人教版八年级数学上册--分式的基本性质(一)

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2019年人教版八年级数学上册《分式的基本性质》

时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小明：
对于分数而言，彻底约分后的分数叫什么？
你对他们俩的解法有何看法？说说看！一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. 彻底约分后的分式叫最简分式.
, ,
:
把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
,
x 2 -6x+9 1.化简 2x-6 的结果是( ) x+3 x 2 +9 (A) (B) 2 2 x 2 -9 x-3 (C) (D) 2 2
为什么本题未给 x 0 ?
x=0时分式无意义.
y 若把分式 x y
的 x和
y 都扩大两倍,则分式的值(
)
A．扩大两倍 C．缩小两倍
B．不变 D．缩小四倍
2x 2x x 【解析】选B. . 2x 2y 2(x y) x y
1.下列变形不正确的是（
(A) b b 2a 2a
a ac (1) c 0 2b 2bc
【解析】 (1)由 c
(2)
x x xy y
3
2
知
a a c ac 2b 2b c 2bc
3 3 2
0
为什么给出 c 0 ?
C=0时分式无意义.
(2) 由 x 0,
x x x x 知 . xy xy x y
(2)
5. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号
5b (1) 6a
x (2) 3y
3b (3) a
2m (4) . n
5b 5b 【解析】 (1) 6a 6a
3b 3b (3) a a
(4)
x x (2) 3y 3y
2m 2m n n b b 分式的符你能得到分式的基本性质吗？说说看！

人教版八年级上册数学《分式的基本性质》分式PPT教学课件(第1课时)

同类题检测：平板推题
1.下列分式中，是最简分式的是
(填序号)．
x3 （1）
3x
；（2）x＋y 2x
；（3） c
c 2＋7c
；（4）xx2＋＋yy2
；（5）xx2＋＋yy2 .
2.下列约分正确的是( ) A． 2(b c) 2 a 3(b c) a 3
B.
(a b)2 (b a)2
1
C.
的分子分母中各项的系数都化为整数，
4
结果为
。
自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的约分自学问题：分式约分的关键是约去公因式，对于分子分母是多项式的需
要先进行因式分解后再约去公分母；约分进行式子变形时，易忽略分子与分母的符号变化。学生典型问题展示：展示《15.1.2分式的基本性质（1）课前自测》中第5、6题的正确率，以及做错的学生的错题选项；学案上知识点二学生中存在问题图片展示。问题解决：问题1：观察教材129页例2（1）中的两个分式，在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？归纳总结：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分
A．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠－2
2.下列等式：①
(a b) a b
c
c
x y ;② x
x y x
a b a b
;③ c
c
;④
m n m n
m
m
中,成立的是（）
A．①②
B．③④
C．①③a
D．②④
0.4b
3.不改变分式的值，将分式
2 0.6a 3 b
课前检测和学案整体完成情况较好的学生：图片展示（课前自主学习整体完成优秀展示）

八年级数学上册《分式的基本性质》教案、教学设计

-设计意图：使学生在实践中掌握分式的运算方法，提高学生的运算能力。
6.课后拓展：布置具有挑战性的拓展题，鼓励学生进行深度思考，提高学生的数学思维能力。
-设计意图：培养学生的创新意识，提高学生的数学素养。
7.教学评价：结合课堂表现、练习成绩和课后拓展成果，全面评价学生的学习效果。
-设计意图：关注学生的全面发展，激发学生的学习积极性，提高教学质量。
-设计意图：从生活实例出发，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动：提出问题“分数可以表示什么？分式与分数有什么联系和区别？”让学生思考并回答，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.分式的定义：讲解分式的概念，强调分式的三个要素：分子、分母和分数线。通过具体实例，解释分式的意义和表示方法。
-题目2：(x^3 - 2x^2 + x) / (x^2 - 1) × (x^2 + 1) / (x - 1)
-设计意图：通过拓展挑战题，锻炼学生的运算能力，提高学生的数学思维。
4.小组合作题：分组讨论并完成以下问题：
-问题：已知一个分数的分子和分母分别是两个连续的整数，且它们的和为17，求这个分数。
八年级数学上册《分式的基本性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的定义，掌握分式的表示方法，能够正确书写分式。
2.掌握分式的基本性质，如约分、通分、乘除法则等，并能够灵活运用这些性质解决相关问题。
3.能够运用分式进行简单的代数运算，解决实际问题，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
-分式的基本性质有哪些？
-分式的运算方法有哪些？
-如何运用和评价。
-设计意图：通过小组讨论，培养学生的合作精神和交流能力，提高学生对分式知识的理解。

