年春高考数学文二轮专题复习训练专题五数列推理与证明不等式

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高考高三二轮复习计划策略模板(7篇)

高考高三二轮复习计划策略模板（7篇）高考高三二轮复习计划策略模板篇1一二轮复习指导思想：高三第一轮复习一般以知识技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。

而第二轮复习承上启下，是知识系统化条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质能力发展的关键时期，因而对讲练检测等要求较高。

二二轮复习形式内容：以专题的形式，分类进行。

具体而言有以下几大专题。

(1)集合函数与导数。

此专题函数和导数应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况在客观题中考查的导数的几何意义和导数的计算属于容易题;二在解答题中的考查却有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等。

(预计5课时)(2)三角函数平面向量和解三角形。

此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点，我们可以关注。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的只是交汇点，它与三角函数解析几何都可以整合。

(预计2课时)(3)数列。

此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

例如，主要是数列与方程函数不等式的结合，概率向量解析几何为点缀。

数列与不等式的综合问题是近年来的热门问题，而数列与不等式相关的大多是数列的前n项和问题。

(预计2课时)(4)立体几何。

此专题注重几何体的三视图空间点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点(理科)。

(预计3课时)(5)解析几何。

此专题中解析几何是重点，以基本性质基本运算为目标。

直线与圆锥曲线的位置关系轨迹方程的探求以及最值范围定点定值对称问题是命题的主旋律。

高考数学(理)二轮练习：数列、不等式(含答案)

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．答案充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．错解－1找准失分点当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8，得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到．正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16,1＋1a 2b 2≥17. ∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10，所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列，记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ，进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．答案 2 2解析点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________．答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1，整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项．当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，① 2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n ＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

高考数学二轮复习：专题检测3 数列、推理与证明

专题检测(三) 数列、推理与证明(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是A ．15B ．30C ．31D ．64解析由等差数列的性质得a 7＋a 9＝a 4＋a 12，因为a 7＋a 9＝16，a 4＝1，所以a 12＝15.故选A. 答案 A2．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2 010等于A ．－2B ．－13C ．－12D ．3解析由条件可得：a 1＝－2，a 2＝－13，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝－2，a 6＝－13，…，所以数列{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2 010＝a 2＝－13.故选B.答案 B3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8解析由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时S n 最大．故选C.答案 C4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于A.310 B.13 C.18D.19解析由等差数列的求和公式，可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310，故选A.答案 A5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为A ．4B ．5 C. 45D. 15解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，由{a n }是等比数列，知⎝⎛⎭⎫45t 2＝⎝⎛⎭⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，解得t ＝5. 答案 B 6．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …………则第( )行的各数之和等于2 0092. A. 2 010B ．2 009C ．1 006D ．1 005解析由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…， ∴第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2 009，解得n ＝1 005. 答案 D7．已知正项等比数列{a n }，a 1＝2，又b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前7项和T 7最大，T 7≠T 6，且T 7≠T 8，则数列{a n }的公比q 的取值范围是A ．172＜q ＜162B ．162-＜q ＜172-C ．q ＜162-或q ＞172-D ．q ＞162或q ＜172解析 ∵b n ＝log 2a n ，而{a n }是以a 1＝2为首项，q 为公比的等比数列， ∴b n ＝log 2a n ＝log 2a 1q n －1＝1＋(n －1)log 2q .∴b n ＋1－b n ＝log 2q .∴{b n }是等差数列，由于前7项之和T 7最大，且T 7≠T 6，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＋6log 2q ＞0，1＋7log 2q ＜0，解得－16＜log 2q ＜－17，即162-＜q ＜172-.故选B.答案 B8．已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1＜a 2＜a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2. 其中真命题有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析 3－1,3＋1都不在数列0,1,3中，所以①错；因为数列1,4,5具有性质P ，但1＋5≠2×4，即a 1＋a 3≠2a 2，且a 1＝1≠0，所以③④错；数列0,2,4,6中a j －a i (1≤i ≤j ≤4)在此数列，所以②正确，所以选D. 答案 D9．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和是A.n ＋12(n ＋2)B.n ＋1n ＋2C.n (3n ＋5)4(n ＋1)(n ＋2)D.3n ＋44(n ＋1)解析依题意得f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋2，则m ＝a ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， 1f (n )＝1n 2＋2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和等于12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n －⎝⎛⎭⎫13＋14＋…＋1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝n (3n ＋5)4(n ＋1)(n ＋2)，选C. 答案 C10．等差数列{a n }的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d ，a 9a 8的值分别是A ．8，109B ．9，109C ．