＝12AE ·CF ，理由如下：如解图，取AE 中点O ，连接O B ，第4题解图在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°， ∴O E ＝O B ＝12AE ， ∴∠O EB ＝∠O BE ，由(1)得：EF ＝EB ，∠ECF ＝∠BEA ＝∠EFC ＝∠O BE ， ∴△EFC ∽△O EB ，2,1·2EF CFOE EBEF AECF∴=∴＝（3）在矩形ABCD 中，BC ＝AD ＝6，∠ABC ＝90°， ∴BE ＝EF ＝EC ＝3，由勾股定理得：()2222310,122133102310.5AE AB BE EF AE CF CF CF =∴⨯∴＝＋由得：＝，＝，＝ ★5.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在A 处，点D 落在E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N .(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．第5题图(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，即∠ENA ＋∠ANM ＝∠DNC ＋∠CNM ， ∵∠ENA ＝∠DNC ， ∴∠ANM ＝∠CNM ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ANM ＝∠CMN ， ∴∠CMN ＝∠CNM ， ∴CM ＝CN ；(2)解：如解图，过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC ，∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，CMN CDNS S＝12MC ·NH 12ND ·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ， ∴MH ＝2HC ，设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ， ∴CM ＝3x ＝CN ，在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，∴HN ＝22x ，在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x ， ∴MN DN＝23x x＝2 3.第5题解图★6.如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F .(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O . ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．第6题图(1)证明：由折叠的性质可得，∠DBC ＝∠DBF ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠DBC ， ∴∠DBF ＝∠ADB ， ∴BF ＝DF ，∴△BDF 是等腰三角形； (2)解：①四边形BFDG 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，即DF ∥BG ， ∵DG ∥BF ，∴四边形BFDG 是平行四边形， ∵BF ＝DF ，∴平行四边形BFDG 是菱形；②∵矩形ABCD 中AB ＝6，AD ＝8，∠A ＝90°， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝10， ∵四边形BFDG 是菱形， ∴BD ⊥GF ，GF ＝2OF ，BD ＝2OD ， ∴OD ＝5， ∴tan ∠ADB ＝OF OD ＝ABAD，∴OF ＝154，∴FG ＝152.★7.如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，动点F 在边BC 上，且不与点B ，C 重合，将△EBF 沿EF 折叠，得到△EB ′F .(1)当∠BEF＝45°时，求证：CF＝AE；(2)当B′D＝B′C时，求BF的长；(3)求△CB′F周长的最小值．第7题图(1)证明：如解图①，当∠BEF＝45°时，易知四边形BEB′F是正方形，∴BF＝BE，∵AB＝BC，∴CF＝AE；(2)解：如解图②，作B′N⊥BC于点N，NB′的延长线交AD于点M，作EG⊥MN于点G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．第7题解图①第7题解图②∵B′D＝B′C，∴∠B′DC＝∠B′CD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠B′DM＝∠B′CN，∵∠B′MD＝∠B′NC＝90°，∴△B′MD≌△B′NC(AAS)，∴B′M＝B′N＝8，∵AE＝MG＝3，∴GB′＝5，在Rt△EGB′中，EG＝EB′2－GB′2＝132－52＝12，∵∠EB′G＋∠FB′N＝90°，∠FB′N＋∠B′FN＝90°，∴∠EB′G＝∠B′FN，∵∠EGB ′＝∠FNB ′＝90°， ∴△EGB ′∽△B ′NF ， ∴EG B ′N ＝EB ′FB ′， ∴128＝13B ′F ， ∴BF ＝B ′F ＝263；(3)解：如解图③，以E 为圆心，EB 为半径画圆，连接EC ，在Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，EB ＝13，BC ＝16，第7题解图③∴EC ＝162＋132＝517，∵△CFB ′的周长＝CF ＋FB ′＋CB ′＝BF ＋CF ＋CB ′＝BC ＋CB ′＝16＋CB ′， ∴欲求△CFB ′的周长的最小值，只要求出CB ′的最小值即可， ∵CB ′＋EB ′≥EC ，∴当E 、B ′、C 共线时，CB ′的值最小，CB ′最小值是为517－13. ∴△CFB ′的周长的最小值为3＋517.