八年级数学上册-课件-15.1.2-分式的基本性质(第1课时)

的值( )
(A) 扩大3倍 (C) 扩大4倍
(B) 扩大9倍 (D) 不变
【解析】选A . 3x· 3y 9xy 3xy .
3x 3y 3(x y) x y
3.下列各式中与分式 a 的值相等的是（）
a b
（A） a
a b
(B) a
ab
(C) a
ab
(D) a
ab
【解析】选B． a a a
a b (a b) a b
4.下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
a
(1) 与
ab
a(a b) a2 b2
(2) x 与 x(x2 1)
3y
3y(x2 1)
当a+b≠0时，可由第一式变形为第二式
能
5. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号
(2) 由 x 0,
知 x3 x3 x x2 . xy xy x y
为什么给出 c 0 ?
C=0时分式无意义.
为什么本题未给 x 0 ?
x=0时分式无意义.
若把分式 y
x y
的 x 和 y都扩大两倍,则分式的值(
)
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
【解析】选B. 2x 2x x .
2x 2y 2(x y) x y
1.下列变形不正确的是（）
(A) b b 2a 2a
(B) b b 2a 2a
(C) b b 2a 2a
(D) b b 2a 2a
【解析】选D. b b . 2a 2a
2.若把分式 xy 中的x和y都扩大3倍,那么分式 x y

八年级数学人教版上册同步练习分式的基本性质(解析版)