9，119D ．8，119解析设S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 15， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 16，则有S 偶－S 奇＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 16－a 15)＝8d ， S 偶S 奇＝8(a 2＋a 16)28(a 1＋a 15)2＝a 9a 8. 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝640，S 奇∶S 偶＝18∶22，解得S 奇＝288，S 偶＝352. 因此d ＝S 偶－S 奇8＝648＝8，a 9a 8＝S 偶S 奇＝119.故选D. 答案 D11．数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N ＋)，则m ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 009的整数部分是A ．3B ．2C ．1D ．0解析依题意，得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝3716＞2，a n ＋1－a n ＝(a n －1)2＞0，数列{a n }是递增数列，∴a 2 010＞a 3＞2，∴a 2 010－1＞1，∴1＜2－1a 2 010－1＜2.由a n ＋1＝a 2n －a n ＋1得1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 009＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2 009－1－1a 2 010－1 ＝1a 1－1－1a 2 010－1＝2－1a 2 010－1∈(1,2)，因此选C. 答案 C12．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1， ∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1， ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上) 13．观察下列等式：可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N ＋，用含有n 的代数式表示)．解析第二列等式右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，与第一列等式右端比较即可得，13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝14n 2(n ＋1)2.故填14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)214．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.解析由a 2＝2，a 4－a 3＝4得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 2q 2－a 2q ＝4⇒q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2. 答案 215．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有________．答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 16．经计算发现下列正确不等式：2＋18＜210，4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 成立的条件不等式：________.解析当a ＋b ＝20时，有a ＋b ≤210，a ，b ∈(0，＋∞)．给出的三个式子的右边都是210，左边都是两个根式相加，两个被开方数都是正数且和为20，又10＋10＝210，所以根据上述规律可以写出一个对正实数a ，b 成立的条件不等式：当a ＋b ＝20时，有a ＋b ≤210，a ，b ∈(0，＋∞)．答案当a ＋b ＝20时，有a ＋b ≤210，a ，b ∈(0，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n .已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解析设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.②由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(12分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1,42是a 1和a 4的等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .解析 (1)因为42是a 1和a 4的等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32. 从而可知a 2·a 3＝32.①因为6是a 2和a 3的等差中项，所以a 2＋a 3＝12.② 因为q ＞1，所以a 3＞a 2.联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2，a 1＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝log 2a n (n ∈N ＋)，所以a n b n ＝n ·2n . 所以S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .③2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.④③－④得，－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1.19．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)具有性质：若M ，N 是椭圆上关于原点O 对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)具有类似特性的性质并加以证明．解析可以通过类比得：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点O 对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明设点M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又设点P 的坐标为P (x ，y )，则k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m，注意到m 2a 2－n 2b2＝1，点P (x ，y )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，故y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，n 2＝b 2⎝⎛⎭⎫m 2a 2－1，代入k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2可得：k PM ·k PN ＝b 2a 2(x 2－m 2)x 2－m 2＝b 2a 2(常数)，即k PM ·k PN 是与点P 的位置无关的定值．21．(12分)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M更新．证明：须在第9年初对M 更新．解析 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ， n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6， n ≥7. (2)证明设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6， A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n .易知{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫3428＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫3439＝767996＜80，所以须在第9年初对M 更新．22．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解析 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. (i)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；(ii)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k ＝a k ＋1.故由(i)(ii)知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n ＜a n ＋1＋1a n ＝c 得a n ＜α.当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )， α－a n ＋1≤13n (α－1)．当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3.因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤2，103.。

