河北省唐山市2016届高三上学期摸底考试数学(理)试题(含答案)

唐山市2015—2016学年度高三年级摸底考试理 科 数 学注意事项：一、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．二、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 三、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 四、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求．（1）已知集合M ＝{x|x ＞1}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则∩N ＝ （A ）(－∞，－2] （B ）(－∞，0] （C ）[0，1) （D ）[－2，0] （2）已知（i 为虚数单位），则实数b ＝（A ） （B ）－6 （C ）－2 （D ）2（3）已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，P(X ≤4)＝0.84，则P(X ≤0)＝ （A ）0.16 （B ）0.32 （C ）0.68 （D ）0.84（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）2 （B ） （C ）4 （D ）（5）函数f (x)－cosx （x ∈[0，π]）的单调递减区间是（A ）[0，23π] （B ）[2π ，23π] （C ）[23π，π] （D ）[2π ，56π]（6）x ，y 满足约束条件 目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是（A ）[－3，3] （B ）[－3，2] （C ）[2，＋∞) （D ）[3，＋∞)（7）非零向量a ，b 满足|a|，且(a －b)⊥(2a ＋3b)，则a 与b 夹角的大小为 （A ）3π （B ）4πx －y ≤0， x ＋y －2≥0， 3x －y ＋2≥0，（C ）23π （D ）34π（8）曲线y y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为（A ）512 （B ）1112 （C ）16 （D ）12（9）执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝390，b ＝156，则输出a= （A ）156 （B ）78 （C ）39 （D ）26（10）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ的离心率为 2，则（A ）θ∈(0，2π ) （B ）θ＝2π （C ）θ∈(34π，π) （D ）θ＝34π（11）若函数)(x f ＝e x －ax 2有三个不同零点，则a 的取值范围是（A ）(24e ，＋∞) （B ）(2e ，＋∞)（C ）(1，24e ) （D ）(1，2e)（12）在三棱锥A-BCD 中，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝m ，则m 的取值范围是（A ）(1，5) （B ）(1，7)（C ）7) （D ）5)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）(x ＋2)5的展开式中含x 3的项的系数是____．（用数字作答）（14）若函数101()101x x m f x ⋅+=-为奇函数，则m ＝____．（15）斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为原点，M 是线段AB 的中点，F 为C 的焦点，△OFM 的面积等于2，则k ＝______．（16）△ABC 中，∠A ＝，M 为边BC 的中点，AM ，则2AB ＋AC 的取值范围是________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题 为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 正项等差数列{}n a 满足a 1＝4，且a 2，a 4＋2，2a 7－8成等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令12n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和Tn ．（18）（本小题满分12分）某加油站工作人员根据以往该加油站 的销售情况，绘制了该加油站日销售量的 频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概 率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求未来3天内，连续2天日销量 不低于40吨，另一天日销量低于40吨的 概率；（Ⅱ）用X 表示未来3天内日销售量不低于40吨的天数，求随机变量X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面 ABCD 为等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝12AB ＝2， 且平面PAD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角A －PD －C 的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－，0)，F 2(，0)，且椭圆C 过点P(3，2)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求证：直线PA ，PB 与y 轴围成一个等腰三角形．（21）（本小题满分12分）设f(x)＝lnx＋a(x2－1)－2(x－1)．2（Ⅰ）若a＝0时直线y＝mx＋1与曲线y＝f(x)相切，求m的值；（Ⅱ）已知(x－1)f(x)≥0，求a的取值范围．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE＝3OA，求∠AEBC的大小．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程曲线C的参数方程为22c o s2s i nx ay a=+=（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2cosθ与极轴交于O，D两点．（Ⅰ）分别写出曲线C1的极坐标方程及点D的极坐标；（Ⅱ）射线l：θ＝β(ρ＞0，0＜β＜π)与曲线C1，C2 分别交于点A，B，已知△ABDβ.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式|x－3|＋|x－5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＝max{1a，22a btb+}，求证：c≥1．注：maxA 表示数集A 中的最大数．