15.1.2分式的基本性质一、单选题1．下列约分计算结果正确的是（）A ．22a b a b a b+=++ B ．a m m a n n +=+ C ．1a b a b -+=-- D ．632a a a= 【答案】C 【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．【详解】∵22a b +与a +b 没有公因式， ∴22a b a b++无法计算， ∴22a b a b a b+=++的计算是错误的， ∴选项A 不符合题意；∵a +m 与a +n 没有公因式， ∴++a m a n 无法计算， ∴a m m a n n+=+的计算是错误的； ∴选项B 不符合题意；∵-a +b = -(a +b )与a +b 的公因式是a +b ， ∴()1a b a b a b a b-+--==---， ∴选项C 符合题意； ∵642a a a=， ∴632a a a=的计算是错误的； ∴选项D 不符合题意；故选C ．【点评】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．2．下列分式中，属于最简分式的个数是（）①42x ，②221x x +，③211x x --，④11x x --，⑤22y x x y -+，⑥2222x y x y xy++． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义判断即可．【详解】①422x x =，③21111x x x -=-+，④111x x -=--，⑤22y x y x x y-=-+，可约分，不是最简分式； ②221x x +，⑥2222x y x y xy++分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个；故选：B ．【点评】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式． 3．下列命题中的真命题是（）A ．多项式x 2－6x ＋9是完全平方式B ．若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形C ．分式211x x +-是最简分式 D ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题【答案】A【分析】根据完全平方公式、直角三角形性质、分式化简、和对顶角相等的逆命题进行判断即可．【详解】∵x 2－6x ＋9=（x －3）2，故A 选项是真命题；∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，∴∠A =45°，∠B =60°，∠C =75°，故B 选项是假命题； ∵21111x x x +=--，故C 选项是假命题； “对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D 选项是假命题；故选：A【点评】本题考查了分式的性质、完全平方公式、直角三角形性质、逆命题，解题关键是熟练掌握相关知识，准确进行判断．4．化简211x x --的结果是（） A ．11x -+ B ．11x - C ．11x + D ．11x-【答案】A【分析】分母因式分解，再约分即可．【详解】2111(1)(1)11x x x x x x --==-+-+-，故选：A ．【点评】本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分． 5．若把x ，y 的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．()22x y x + B ．xy x y + C ．22x y ++ D ．22x y -- 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】A 、()22224x y x +=()22x y x +，故A 的值保持不变． B 、42=22xy xy x y x y++，故B 的值不能保持不变． C 、221=221x x y y ++++，故C 的值不能保持不变． D 、221=221x x y y ----，故D 的值不能保持不变．故选：A ．【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．6．下列关于分式2x x+的各种说法中，错误的是（）． A ．当0x =时，分式无意义 B ．当2x >-时，分式的值为负数C ．当2x <-时，分式的值为正数D ．当2x =-时，分式的值为0 【答案】B【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】当0x =时，分式无意义，选项A 正确；当2x >-时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B 错误；当2x <-时，20x +<，分式的值为正数，选项C 正确；当2x =-时，20x +=，分式的值为0，选项D 正确；故选：B ．【点评】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．7．下列命题中，属于真命题的是（）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253x x x -是最简分式C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等【答案】C【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意； B. ()2555==333x x x x x x x ---，故253x x x-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意； C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．8．若a b ，则下列分式化简中，正确的是（） A ．22a a b b+=+ B ．22a a b b -=- C ．33a a b b = D ．22a a b b = 【答案】C【分析】根据ab ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题；【详解】∵ab A 、22a a b b+≠+ ，故该选项错误； B 、22a a b b-≠- ，故该选项错误； C 、33a a b b= ，故该选项正确； D 、22a a b b≠ ，故该选项错误；故选：C ．【点评】本题考查了分式的混合运算，解题时需要熟练掌握分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键；二、填空题目9．已知a 、b 、c 、d 、e 、f 都为正数，12 bcdef a =，14 acdef b =，18 abdef c =，2 abcef d=，4 abcdf e=，8 abcde f =，则222222a b c d e f +++++=________．【答案】1198【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．【详解】由12 bcdef a =，14 acdef b =，18 abdef c =，2 abcef d =，4 abcdf e=，8 abcde f =，可将每个等式的左右两边相乘得： ()51abcdef abcdef =，∴1abcdef =，2112bcdef a a a a ⋅==⋅， ∴22a =，同理可得：24b =，28c =，212d =，214e =，218f =， ∴2222221198a b c d e f +++++=；故答案为1198．【点评】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键． 10．已知114y x -=，则分式2322x xy y x xy y+---的值为______．【答案】112 【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】∵114y x-=，∴x-y=4xy ，∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---，故答案为：112 ．【点评】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．11．已知2310x x --=，求4231x x x x ++=-__________．【答案】4 【分析】将分式整理成()()2222131x x x x -+-，根据2310x x --=可得213x x -=，代入分式并约分即可求解．【详解】∵2310x x --=，∴213x x -=∴4231x x x x++- ()()2222131x x x x -+=- ()223343x x x x+==⋅，故答案为：4．【点评】本题考查分式的性质，将分式整理成()()2222131x x x x -+-的形式是解题的关键． 12．将分式132132a b a b +-的分子、分母各项系数化为整数，其结果为_______________．