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专题五数列、不等式、推理与证明测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( ) A.a 4a 6<a 6a 8 B.a 4a 6≤a 6a 8 C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析 a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析由题意知，数列{a n }为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8，k ∈N *，得到k ＝8.答案 B3．对于非零实数a 、b ，“b (b －a )≤0”是“ab≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ≠0，b ≠0，故有b (b －a )≤0⇔b －a b ≤0⇔1－a b ≤0⇔ab≥1.故选C. 答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析由题知f(x)在R上是增函数，可得2－a2>a，解得－2<a<1，故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为0的实数)，那么{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案 C6．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 008，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 008的值为( )A ．－2 006B ．2 006C ．－2 008D ．2 008解析由已知S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n 项和S n 的变式，S nn＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，得d 2＝1，S 2 0082 008＝－2 008＋(2 008－1)·1＝－1，∴S 2008＝－2 008. 答案 C7．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≤3D ．a 2＋b 2≥2解析 ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2. 答案 D8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3，当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．9．(2011·广东广州模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc · b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ，故选B.答案 B10．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S nn ＋32S n ＋1的最大值为( )A.120B.130C.140D.150解析由S n ＝n n ＋12得f (n )＝n n ＋32n ＋2＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150.答案 D11．(2012·广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析先画出可行域如图所示，再将z ＝3x ＋y 变形为截距式方程y ＝－3x ＋z ，把l 0：y ＝－3x 平移到经过点A (3,2)时，截距z 有最大值，∴z max ＝3×3＋2＝11.答案B12．(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的．答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项之积，则有____________________________．答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 10014．(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析 ∵a n ＝n cosn π2＋1，∴当n 为奇数时a n ＝1，当n 为偶数2,6,10,14，…时，a n ＝－n ＋1；当n 为偶数4,8,12,16，…时，a n ＝n ＋1，∴数列{a n }的前4项和为：1＋(－1)＋1＋5＝6；第5至第8项和为：1＋(－5)＋1＋9＝6；…由此可知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝1＋(－n －1＋1)＋1＋n ＋3＋1＝6(n ＋3是4的倍数)，即数列{a n }的相邻四项之和均为6，故S 2 012＝S 4×503＝503×6＝3 018.答案 3 01815．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0，(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式__________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为____________________．解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1 (2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－……＋(－1)n C nn a n ＋1＝016．(2012·新课标)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．解析当n ＝2k －1，k ∈N *时，a 2k －a 2k －1＝2(2k －1)－1；当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k＝2(2k )－1；于是a 2k ＋1＋a 2k －1＝2；a 2k ＋a 2k －2＝8k －8；前一个式子中k ＝1,3,5，…，29，后一个式子中k ＝2,4,6，…，30，得a 3＋a 1＝2，a 5＋a 3＝2，…，a 29＋a 27＝2；a 4＋a 2＝8×2－8，a 8＋a 6＝8×4－8，…，a 60＋a 58＝8×30－8，∴S 60＝15×2＋8(2＋4＋…＋30)－8×15＝1 830.答案 1 830三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，求证：数列{a n }是等差数列．解 (1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. 由f (1)＝2＝b a －1，得2a －2＝b ，①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得bax ＋2－1＝－ba 2－x －1，由此解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2， ∴S n ＝14(a n ＋1)2，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列． 18．(本小题满分12分)(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，有a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n＋1，两式相减是a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2，又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n2n －1＋2是以首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n－2n，n ＝1时也合适此式，{a n }的通项公式是a n ＝3n－2n. (3)由(2)得1a n＝13n －2n ＝12＋1n－2n＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1，∴1a i <1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32. 19．(本小题满分12分)(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c(n ∈N *)．(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0.(2)(i)假设{x n }是递增数列，由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c .由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n －x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －xn ＋1＝x 2n ＋x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )， ②由①式和②式可得1－c －x n >0即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )x的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.(ii)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0.即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即：x k <c ，因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k)<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.20．(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤n ≤20110n ，21≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 381＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解 (1)当n ＝1时，b 1＝181；当n ＝2时，b 2＝182.(2)当1≤n ≤20时，a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n －1＝a n ＝1.∴b n ＝a n 81＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝181＋n －1＝1n ＋80.当21≤n ≤60时，b n ＝a n81＋a 1＋…＋a 20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 81＋20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 101＋n －21n ＋2020＝2nn 2－n ＋1 600，∴第n 天的利润率b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋80，1≤n ≤20n ∈N *，2nn 2－n ＋1 600，21≤n ≤60n ∈N*.(3)当1≤n ≤20时，b n ＝1n ＋80是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝181；当21≤n ≤60时，b n ＝2nn 2－n ＋1 600＝2n ＋1 600n－1≤22 1 600－1＝279(当且仅当n ＝1 600n，即n ＝40时，“＝”成立)．又∵279>181，∴当n ＝40时，(b n )max ＝279.∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为279.21．(本小题满分12分)(2012·山东)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m.求数列{b m}的前m 项和S m.解(1)因为{a n}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.设数列{a n}的公差为d，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m，则9m＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1，于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.22．(本小题满分14分)(2012·江苏)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b n a 2n ＋b 2n，n ∈N *. (1)设b n ＋1＝1＋b n a n，n ∈N *，求证：数列{⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2}是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b n a n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．解 (1)由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b na n1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋1a n ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫b n an2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1. 若q >1，则a 1＝a 2q<a 2≤2，故当n >log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n>2，与(*)矛盾；若0<q <1，则a 1＝a 2q>a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n<1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2. 又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列．若a 1≠2，则2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习72---不等式的证明

