最优化教案(对偶理论及灵敏性分析)

第5章对偶原理及灵敏度分析§5.1线性规划中的对偶理论一、实际问题的提出：实际问题：甲工厂生产ⅠⅡ两种产品，这两种产品都要在A,B,C三种不同的设备上加工，按工艺资料规定：已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12h，16h，15h。

又知道企业生产一件Ⅰ产品获利2元，生产一件Ⅱ产品获利3元。

问企业甲应如何安排生产这两种产品，能使总的利润收入最大？目标函数： max Z=2x1+3x2约束： S.t. 2x1 +2x2 ≤12 (a)4x1≤16 (b) (LP1)5x2≤15 (c)x1,x2≥0最优解(x1,x2)=(3,3) 现假设有乙工厂为扩大生产想租借甲工厂拥有的设备资源，问甲工厂分别以什么样的价格才愿意出租自己的设备？设：A,B,C三种设备每小时出租价格分别为ω1，ω2，ω3，元。

一般出租设备的条件是租金收入不低于自己组织生产时的获利收入。

所以有2ω1+4ω2 ≥22ω1+ 5ω3≥3出租拥有的全部设备的总收入为12ω1+16ω2+15ω3对乙工厂来讲希望在满足上述两条件下，使支付的总的租金最少，因而可以建立另一个线型规划模型：min 12ω1+16ω2+15ω32ω1+4ω2 ≥22ω1+ 5ω3≥3 (LP2)ω1,ω2 ,ω3≥0最优解(ω1,ω2 ,ω3)=(1,0,1/5) 这是同样资源从不同角度考虑问题所得到的两个线性规划问题，（LP1)称为原问题，(LP2)就称为它的对偶问题。

二、数学角度对（LP1)，每给出一个可行解，就给出了（LP1)问题的一个下界，如x(1)=(3,0)T, Z=6x(2)=(0,3)T, Z=9我们想寻求（LP1)的上界1/2（a）+1/4(b)+1(c)得到： 2x1 +6x2 ≤25而 2x1 +3x2 ≤2x1 +6x2 ≤25即25是（LP1)的一个上界。

怎样选择系数，找到（LP1)的上确界呢？设系数分别为ω1,ω2 ,ω3满足：ω1（a）+ω2 (b)+ω3（c）≤12ω1+16ω2+15ω3整理，得：（2ω1+4ω2）x1+（2ω1+ 5ω3）x2≤12ω1+16ω2+15ω3为了求目标函数的上界，要求满足2ω1+4ω2 ≥22ω1+ 5ω3≥3为求上确界，要求min 12ω1+16ω2+15ω3这引出了另一个问题(LP2) min Z=12ω1+16ω2+15ω3S.t 2ω1+4ω2 ≥22ω1+ 5ω3≥3ω1,ω2 ,ω3≥0与前面一样出现了原/对偶的成对的线型规划问题。

总结前面的例题我们得到原问题： max f=∑c j x jS.t. ∑ a ij x j ≤b i i=1…mX j≥0 j=1…n对偶问题：(LP2) min Z=∑b iωiS.t ∑a ijωi≥c j j=1…nωi≥0 i=1…m矩阵形式：max cX min bωs.t.AX≤b s.t. A Tω≥cX≥0 ω≥0对偶问题的对偶是原问题。

将(LP2)写成(LP1)的形式，有max ∑-b iωiS.t. ∑ -a ijωi ≤-c j j=1…nωi≥0 i=1…m写出它的对偶形式：min ∑- c j x jS.t ∑-a ij x j≥-b i i=1…mX j≥0 j=1…n即为： max ∑c j x jS.t. ∑ a ij x j ≤b i i=1…mX j ≥0 j=1…n三对偶问题的一般形式线形规划中的对偶可以概括为三种形式：1. 对称形式的对偶对称形式的对偶定义如下：原问题： min cxt s . Ax ≥b （5.1.1） x ≥0对偶问题：max wbt s . wA ≤C （5.1.2） w ≥0根据对称对偶的定义，原问题中约束条件x A i ≥i b 的个数，恰好等于对偶变量的个数；原问题中变量的个数，恰好等于对偶问题中约束条件j wp ≤i c 的个数。

按照上述定义，很容易写出一个线性规划问题的对偶问题。

例5.1.1 设原问题是：min 21x x -t s . 21x x +≥5212x x -≥121,x x ≥0那么，上述问题的对偶问题是：max 215w w +t s . 21w w +≤1212w w -≤-121,w w ≥02.非对称形式的对偶考虑具有等式约束的线性规划问题：min cxt s . b Ax = （5.1.3）x ≥0为了利用对称对偶的定义给出（5.1.3）的对偶问题，先把（5.1.3）写成等价形式：mincxt s . Ax ≥b Ax -≥b -x ≥0 即min cxt s . x A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b （5.1.4）设对偶变量为u ，v根据对称对偶的定义，（5.1.4）的对偶问题是： maxvb ub -t s . vA uA -≤c v u ,≥0 令v u w -=，显然w 没有非负限制，于是得到：maxwb t s .wA ≤c （5.1.5） 定义（5.1.5）为（5.1.3）的对偶问题。