【答案】6243a b a b+- 【分析】根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数6，分式的值不变，并且其分子、分母各项系数化为整数．【详解】1623214332a b a b a ba b ++=--．故答案为：6243a b a b+-．【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．三、解答题13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：11211x x x x +-+=--=1211x x x -+-- =1+21x -．（1）请写出分式的基本性质；（2）下列分式中，属于真分式的是；A ．21x x -B ．11x x -+C ．﹣321x -D ．2211x x +- （3）将假分式231m m ++，化成整式和真分式的形式．【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C ；（3）231m m ++=m ﹣1+41m + 【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；（3）先把23m +转化为214m -+得到22314111m m m m m +-=++++，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．（2）根据题意得：选项C 的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故AB D 选项是假分式，故选：C ．（3）∵22231441411111m m m m m m m m +-+-=+=++++++=m ﹣1+41m +， ∴故答案为：m ﹣1+41m +．【点评】本题考察了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．14．约分（1）1232632418a x y a x；（2）ma mb mc a b c+-+-；（3）2222444a ab b a b-+-．【答案】（1）6243a y ；（2）m ；（3）22a b a b-+ 【分析】（1）约去分子分母的公因式636a x 即可得到结果；（2）将分子进行因式分解，约去公因式（a b c +-）即可得到结果；（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．【详解】（1）1232632418a x y a x＝6362636463a x a y a x ⨯ ＝6243a y ；（2）ma mb mc a b c+-+- ＝()m a b c a b c +-+- ＝m ；（3）2222444a ab b a b-+-＝2(2)(2)(2)a b a b a b -+- ＝22a b a b-+．【点评】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．15．先约分，再求值：32322444a ab a a b ab--+ 其中12,2a b ==-. 【答案】2123a b a b +-，【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a 、b 的值代入即可求出答案．【详解】原式=2222444a a b a a ab b （）（）--+ =2(2)(2)(2)a a b a b a a b +-- =22a b a b +- 当122a b ==-，时原式=2121-+=13．【点评】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．16．已知32(1)(1)11x A B x x x x -=++--+，求A 、B 的值. 【答案】A=12， B=52 【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A 、B 的方程组，解之即可求出A 、B 的值. 【详解】∵()()()()(1)(1)()111111A B A x B x A B x A B x x x x x x ++-++-+==-++-+- , 又∵()()321111A B x x x x x -+=-++-， ∴()()()()()321111A B x A B x x x x x ++--=+-+-，∴32A B A B +=⎧⎨-=-⎩ ，解得1252A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴A =12， B =52. 【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.17．若分式,A B 的和化简后是整式，则称,A B 是一对整合分式．（1）判断22244x x x ---与22x x -是否是一对整合分式，并说明理由；（2）已知分式M ，N 是一对整合分式，2a b M a b-=+，直接写出两个符合题意的分式N ．【答案】（1）是一对整合分式，理由见解析；（2）答案不唯一，如1224,b a a b N N a b a b -+==++．【分析】（1）根据整合分式的定义即可求出答案．（2）根据整合分式的定义以及分式的运算法则即可求出答案．【详解】（1）是一对整合分式，理由如下： ∵2222222424(2)424x x x x x x x x x x x ----+++==---，满足一对整合分式的定义，22244x x x --∴-与22x x -是一对整合分式．（2）答案不唯一，如1224,b a a b N N a b a b-+==++．【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．18．已知430,4520,x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩0xyz ≠．（1）用含z 的代数式表示x ，y ；（2）求222232x xy z x y+++的值．【答案】（1）13x z =，23y z =；（2）165．【分析】（1）根据加减消元法解关于x 、y 的方程组即可（2）将（1）中的结果代入分式中进行运算即可【详解】（1）430,4520,x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩①② ①4⨯-②得21140y z -=，解得23y z =．把23y z =代入①，得24303x z z +⨯-=，解得13x z =．（2）2222222211232321633351233z z z z x xy z x y z z ⎛⎫⨯+⨯⨯+ ⎪++⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x 、y 看作未知数解方程组是解题的关键19．一个矩形的面积为223()x y -，如果它的一边为()x y +，求这个矩形的周长．【答案】这个矩形的周长为：84x y -【分析】根据整式的除法运算法则与合并同类项法则，即可求解．【详解】∵矩形的一边长为()x y +，面积为223()x y -， ∴矩形的另一边长为：223()3()()x y x y x y -=-+ ∴该矩形的周长为：2[()3()]x y x y ++-2(42)x y =-84x y =-．答：这个矩形的周长为：84x y -．【点评】本题主要考查整式的除法法则与加法法则，掌握因式分解与合并同类项法则，是解题的关键． 20．阅读理解：对于二次三项式a 2+2ab+b 2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b ）2．而对于二次三项式a 2+4ab ﹣5b 2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．解决问趣：（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式2244812x xx x++++与22428xx x-+-的大小．【答案】（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3）222244428812 x x xx x x x-++>+-++【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解；（2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可；（3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小.【详解】（1）原式＝a2+6ab+9a2﹣b2＝（a+3b）2﹣b2＝（a+3b﹣b）（a+3b+b）＝（a+2b）（a+4b）；（2）如图：（3）224(2)(2)(2)28(4)(2)(4)x x x xx x x x x-+-+==+-+-+；22244(2)(2)812(2)(6)(6)x x x xx x x x x++++==+++++；∵x＞0，∴x+4＜x+6，∴222244428812 x x xx x x x-++>+-++.【点评】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是解题的关键.祝福语祝你考试成功!。