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第72讲不等式的证明考点知识：通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知识梳理1．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算数平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈(0，＋∞)，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．不等式的证明(1)比较法①作差法(a，b∈R)：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.②作商法(a＞0，b＞0)：ab＞1⇔a＞b；ab＜1⇔a＜b；ab＝1⇔a＝b.(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法．②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等．3．几个重要不等式(1)ba＋ab≥2(a，b同号)；(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．2．若a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则x与y的大小关系是( )A．x＞y B．x＜y C．x≥y D．x≤y 答案 A解析x－y＝a＋1a－⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b＝a－b＋b－aab＝(a－b)(ab－1)ab.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，所以(a－b)(ab－1)ab＞0，即x－y＞0，所以x＞y.3．已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．答案M≥N解析M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.4．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数 D．abc<0答案 C5．(2021·聊城模拟)下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．6．(2021·西安调研)已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．答案 4解析由ln(a ＋b )＝0，得a ＋b ＝1.又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．故1a ＋1b的最小值为4.考点一比较法证明不等式【例1】设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． (1)证明设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12.因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |＜12，|b |＜12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)解由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |. 感悟升华比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒 ①当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． ②当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是________．答案s ≥t解析 s －t ＝a ＋b 2＋1－(a ＋2b )＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 考点二综合法证明不等式【例2】(2022·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)由题设可知，a ，b ，c 均不为零，所以ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0. (2)不妨设max{a ，b ，c }＝a .因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a >0，b <0，c <0.由bc ≤(b ＋c )24，可得abc ≤a 34，当且仅当b ＝c ＝－a2时取等号，故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.感悟升华 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33(a＋b)3(b＋c)3(c＋a)3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.考点三分析法证明不等式【例3】(2021·哈尔滨一模)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．证明(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，又ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.又易知ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，∴原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.由于(1)中已证a＋b＋c≥3，因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证a bc＋b ac＋c ab≤1，即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.又a bc＝ab·ac≤ab＋ac2，b ac≤ab＋bc2，c ab≤bc＋ca2，∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝33时等号成立)．∴原不等式成立．感悟升华 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a. 证明要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2.因为a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，只需证(a－b)(2a＋b)＞0，只需证(a－b)(a－c)＞0.因为a＞b＞c，所以a－b＞0，a－c＞0，所以(a－b)(a－c)＞0显然成立，故原不等式成立.1．(2021·江西协作体联考)(1)已知x，y是实数，求证：x2＋y2≥2x＋2y－2；(2)用分析法证明：6＋7>22＋ 5.证明(1)(x2＋y2)－(2x＋2y－2)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＝(x－1)2＋(y－1)2，而(x －1)2≥0，(y－1)2≥0，∴(x2＋y2)－(2x＋2y－2)≥0，∴x2＋y2≥2x＋2y－2.(2)要证6＋7>22＋5，只需证(6＋7)2>(22＋5)2成立，即证13＋242>13＋240成立，即证42>40成立，即证42>40成立，因为42>40显然成立，所以原不等式成立．2．(2022·兰州诊断)函数f(x)＝x2－2x＋1＋24－4x＋x2.(1)求f(x)的值域；(2)若关于x的不等式f(x)－m<0有解，求证：3m＋2m－1>7.解f(x)＝x2－2x＋1＋24－4x＋x2＝|x－1|＋2|x－2|.(1)当x ≥2时，f (x )＝3x －5≥1；当1<x <2时，f (x )＝3－x,1<f (x )<2；当x ≤1时，f (x )＝5－3x ≥2. 综上可得，函数的值域为[1，＋∞)． (2)证明若关于x 的不等式f (x )－m <0有解，则f (x )<m 有解，故只需m >f (x )min ，即m >1， ∴3m ＋2m －1＝3(m －1)＋2m －1＋3≥26＋3>7，原式得证． 3．(2021·沈阳五校协作体联考)已知a ，b ，c ，d 均为正实数． (1)求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2； (2)若a ＋b ＝1，求证：a 21＋a＋b 21＋b ≥13. 证明 (1)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2. 当且仅当ad ＝bc 时取等号．(2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21＋a ＋b 21＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21＋a ＋b 21＋b (1＋a ＋1＋b )＝a 2＋1＋b 1＋a ·a 2＋1＋a 1＋b ·b 2＋b 2≥a 2＋2ab＋b 2＝(a ＋b )2＝1，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以a 21＋a＋b 21＋b ≥13. 4．(2021·西安质检)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，取“＝”)，b2＋c2≥2bc(当且仅当b＝c时，取“＝”)，c2＋a2≥2ca(当且仅当a＝c时，取“＝”)，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥1 3 .(2)∵a2b＋b≥2a(当且仅当a＝b时，取“＝”)，b2c＋c≥2b(当且仅当b＝c时，取“＝”)，c2a＋a≥2c(当且仅当a＝c时，取“＝”)，∴a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，∵a＋b＋c＝1，∴a2b＋b2c＋c2a≥1.5．(2021·开封一模)已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：(1)ba＋cb＋ac≥3；(2)(a＋b＋c)2a＋b＋c>2.证明(1)因为a，b，c为一个三角形的三边长，所以ba＋cb＋ac≥33ba·cb·ac＝3⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当ba＝cb＝ac时，取等号，所以不等式得证．(2)由于a ，b ，c 为一个三角形的三边长，则有 (b ＋c )2＝b ＋c ＋2bc >a ，即b ＋c >a ，所以ab ＋ac ＝a (b ＋c )>a ，同理，ab ＋bc >b ，ac ＋bc >c ，三式相加得2ac ＋2bc ＋2ab >a ＋b ＋c ，左右两边同加a ＋b ＋c 得(a ＋b ＋c )2>2(a ＋b ＋c )，所以(a ＋b ＋c )2a ＋b ＋c>2，不等式得证． 6．(2022·贵阳诊断)∀a ∈R ，|a ＋1|＋|a －1|的最小值为M .(1)若三个正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，证明：x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥2； (2)若三个正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，且(x －2)2＋(y －1)2＋(z ＋m )2≥13恒成立，求实数m 的取值范围．(1)证明由∀a ∈R ，|a ＋1|＋|a －1|≥|a ＋1－a ＋1|＝2，当且仅当－1≤a ≤1时取等号，得x ＋y ＋z ＝2，即M ＝2. 又x ，y ，z >0，所以x 2y ＋y ≥2x 2y ·y ＝2x ，同理可得y 2z ＋z ≥2y ，z 2x ＋x ≥2z ，三式相加可得，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x ＋y ＋z ＝2，当且仅当x ＝y ＝z ＝23时，取等号，所以x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥2.(2)解(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2≥13恒成立，等价于13≤[(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2]min，由(12＋12＋12)[(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2]≥(x－2＋y－1＋z＋m)2＝(m－1)2，当且仅当x－2＝y－1＝z＋m时取等号，可得13≤13(m－1)2，即|m－1|≥1，解得m≥2或m≤0，即m的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．。

