用法向量求二面角和证明两平面垂直

用法向量求二面角和证明两平面垂直

用法向量证明两平面垂直问题

要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。

例1.如右图，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ， BD ∥CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点。 求证：（1）DE=DA ；

（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA ； 分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2，

则CE=2，BD=1，C （0，0，0），A （3，1，0），B （0，2，0），E （0，0，2），D （0，2，1），(

)

2,1,3-=

EA ，()2,0,0=CE ，()1,2,0-=ED ， 分

别假设面CEA 与面DEA 的法向量是()1111,,z y x n =、()3222,,z y x n =，所以得

11111113203200x y z y x z z ⎧⎧+-==⎪⎪⇒⎨

⎨==⎪⎪⎩⎩，22222

2222

3203202x y z x y y z z y ⎧⎧+-==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩ 不妨取()

0,3,11-=n 、()2,1,32=n ，从而计算得02

1

=⋅n

n ，所以两个法向量相互

垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与 2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 例2、如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=a ，AD=3a ，sin ∠ADC=

5

5

，且PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的平面角的余弦值。

分析：依题意，先过C 点CE ⊥AD ，计算得ED=2a ，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P （0，0，a ）,D(0,3a,0)，

C(a,a,0),

()

a a PD -=,3,0,

()

a a a PC -=,,,

()0,3,0a AD =,()0,,a a AC =

取平面ACD 的一个法向量()1,0,01=n ，设平面PCD 的法

z y

x

E

A

D

B P

C

z y

x

M

C

B

A

E

D

向量是、()3222,,z y x n =，所以得222

2

22222

302032ay az y x ax ay az x z -==⎧⎧⇒⎨

⎨+-==⎩⎩。 不妨取()3,1,22=n

，从而计算得1414

314

3==

=

易得二面角P-CD-A 的平面角是锐角，所以其角的余弦是14

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