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。

例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。

考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。

-8/b。

11/b。

则第n 个分式为(3n-1)/b。

2023八年级数学上册第十五章分式15.1分式15.1.2分式的基本性质教案(新版)新人教版

- 分式的分子与分母同乘以或同除以同一个不为零的数，分式的值不变。
- 分式的分子与分母同时乘以或除以同一个数，分式的值也不变。
3. 分式的运算
- 加减法：XXX
- 乘除法：XXX
4. 分式的应用
- 实际问题：XXX
- 解题步骤：XXX
5. 总结
- 分式的概念和性质
- 分式的运算方法
- 分式的应用实例
2. 调整教学方法：采用多种教学方法，如案例教学、小组讨论、实验法等，提高学生的学习兴趣和参与度。
3. 多元化评价：采用多元化评价方式，如过程性评价、学生互评、自我评价等，全面了解学生的学习情况，促进学生的全面发展。
八、板书设计
1. 分式的概念
- 分子：XXX
- 分母：XXX
- 分式：XXX
2. 分式的基本性质
强调分式的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对分式知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决分式问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解分式的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习分式内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确分式教学目标和分式重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保分式教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习分式的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

分式15.1.2分式的基本性质-人教版八年级数学上册备课教案

第十五章 15.1.2分式的基本性质知识点1：分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为: =,=,C≠0,其中A、B、C是整式.关键提醒:(1)基本性质式子中的A、B、C表示的是整式.(2)C是不为零的整式.C是一个含有字母的代数式,由于字母的取值是任意的,所以C就有等于0的可能性.因此运用分式的基本性质时,考查C的值是否为0,已成为重点.(3)分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.知识点2:分式的约分1. 利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.2. 约分的关键是找出分子与分母的公因式.公因式的确定方法:①当分子和分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式.②当分子和分母是多项式时,先把多项式因式分解,再确定.归纳整理:进行约分时,应注意以下几点:(1)当分式的分子与分母都是单项式时,可直接约分,也就是约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)当分式的分子与分母都是多项式时,应先进行因式分解,再进行约分;(3)当分式的分子或分母的系数是负数时,可利用分式的基本性质,把负号提到分式的前面;(4)约分的结果应化为最简分式.知识点3：分式的通分(1)分式的通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同时乘以适当的整式,不改变分式的值把几个分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.(2)最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母.(3)分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母.最简公分母的确定方法:①取各分母系数的最小公倍数;②凡单独出现的字母,则连同它的指数作为最简公分母的一个因式;③同指数幂取次数最高的,这样得到的因式的积就是最简公分母.考点1：分式的性质【例1】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含“-”号.(1);(2);(3).点拨:(1)改变分子、分母的“负”号,分式的值不变;(2)改变分子和分式本身的符号,分式的值不变;(3)改变分母和分式本身的符号,分式的值不变.解:(1)=;(2)=-;(3)=-.考点2：分数约分的计算【例2】下列约分正确的有( ).①=;②=1;③=0;④=.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个点拨:①分子、分母中的m分别与a和b相加,而不是相乘,故分子、分母没有公因式,①错误;②(m-n)3=-(n-m)3,约分后结果为-1,②错误;③分子、分母完全相同,约分以后应为1,③错误;④分子a2-2a-3=(a-3)(a+1),分母a2+2a+1=(a+1)2,约去公因式(a+1),结果为,④正确.答案:A.考点3：分数通分的计算【例3】通分:与.解:因为最简公分母是(m+3)(m-3),所以=,==-.点拨:通分的关键是确定各分母的最简公分母.先确定两个分式的最简公分母是(m+3)(m-3),再利用公式的基本性质分别变形.。