（5.1.3）和（5.1.5）构成的对偶与称对偶不同，前者原问题中有m 个等式约束，而且对偶问题中的m 个变量无正负号限制，它们称为非对称对偶。

例5.1.2 给定原问题：min 321345x x x ++t s . 4321=++x x x523321=++x x x321,,x x x ≥0它的对偶问题是：max 2154w w +t s . 213w w +≤5212w w +≤4 21w w +≤33.一般情形实际中有许多线性规划问题同时含有“≥”，“≤”及“=”型几种约束条件。

下面定义这类线性规划问题的对偶问题。

设原问题是：min cx t s . x A 1≥1bx A 2=2b （5.1.6） x A 3≤3b x ≥0其中，1A 是n m ⨯1 矩阵，2A 是n m ⨯2矩阵，3A 是n m ⨯3矩阵，1b ，2b 和3b 分别是1m 维，2m 和 3m 维列向量，c 是n 维列向量，x 是n 维列向量。

现在，我们利用非对称对偶的表达式（5.1.3）和（5.1.5）给出（5.1.6）的对偶问题。

为此先引入松弛变量，把（5.1.6）写成等价形式： min cxt s . 31x x A - =1bx A 2 =2bx A 3 t x +=3b t x x x ,,3≥0其中3x 是由1m 个松弛变量组成的1m 维列向量，t x 是由3m 个松弛变量组成的3m 维列向量。

上述问题min t x x cx ⋅+⋅+003t s .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-3213332110000b b b x x x I A A I A t m m （5.1.7） 按照非对称对偶的定义，（5.1.7）的对偶问题是： max332211b w b w b w ++ t s .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-332113210000),,(m m I A A I A w w w ≤[]0,0,c即max332211b w b w b w ++t s . 332211A w A w A w ++≤c （5.1.8）1w ≥03w ≤02w 无限制其中1w ，2w ，和3w 分别是由变量组成的1m 维，2m 维，和3m 维行向量。

定义（5.1.8）为（5.1.6）的对偶问题。

由（5.1.8）可知，原问题中的约束x A 1≥1b 所对应的对偶变量1w 有非负限制，x A 2≥2b 所对应的对偶变量2w 无正负限制，x A 3≤3b 所对应的对偶变量3w 有非正限制。

根据以上分析，我们可以总结出构成对偶规划的一般规则例max321xxx++-t s.3212xxx++≤253212xxx-+-≥ 2（5.1.9）321x x x +-=321,x x ≥0min 3213225w w w ++t s . 321w w w +-≥-13212w w w -+≥13212w w w +-=11w ≥0，2w ≤05.1.2 对偶定理下面研究对偶的基本性质。

由于不同形式的对偶可以互相转化，因此我们仅叙述并证明关于对称对偶的几个重要定理，其结论对于其他形式的对偶仍成立。

原问题：min cxt s . Ax ≥b （5.1.1）x ≥0对偶问题：max wbt s . wA ≤C （5.1.2）w ≥0定理 5.1.1 设)0(x和)0(w分别是（5.1.1）和（5.1.2）的可行解，则)0(cx ≥b w )0(。

证明：利用对偶定义很容易得出定理的结论。

由于)0(Ax≥b 和)0(w ≥0，则有)0()0(Ax w≥b w )0( （5.1.10）由于c ≥A w )0(和)0(x ≥0，则有)0(cx≥)0()0(Axw（5.1.11）由（5.1.10）和（5.1.11）即知)0(cx≥b w )0( 证毕上述定理表明，就原问题和对偶问题的可行解而言，对于对偶中的两个问题，每一个问题的任何一个可行解处的目标函数值都给出另一个问题的目标函数值的界。

极小化问题给出极大化问题的目标函数值的上界；极大化问题给出极小化问题的目标函数值的下界。

推论1 若)0(x和)0(w分别是（5.1.1）和（5.1.2）的可行解，且)0(cx =b w )0(，则)0(x 和)0(w 分别是（5.1.1）和（5.1.2）的最优解。

推论2 对偶规划（5.1.1）和（5.1.2）有最优解的充要条件是它们同时有可行解。

推论3 若（5.1.1）的目标函数值在可行域上无下界，则（5.1.2）无可行解；反之，若（5.1.2）的目标函数值在可行域上无上界，则（5.1.1）无可行解。

定理5.1.2 设（5.1.1）和（5.1.2）中有一个问题存在最优解，则另一个问题也存在最优解，且两个问题的目标函数的最优值相等。

证明 (看黑板)设（5.1.1）存在最优解。

引进松弛变量，把（5.1.1）写成等价形式： min cxt s . b v Ax =- （5.1.12） x ≥0 v ≥0由于（5.1.12）存在最优解，因此能够用单纯形方法（包括使用能避免循环发生的摄动法）求出它的一个最优基本可行解，不妨设这个最优解是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)0()0()0(v x y相应的最优基是B 。

这时所有判别数均非正，即j j c p w -)0(≥0 j ∀ （5.1.13） 其中1)0(-=B c wB ，B c 是目标函数中基变量（包括松弛变量中的基变量）的系数组成的向量。

考虑所有原来变量（不包括松弛变量）在基B 下的判别数，把它们所满足的条件（5.1.13）用矩阵形式同时写出，得到 c A w -)0(≤0即A w )0(≤c （5.1.14）把所有松弛变量在基B 下对应的判别数所满足的条件（5.1.13）用矩阵形式表示，得到 )()0(I w - ≤0即)0(w≥0 （5.1.15）由（5.1.14）和（5.1.15）可知，)0(w 是（5.1.2）的可行解。