高考数学二轮专题讲座五递推数列及数列的应用

教考网特约名师高考数学二轮专题讲座五递推数列及数列的应用●考点透视阅读与数列相关的实际问题，并能够从中归纳、提炼出数列问题模型．能灵活运用等差数列、等比数列基础知识，求出数列问题的解．能用切合实际意义的语言表述问题的解．增强用数学的意识，体会数学就在我们身边．有关递推数列及数列的应用高考命题情况，我们首先观察一下2003年、2004年及2005年的全国卷及各省单独命题. 递推数列及数列的应用一道选择题或填空题，一道解答题，试题分数为15分至18分．有三分之一的省市放在压轴题.●名师串讲○重点讲解用数学不仅是用数学的知识，也包括用数学的方法、数学的思想．解数列应用题与解其他应用题一样，首先要认真阅读领悟，学会翻译（数学化）．其次再考虑用熟悉的知识建立数学模型，求出问题的解．最后，常常还需验证求得的解是否符合实际．○技巧方法纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●考题解析【例1】(2004年某某文史卷)已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证数列{}n a 是等比数列．【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用a n 、S n 的关系式a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…)可求得1-n n a a 为常数. 【标准答案】(Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21-又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a . (Ⅱ)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列. 【例2】(2004年全国卷理Ⅱ)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明：(1)数列{nS n }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n ．【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用a n 、S n 的关系式a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…)来解决此类问题.【标准答案】（1）：由a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S ,又a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…),则S n+1－S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列. (2)由数列{n S n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n =2n －1,∴S n+1=(n+1)2n (n ≥1)而a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，则a n =11-+n n S n －1=11-+n n ·(n －1)2n －2=(n+1)2n －2(n=2,3，…), ∴S n+1=4a n . 又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .【例3】(2004年某某文史类卷)设),2,1(,3235,35,11221 =-===++n a a a a a n n n （1）令1,(1,2......)n n n b a a n +=-=求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【思路串讲】本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用已知条件找n b 与1+n b 的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.【标准答案】（I ）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++ 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b nn （II ）由得n n n n a a b )32(1=-=+ )()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=- 注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n n 记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则 1832)3()1(232)21(3232)3(9)32(3])32(1[9,)32(])32(1[3)32()32()32(32131)2()32()32(23232),1()32(3221112111221-+++=-+++=+++=+-=--=--=-++++=⋅++⋅+=⋅++⋅+=-+---n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n na a a S n n T n n T n T n T 从而故两式相减得【例4】某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【思路串讲】本题涉及的知识主要是等差数列、等比数列、函数性质等，这些都是高中数学的主干知识．所提出的两个问题，逐步推进，抓住数列、函数、不等式的知识网络交汇点，综合自然，独具匠心，合情合理，有较高的区分度．解题突破口：对于不进行技术改造，题目给出了纯利润的等差数列规律；而对于进行技术改造，题目给出了利润的通项公式．第(l)小题提出了在这两种情况下，分别求累计纯利润A n ，B n 的表达式．显然，求A n 用等差数列的求和公式；求B n 用特殊数列的求和方法，这里需拆项转化为常数数列和等比数列求和．对于A n 和B n 大小的比较，一般采用作差比较法．这里，关键是作差、变形后，如何判断A n －B n 的符号，需要考生具有观察分析能力和函数的思想，运用函数性质分析估算，最终要进行严密推理．解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；B n =500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 250－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2) =10n 2+10n －n 250－100=10[n(n+1) －n 250－10]. 因为函数y=x (x +1) －x 250－10在（0，+∞）上为增函数，当1≤n ≤3时，n(n+1) －n 250－10≤12－850－10<0；当n ≥4时，n(n+1) －n 250－10≥20－1650－10>0. ∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【例5】(2004年某某理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.【思路串讲】本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力. 解题突破口：利用图形及递推关系即可解决此类问题. 解答本题的主要错误为：(1)缺少严格的推理．如第(1)小题，由 a 1=a 2=a 3=2得a n =2．这仅仅是特殊到一般的猜想，要实现猜想，还必须进行严格证明．但是，甚至包括第(2)或(3)小题，不少考生也是由特殊到一般完成的所谓“证明”．(2)思维层次的薄弱．不能够充分利用“P n ＋3为线段P n P n ＋1的中点”这个重要的解题信息，进行理性化的分析和变换．(3)心理素质欠缺．本题字符较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．【标准答案】 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++- =)(41444n n y y --+ =,41n b - 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列．【例6】(2004年全国卷理Ⅰ) 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.【思路串讲】本题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力. 解题突破口：利用数列求和知识及分奇偶性讨论求通项公式.