八年级上册第十五章-分式知识梳理

八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

分式中，A 叫做分子，B 叫做分母。

2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义。

3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

即：其中A,B,C 是整式。

4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。

经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。

即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。

八年级上册数学《分式》知识点归纳与总结

八年级上册数学《分式》知识点归纳与总结八年级上册《分式》知识点归纳与总结一、分式的定义：分式是由两个整数A和B组成的表达式，其中B中含有字母。

A为分子，B为分母。

分式有意义的条件是分母不为零（B≠0），无意义的条件是分母为零（B=0）。

分式的值为A/B，其中分母不为零。

分式的值为正或大于零的条件是分子和分母同号（A>0且B>0或A0且B0）。

分式的值为1的条件是分子和分母相等（A=B≠0），为-1的条件是分子和分母互为相反数（A+B=0，B≠0）。

二、分式的基本性质：分式的分子和分母同乘或除以一个不为零的整式，分式的值不变。

即A/C ÷ B/C = A/B，AC/BC = A/B。

分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

三、分式的约分：约分是指把一个分式的分子和分母的公因式约去，使得分子和分母没有公因式。

约分的步骤是先对分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母的公因式。

最简分式是指分子和分母没有公因式的分式。

四、分式的通分：通分是指把几个异分母的分式化成相等的同分母分式。

通分的最简公分母是各个分母所有因式的最高次幂的积。

通分的步骤是先对各个分母进行因式分解，然后取各个分母所有因式的最高次幂作为最简公分母的因式，再把各个分子乘上相应的因式。

五、分式的四则运算和乘方：分式的加减法是先通分，然后把分子相加或相减，再约分得到最简分式。

分式的乘法是把分子相乘，分母相乘，然后约分得到最简分式。

分式的除法是把除数倒数，然后乘以被除数，得到商的最简分式。

分式的乘方是把分子和分母分别乘以相应的次数，得到乘方的最简分式。

分式的乘除法法则：对于两个分式 $\frac{a}{c}$ 和$\frac{b}{d}$，它们的乘积为 $\frac{a\times b}{c\times d}$，对于一个分式 $\frac{a}{c}$ 和另一个分式 $\frac{b}{d}$ 的除法，可以转化为乘法，即$\frac{a}{c}\div\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times\frac{d}{b}=\frac{ ad}{bc}$。

《15.1.2分式的基本性质》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12八年级上册

《分式的基本性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握分式的基本性质，理解分式等价变换的原理，能够运用分式性质解决简单的数学问题。

通过学习，培养学生观察、分析、归纳和解决问题的能力，并激发学生对数学学习的兴趣和热情。

二、教学重难点教学重点：分式的基本性质及其应用。

包括对分式等价变换的理解，以及如何利用分式性质进行简单的计算和证明。

教学难点：学生能够熟练运用分式性质解决实际问题，特别是涉及多个分式运算的复杂问题。

三、教学准备1. 教材与教辅资料准备：初中数学教材、教学课件、练习册等。

2. 教学环境准备：多媒体教室，确保每个学生都能清晰看到屏幕。

3. 学生准备：预习分式的基本概念，准备笔记本和练习本。

4. 教师准备：熟悉教材内容，准备教案和课堂互动环节。

通过并理解课堂所授知识的内涵与实际应用的案例，让每一节课程都能有效地促进学生深入思考。

同时，确保自身教育观念的更新，与时俱进，以适应教育发展的新趋势。

此外，教师还需准备一些教学辅助工具，如多媒体设备、教学软件等，以便在课堂上进行演示和讲解。

这些工具能够有效地增强教学效果，使课堂更加生动有趣。

同时，为了能够及时掌握学生的学习情况，教师还应该设计一套完善的课后作业与评估系统。

这将帮助教师评估学生的知识掌握程度，从而为他们提供更具针对性的指导和帮助。

最后，教师在教学准备过程中还需注意调整自身心态，以积极、热情的态度去面对每一位学生，让每一位学生都能感受到教师的关心与支持。

这样，不仅能够提升教学质量，还能营造一个积极向上的学习氛围。

四、教学过程：一、导入新课在课堂开始之初，教师可以通过回顾之前学习的内容，如整式的性质和运算，来引出分式的基本性质这一新课内容。

教师可以提出一些与分式相关的问题，如“你们还记得整式的基本性质吗？那么分式与整式有哪些异同之处呢？”这样的问题有助于学生将新旧知识联系起来，激发他们的学习兴趣和好奇心。

二、知识讲解1. 概念介绍在讲解分式的基本性质前，教师应首先明确分式的概念。

人教版八年级数学课件-分式的基本性质

a2 4a 4 （２） a 2 4
8ab2c 12 a 2b
4ab (2bc) 4ab (3a)
2bc 3a
a2 4a 4 a2 4
(a 2)2 (a2 4)
(a 2)2 a 2 (a 2)(a 2) a 2
*
你能總結出分式約分的基本步驟嗎？
約分的基本步驟：（１）若分子﹑分母都是單項式，則化簡係數，並約去相同字母的最低次冪；
2
3
a2
b
2
3 • bc
a2b •bc
2
3bc
a2b2
c
ab
ab2 c
(a b) • 2a
ab2 c • 2a
2 a2 2ab 2 a2b2 c
*
（2） 2x 與 3x
x5
x5
解：最簡公分母是 (x 5)(x 5)2x x5来自2x(x (x 5)(x
5) 5)
2 x2 10x x2 25
（２）若分子﹑分母含有多項式，則先將多項式分解因式，然後約去分子﹑分母所有的公因式．
注意：約分過程中，有時還需運用分式的符號法則使最後結果形式簡捷；約分的依據是分式的基本性質。
*
例3. 通分：
3
ab
b a （1） 2 2 b 與 a 2 c
把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
a b 解：（1）最簡公分母是 2 2 2 c
*
1. 化簡下列分式：
(1)
5xy 20 x2
y
1 5xy 1 4x • 5xy 4x
(2) a(a b) a b(a b) b
*
2.把下列分式通分
5; x2 9x 20
x. 10 2x

