2016届高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文 新人教版
高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
【解】 (1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所 以DE∥BC. 因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB. (2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F. 因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE， 所以A1F⊥BE.
l⊂β
l⊥α 交线
α⊥β
l⊂β
α∩β＝
【调研3】
(2015· 新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为
Hale Waihona Puke 菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120° ，AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为 6 ，求该三棱锥的侧面积． 3
【解】 (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以 AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
突破考点01
高考真题演练 突破考点02 课时作业 突破考点03
突破考点 01
线面垂直的判定与性质
（高频考点型——多维探究）
直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的________一条直线都垂 直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条________直 线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂 直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒________. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ________．即：a⊥α，b⊥α⇒________.
有关线面垂直中的探索性问题
【调研2】
(2012· 北京卷)如图(1)，在Rt△ABC中，
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课件
1．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 解析：A中平面可与α平行或相交，不正确。 B中直线可与α垂直或斜交，不正确。 C中平面可与直线l平行或相交，不正确。 答案：D
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(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 ABCD？并证明你的结论。
解析：(3)存在点N为SC的中点， 使得平面DMN⊥平面ABCD。 连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO， 因为PD∥CM， 且PD＝CM， 所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO。 又因为N为SC的中点，所以NO∥SP。 易知SP⊥AD， 因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝ AD，且SP⊥AD， 所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD。 又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD。
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(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC。
证明： (2)方法一：若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ∴SD⊥BD， ∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥面SAC。 方法二：若AB＝BC，则BD⊥AC。由(1)知SD⊥平面ABC，又SD⊂平面SAC， ∴平面ABC⊥平面SAC， 又平面ABC∩平面SAC＝AC。 ∴BD⊥平面SAC。
条直线和这个平面所成的角。如图， □10 ____∠__P_A_O______就是斜线AP与平面α所成的
□ 角。 (2)线面角θ的范围：θ∈
11
___0_，__π2_ _____。
(全国版)高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及性质课件
解 (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)如图，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E. 由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，AB⊥AD， 可得 PE⊥平面 ABCD.
∵CG⊥平面 ABC，∴VG－ABC＝13S△ABC×CG＝43. 由(1)知 AB⊥BG，CG＝2＝BC， BG＝ BC2＋CG2＝ 22＋22＝2 2， ∴S△ABG＝12AB×BG＝2 2. 设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ∴VC－ABG＝13S△ABG·h＝23 2h＝VG－ABC＝34， ∴h＝ 2. 即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.
2．[2018·浙江模拟]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
解析 对于选项 A，B，D，均能举出 m⊥α 的反例； 对于选项 C，若 m⊥β，n⊥β，则 m∥n，又 n⊥α，∴m⊥α. 故选 C.
所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF∥BC1. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，EF⊄平面 BB1C1C， 所以 EF∥平面 BB1C1C.
(2)在矩形 BCC1B1，BC＝ 2BB1， 所以 tan∠CBC1＝ 22，tan∠B1MB＝ 2. 所以 tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以 BC1⊥B1M. 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥B1M. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC⊥平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，AB＝AC，所以 AM⊥BC. 因为平面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC，
2016版高考数学大一轮复习课件：第7章-第5节直线、平面垂直的判定及其性质
又因为 BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
课
核
时
心 考
所以 BE∥平面 PAD.
限 时
向
检
测
菜单
第二十五页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
(3)因为 AB⊥AD，而且四边形 ABED 为平行四边形，
所以 BE⊥CD，AD⊥CD.
基 础
由(1)知 PA⊥底面 ABCD，
方 法 技 巧
核 心 考 向
菜单
课 时 限 时 检 测
第二十四页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
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基
础 知
(2)因为 AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，
识
点
所以 AB∥DE，且 AB＝DE.
方 法 技 巧
所以四边形 ABED 为平行四边形．
所以 BE∥AD.