唐山市2015—2016学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：BCADC CDABB AD二、填空题： （13）40（14）1（15） 12（16）(23，43)三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设数列{a n }公差为d （d ＞0），由已知得：a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2， 化简得：d 2＋4d －12＝0，解得：d ＝2或d ＝－6（舍）， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2． …5分（Ⅱ）因为S n ＝n (a 1＋a n ) 2＝n (2n ＋6)2＝n 2＋3n ，所以b n ＝ 1 S n ＋2＝ 1 n 2＋3n ＋2＝ 1 (n ＋1)(n ＋2)＝ 1 n ＋1－ 1n ＋2，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝( 1 2－ 1 3)＋( 1 3－ 1 4)＋( 1 4－ 1 5)＋…＋( 1 n ＋1－ 1 n ＋2)＝ 1 2－ 1 n ＋2＝ n2n ＋4． …12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于40吨的频率为： 10×(0.025＋0.015)＝0.4，记未来3天内，第i 天日销售量不低于40吨为事件A i （i ＝1，2，3），则P (A i )＝0.4，未来3天内，连续2天日销量不低于40吨，另一天日销量低于40吨包含两个互斥事件A 1A 2－A 3和－A 1A 2A 3，则：P (A 1A 2－A 3∪－A 1A 2A 3)＝P (A 1A 2－A 3)＋P (－A 1A 2A 3)＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …6分（Ⅱ）X 可能的取值为0，1，2，3，相应的概率分别为： P (X ＝0)＝(1－0.4)3＝0.216，P (X ＝1)＝C 13×0.4×(1－0.4)2＝0.432， P (X ＝2)＝C 23×0.42×(1－0.4)＝0.288， P (X ＝3)＝0.43＝0.064， X 的分布列为…12分（19）解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，则DE ∥BC ，且DE ＝BC ．故DE ＝ 12AB ，即点D 在以AB 为直径的圆上，所以BD ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊆平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ． …5分 （Ⅱ）取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，连接OE ，则OE ∥BD ，∴OE ⊥AD ． 以O 为原点，分别以OA ，OE ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得OE ＝ 12BD ＝3，则A (1，0，0)，D (－1，0，0)，E (0，3，0)，P (0，0，3)，DC →＝AE →＝(－1，3，0)，DP →＝(1，0，3)．取平面P AD 的一个法向量为n ＝(0，1，0)， 设平面PDC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由DC →·m ＝0，DP →·m ＝0得：⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，x ＋3z ＝0，令y ＝1，得m ＝(3，1，－1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝ m ·n |m ||n |＝ 5 5，因为二面角A －PD －C 的平面角为钝角， 所以二面角A －PD －C 的余弦值为－55． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝10，9a 2＋4b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝18，b 2＝8．故椭圆C 的方程为x 218＋y 28＝1．…5分（Ⅱ）直线OP 方程为2x －3y ＝0，设直线AB 方程为2x －3y ＋t ＝0（t ∈R ，且t ≠0）．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得8x 2＋4tx ＋t 2－72＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当Δ＝16t 2－32(t 2－72)＝16(144－t 2)＞0，即0＜|t |＜12时，有x 1＋x 2＝－ t2，x 1x 2＝t 2－728． ①所以zk P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－3＋y 2－2x 2－3＝2x 1＋t －6 3(x 1－3)＋2x 2＋t －6 3(x 2－3)＝4x 1x 2＋(t －12)(x 1＋x 2)－6(t －6)3(x 1－3)(x 2－3)． 将①代入上式得k P A ＋k PB ＝0．故直线P A ，PB 与y 轴围成一个等腰三角形． …12分 （21）解：（Ⅰ）当a ＝0时，f (x )＝ln x －2(x －1)，f '(x )＝ 1x－2．设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0－2(x 0－1)， 1 x 0－2＝y 0－1x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝0．直线y ＝mx ＋1过点(1，0)，解得m ＝－1． …5分（Ⅱ）f '(x )＝ 1x＋2ax －2．（ⅰ）若a ＞0，则f '(x )＝ 1 x ＋2ax －2≥2(2a －1)，当且仅当x ＝12a时等号成立．当a ≥ 12时，f '(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)单调递增．又f (1)＝0，所以当x ∈(0，1)时，f (x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0． 于是有(x －1)f (x )≥0．当0＜a ＜ 12，记x 1＝ 1＋1－2a 2a，则x 1＞1，当x ∈(1，x 1)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，x 1)单调递减，此时f (x )＜0，即(x －1)f (x )＜0．（ⅱ）若a ＝0，则当x ∈( 1 2，1)时，f '(x )＜0，f (x )在( 12，1)单调递减，此时f (x )＞f (1)＝0，即(x －1)f (x )＜0．（ⅲ）若a ＜0，记x 2＝ 1－1－2a2a ，则0＜x 2＜1．当x ∈(x 2，1)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(x 2，1)单调递减， 此时f (x )＞f (1)＝0，即(x －1)f (x )＜0．综上，a 取值范围是[ 12，＋∞)． …12分（22）解： （Ⅰ）连BD ，与OC 交于点F ，因为AB 为圆O 的直径，所以AD ⊥BD ， 又AD ∥OC ，故OC ⊥BD ，且BF ＝DF ， 所以CD ＝CB ，连OD ，则△OCD ≌△OCB ，由CB ⊥OB 得CD ⊥OD ，CD 是圆O 的切线． …5分（Ⅱ）设OA =1，AD ＝x ，则AB ＝2，AE ＝x ＋3， 由AB 2＝AD •AE ，即x (x ＋3)＝4得，x ＝1． 则∠OAD ＝60°，∠AEB ＝30°． …10分 （23）解：（Ⅰ）曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 将其化为极坐标方程为ρ＝4cos θ．A B DO EC F在曲线C 2的极坐标方程中，令θ＝0，得其极坐标为D (2，0)． …4分 （Ⅱ）不妨设A (ρA ，β)，B (ρB ，β)，则|AB |＝|ρA －ρB |＝ρB ＝2cos β，由△ABD 的面积S ＝ 1 2|AB |•|OD |sin β＝sin 2β＝32，解得β＝ π 6或 π3． …10分（24）解：（Ⅰ）因为|x －3|＋|x －5|≥|(x －3)－(x －5)|＝2， 当3≤x ≤5时取等号， 故m ≥2，即t ＝2．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知c ＝max {1a ，a 2＋b 22b}．则c 2≥ 1 a •a 2＋b 22b ＝a 2＋b 22ab≥1，等号当且仅当 1a ＝a 2＋b 22b＝1，即a ＝b ＝1时成立．因为c ＞0，所以c ≥1． …10分。