高三上学期阶段性综合检测(一)数学试题

一、选择题1．如图,点P 是正方形1111ABCD A B C D -外的一点,过点P 作直线l ,记直线l 与直线1AC ，BC 的夹角分别为1θ， 2θ，若()1s in 50θ-︒ ()2cos 140θ=︒-，则满足条件的直线l （ ）A. 有1条B. 有2条C. 有3条D. 有4条2．设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3．直线, 且不同为经过定点（ ）A.B.C.D.4．已知函数()f x 的导数为()(),f x f x '不是常数函数，且()()()10x f x xf x +'+≥，对[)0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()()122f ef <B. ()()12ef f <C. ()10f <D. ()()22ef e f < 5．我国的神舟十一号飞船已于2016年10月17日7时30分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，并于19日凌晨，与天宫二号自动交会对接成功．如图所示为飞船上某零件的三视图，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是该零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．206．如图， AC 为固定电线杆，在离地面高度为6m 的A 处引拉线AB ，使拉线AB 与地面上的BC 的夹角为48︒，则拉线AB 的长度约为（ ）（结果精确到0.1m ，参考数据：sin480.74︒≈， cos480.67︒≈， tan48 1.11︒≈）A. 6.7mB. 7.2mC. 8.1mD. 9.0m7．已知直线l ⊥平面a ，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥ ②//l m αβ⊥⇒ ③//l m αβ⇒⊥ ④//l m αβ⊥⇒ 其中正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④8．如图是函数图象的一部分，对不同，若，有，则的值为（ ）A. B. C. D.9．已知全集U R =，集合{}2|4A x x =>，{}|31B x x =-<<，则()U A B ð等于（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|32x x -≤≤10．定义在()1,1-上的函数()f x 满足： ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，且112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．设*2111,2,5111m ff f n n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++≥∈ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则实数m 与1-的大小关系为（ ）A. 1m <-B. 1m =-C. 1m >-D. 不确定 11．函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 312．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是 （ ）A. B. C. （1，2） D.二、解答题13．在中，，，点在线段上.(Ⅰ)若，求的长；(Ⅱ)若，求的取值范围.14．如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形， //AB DC ，//PE DC ， AD DC ⊥， PD ⊥平面ABCD ， 2AB PD DA PE ===， 3CD PE =，F 是CE 的中点.（1）求证： //BF 平面ADP ； （2）求二面角B DF P --的余弦值. 15．（本小题满分12分）已知函数()()ln 1f x x a x =--， ()xg x e =．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ， 2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明： 211e e a e e--<<； (3)设()()()1h x f x g x =++，当0x ≥， ()1h x ≥时，求实数a 的取值范围16．已知数列{}n a 满足， 222cos2n n a π=+， *n N ∈，等差数列{}n b 满足112a b =， 22a b =.（1）求n b ；（2）记212122n n n n n c a b a b ++=+，求n c ； （3）求数列{}n n a b 前200项的和200S .17．已知命题:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的负实数根，命题:q 关于x 的不等式()244210x m x +-+>的解集为R ，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.18．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积； （2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．19．（1）已知角α终边上一点()(0)P y y >，且sin y α=，求cos α和tan α的值．（2）已知α是第三象限的角，且()()()()()3si n c o s 2tan ta n2s i n f ππαπαααπααπ⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭=--，①化简()f α；②若31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α 20．如图ABCD 为矩形， CDFE 为梯形， CE ⊥平面,ABCD O 为BD 的中点， 2AB EF =（Ⅰ）求证： //OE 平面ADF ；（Ⅱ）若ABCD 为正方形，求证：平面ACE ⊥平面.BDF三、填空题21．