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基 础 知 识 点
6．(2014·浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是 两个不同的平面( )
方 法 技 巧
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α
B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α
C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α
核
D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
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基 础 知 识 点
规律方法 1 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1) 判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)
方 法 技 巧
面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．
高考数学大一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
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1．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线都垂直⇒a⊥α；
(2)判定定理 1： ml⊥、mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的 垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
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热点命题·突破 02
考点突破 解码命题
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直线与平面垂直的判定与性质 【例 1】 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点．
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C 中，因为 CF∥AB，AB⊂平面 PAB，CF⊄平面 PAB， 所以 CF∥平面 PAB； 而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D.
答案：D
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5．如图，在三棱锥 D—ABC 中，若 AB＝CB，AD＝ CD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的有________(填 序号)．
“×”)
(1) 直 线 l 与 平 面 α 内 的 无 数 条 直 线 都 垂 直 ， 则
l⊥α.( )
(2)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂
直．( )
(3)直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
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2．(2014·辽宁卷)已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示 平面，下列说法正确的是( )
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高考一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质
第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，_b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a∩b＝P ⇒l ⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行__.即：a ⊥α，b ⊥α⇒_a ∥b__. (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_π2__.②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒_α⊥β__. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒_a ⊥β__.重要结论1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是( ABC )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析] 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] ∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析] 由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.[证明] ∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ，②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②③④(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是( ABD )A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n[解析] (1)由题知q 能推出p ：m ⊥n.对A ，当m ∥n 时仍然可以有m ⊥α，n ∥β，α⊥β.故A 错误．对B ，n ⊥β，α∥β，则n ⊥α，又m ⊂α，则m ⊥n.故B 正确．对C ，m ⊥α，α∥β则m ⊥β，又n ⊥β，故m ∥n.故C 错误．对D ，当α⊥β且相交于m 时，若n ∥m ，也满足m ⊂α，n ∥β.故D 错误．⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选A 、B 、D ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析] (1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的，或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥αm ⊥n⇒n ⊂α或n ∥α.若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明] 解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA∩AB＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM. ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC∩CD＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a ，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2， (1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b)，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a，b ，－b)＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明] ∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°. ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1， ∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ． ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ．∵B 1C 1∩C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ．∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥B 1D ．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a ⊥b ⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ．∠ADC ＝60°，若AA 1＝AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝2 3.求证：AG ⊥BD ．[证明] (1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz.不妨设CD ＝1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0.∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP.①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD∩AP＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,23，0)，B(2,0,0)，D(0,23，23)，G(0，3，3)， ∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)， ∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三 两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析] (1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF.所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE. 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1. 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23， 底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝12 3.例5 (2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析] (1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE∩AD＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152， 在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32， 由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155.名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PE EC ＝_12__.(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱锥P －ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．证明：平面PAC ⊥平面ABC ．[解析] (1)取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连接EF ，∵△PAD 是等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵OD ∥BC ，BC ＝2OD ，∴FC ＝2OF. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面BDE ⊥平面ABCD ，∴PO ∥平面BDE. ∴OP ∥EF ，∴PE EC ＝OF FC ＝12.故答案为：12.(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO.由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021·山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ABD )A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析] A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线__.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线__.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析] 由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。
高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件
所以 V P B D F V P B C D － V F B C D 2 － 1 4 7 4 .
完整版ppt
30
【通关锦囊】
重点题型
破解策略
证明线面 垂直
①利用线面垂直的判定定理;②利用“两平行 线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平 面垂直”;③利用“一条直线垂直于两个平行 平面中的一个,则与另一个也垂直”;④利用面 面垂直的性质定理
所以∠D′FE是D′F与平面ABCM所成角.
因为∠D′EF= , 且∠D′FE= ,
3
3
所以△D′EF是等边三角形完,整版ppt
37
因为D′E=EF即DE=EF,所以△DAF是等腰直角三角形,
⑤若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于
另一个平面.
其中正确的是( )
A.①②⑤ B.②③⑤ 完整版C.pp①t ③④ D.①
8
【解析】选D.①正确.否则两个平面应平行. ②错误.当该点是交线上的点时,l与β不一定垂直. ③错误.异面直线所成角的范围是 ( 0 ，而 ] 二, 面角的范围是[0,π].