人教版八年级数学上册课件：15.分式的基本性质

B.0a＋.2a0＋.2bb＝2a＋a＋2bb D.aa＋－bb＝aa－＋bb
思考讨论
4.利用分式的基本性质，将下列各式化
为更简单的形式：
① a2 bc ab
② x2 1 x2 2x 1
① abc b
② x 1 x 1
思考讨论
5.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) a ac c 0
2b 2bc
归纳
（1）看分母如何变化，想分子如何变化。
（2）看分子如何变化，想分母如何变化。
填空:
(1)
9mn2 36n3
(
m
4n
)
(2) x2 xy
x y
x2
(x
)
(3) a b ( a2＋ ab )
ab
a2b
．
（4）30m 24n
（
5m
4n
）=（
5mn
4n2）分式性Fra bibliotek应用2不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数。
x 2x
( ) x2
观察
×a
（1）a b ( ab
) a2b
a 分母：ab ×
a2b
（1）a
b
(
ab
) 2a b ( a2b , a2
) a2b
×b
÷
（2）x
2
x2
xy
x y
( ) , x2
x 2x
( 1 ) x2
÷
2.填空，使等式成立.
⑴
⑵
（其中 x+y ≠0 ）
(2) x3 x2
xy y
解: (1)∵ ,
为什么给出 c ?0

八年级数学人教版(上册)第1课时分式的基本性质与约分

(3)xyx＋3 x＝（y＋x21）.
(4)x2＋2x3x＝（x3＋2x32x）2 .
5．不改变分式的值使下列分式的分子和分母都不含负号：
(1)－－3yx＝
3x y.
(2)－ a－2ab＝
2a b－a
．
(3)－23mn2＝－32nm2 .
(4)－3ba＝－3ab ．
6．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化
B．－3＋1 x D．－x－1 3
3．(2020·河北)若 a≠b，则下列分式化简正确的是( D )
A．ab＋＋22＝ab
B．ab－－22＝ab
C．ab22＝ab
1 D．21a＝ab
2b
4．根据分式的基本性质填空：Leabharlann (1)182aa22cb＝（
2c 3b
）.
(2)mm＋－nn＝（（mm2－－nn）2 ） 2 .
．
11．化简下列各式： 2a（a－1）
(1)8ab2（1－a）. 解：82aab（2（a1－－1a））＝－41b2.
x2－9 (2)xy＋3y. 解：xxy2＋－39y＝（x＋y（3）x＋（3x）－3）＝x－y 3.
a2－4 (3)a2－4a＋4. 解：a2－a2－4a4＋4＝（a－（2a）－（2）a＋2 2）＝aa＋－22.
A．－15
B．－3
C．3
D．15
14．若分式a2＋ab中的 a，b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则分式的值( D )
A．是原来的 20 倍 B．是原来的 10 倍 C．是原来的110 D．不变
【变式】若分式xx＋yy中的 x，y 的值同时扩大到原来的 2 倍，则分式的值( A )
A．扩大到原来的 2 倍 B．不变 C．缩小到原来的12 D．缩小到原来的14

人教版数学八年级上册15.分式的基本性质课件(1)

解：3 3 3 1 6 63 2 2 与 4 相等吗? 5 10
分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
你认为分式“a ”与“1”；分式
2a
2
“ n2 ”与“n ”相等吗？
mn
m
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
探索新知1
例1 下列变形是否正确？如果正确，说出是如
何变形的？如果不正确，说明理由.
（1）2xx
1 2
；（2）x
x
1
x2 ；
x 1
（3） x2 y2 x y ． x y
解：（1）正确．分子分母除以x ；（2）不正确．分子乘x，而分母没乘；（3）正确．分子分母除以（x -y）．
探索新知 2
归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用分式的基本性质时应注意什么？（3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程。
布置作业
教科书P133习题15.1第4、6题.
（1）2bc ac
；（2）（x
y）y xy 2
；（3）（xx2
xy y）2
；（4）mm22
m． 1
解：（1）2bc 2b ； ac a（2）（x ຫໍສະໝຸດ y）y x y ；xy 2
xy
变式训练
练习3 约分：
（1）2bc ac
；（2）（x
y）y xy 2
；（3）（xx2
xy y）2
；（4）mm22
类比分数的基本性质，得到：分式的基本性质：