若动直线x a ＝与函数()sin f x x ＝和()cos g x x ＝的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________． 22．若3sin ,,522ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 23．等比数列{}n a 中，前n 项和12n n S r +=-（r 为常数），则r =__________；24．若()7x a +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数a =_________．参考答案1．D【解析】∵()1sin 50θ-︒ ()21cos 1402θ=︒-=，故可知1280θθ==︒；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点1C 的直线与直线1AC ， 11B C 的夹角为80︒的直线有多少条；记直线1AC ， 11B C 的夹角为α，可以求得t a n α=，故1t a n α<<,故45α60︒<<︒，即120180α135︒<︒-<︒，故α802<︒， 180α802︒-<︒，故过点1C 的直线与直线1AC ， BC 的夹角为80︒的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上 故选：D 2．D【解析】在RT 中，设，则由勾股定理得：，所以，而由双曲线定义知，，离心率，故选D.3．A【解析】令且，解得时，当时，不管取何值，恒成立，直线经过定点，故选A.4．A【解析】原式等于()()()()()'0x fx f x x f x x f x x fx⎡⎤'++=+≥⎣⎦，设()()xF x ex f x ⎡⎤=⎣⎦，那么()()()()()''0x x x F x e xf x e xf x e xf x xf x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦'，所以函数()()x F x e xf x ⎡⎤=⎣⎦ 是单调递增函数， ()()()()212122F F ef e f <⇔<⋅⋅ ，即()()122f e f < ，故选A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x +' ，就构造()()x g x e f x = ，(2)若()()f x f x -' ，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +' ，就构造()()2xg x e f x = ，（4）或是()()2f x f x -' 就构造()()2xf xg x e =，或是熟记()()g x xf x = ， ()()f x g x x=等函数的导数，便于给出导数时，联想构造函数。

5．C 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是四棱锥，且底面为长6、高为2的矩形，高为3，所以该几何体的体积1623123V =⨯⨯⨯=，故选C ． 考点：1、空间几何体的三视图；2、四棱锥的体积． 6．C【解析】在直角△ABC 中，sin∠ABC=AC AB ，∴AB=AC ÷sin ∠ABC=6÷sin48°=68.10.74m ≈ 故选C. 7．C【解析】l ⊥平面a 且a ∥β可以得到直线l ⊥平面β，又由直线m ⊂平面β，所以有l ⊥m；即①为真命题；因为直线l ⊥平面a 且a ⊥β可得直线l 平行与平面β或在平面β内，又由直线m ⊂平面β，所以l 与m ，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l ⊥平面a 且l ∥m 可得直线m⊥平面a ，又由直线m ⊂平面β可得a ⊥β；即③为真命题；由直线l ⊥平面a 以及l ⊥m 可得直线m 平行与平面a 或在平面a 内，又由直线m ⊂平面β得a 与β可以平行也可以相交，即④为假命题。

所以真命题为①③。

故选C. 8．D【解析】根据函数图象的一部分，可得，周期为，∴，由，可得函数的图象关于直线对称，故，由五点法作图可得，，∴，结合，可得，∴，故选D.点睛：本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象特征，属于中档题；由最大值求出，结合图象可得，由五点法作图求得，由，可得的值，从而求得的值.9．A 【解析】试题分析：依题意，全集U R =，集合{}2|4A x x =>{}|22x x x =<->或，则{}=|22U A x x -≤≤ð，{}|31B x x =-<<，则()U A B ð{}|21x x =-≤<，故选A. 考点：1、集合的基本关系；2、集合的基本运算. 10．C 【解析】函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，令0x y == 得()00f = ；令0x = 得()()(),f y f y f x -=-∴ 在()1,1- 为奇函数，单调减函数且在()1,1- 时，()0f x > ，则在()0,1时，()0f x < ，又211111111,1121111n n f f f f f n n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭，2111...5111m f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭][][111111=...23341f f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111211f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-->- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1m >- ，故选C. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 11．C【解析】,所以当时 ;当时;因此零点个数为2,选C.12．