3
3
求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值.
完整版ppt
36
【解析】(1)因为AM⊥D′E,AM⊥EF,
又因为D′E,EF是平面D′EF内两条相交直线,
所以AM⊥平面D′EF,所以AM⊥D′F.
(2)由(1)知AM⊥平面D′EF,
所以平面D′EF⊥平面ABCM,且∠D′EF= ,
3
所以过D′作平面ABCM的垂线,垂足H必在EF上,
求体积 问题
高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
2．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
解析：由题意知，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故 A不正确；垂直于直线l的直线若在β内，则一定垂直于平面α，否则 不一定，B不成立；垂直于平面β的平面一定平行于直线l或垂直于直 线l，故C不正确；由平面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一 定与α，β都垂直，故D成立．
第七章 立体几何
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
• [考情展望] 1.本节从内容上考查线线垂直、线面垂直、
面面垂直的判定与应用问题.2.从能力上考查空间想象能力、 逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力.3.从题型上 主要以正方体、长方体、棱柱、棱锥等多面体为载体，利用 填空题或解答题的形式进行考查，试题难度一般都是中档难 度，也有少部分试题为中等偏上难度．
证直线和 平面垂直
a⊥α
证两条直
b⊂α⇒a⊥b 线垂直
ab⊥⊥αα⇒a∥b
证两条直 线平行
一条 另一条 任意一条直线 平面
2．直线与平面所成的角 (1)定义． 平面的一条斜线和它在平面上的 ________所成的________，叫做这条直线和 这个平面所成的角．如图所示，∠PAO就是 斜线PA和平面α所成的角． (2)一条直线垂直于平面，则它们所成的角是________；一条直 线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是________的角． (3)直线和平面所成的角的范围是0，π2. (1)射影 锐角 (2)直角 0°
3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的
(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ，则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝
________. [ 解析]
如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，
BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90° .设正方形边 2 长为 1，则 DO＝BO＝ 2 ，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60° .
(2)线面角 θ
3．平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念：
①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面． 如图，记作：二面角 α － l － β 或二面角 α － AB － β 或二面角 P －
AB－Q.
②二面角的平面角．在二面角 α － l － β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2．直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角． 如图，
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． _______
π 0， . 2 的范围：______.
2016届高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文 新人教版
图 7-5-6
a
36
(1)证明：AC⊥平面 BCDE； (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值．
A．若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n B．若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α⊥β D．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β
a
24
(2)(2014·江苏高考) 如图 7-5-4，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC， AC，AB 的中点．已知 PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
∴GE 綊 DF.
∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. ∴EF⊥平面 PAB.
a
17
1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合 理转化是证明线面垂直的基本思想．
a
18
2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰 三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩 形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直 角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等 等．
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
a
5
【解析】 A 中，由 m⊥n，n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误；
2016届高考数学(文)大一轮复习课件：第7章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
(二)小题查验
1．判断正误 (1)已知直线 a，b，c：若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c (2)直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直，则 l⊥α
(× ) (×)
(3)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，若
m∥n，m⊥α，则 n⊥α
(√ )
(4)设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面，若 α⊥β，l∥α，则
×1＋12×12× 23＝583. 所以四棱锥 P-ABMO 的体积
VP-ABMO＝13·S 四边形 ABMO·PO＝13×5 8 3× 23＝156.
第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十九分。
[类题通法] 证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理； (2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； (4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直 于另一个平面．
第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十九分。
[提醒] 一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂 直，则该直线与此平面不一定垂直，也有可能直线在平面内或 平行于该平面，所以“相交”这一条件不可忽略．
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十九分。
[典题例析] (2014·重 庆 高 考 ) 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中，底面是以 O 为中心的 菱形，PO⊥底面 ABCD，AB＝2， ∠BAD＝π3，M 为 BC 上一点，且 BM＝12. (1)证明：BC⊥平面 POM； (2)若 MP⊥AP，求四棱锥 P-ABMO 的体积．
或在平面 α 内，故选 C.