★8.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，使A 点落在四边形对角线BD 上的P 点处，EP 的延长线交直线BC 于点F .设AD ＝a ，AB ＝b ，BC ＝c .(1)若∠ABE ＝30°，AE ＝3，请写出BE 的长度； (2)求证：△ABP ∽△BFE ；(3)当四边形EFCD 为平行四边形时，试求出a ，b ，c 的数量之间的关系式．第8题图(1)解：BE ＝6；【解法提示】∵AB ⊥BC ，AD ∥BC ，∴BA ⊥AD ，在Rt △ABE 中，∠ABE ＝30°，AE ＝3，∴BE ＝2AE ＝6；(2)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠EBF ，由折叠得△EAB ≌△EPB ， ∴∠AEB ＝∠BEP ， ∴∠EBF ＝∠BEF ， ∴FE ＝FB ，∴△FEB 为等腰三角形， ∵∠ABP ＋∠PBF ＝90°， ∠PBF ＋∠EFB ＝90°， ∴∠ABP ＝∠EFB ，在等腰△ABP 和等腰△FEB 中， ∠BAP ＝12(180°－∠ABP )，∠FBE ＝12(180°－∠EFB )，∴∠BAP ＝∠FBE ， ∴△ABP ∽△BFE ；(3)解：∵四边形EFCD 为平行四边形， ∴EF ∥DC ，∴∠EFB ＝∠C ，∠ADB ＝∠DBC ， ∵∠ABD ＝∠EFB ， ∴∠ABD ＝∠C ， ∴△ABD ∽△DCB ， ∴AD DB ＝DB CB ，即aa 2＋b2＝a 2＋b 2c ，∴a 2＋b 2＝ac .★9.已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，且BE ＝2CE ，连接AE 交射线DC 于点F ，若△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 1处．(1)如图，若点E 在线段BC 上，求CF 的长； (2)求sin∠DAB 1的值；(3)如果题设中“BE ＝2CE ”改为“BECE＝x ”，其他条件都不变，试求△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式及自变量x 的取值范围(只要写出结论，不需写出解题过程)．第9题图备用图解：(1)∵AB ∥DF ，∴∠BAF ＝∠F ，∠B ＝∠BCF ＝90°， ∴△ABE ∽△FCE ， ∴AB FC ＝BE CE， ∵BE ＝2CE ，AB ＝3， ∴3CF ＝2CE CE.∴CF ＝32；(2)①若点E 在线段BC 上，如解图①，设直线AB 1与DC 相交于点M .第9题解图①由题意翻折得：∠1＝∠2. ∵AB ∥DF ， ∴∠1＝∠F ， ∴∠2＝∠F ， ∴AM ＝MF .设DM ＝x ，则CM ＝3－x ，又∵CF ＝32，∴AM ＝MF ＝92－x ，在Rt △ADM 中，AD 2＋DM 2＝AM 2， ∴32＋x 2＝(92－x )2，解得x ＝54，∴DM ＝54，AM ＝134，∴sin ∠DAB 1＝DM AM ＝513；②若点E 在边BC 的延长线上，如解图②，设直线AB 1与CD 的延长线交于点N .第9题解图②同理可得：AN ＝NF . ∵BE ＝2CE ， ∴BC ＝CE ＝AD . ∵AD ∥BE ， ∴AD CE ＝DF FC， ∴DF ＝FC ＝32，设DN ＝x ，则AN ＝NF ＝x ＋32.在Rt △ADN 中，AD 2＋DN 2＝AN 2， ∴32＋x 2＝(x ＋32)2，∴x ＝94.∴DN ＝94，AN ＝154，sin ∠DAB 1＝DN AN ＝35，综上：当点E 在线段BC 上时，sin ∠DAB 1＝513，当点E 在BC 的延长线上时，sin ∠DAB 1＝35； (3)若点E 在线段BC 上，y ＝9x2x ＋2，x 的取值范围为0<x <1；若点E 在边BC 的延长线上，y ＝9x －92x，x 的取值范围为1<x .★10.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 、E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动，设BQ ＝x ，QR ＝y .(1)填空：BC ＝________，sin B ＝________，点D 到BC 的距离DH ＝________； (2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．第10题图备用图解：(1)10；45；125；【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，∠A ＝90°， ∴由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝10；sin B ＝AC BC ＝810＝45；∵D 是AB 的中点，∴BD ＝3， ∴DH ＝BD ·sin B ＝3×45＝125.(2)∵QR ∥AB ， ∴△CQR ∽△CBA ， ∴QR BA ＝CQ CB，即10610y x -=，解得y ＝－35x ＋6；(3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，如解图①，过点P 作P M⊥QR 于点M ，则QM ＝RM ，第10题解图①∵∠1＋∠2＝90°，∠C＋∠2＝90°，∴∠1＝∠C，∴cos∠1＝cos C＝810＝45，∴QMQP＝45，∴12（－35x＋6）125＝45，∴x＝185；②当PQ＝RQ时，如解图②，－35x＋6＝125，∴x＝6；第10题解图②③当PR＝QR时，如解图③，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，第10题解图③∴CR＝12CE＝14AC＝2，∵tan C＝QRCR＝BACA＝68，即－35x＋62＝68，∴x ＝152，综上所述，当x 为185或6或152时，△PQR 为等腰三角形．。