【标准答案】（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k = a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=n n n a 【例7】（2004年某某理工卷）已知0>a ，数列}{n a 满足,1,11nn a a a a a +==+n=1，2，…．（Ⅰ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求A=n n a ∞→lim (将A 用a 表示)；（Ⅱ）设,2,1,=-=n A a b n n …，证明：)(1A b A b b n n n +-=+；（Ⅲ）若nn b 21||≤对,2,1=n …，都成立，求a 的取值X 围．【思路串讲】递推数列，也是一个高中数学的难点，常规的题型是应用特例验算得出数列的前几项，然后利用不完全归纳、猜想等，得出数列的一般规律，最后辅之以数学归纳法等的证明，这也就是“特例一一归纳一一猜想一一证明一一结论”的似真推理模式．本题中则是回避了这些常规问题，利用极限的运算法则求出数列的极限，并利用变量代换思想，得出另一个递推数列，并最终研究新递推数列的有关结论解题突破口：对于(l)显然想通过求出数列的通项公式再行求极限的办法是困难的，那就不妨使用极限的四则运算法则来求极限．对于(2)更多的应运用目标意识，将变量代换后，首先消去a n ，而得出b n 的关系，再行证明b n 与b n ＋l 间的关系．对于(3)应首先使用特例法，不妨先取n=l ，2，3，求出a 的取值X 围，然后从中发现规律，进而发现求a 的过程是有规律的，相似的，于是可用数学归纳法给出问题的统一处理．【标准答案】（Ⅰ）由 n n a ∞→lim 存在，且A=n n a ∞→lim （A ＞0），对nn a a a 11+=+两边取极限得，A=Aa 1+，解得A=242+±a a ,又A ＞0, ∴A=242++a a . (Ⅱ)由1;1n n n n ab A a a a =++=+得111n n b A a b A +++=++． ∴1111()n n n n n b b a A b A A b A A b A +=-+=-+=-+++．即1()n n n b b A b A +=-+对n=1,2,…都成立．（Ⅱ）邻21||1≤b ，得11|(|22a a -≤．∴21|)4(21|2≤-+a a ． ∴142≤-+a a ，解得23≥a ．现证明当23≥a 时，21||≤n b ，对2,1=n ，…都成立． ①当1=n 时结论成立（已验证）．②假设当)1(≥=k k n 时结论成立，既kk b 21||≤，那么 k k k k k A b A A b A b b 21||1|(|||||1⨯+≤+=+．故只须证明21||1≤+A b A k ，既证2||≥+A b A k 对23≥a 成立．由于23≥a 时，142≤-+a a ∴A ≥2． ∴1212||||≥-≥-≥+k k k b A A b 即2||≥+A b A k 故当23≥a 时， 1212121|1|+=⨯≤+k k k b ．即1+=k n 时结论成立．根据①和②，可知结论对一切正整数都有成立．故n n b 21||≤对,2,1=n …都成立的a 的取值X 围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23． ●误区诊断【例11】 (2000年全国高考题)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？误点：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.辨析：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.答案：(1) a n = 4000×［1－(54)n ］b n =1600×［(45)n －1］(2) 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.自主感悟：●真题演练1. （2001年某某春季卷）若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（）A.}{12+k aB.}{13+k aC.}{14+k aD.}{16+k a 【答案】B2.(2005年某某卷) 已知数121211{},(),3,4,.lim 2,22n n n n n n x x x x x x n x x --→∞==+===满足若则（） A ．23 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B3.(2000年高考某某、某某卷)设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________．【答案】n1 4.（2003年全国高考题）已知数列).2(3,1}{111≥+==--n a a a a n n n n 满足（Ⅰ）求;,32a a （Ⅱ）证明.213-=n n a 【答案】（Ⅰ）a 2=4, a 3=13 .5. （2001某某春季高考）某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).【答案】(1) a 2=n 1(1－n 1)b ， a 3=n 1(1－n 1)2b ，…， a k =n 1 (1－n 1)k －1b ; (2)a k －a k +1=21n (1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3) eb b P n n =∞→)(lim .6.（2002年全国高考题）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）1231111111112n a a a a ++++≤++++【答案】（I ）1+=n a n （1≥n ）7. (2005年某某市春季卷) 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1） 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. （2）2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.●名师押题预测1：对于任意函数f （x ）定义域为D ，如图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入初始数据D x ∈0，输出)(01x f x =②若D x ∉1，则机器自动停止；若D x ∈1，则数据x 1反馈回输入端，再输出)(12x f x =，依次继续下去．设),0[,3)(2+∞∈--=x x x x f ．问（1）若输入一个初始数据x 0，使得机器运行一步后即停止工作，求x 0的取值X 围；（2）若输入一个初始数据x 0，使得机器能产生一个无穷的常数数列，求x 0的值；（3）若输入一个初始数据x 0，使得机器能产生一个无穷的递增数列，求x 0取值X 围．思考∶认真读懂题意是解决问题的关键.答案∶（1）02310≥>+x （2）30=x （3）x 0＞3 预测2：已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，某某数a 、b 满足的条件．思考∶利用等差数列的定义判断{}n a 是否是等差数列.答案∶（Ⅰ）}{n a 不可能是等差数列 (Ⅱ) ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或预测3：已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0. (1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆与+1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .思考∶利用二次函数h k x a x f +-=2)()(求)(x f .再用待定系数法求a n 和b n . 答案∶(1)f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)a n =t1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)r n =2)1(21+++t t n ,S n =432(1)(2)t t t π++［(t +1)2n －1］预测4：设二次函数)(,*)](1,[,)(2x f N n n n x x x x f 时当∈+∈+=的所有整数值的个数为g(n).word11 / 11 （1）求g(n)的表达式.（2）设.,)1(*),()(321432123n n n n n S a a a a a S N n n g n n a 求--++-+-=∈+= （3）设l Z l l T b b b T n g b n n n nn 求若),(.,2)(21∈<+++== 的最小值. 思考∶由)(x f 的值域可求)(n g .讨论n 的奇偶性求n S . 答案∶（1） *).(32)(N n n n g ∈+=（2）.2)1()1(1+-=-n n S n n （3）l 的最小值是7.。