第 α，β 分别为两个不同的平面，直线 l⊂α，
则“l⊥β”是“α⊥β”成立的
2016届新课标数学一轮复习课件 第七章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
第七章 立体几何
[做一做]
3.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a 与 平
面M垂直”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无
数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可
以，所以应该是必要不充分条件．
第七章 立体几何
栏目 第四十一页，编辑于星期五：十九点导七引分。
第七章 立体几何
栏目 第四十二页，编辑于星期五：十九点导七引分。
第七章 立体几何
[规律方法] 对于翻折问题，应明确:在同一个平面上的性质 不发生变化,不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决 这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系 和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．
第七章 立体几何
[规律方法] 判定线面垂直的四种方法： (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个 平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．
栏目 第二十页，编辑于星期五：十九点 导七分引。
图形语言
符号语言
栏目 第二页，编辑于星期五：十九点 七导分。引
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
判 一个平面过另一
定 个平面的__垂__线__,
定 则这两个平面互
理 相垂直
两个平面互相垂 性
直，则一个平面 质
内垂直于__交_线__的 定
直线垂直于另一 理
个平面
第七章 立体几何
高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第五节 直线、平
第五节直线、平面垂直的判定与性质☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：}a⊥αb⊥α⇒a∥b}l⊂βl⊥α⇒α⊥β微点提醒1．在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等。
2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”。
3．判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况。
小|题|快|练一、走进教材1．(必修2P73A组T1改编)下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ【解析】根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内。
故选A。
【答案】 A2．(必修2P 69练习题)如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S —EFG 中必有( )A ．SG ⊥平面EFGB ．SD⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．GD ⊥平面SEF【解析】 解法一：在正方形SG 1G 2G 3中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，在四面体SEFG 中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，所以SG ⊥平面EFG 。
故选A 。
解法二：GF 即G 3F 不垂直于SF ，所以可以排除C ；在△GSD 中，GS ＝a (正方形边长)，GD ＝24a ，SD ＝324a ，所以SG 2≠SD 2＋GD 2，∠SDG ≠90°，从而排除B 和D 。
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第七章第5讲直线、平面垂直的判定与性质
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈[0，π2]．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ．②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．[做一做]1．已知直线a ⊥平面α，b ∥α，则a 与b 的位置关系是( )A．平行B．垂直C．异面D．以上都有可能答案：B2. 如图，O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D.由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.1．辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交．(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解．2．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[做一做]3．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．4．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直解析：选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD .又BD ∩CD ＝D ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .,[学生用书P 132～P 134])考点一__线面垂直的判定与性质(高频考点)_______直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直； (2)证明线线垂直； (3)求体积问题．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积．[解] (1)证明：如图，因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以 PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ， 所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF . 又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ， 所以CF ⊥平面DMF .(2)因为PD ⊥DC ，PC ＝2，CD ＝1，∴∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V MCDE＝13MD·S△CDE＝13×62×38＝216.[规律方法]判定线面垂直的四种方法：(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．1.(1)(2015·大庆市第二次质检) 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离．(2) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面P AD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△P AD中AD边上的高．①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.解：(1)①证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.②设点A到平面PBC的距离为h，∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，连接AC(图略)，∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝12AB·BC＝1，∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，∴V PABC＝13S△ABC·PD＝13，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝2，∵PC⊥BC，BC＝1，∴S △PBC ＝12PC ·BC ＝22，∵V A PBC ＝V P ABC ，∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2， ∴点A 到平面PBC 的距离为 2.