初三数学暑假作业试题(含答案)

初三数学暑假作业试题(含答案)
为大家搜集整理了初三数学暑假作业试题(含答案)，希望大家可以用心去做，不要只顾着玩耍哦!
一、选择题(本大题共12个小题.1-6小题，每小题2分，7-12小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在下列各数(-1)0 、- 、(-1) 3 、(-1) -2 中，负数的个数有
A.0个B.1个C.2个D.3个
2、在下列几何体中，主视图是等腰三角形的是
3.下列计算正确的是
A.x+x=x2 B.x•x=2x C.(x2)3=x5D. x3÷x=x2
4、一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足
A. 3
5.如图，矩形ABCD的对角线AC&perp;OF，边CD在OE上，
&ang;BAC=70度，则&ang;EOF等于
A. 10度 B. 20度 C. 30度D. 70度
6.以下四种说法：①为检测酸奶的质量，应采用抽查的方式;②甲乙两人打靶比赛，平均各中5环，方差分别为0.15，0.17，所以甲稳定;③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形;④举办校运会期间的每一天都是晴天是必然事件.其中正确的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
7. 若不等式组有解，则a的取值范是
A.a大于-1 B.a≥-1 C.a小于等于1 D.a小于1。

2020届新初三暑假数学综合练习1答案

2020届新初三暑假数学综合练习1参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27,28题每小题7分） 17．解： ()330x x x -+-=．()()3+10x x -=． ………………………………………………………….……….2分∴3=0x -，或+1=0x …………………………………………………………….……..3分 ∴13x =，21x =-． …………………………………………………………….……..5分18．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，∠A =∠C ，AB =CD ． …………………………………..……………….2分∵ DE ⊥AB ， BF ⊥AB ，∴∠AED =∠CFB =90°． ……………………………………..……..……………….3分∴△AED ≌△CFB ． ……………………………………..……..……………….4分 ∴AE =CF ．∴BE = DF ．…………..……………………………………..……..……………….5分19．（1）图略．…………..…………………………………………………..……..……………….2分（2）AB ,QC , 三角形的中位线平行于三角形的第三边. …………..……..……………..….5分 20．解：（1）由题意，得 ()()22=24+20.k k k ∆---≥ …………..……..………………...….1分 2.k ∴≤…………..…………………………………………………..……………….2分（2）∵2k ≤且k 为正整数，∴k =1或2. ……..…………………………………………………..……………….3分当k =1时，方程x 2 -2x =0 的根12x =，20x =.不符合题意；当k =2时，方程x 2 -4x +4=0 的根12=2x x =.符合题意；综上所述k =2. ……..…………………………………………………..………..……….5分 21．解：（1）∵直线1y x =-+经过点A （-1，n ），∴2n =． ..………………………………………………………..………..……….1分 ∴A （-1，2）. ……………..………………………………………..………..……….2分 ∵直线y kx =经过点A （-1，2）， ∴2k =-．∴2y x =-． . ……………..……………….……………………..………..……….3分（2）（0，4）或（-2， 0）．……..……………….……………………..………..……..….5分22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ．…..……………….……………………..…………..….1分 ∵DB =DA ， BE =BD ，∴AD =BE ．∴四边形AEBD 是平行四边形∴□AEBD 是菱形．…..……………….…………………………………..….2分（2）解：∵□AEBD 是菱形，∴AB ⊥DE ．…..……………….…………….……………………………..….3分 ∴∠EFB =90°．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ．∴∠EDC =∠EFB =90°． ∵DCDC ：DE =1:3，∴DE=． . ……………..……….……………………..………..……….4分在Rt △EDC中，根据勾股定理可得10EC =∴AD =5．. ……………..……………….……………………..………..……….5分E23．解：（1）设展板的较短边的长为x dm. …………….……………………..………..……….1分根据题意，得 ()32240x x -=. ..….……………………..………..……….2分解得：112x =，202=x （不符合题意，舍去）. …………..……..……….4分答：这块展板的较短边的长为12 dm.（2）设矩形展板一边为y dm.根据题意，得：()32260y y -=.整理，得 2322600y y -+=. ∵=160∆-＜，∴原方程无实数根. …………….……………………..………………………..……….5分 ∴用长为64 dm 的彩带不能紧紧围在一块面积为260 dm 2的矩形展板四周.…………………………………………….……………………..………………………..……….6分 24．解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 1 2 3 4 5 6 y 1/cm 2.00 1.08 0.59 1.23 2.17 3.14 4.13 y 2/cm4.003.062.171.431.181.662.47……………………………………….……………………..………………………..……….1分（2）……………………………………….……………………..………………………..……….4分（3）3.14≤BP ≤6． ……………….……………………..………………………..…….6分25．解：（1）m =64，n =40%．…………….……………………..………………………..…….…2分（2）八．…………….……………………….…………..………………………..…….…3分（3）答案不唯一，理由须支撑推断结论． ……………..………………………..…….6分26．解：（1）根据题意，直线y kx b =+的表达式为2y x b =+．……………………..…….1分∵直线y kx b =+经过点B （0，-4）， ∴b =-4．∴24y x =-．………….……………………..………………………..