高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题课件理

(1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
切入点：(1)直接套用斜率公式，并借助－12＜x＜32求其范围； (2)先分别计算|PA|、|PQ|的长，再建立|PA|·|PQ|的函数，进而借助导数求其最值．
[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12，因为－12<x<32，所以－1＜x－12＜1，即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(与向量交汇直线过定点问题)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2 P→N ＝ 3 M→N ，动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足| D→A ＋ D→B |＝| D→A － D→B |，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
第二部分讲练篇
专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题
研考题举题固法
求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考) 考向1 构造不等式求最值或范围
[高考解读] 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与方程，均值不等式、导数于一体，重在考查学生的数学建模、数学运算能力和逻辑推理及等价转化能力.
[解](1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， ∵2P→N＝ 3M→N，∴2(x0－x，－y)＝ 3(0，－y0)，即x0＝x，y0＝ 23y，又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4，将x0＝x，y0＝ 23y代入得x42＋y32＝1，即轨迹E的方程为x42＋y32＝1.
设C(p，q)，由2qpp＝＋q21，－2＝0
得p＝q＝2，所以C(2,2)．

高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析

高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第行的各数之和等于22017（） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；当分母的指数为2时，分子为224=；当分母的指数为3时，分子为3327=；据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙【答案】B 【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（） A ．13V abc =B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）【答案】D 【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数．【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数，所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，所以第191个奇数为21911381⨯-=．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.17．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅，其中,,a b c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．13V abc =B．13V Sh =C．1()3V ab bc ca h=++，（h为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（） A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。

高考数学第二轮专题复习数列教案

高考数学第二轮专题复习数列教案二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差〔比〕数列的概念，掌握等差〔比〕数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明〞这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四那么运算法那么、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势〔1〕数列是特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点〔2〕数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

〔3〕加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即〔a3+a5〕2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中表达，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

高考数学考点练习第五章不等式推理与证明算法初步与复数35基本不等式试题文

考点测试35 基本不等式一、基础小题 1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >0且b >0⇒a ＋b2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/ a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0.2．函数f (x )＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x ·1－x＝－2.3．设0<x <2，则函数y ＝x 4－2x 的最大值为( )A ．2B ．22C ． 3D ． 2答案 D解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号．4．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象的最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)答案 D解析 y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x ＝0时取最小值．5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B.6．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 7．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析 ∵xy ≤x ＋y24，x >0，y >0，∴1xy≥4x ＋y2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，∴x ＋y ＋4x ＋y≤5. 设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析设甲乙两地相距为s ，则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b. 由于a <b ，∴1a ＋1b <2a，∴v >a .又1a ＋1b >21ab，∴v <ab .故a <v <ab ，故选A.9．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 1x ＋1y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时等号成立，此时x ，y 值存在，所以1x ＋1y的最小值为9，故选C.10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，存储费用是x8元，总的费用y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80(件)，故选B.11．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5D ．5答案 B 解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋b ab a －b －10ac ＋25c 2＝2a 2＋1ba －b－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a 2＋4a2－10ac ＋25c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.12．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则M 的取值范围是________．答案 [8，＋∞) 解析 M ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二、高考小题13．[2015·福建高考]若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析因为直线x a＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 14．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.15．[2014·重庆高考]若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a >0，b >0，∴a ＝4bb －3，由a >0，得b >3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋4b －3＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b 的最小值为7＋4 3.16．[2014·福建高考]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析设底面的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号) 故该容器的最低总造价是160元．17．[2015·重庆高考]设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3 ≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立．即t 的最大值为3 2.18．[2015·山东高考]定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析由x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy .因为x >0，y >0，所以x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．三、模拟小题19．[2016·兰州一模]在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x＋4e x －2答案 D解析当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号取不到，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x＝2时等号成立，故选D.20．[2017·长春质检]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A ．1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值12C ．a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2，故选C.21．[2017·浙江金丽衢联考]若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．0B ．32C ．1D ．12答案 B解析由题意得f (x )＝2x 2－a x －1＝2x －12＋4x －1＋2－ax －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22x －1·2－ax －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－ax －1，即x ＝1＋2－a 2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6，即a ＝32，故选B. 22．[2016·广州一模]设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得1<p <3，故实数p 的取值范围是(1,3)，故选A.23．[2017·江苏调研]已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．答案 3解析令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2 a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．24．[2016·杭州一模]设x >0，y >0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.答案 12解析 ∵x >0，y >0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2xy，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥24x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y≥4，当且仅当4x y＝16y x，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·湖南浏阳月考]已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.2．[2017·河南驻马店月考]某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．3．[2017·保定月考]某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．[2016·南京质检]为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