(2)证明：①因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PH ⊥平面ABCD .②证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB . 因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .考点二__面面垂直的判定和性质______________(2014·高考江苏卷) 如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .[证明] (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .[规律方法] 判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2. 如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．求证：(1)EF ∥平面A 1CD ；(2)平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1. 证明：(1) 如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ，且DE ∥AC .又F 为A 1C 1的中点，所以A 1F ＝12A 1C 1＝12AC ，且A 1F ∥AC ，所以A 1F＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形， 所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD . (2)由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点， 故CD ⊥AB ，又侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ，又AA 1∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1， 而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.考点三__垂直关系的综合应用________________(2014·高考北京卷)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E -ABC 的体积． [解] (1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.[规律方法] 垂直关系综合题的解法(1)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行综合问题．求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合的问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．3. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长等于2，求三棱锥C -B 1ED 的体积；(2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD .解：(1)根据已知，点B 1到平面CDE 的距离等于2，△CDE 的面积等于2，∴三棱锥B 1CDE的体积等于43.∵VC B 1ED ＝VB 1CDE ，∴VC B 1ED ＝43，即三棱锥C -B 1ED 的体积等于43.(2)证明：设B 1D 的中点为M ，连接ME ，MC .设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则ED ＝5a ， B 1E ＝5a ，∴ED ＝B 1E ， ∴ME ⊥B 1D ，ME ＝ DE 2－B 1D 24＝ 5a 2－12a 24＝2a .由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，得CD ⊥平面BCC 1B 1，CB 1⊂平面BCC 1B 1， ∴CD ⊥CB 1，∴MC ＝12B 1D ＝3a .∵ME 2＋MC 2＝5a 2＝EC 2，∴ME ⊥MC .又∵B 1D ⊂平面B 1CD ，MC ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩MC ＝M ， ∴ME ⊥平面B 1CD . ∵ME ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD .考点四__平面图形的翻折问题__________________如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图2所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF ； (2)求证：BD ⊥A 1F ；(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？并说明理由． [解] (1)证明：因为D ，M 分别为AC ，FC 的中点，所以DM ∥EF ， 又EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， 所以DM ∥平面A 1EF .(2)证明：因为A 1E ⊥BD ，EF ⊥BD 且A 1E ∩EF ＝E ， 所以BD ⊥平面A 1EF .又A 1F ⊂平面A 1EF ， 所以BD ⊥A 1F .(3)直线A 1B 与直线CD 不能垂直．因为平面A 1BD ⊥平面BCD ，平面A 1BD ∩平面BCD ＝BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面BCD ， 所以EF ⊥平面A 1BD .因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以A 1B ⊥EF ， 又因为EF ∥DM ，所以A 1B ⊥DM . 假设A 1B ⊥CD ， 因为CD ∩DM ＝D ， 所以A 1B ⊥平面BCD ， 所以A 1B ⊥BD ，这与∠A 1BD 为锐角矛盾，所以直线A 1B 与直线CD 不能垂直．[规律方法] 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．4.(2015·湖北武汉市调研)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A -BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ；(2)若三棱锥A -BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AO ，BD ⊥CO . 折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC . ∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面AOC ⊥平面BCD .(2)由(1)知BD ⊥平面AOC ，∴V A BCD ＝13S △AOC ·BD .又V A BCD ＝63，∴13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD ＝63， 即13×12×2×2×sin ∠AOC × 22＝63， ∴sin ∠AOC ＝32.∵∠AOC是钝角，∴∠AOC＝120°.在△AOC中，由余弦定理，得AC2＝OA2＋OC2－2·OA·OC·cos∠AOC＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6，∴AC＝ 6.,[学生用书P134])考题溯源——空间线面垂直关系的证明(2013·高考湖南卷)如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD ＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．[解](1)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D.而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．连接A1D.