……….…2分 ∴A (2，0) ．………….……………………..………………………..……..…..…3分（2）2a -＜或2a ≥或1=2a ．…………………..………………………..………...…6分 27．（1）补全的图形，如图所示．……………………………………….……………………..……………………………….……….1分证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴1452ABD ABC ∠=∠=︒． ∵EM ⊥BD ，∴45ABD MEB ∠=∠=︒．∴MB =ME ．….……………………………….……..………………………..……….…2分（2FC =．…………………………….……..………………………..……….…3分证明：如图，连接MC ，MF ,∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，45ABD DBC ∠=∠=︒．∵45ABD MEB ∠=∠=︒，， ∴AEM FBM ∠=∠． ∵AE =BF ，∴△AEM ≌△FBM ．∴AM =MF ． ……………………….……..………………………..……….…4分 ∵AE =BF ，AA∴EF =BC =AB ． ∴△MEF ≌△MBC ．∴∠EMF =∠BMC ，FM =MC ． ∴∠FMC =90°．∴△FCM 是等腰直角三角形． …….……..…………..………..……….…5分FC =．②2222AM BM DM =+．……………….……..……………………………….…7分28．解：（1）P 1，P 3． ……………………………….……..………………………..……….…2分（2）-4≤t ≤-2或-1≤t ≤3………………….……..………………………..……….…4分（3）-3＜b ≤-2或2≤b ＜3．……………….……..………………………..……….…7分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师暑假愉快！。

初三数学暑假作业之练习1操作探究题

暑假作业之练习1：操作、探究题1.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．2. 探索：在如图①至图③中，三角形ABC的面积为a,（1）如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S，则S1=＿＿＿＿＿＿（用含a的代数式表示）；（2）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD-BC，AE=CA，连接DE，若△DEC的面积为S，则S2= （用含a的代数式表示）并写出理由；（3）在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图③），若阴影部分的面积为S3，则S3=＿＿＿＿＿＿（用汗a的代数式表示）发现：象上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③），此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展后得到的△DEF的面积是3.△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2的关系，并证明你的结论．4.如图，梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AB ≠DC ．设AD ＝a ，BC ＝b ．过AD 的中点和BC 的中点的直线可将梯形纸片ABCD 分成面积相等的两部分．请你再设计一种方法，只须用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD 分割成面积相等的两部分．画出设计的图形并简要说明你的分割方法．5.一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积.要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B 点重合；（2）写出画图步骤；（3）写出所画的平行四边形的名称.图1D 'D CBA图2DCBA图⑤ 图④ 图③G F FC'G D'F A B CD E A B C D E A B C D E 第22题图1DA A6.猜想、探究题：（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．你认为AEF △是什么形状的三角形？（2）实践与运用将矩形纸片ABCD （AB ＜CD ）沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．猜想△EBG 的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG 的大小．7．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，ABC ∆中，AC AB =，90=∠BAC ，D BC AD 于⊥，把ABD ∆绕点A 旋转，并拼接成一个正方形,请你在图1中完成这个作图；（2）如图2，ABC ∆中，AC AB =，90=∠BAC ，请你设计一种与(1)不同方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形.A 图① A 图②FE图1ABCD8．如图1，有一张菱形纸片ABCD ，AC ＝8，BD ＝6．（1）若沿着AC 剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，请在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接写出这个平行四边形的面积；（2）若沿着BD 剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，请在图3中用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接写出这个平行四边形的周长；（3）沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出你所拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）9.问题背景（1）如图22（1），△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ． 22（1）探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图22（2），□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积． 22（2）周长为D C BA图3D CBA图4图2AB C D 面积为BCDG FE A10.如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.（1）请你帮小萍求出x的值.(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1 图2。