高三数学第二轮重点复习内容

高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

高三数学不等式推理与证明训练试题集

高三数学不等式、推理与证明训练试题集一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列符合三段论推理形式的为A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．② C．①②③ D．③解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.答案：C3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.答案：D4．已知ai，bi∈Ri＝1,2,3，…，n，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为A．1 B．2 C．n2 D．2n解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.答案：A5．在下列函数中，最小值是2的是A．y＝x2＋2xB．y＝x＋2x＋1x＞0C．y＝sinx＋1sinx，x∈0，π2D．y＝7x＋7－x解析：A中x的取值未限制，故无最小值．D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为A．－6 B．6 C．－5 D．5解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×－2＝6.答案：B7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是A．2 B．22 C．4 D．5解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.答案：C8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤kx－1－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是A．－∞，－1 B．－1,2C．－∞，－1∪2，＋∞ D．2，＋∞解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．若k＞0，将阴影部分的点如0,0代入y≤kx－1－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝kx－1－1是过定点1，－1的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是11a＜1b； 2a3＞b3；3a2＋1＞b2＋1; 42a＞2b.A．23 B．13 C．34 D．24解析：∵a、b符号不定，故1不正确，3不正确．∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故2正确．∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故4正确.答案：D10．设函数fx＝－3 x＞0，x2＋bx＋c x≤0，若f－4＝f0，f－2＝0，则关于x的不等式fx≤1的解集为A．－∞，－3]∪[－1，＋∞ B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪0，＋∞ D．[－3，＋∞解析：当x≤0时，fx＝x2＋bx＋c且f－4＝f0，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f－2＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，fx＝－2≤1显然成立．故不等式的解集为[－3，－1]∪0，＋∞.答案：C11．若直线2ax＋by－2＝0a＞0，b＞0平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得x－12＋y－22＝11，若2ax＋by－2＝0平分圆，∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，∴2a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝3＋2ba＋ab≥3＋2 2baab＝3＋22，当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.答案：C12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的’距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A．5 km处 B．4 km处C．3 km处 D．2 km处解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝20x ，y2＝0.8xx为仓库到车站的距离，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.答案：A第Ⅱ卷非选择共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是 .解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：9 2114．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an＝a1＋a2＋…＋an－1a1＋1a2＋…＋1an＝a11－qn1－q－1a11－1qn1－1q＝a11－q41－q－q1－qna11－qqn≥0，∴a11－qn1－q≥q1－qna11－qqn.因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.答案：516．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，即yx∈13，2，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.答案：－83，32三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．17．10分在三角形中有下面的性质：1三角形的两边之和大于第三边；2三角形的中位线等于第三边的一半；3三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；4三角形的面积为S＝12a＋b＋crr为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长．请类比出四面体的有关相似性质．解析：1四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；2四面体的中位面过三条棱的中点的面的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]3四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；4四面体的体积为V ＝13S1＋S2＋S3＋S4rr为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积．18．12分已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.解析：b2a＋a2b－a＋b＝b2a－a＋a2b－b＝b＋ab－aa＋a＋ba－bb＝a－ba＋b1b－1a＝1aba－b2a＋b，∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.19．12分为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量x万件与年促销费用tt≥0万元满足x＝4－k2t＋1k 为常数．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分．1将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；2该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：1由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－6＋12x－t＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t＝27－182t＋1－tt≥0．2由1知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时，等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．20．12分设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….1求a1，a2；2猜想数列{Sn}的通项公式．解析：1当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是a1－12－a1a1－1－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得 a2＝16.2由题设Sn－12－anSn－1－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由1得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….21．12分设二次函数fx＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立．1求f1的值；2求fx的解析式；解析：1由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，若[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立，即x≤fx≤x2＋12恒成立，令x＝1得1≤f1≤12＋12＝1，故f1＝1.2由函数零点为－1得f－1＝0，即a－b＋c＝0，又由1知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.又fx－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，因为fx－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，因此ac≥116①于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，得ac≤c＋a22＝116②故ac＝116，且a＝c＝14，故fx的解析式是fx＝14x2＋12x2＋12x＋14.22．12分某少数民族的刺绣有着悠久的，下图1、2、3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求出f5；2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出fn+1与fn的关系，并根据你得到的关系式求fn的表达式．解析：1∵f1=1，f2=5，f3=13，f4=25，∴f5=25+4×4=41.2∵f2-f1=4=4×1，f3-f2=8=4×2，f4-f3=12=4×3，f5-f4=16=4×4，由上式规律得出fn+1-fn=4n.∴fn-fn-1=4n-1，fn-1-fn-2=4n-2，fn-2-fn-3=4n-3，…f2-f1=4×1，∴fn-f1=4[n-1+n-2+…+2+1]=2n-1n，∴fn=2n2-2n+1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2019年春高考数学文二轮专题复习训练专题五数列推理与证明不等式

同解变形为Error!解得：－1＜x≤1，
2
2x＋1
2
1 ∴原不等式的解集为：(－，1]．
2
14．2 方程 x2－5x＋4＝0 的两个根为 1 和 4，等比数列{an}中，
a4a4＝a2a6＝4，a24＝a2a6＝4，又 a4＝a2q2＞0，所以 a4＝2.
3 15．{x|x≥ }
2
1 16．－n ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
D．[－1,2]
6．(导学号：05856077)(2018·四平摸底考试)已知 12＝1,12－22＝－3,12－22＋32
＝6,12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，则 12－22＋32－42＋…＋(－1)10×92 的
值为( )
A．－36 B．36 C．－45 D．45
7．(导学号：05856078)已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋ a 对任意实数 x，y 都成 2x
∞).5 分
(2)f(x)≥1 对任意 x 恒成立，即不等式 x2＋ax＋a－1≥0 对任意 x 恒成立，
即 Δ＝a2－4(a－1)＝(a－2)2≤0，故 a＝2.10 分
18．(1)∵f(x)＝Error!，∴f(x)在(－∞，1)是减函数， 2
1
1
3
在( ，＋∞)是增函数，∴当 x＝时，f(x)取最小值 .6 分
22＋32－42＋…＋(－1)10×92＝(－1)10·99＋1＝45. 2
7．D ∵|y＋4|－|y|≤|y＋4－y|＝4，
a
∴(|y＋4|－|y|)max＝4，要使不等式对任意实数
x，y
都成立，应有
2x＋ ≥4， 2x