因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故ABDA＝BCAB，即AB＝DA·BC＝ 3.连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB21＋BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝21.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝ADB1D＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sinθ＝217.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为21 7.[考题溯源]本考题由教材人教A版必修2 P66探究“如图，直四棱柱A′B′C′D′ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，A ′C ⊥B ′D ′？”改编而成．如图，在直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1 到平面EA 1C 1 的距离．解：(1)证明：过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD ，得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)连接B 1E ，则三棱锥E -A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23，故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ， 则三棱锥B 1EA 1C 1的体积V ＝13·d ·S △EA 1C 1＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105.1．(2015·河南郑州市质量检测)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．2．(2015·黑龙江齐齐哈尔模拟)在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析：选A.A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为 2.3．(2014·高考浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．() A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：选C.A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．4. (2015·衡阳联考)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部解析：选A.连接AC1(图略)，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.5. 如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：选C.要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.6. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB7．设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)8. 如图，P A垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号为________．解析：因为P A垂直于圆O所在的平面，所以P A⊥平面ABC，即P A⊥BC，又因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以BC⊥平面P AC，又AF⊂平面P AC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB.又因为AE⊥PB，所以PB⊥平面AEF，即PB⊥EF.答案：①②③ 9．(2015·忻州市第一次联考) 已知四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，顶点S 在底面ABCD 上的射影为其中心O ，高为3，设E 、F 分别为AB 、SC 的中点，且SE ＝2，M 为CD 边上的点．(1)求证：EF ∥平面SAD ；(2)试确定点M 的位置，使得平面EFM ⊥底面ABCD . 解：(1)证明：取SB 的中点P ，连接PF ，PE (图略)． ∵F 为SC 的中点，∴PF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形， ∴BC ∥AD ，即PF ∥AD ，又PE ∥SA ，∴平面PFE ∥平面SAD . ∵EF ⊂平面PFE ， ∴EF ∥平面SAD .(2)连接AC (图略)，AC 的中点即为点O ，连接SO (图略)，由题知SO ⊥平面ABCD ， 取OC 的中点H ，连接FH (图略)，则FH ∥SO ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴平面EFH ⊥平面ABCD ，则连接EH 并延长EH 与DC 的交点即为M 点．连接OE (图略)，由题知SO ＝3，SE ＝2，∴OE ＝1，AB ＝2，AE ＝1， ∴MC AE ＝HC HA ＝13，∴MC ＝13，即点M 的位置在CD 边上靠近C 点距离为13.) 1. (2015·唐山市统考)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝BC ，∠PBC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥PD .(1)求证：平面P AB ⊥平面ABC ； (2)如果三棱锥P -BCD 的体积为3，求P A . 解：(1)证明：取AB 中点为O ，连接OD ，OP . 因为P A ＝PB ，所以AB ⊥OP .又AB ⊥PD ，OP ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面POD ，因为OD ⊂平面POD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以OD⊥PB，因为AB∩PB＝B，所以OD⊥平面P AB.又OD⊂平面ABC，所以平面P AB⊥平面ABC.(2)由(1)知，OP⊥平面ABC.设P A＝a，因为D为AC的中点，所以V PBCD＝12V PABC＝12×13×12a2×32a＝324a3，由324a3＝3，解得a＝23，即P A＝2 3.2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.3．如图(1)，在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AM＝MD，2CN＝ND.如图(1)，将△ABD沿对角线BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD，并连接AC，MN(如图(2))．(1)证明：MN∥平面ABC；(2)证明：AD⊥BC；(3)若BC＝1，求三棱锥A-BCD的体积．解：(1)证明：在△ACD中，∵2AM＝MD，2CN＝ND，∴MN∥AC，又MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.(2)证明：在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∵在平面四边形ABCD中，∠ABC＝135°，∴BC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，且BC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC.(3)在△BCD中，∵BC＝1，∠CBD＝90°，∠BCD＝60°，∴BD＝ 3.又在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AD＝6 2.∴S△ABD＝12AB×AD＝34，由(2)知BC⊥平面ABD，∴V ABCD＝V CABD＝13×34×1＝14.。
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∴GE 綊 DF.
∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. ∴EF⊥平面 PAB.
