军考真题数学完整版.doc

2017 年军考真题

士兵高中数学试题

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一、单项选择（每小题 4 分，共36 分）．

1. 设集合 A={y|y=2 x，x∈ R}，B={x|x 2﹣ 1＜ 0} ，则 A∪ B=（）

A．（﹣ 1，1）B．（ 0， 1） C ．（﹣ 1，+∞） D ．（ 0，+∞）

2.

x a

且 a≠1）在 [1 ， 2] 上的最大值与最小值之和为（

a

已知函数 f （ x）=a +log x（ a＞ 0 log 2） +6，则 a 的值为

（）

A． B ． C ． 2 D ． 4

3.

r r ur ur ur r ur r

设 a、b 是向量，则|a|=|b|是|a+b|=|a-b|的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

4 2 1

4．已知a=23, b 45 , c 253，则（）

A．b

5. 设 F 为抛物线 C： y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为30°的直线交 C于 A， B 两点， O为坐标原点，则△ OAB 的面积为（）

A． B ． C ． D ．6. 设数列 {a n} 是首项为 a1、公差为 -1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1， S2， S4成等比数列，则a1=（）A． 2 B ． C ．﹣ 2

D．﹣

7. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有1 个白球， 1 个红球的概率为（）

A． B ． C ．

D． 1

8.已知 A， B， C 点在球 O的球面上，∠ BAC=90°， AB=AC=2．球心 O到平面 ABC的距离为 1，则球 O的表面积为（）

A．12π B ．16π C ．36π

D．20π

9. 已知（f x）（x2017 ln x），f（' x0） 2018 ，则 x0=（）

A. e2

C. ln 2

D. e

二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）

10. 设向量，，且，则 m= ．

11. 设 tan α， tan β是方程 x2﹣ 3x+2=0 的两个根，则tan （α +β）的值为．

12. 已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M在 E 上，△ ABM为等腰三角形，且顶角

为120°，则 E 的离心率为．

13. 已知函数 f （ x） = ，则 f （f （）） = ．

14. 在的展开式中 x7的项的系数是．

15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架“歼﹣ 15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。

16. 在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsin θ﹣ 1=0 与圆ρ=2cosθ交于 A， B 两点，则 |AB|=_______ ．

17. 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k （k≥2， k 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立．

三、解答题（共 7 小题，共 82 分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

18. （本小题 8 分）对任意实数x，不等式﹣ 9＜3x

2

px

6

＜ 6 恒成立，求实数p 的取值范围。

x2 x 1

19. （本小题12 分）

20、（ 12 分）已知数列 {a n} 中， a1=1，二次函数 f （ x）= a n? x2+（2﹣n﹣a n+1）? x 的对称轴为x=．

（ 1）试证明 {2 n a n} 是等差数列，并求{a n} 通项公式；

（ 2）设 {a n} 的前 n 项和为 S n，试求使得S n＜3 成立的 n 值，并说明理由．

21、（ 10 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即

为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求ξ 的期望．

22、（ 12 分）已知函数 f （ x） =ax+bsinx ，当时，f（x）取得极小值．

（1）求 a， b 的值；

（2）设直线 l ： y=g（ x），曲线 S： y=f （ x）．若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：①

直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点；

S 的“上夹线”．试证明：直线l ： y=x+2 为曲线S：

②对任意 x∈ R 都有 g（ x）≥ f （ x）．则称直线 l 为曲线

y=ax+bsinx “上夹线”．

PA， PB，切点为23、（ 14 分）已知圆M：x2+（ y﹣ 4）2=4，点P 是直线l ：x﹣ 2y=0 上的一动点，过点P 作圆M的切

线

A， B．

（ 1）当切线PA的长度为时，求点P 的坐标；

（2）若△ PAM的外接圆为圆 N，试问：当 P 在直线 l 上运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不

存在，说明理由．

（3）求线段 AB长度的最小值．