D【解析】设g (x )=xf (x )，则g ′(x )=[xf (x )]′=x ′f (x )+xf ′(x )=xf ′(x )+f (x ) <0， ∴函数g (x )在(0,+∞)上是减函数， ∵f (x +1)>(x −1)f (x 2−1),x ∈(0,+∞)， ∴(x +1)f (x +1)>(x +1)(x −1)f (x 2−1)，∴(x +1)f (x +1)>(x 2−1)f (x 2−1)， ∴g (x +1)>g (x 2−1)， ∴x +1<x 2−1， 解得x >2. 本题选择D 选项. 13．(Ⅰ)或5.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合余弦定理列出方程并求解可得或5.(Ⅱ)由题意结合平面向量数量积的坐标运算得到关于实数t 的二次函数，利用二次函数的性质可得求的取值范围是.试题解析： (Ⅰ)在中由余弦定理得，即得解得或5. (Ⅱ)取的中点，连接，以分别为轴，建立直角坐标系，则设，，当时，有最小值为，当时有最大值为9.的范围.14．（1）见解析；（2）6-. 【解析】试题分析：（1）取PD 的中点为G ，连接,FG AG ，要证//BF 平面ADP ，只需证得//BF AG 即可；（2）过B 作BM CD ⊥于M ，连接FM ，过M 作MN DF ⊥于N ，连接BN ，则B N M ∠为所求二面角的平面角的补角.试题解析：（1）证明：取PD 的中点为G ，连接,FG AG , ∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线， ∵3CD PE =，∴2FG PE =， ∵////FG CD AB ， 2AB PE =，∴//AB FG ， AB FG =，即四边形ABFG 是平行四边形，∴//BF AG ，又BF ⊄平面ADP ， AG ⊂平面ADP ，∴//BF 平面ADP . （2）解：∵AD DC ⊥， PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥平面CDPE ， 过B 作BM CD ⊥于M ，设1PE =，则2BM DM ==，连接FM ， 由（1）得FM CD ⊥，过M 作MN DF ⊥于N ，连接BN ，则BNM ∠为所求二面角的平面角的补角.∵2,1DM FM ==，∴DF =MN =，∴tan BM BNM MN ∠==cos 6BNM ∠=,∴二面角B DF P --的余弦值为.15．（1）单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）(],2-∞. 【解析】（1）求原函数的导函数，对a 分类讨论可得原函数的单调区间；（2）背景为指数函数x y e =与对数函数ln y x =关于直线y x =对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在性定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题1xe x ≥+这个结论，考查学生对知识的掌握程度.（1）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，对()f x 求导，得()11ax f x a x x'-=-=． ①若0a ≤，对一切0x >有()0f x '>，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞． ②若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<． 所以函数()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则22x y e =，()22222x y k g x e x =='=，所以21x =， 2y e =，则22x k e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==， 1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y ，则()1111111y k f x a x e x ==-=='， 所以1111x y ax e ==-， 111a x e=-． 又因为()111ln 1y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-=． 令()11ln 10m x x x e =-+-=，则()22111'x m x x x x-=-=， ()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．若()10,1x ∈，因为1120m e e e ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭， ()110m e =-<，所以11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而111a x e =-在11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以211e e a e e --<<． 若()11,x ∈+∞，因为()m x 在()1,+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， 所以1110a x e=-=（舍去）．综上可知， 211e e a e e--<<． （3）()()()()1ln 1xh x f x g x x ax e =++=+-+， ()11xh x e a x =+-+'． ①当2a ≤时，因为1x e x ≥+，所以()1112011xh x e a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+， ()h x 在[)0,+∞上递增， ()()01h x h ≥=恒成立，符合题意．②当2a >时，因为()()()()222111011x xx e h x e x x +-=-++'=≥'，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且()020h a ='-<，则存在()00,x ∈+∞，使得()00h '=．所以()h x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，又()()001h x h <=，所以()1h x ≥不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞．16．（1）()11332n b n n =+-=-;（2）n c = 3618n -;（3）200S = 180000.【解析】试题分析：（1）利用降次公式化简3cos πn a n =+，得到n a 的表达式，求得12,b b 的值，利用基本元的思想列方程组求得32n b n =-.（2）将（1）的结论代入，可求得3618n c n =-.（3）根据（2）可知， n c 为等差数列，要求的数列前200项和等价于n c 的前100项和，利用等差数列前n 项和公式可求得200S 的值. 试题解析：（1）由题意知， 2,3cos {4.n n a n n π=+=为奇数，，为偶数于是11112b a ==， 224b a ==，故数列{}n b 的公差为3， 故()11332n b n n =+-=-.（2）()23212n c n ⎡⎤=--+⎣⎦ ()43223618n n ⎡⎤-=-⎣⎦. （3）由（2）知，数列{}n c 为等差数列， 故20012100S c c c =+++ 110020018000022c c +=⨯=.17．][()0,23,⋃+∞【解析】试题分析：利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p ，再利用不等式()244210x m x +-+>的解集为R 与判别式的关系即可得出q ，由p 或q 为真，p 且q 为假，可得p 与q 为一真一假，两种情况分别求解不等式组，求并集即可得出答案.试题解析：若p 为真命题，则有240{m m ∆=->-<，所以2m >.若q 为真命题，则有()2424410m ⎡⎤∆=--⨯⨯<⎣⎦，所以13m <<.由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，知命题p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，由2{13m m m >≤≥或得3m ≥；当p 假q 真时，由2{ 13m m ≤<<，得13m <≤.综上， m 的取值范围为][()0,23,⋃+∞.18．（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得， ∵不在平面，平面，∴平面，∴C 到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．19．（1）（2【解析】试题分析：（1）根据三角函数的定义求出y =，在根据定义求出cos α和tan α的值；（2）①利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出()cos f αα=-，②利用诱导公式得到1sin 5α=-，根据角的位置求出cos α，继而得最后结果. 试题解析：（1）sin y α==解得y =，∴3P ⎛ ⎝⎭，r = ∴3cos 4α=-，tan α=. (2)①()()()()()sin cos 2tan tan 2sin f ππαπαπααπαπα⎡⎤⎛⎫⎡⎤--+--+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦=⎡⎤-+⎣⎦()()sin cos tan tan 2sin παααπαπα⎛⎫⎡⎤⋅⋅--+ ⎪⎣⎦⎝⎭=⎡⎤-+⎣⎦()sin cos cot tan cos sin αααααα⋅⋅-==- ②由31cos 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得： 1cos 2cos sin 225πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++=+=-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴1sin 5α=-，∵α是第三象限的角，∴cos 0α<，∴()cos 5f αα=-==. 20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) 取AD 的中点M ，利用三角形的中位线和平行四边形证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（Ⅱ）先利用正方形和线面垂直的性质证明线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明.试题解析：（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接,,MF OM 因为ABCD 为矩形， O 为BD 的中点，所以//,2.OM AB AB OM =又因为CE ⊥平面ABCD ,所以.CE CD ⊥因为CDEF 为梯形，所以//,CD EF 又因为2,AB EF =所以//,,EF OM EF OM =所以EFMO 为平行四边形，所以//,OE MF 又,MF ADF ⊂所以//OE 平面.ADF（Ⅱ）因为ABCD 为正方形， O 为BD 的中点，所以,BD AC ⊥ 又因为CE ⊥平面,ABCD 所以,BD CE ⊥ 所以BD ⊥平面,ACE 所以平面BDF ⊥平面.ACE21【解析】试题分析：设x a ＝与()sin f x x ＝的交点为()1M a y ，，x a ＝与()cos g x x ＝的交点为()2N a y ，，则12sin cos MN y y a a ＝－＝－4a π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭考点：1.三角函数的图象和性质；2.三角函数辅助角公式22．10-【解析】34=,,cos 5225sin ππααα⎛⎫∈-∴==⎪⎝⎭，，则5cos cos cos 444ππαππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43cos cos4455sin sinππαα=-+=-+=，故答案为23．2【解析】当1n = 时， 2112a S r ==-;当2n ≥ 时， 11222n n n n n n a S S +-=-=-= ,令1n =则12222r r=-⇒= . 24．1【解析】由已知可得1771C a a=⇒= .。