江苏高考数学理科一轮创新设计总复习课件2.8函数与方程

•(4) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续 不断的一条曲线，且 f(a)f(b) ＜ 0 ，则函数 y ＝ f(x) 在区间(a，b)内至少有一个零点． (√) •(5)(2012·湖北卷改编 ) 函数f(x) ＝xcos 2x在区间 [0,2π]上的零点的个数为2. ( ×) •(6)(2013·广州模拟改编 )已知函数 f(x)＝x2＋x＋ a 在区间 (0,1) 上有零点，则实数 a 的取值范围是 (－2,0)． (√)
(2)当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x. 画出g(x)与h(x)的图象如图： 故当x＞0时，f(x)有2个零点． 1 当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－ ， 4 综上函数f(x)的零点个数为3.
•规律方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求 出解，则有几个解就有几个零点. •(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区 间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0， 还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶 性)才能确定函数有多少个零点． •(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函 数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐 标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
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• 辨析感悟 函数零点概念的理解及应用 (1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交 点． ( ×) (2) 对 于 定 义 域 内 的 两 个 变 量 x1 ， x2 ， 若 f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点． (× ) (3) 若 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 不 断 ， 且 f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点． (×)
2 ln x－x ＋2x，x＞0， 4x＋1，x≤0
的零点
解析
1 1 1 1 3 (1)f 4 ＝1－ log2 ＝1＋ ＝ ＞0， 4 4 2 2
1 1 1 1 3 f 2 ＝1－ log2 ＝1＋ ＝ ＞0， 2 2 2 2
f(1)＝1－0＝1＞0，f(2)＝1－2 log22＝－1＜0， 由f(1)f(2)＜0知③正确．
考点一
函数零点的求解与判断
【例1】 (1)(2013· 青岛一模)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间 是________．
1 1 1 ①4，2；②2，1；③(1,2)；④(2,3)．
(2)(2014· 郑州一模)函数f(x)＝ 个数是________．
•(3)零点存在性定理 •如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续 f(a)·f(b)＜0 (a，b)，那么函 不断的一条曲线，并且有 数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a， b)，使得f(c)＝0，这个c也就是 (x0)＝0的根． f(a)·f(b)f ＜ •对 于 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 不 断 且 一分为二 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 零 点 ， 进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 做二分 法．
1 －2 x的零点，即令f(x)＝0.根据此题可得x 1 ＝2 x，
在平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x
1 和指数函数y＝ 2 x
的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个．
答案 (1)② (2)1
考点二
根据函数零点的存在情况，求参数的值
2 e 【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)． x
1 【训练1】 (1)(2014· 合肥模拟)函数f(x)＝－ x ＋log2x的一个零点 落在区间________． ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． (2)(2012· 北京卷改编)函数f(x)＝x
1 －2x的零点个数为____．
1 解析 (1)∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ >0，故其中一个零点会落 2 在(1,2)内． (2)f(x)＝x
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． e2 解 (1)法一 ∵x＞0时g(x)＝x＋ x ≥2 e2＝2e，
等号成立的条件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e， 则y＝g(x)－m就有零点． ∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
• [感悟·提升] • 1．一点提醒 函数的零点不是点，是方程f(x) ＝0的根，如(1)． • 2．三个防范 一是严格把握零点存在性定理 的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连 续函数在一个区间的端点处函数值异号是这 个函数在这个区间上存在零点的充分条件， 而不是必要条件，如(3)；三是函数f(x)在[a，b] 上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一 个零点.
e2 法二 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致图象如图： x 可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. ∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两 个不同的交点， e2 作出 g(x)＝x＋ x (x>0)的大致图象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝ －(x－e)2＋m－1＋e2， ∴其图象的对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e2.故当 m－1＋e2>2e，即 m>－e2＋2e＋1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
• 第8讲 函数与方程
• 知识梳理
• 函数的零点 • (1)函数的零点的概念 • 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实 数x称为函数y＝f(x)的零点． • (2)函数的零点与方程的根的关系 x轴 •方程 f(x) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f(x) 的图象 零点 ⇔函数y＝f(x)有 与 有交点 ．