初三数学暑假作业训练试题

初三数学暑假作业训练试题1.在四边形ABCD中， AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形;②如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形;③如果再加上条件“ang;DAB=ang;DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形;④如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形;⑤如果再加上条件”AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形;⑥如果再加上条件“ang;DBA=ang;CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法有( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.已知，在四边形ABCD中，ang;A=ang;B=ang;C=90deg;，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________.3.如图Z7-3，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是__________.4.(2012年吉林)如图Z7-4，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，ang;ACB=40deg;，点P在边BC上，则ang;PAB 的度数可能为______________(写出一个符合条件的度数即可).图Z7-45.(2012年广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________________，使它的解是x=2，y=-1.6.如图Z7-5，P是四边形ABCD的边DC上的一个动点，当四边形ABCD满足条件__________________时，△PBA的面积始终保持不变(注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).7.已知x2-ax-24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是____________(只需填一个).8.如图Z7-6，已知在等腰三角形ABC中，ang;A=12ang;C，底边BC为⊙O的直径，两腰AB，AC分别与⊙O交于点D，E，有下列序号的四个结论：①AD=AE;②DE∥BC;③ang;A=ang;CBE;④BEperp;AC.其中结论正确的序号是__________(填序号).图Z7-69.某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40 km，摩托车的速度为45 km/h，运货汽车的速度为35 km/h， (涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)?”请将这道作业题补充完整，并列方程解答.10.如图Z7-7，已知△ABC内接于⊙O，(1)当点O与AB有怎样的位置关系时，ang;ACB是直角?(2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D点，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD?(3)画出符合(1)、(2)题意的两种图形，使图形的CD=2 cm.11.(2012年山东临沂)如图Z7-8，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120deg;至OB位置，(1)求点B的坐标;(2)求经过点A，O，B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求点P的坐标;若不存在，说明理由.以上就是初三数学暑假作业训练试题的全部内容，希望各位学生和家长们能够喜欢。

初三中考数学操作探究型问题共55页

55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来

初三中考数学操作探究型问题
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢！
51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特

2022年中考复习《操作与探究》专项练习附答案

操作与探究1、〔13年北京5分22〕阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(>a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。

小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形〔如图2〕请答复：〔1〕假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形〔无缝隙，不重叠〕，那么这个新的正方形的边长为__________；〔2〕求正方形MNPQ 的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ，假设33=∆RPQ S ，那么AD 的长为__________。

解析：考点：操作与探究〔旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形〕2、〔2021成都市〕如图，A B C ，，，为⊙O 上相邻的三个n 等分点，弧AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与'A 重合，连接'EB ，EC ，'EA .设'EB b =，EC c =，'EA p =.先探究,,b c p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+.请继续探究,,b c p 三者的数量关系：当4n =时，p =_______；当12n =时，p =_______. 〔参考数据：62sin15cos 754-==， 62cos15sin 754+==〕答案：c b ±2； c b 21322-+或c b --226解析：3、〔2021山西，21，8分〕〔此题8分〕如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

初三数学操作与探究课后作业和答案

平行四边形的面积.如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形,P
是其中 4 个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着
过点 P 的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长
度是
．
3.如图，已知 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，点 M、N
分别在线段 AC、AB 上，将△ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰
2.【答案】．
解:如图,经过点 P,Q 的直线把图形剪成了面积相等的两部分,由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD,∴AM=PB,MC=PD,∴PM=AB,∵
PM=
= ,∴AB= .
3.【答案】
或．
解：分两种情况： ①如图，当∠CDM=90°时，△CDM 是直角三角形，
∵在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 3 +4，
好落在线段 BC 上，当△DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为
．
4．综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为 4 的正方形纸片 ABCD 对折，使边 AB 与 CD 重合，展开后得到折痕 EF．如图①：点 M 为 CF 上一点，将正方形纸片 ABCD 沿直线 DM 折叠，使点 C 落在 EF 上的点 N 处，展开后连接 DN，MN，AN，如图②
1
∴∠C=30°，AB= AC=
2
3 +2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
11
∴BN= DN= AN，
22
1