1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合 理转化是证明线面垂直的基本思想．
2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰 三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩 形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直 角三角形(或给出线段长度， 经计算满足勾股定理)直角梯形等 等．
(2)过 E 作 EG∥AB 交 PA 于点 G，连接 DG. ∵E 为 PB 的中点，∴G 为 PA 的中点． ∵AD＝PD， 故△DPA 为等腰 三角形，∴DG⊥AP. ∵AB⊥平面 PAD， DG⊂平面 PAD， ∴AB⊥DG.
又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 1 1 又∵GE 綊 AB，DF 綊 AB， 2 2
1 綊 EC，∴MN∥BD， 2 ∴点N在平面BDM内． ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN. 又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA. ∵BN⊂平面BDM， ∴平面BDM⊥平面ECA.
(2)∵DM∥BN，BN⊥平面 ECA. ∴DM⊥平面 ECA.又 DM⊂平面 DEA，∴平面 DEA⊥平 面 ECA.
判定面面垂直的常用方法 1．利用面面垂直的定义． 2． 利用面面垂直的判定定理， 其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明 面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而 作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→ 线面垂直→面面垂直来实现的．
(2)在直角梯形 BCDE 中，由 BD＝BC＝ 2，DC＝2，得 BD⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE，所以 BD⊥平面 ABC. 如图，作 EF∥BD，与 CB 的延长线交于 F，连接 AF， 则 EF⊥平面 ABC.所以∠EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的 角． π 2 在 Rt△BEF 中，由 EB＝1，∠EBF＝ ，得 EF＝ ，BF 4 2 2 3 2 26 ＝ ；在 Rt△ACF 中，由 AC＝ 2，CF＝ ，得 AF＝ . 2 2 2
【答案】 D
பைடு நூலகம்
(2)证明：①因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点， 所以 DE∥PA. 又因为 PA⊄平面 DEF，DE⊂平面 DEF， 所以直线 PA∥平面 DEF.
②因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA＝6， 1 1 BC＝8，所以 DE∥PA，DE＝ PA＝3，EF＝ BC＝4. 2 2 又因为 DF＝5，故 DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90° ，即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC，DE∥PA，所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF＝E，AC⊂平面 ABC，EF⊂平面 ABC， 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE⊂平面 BDE，所以平面 BDE⊥平面 ABC.
【思路点拨】 (1)利用面面垂直的性质定理证明线面垂 直； (2)利用条件作出线面角，再进一步利用解三角形知识求 解．
【解】 (1)证明：如图，连接 BD， 在直角梯形 BCDE 中，由 DE＝BE＝1， CD＝2，得 BD＝BC＝ 2. 由 AC＝ 2，AB＝2，得 AB2＝AC2 ＋BC2，即 AC⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE， 从而 AC⊥平面 BCDE.
[对点练习] (2014· 潍坊模拟)如图 755 所示，△ABC 为正三角形， EC⊥平面 ABC，
图 755
BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证： (1)平面 BDM⊥平面 ECA； (2)平面 DEA⊥平面 ECA.
【证明】
(1)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN
B.
6 ，1 3
2 2 D. ，1 3
【解析】根据题意可知平面 A1BD⊥ 平面 A1ACC1 且两平面的交线是 A1O，所 以过点 P 作交线 A1O 的垂线 PE， 则 PE⊥ 平面 A1BD，所以∠A1OP 或其补角就是直 线 OP 与平面 A1BD 所成的角 α.设正方体 的边长为 2，则根据图形可知直线 OP 与平面 A1BD 可以垂 直．当点 P 与点 C1 重合时可得 A1O＝OP＝ 6，A1C1＝2 2， 1 1 2 2 所以 × 6× 6×sin α＝ ×2 2×2，所以 sin α＝ ；当点 2 2 3 2 6 P 与点 C 重合时， 可得 sin α＝ ＝ .根据选项可知 B 正确． 6 3
【解析】 在如图所示的正六面体中， 不妨设 l2 为直线 AA1，l3 为直线 CC1，则直 线 l1， l4 可以是 AB， BC； 也可以是 AB， CD； 也可以是 AB，B1C1，这三组直线相交，平 行，垂直，异面，故选 D.