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3 3 2 x x x x 知 . xy xy x y
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
为什么给出 c 0 ?
为什么本题未给 x 0 ?
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
(四)知识拓展深化提高
） ab （ 2a b （ (1) 2 , 2 2 ab ab a ab
(二) 启发诱导
探索新知
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
用字母表示为: A A M A A M , . B BM B B M (其中M是不等于零的整式 )
人教版义务教育课程标准实验教材
大朗第一中学庞静
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（一）自学互动、发现新知
•活动２创设情境设问质疑建立模型复习猜想 .１.已知正方形的面积为１，求下列阴影部分面积．观察、对比各图形中的阴影部分面积，你能发现什实验验证说理尝试抽象建模概念明晰么结论？应用拓展例题学习变式学习反馈拓展小结作业互动回顾布置作业
1 2 1 4
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
1 8
S1=
结论： 1 2 4
2 4 8
1 2
2 S2= 4
S3=
4 8
分数的分子、分母都乘以（或除以）一个不为０的数，分数的值不变.
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
c c (C) ba ab
c c (D) ba a b
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
(四)知识拓展深化提高
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
填空： 1 （）（ 1）２ xy 2 xy （） 3x （ 2） 2 2 x y x y 30 m 5 mn （ 3） 24 n （） 2 ab b a b （ 4） 2 ab b （）
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
问题（1）上式由左边到右边是如何变形的? 问题（2）上式由右边到左边又是如何变形？分式的分子、分母同乘 (或除以)一个不等于0的数，分式的值不变.
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（五）小结新知、画龙点睛
你的收获是…… 你的困惑是…… 你的感受是……
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（六）布置作业复习巩固
1.基础题
2.拔高体
3.拓展体
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
2
2
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
ab ( ) (3) 2 ab ab
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
(四)知识拓展深化提高
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号 . ⑴ ⑵ ⑶
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
3a 7b
2x 5y
10m 3n
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
(四)知识拓展深化提高
1.下列各式成立的是（ D
c c （A） ba ab
）
c c (B) a b a b
(二) 启发诱导
探索新知
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
x 1 你们认为分式“ ”与“ ”；分式 3x 3 2 n n “ ”与“ ”相等吗？说一说理由。 mn m
类比分数的基本性质，你发现分式有什么性质？说说看！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（一）自学互动、发现新知
•活动２创设情境设问质疑建立模型复习猜想 .１.已知正方形的面积为a．观察、对比下列的图形中的阴影部分面积，你能实验验证说理尝试抽象建模概念明晰发现什么结论？应用拓展例题学习变式学习反馈拓展小结作业互动回顾布置作业
1 2 1 4
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
1 a S1= 2
1 8
2 S2= 4 a
S3=
4 a 8
1 2 4 a a 结论： a 2 4 8
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（一）自学互动、发现新知
1 •活动２创设情境设问质疑建立模型复习猜想 .２已知正方形的面积为 a 实验验证说理尝试抽象建模概念明晰观察、对比下列的图形中的阴影部分面积，你能发现什么结论？应用拓展例题学习变式学习反馈拓展小结作业互动回顾布置作业
2
）
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
xy x y x （） x (2) , （） 2x x 2 x x
2 2
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
(四)知识拓展深化提高
9mn m (1) 3 36n ( ) x xy x y (2) 2 x ( )
s1
1 2
s2
2 4
s3
4 8
4 a 8
1
a
1 a
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
1 a 2
1 2a
2 a 4
2 4a
4 8a
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（一）自学互动、发现新知
1 2 4 a 2a 8a
板书设计说明
一.教材分析二.学情分析三.教学目标四.教法学法分析
性质内容
16.1 分式的基本性质
例题
符号表示
练习
五.教学过程分析六.评价分析
评价分析
体验过程
认知结构
获得结果良好思维习惯
Thank you very much!
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
(三)
讲练结合巩固新知
例1 . 下列等式的右边是怎样从左边得到右边的？
a ac c 0 (1) 2b 2bc
x3 x 2 (2) xy y
解: (1)由 c 0 , a a c ac 知 2b 2b c 2bc . (2) 由 x 0,
1 2 1 4
4.知识拓展深化提高
5.小结新知画龙点睛 6.布置作业复习巩固
1 S1= 2a
1 8
2 S2= 4 a
S3=
4 8a
1 2 4 结论： 2a 4a 8a
教学过程
1.自学互动发现新知 2.启发诱导探索新知 3.讲练结合巩固新知
（一）自学互动、发现新知
阴影
正方形面积面积