【答案】 D
2．(2014· 浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是 两个不同的平面．( )
考向一直线与平面垂直的判定与性质 [典例剖析] 【例 1】 如图 752 所示，在四棱锥 PABCD 中，AB ⊥平面 PAD，AB∥CD，
图 752
1 PD＝AD， E 是 PB 的中点， F 是 DC 上的点且 DF＝ AB， 2 PH 为△PAD 中 AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)证明：EF⊥平面 PAB.
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
【解析】 A 中，由 m⊥n，n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误； B 中， 由 m∥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α， 错误； C 中，由 m⊥β，n⊥β 可得 m∥n，又 n⊥α，所以 m⊥α， 正确； D 中，由 m⊥n，n⊥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误．
【思路点拨】 平面 ABCD；
(1)由线面垂直的判定及性质证明 PH⊥
(2)作出 PA 的中点 G，证明 DG⊥平面 PAB，进而由 EF 与 DG 的关系证明 EF⊥平面 PAB.
【证明】 (1)由于 AB⊥平面 PAD. PH⊂平面 PAD，故 AB⊥PH. 又 PH 为△PAD 中 AD 边上的高，故 AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， ∴PH⊥平面 ABCD.
【解】 (1)证明：∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD 是线段 AC 的中垂线， 所以 BD⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD. 又 PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 APC.
(2)设 AC，BD 相交于 O，连结 OG. 由 PC⊥平面 BGD 可知 PC⊥OG. 在△ABC 中，由余弦定理可知，AC＝2 3. 在 Rt△PAC 中，PC＝ PA2＋AC2＝ 3＋12＝ 15. 又由△PAC∽△OGC 可得 AC· OC 2 3× 3 2 15 GC＝ ＝ ＝ . PC 5 15 3 15 从而 PG＝ ， 5 PG 3 故 ＝ . GC 2
【答案】 C
[ 命题规律预测] 1.从近几年的高考试题看，平面与平面的垂 直、线面及线线的垂直、线面角的求法是高 考命题的热点，主要考查线面、面面位置关 系的相互转化，同时考查空间想象能力及逻 命题 辑思维能力． 规律 2.命题方式有两种：一是以客观题的形式考 查线面的位置关系的判定，二是以解答题的 形式考查线面位置关系的证明． 预测 2016 年线面位置关系的判断及证明依 考向 然是高考命题的热点，重点考查空间想象能 预测 力和逻辑推理能力，难度中等.
[对点练习] (2012· 湖南高考)如图 757 所示， 在四棱锥 PABCD 中， PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥ BD.
考向三线面角的求法及应用 [典例剖析] 【例 3】 (2014· 浙江高考)如图 756， 在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC⊥平面 BCDE，∠CDE＝∠BED＝90° ，AB＝ CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.
图 756
(1)证明：AC⊥平面 BCDE； (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值．
【答案】 C
3． (2014· 四川高考)如图 751， 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， 点 O 为线段 BD 的中点． 设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α，则 sin α 的取值范围是( )
图 751
A. C.
3 ，1 3 6 2 2 ， 3 3
(2)①利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直 线与平面平行的判定定理进行求证；②要证面面垂直可考虑 寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾 股定理可证线线垂直．
【解析】 (1)若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 可能平 行，故 A 错；若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 可能平行， 也可能异面，故 B 错；若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α 与 β 可 能相交，也可能平行，故 C 错；对于 D 项，则 m⊥α，m∥n， 得 n⊥α，又知 n∥β，故 α⊥β，所以 D 项正确．
2 26 在 Rt△AEF 中，由 EF＝ ，AF＝ ，得 tan ∠EAF 2 2 13 ＝ . 13 13 所以，直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是 . 13
求直线与平面所成的角的步骤如下： (1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一 步上确定垂足的位置是关键； (2)证：即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证 明的主要依据是直线与平面所成角的概念； (3)求：一般来说是借助解三角形的知识求角．