山西省忻州市17学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列课堂练习(无答案)2_3
高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列一、学习任务1. 了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列．2. 通过实例理解两点分布、超几何分布，理解其公式的推导过程，并能简单的运用．二、知识清单离散型随机变量的概念离散型随机变量的分布列三、知识讲解1.离散型随机变量的概念在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable）．随机变量常用字母 ，，，， 表示．如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．X Y ξη⋯X 投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数 D．出现正、反面次数之和解：A掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一个随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量 ， 的取值是 ，，故选 A．而 B 中的事件是必然事件，C 中掷硬币次数是 ，不是随机变量，D 中对应的事件是必然事件，故选 A．ξξ011下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数 ；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数 ；③一天之内的温度 ；④一位射手对目标进行射击，击中目标得 分，未击中目标得 分，用 表示该射手在一次射击中的得分．其中 是离散型随机变量的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：B根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是不是离散型随机变量，就是看这一变量的所有可能的取值是否可以一一列出．①②④中的 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 可以取某一区间内的一切值，不可以一一列出．X X X 10X X X X。
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用(1)
二项分布及其应用（一）本试卷满分55+5分一．选择题（每小题5分，共25分）1．下列关于条件概率说法正确的是 ( )A ．P(A|B)＝P(B|A)B ．P(A∩B|A)＝P(B)C ． P(AB)P(B)＝P(B|A)D ．P(A|B)＝n(AB)n(B)2．三人独立解一道数学题，他们能解答的概率依次为15、13、14，则能解答此题的概率是 ( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.125 D ．0.753．抛掷红、蓝两个骰子，事件A ＝“红骰子出现4点”，事件B ＝“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P(A|B)为 ( ) A ．12 B ．536 C ．112 D ．164．某人射击的命中率是0.8，他对某一目标进行射击，直到击中为止，则射击进行了3次的概率为 ( )A ．0.008B ．0.128C ．0.032D ．0.5125．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为 （ ） A ．35 B ．25 C ． 110 D ．59二.填空题（每小题5分，共10分）6．若P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，则P(A|B)＝_ __， P(B|A)＝ __ ．7．一射手对同一目标射击4次，若至多命中3次的概率为175256，则该射手射击1次的命中率为 ．三.解答题（每小题10分，共20分）8．从一副扑克牌（共52张，去掉大小王）中任意抽取一张，求:（1）这张牌是红桃的概率是多少?（2）这张牌是有人头像（J 、Q 、K ）的概率是多少？（3）在这张牌是红桃的条件下，有人头像的概率是多少？9．某班从6名学生（4男2女）中任选3人参加学校的义务劳动（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列（2）求男生甲或女生乙被选中的概率（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B）和P（B|A）附加题（5分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为43215555，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手至多进入第三轮考核的概率是2。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量教案 新人教A版选修2-3
2.1.1 离散型随机变量教学内容分析：教科书以学生熟悉的掷骰子实验和掷硬币实验为例引入随机变量的概念学情分析：学生第一次接触随机变量，学生中会有一定的困难教学目标：知识与技能：1、理解随机变量的意义；2、学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3、理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量；过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣教学重点与难点重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义；难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义；教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：分析法，讨论法，归纳法教学过程：一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4、离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量5、例题赏析：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，… η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点6、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536；D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．四、作业布置：。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列学案 新人教A版选修2-3-新
2．1.2 离散型随机变量的分布列1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列．3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．,1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0，i＝1，2，…，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝x i）＝p i，i＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2．两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1－p p若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 0 1 … mPC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC n N其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M ，N ，n .(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A.ξ －1 0 1 P0.30.40.4B.ξ 1 2 3 P0.40.7－0.1C.ξ －1 0 1 P0.30.40.3D.ξ 1 2 3 P0.30.10.4答案：C若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ＝0；若x y为小于1的分数，则ξ＝－1；若x y为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使x y为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 离散型随机变量的分布列的性质设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ck （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P120920920 1201．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为η 0 1 P12122．[变条件]将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P18383818求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．(2018·昆明质检)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755C.27220D.2125解析：选C.X ＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．随机变量η的分布列如下η 1 23 4 5 6 P0.2x0.350.10.150.2则x ＝________，P (η≤3)＝________． 解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ＜2)． 解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3. 则P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P13512351835435P (ξ＜2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝135＋1235＝1335.知识结构深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义., [A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10D ．25解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14C.16D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C.3．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝A.712 B.512C.14D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B.4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )287C.1556 D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.68．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 所以m ＝0.3. 列表为：(1)2X ＋1的分布列为：(2)|X －1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列． 解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A . 基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31.事件A 包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P (A )＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能值为1，2，3，4，5. 又P (X ＝1)＝C 1531＝531，P (X ＝2)＝C 2531＝1031，P (X ＝3)＝C 3531＝1031，P (X ＝4)＝C 4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为11．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3]D ．[0，1]解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列． 解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313028651113014．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
题型探究
类型一 求随机变量的方差与标准差
例1 已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
1 2
1 4
a
(1)求X2的分布列；
解答
(2)计算X的方差；
解答
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解 因为Y＝4X＋3， 所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
解答
反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出 错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝ E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用， 如D(aX＋b)＝a2D(X).
解答
反思与感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第 二步代入相应的公式求解.若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从 二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).
跟踪训练2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； 解 用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1. ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p) (其中p为成功概率)
__n_p_(_1_－__p_) _
[思考辨析 判断正误]
1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( × ) 2.若a是常数，则D(a)＝0.( √ ) 3.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.
( √)
跟踪训练1 已知η的分布列为
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的
思考3 如何求每个西瓜的平均重量？ 答案 5×4＋6×123＋7×5＝5×13＋6×14＋7×152＝1723.
梳理 (1)离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值或数 学期望，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
解 ξ的分布列为
ξ0
1
2
3
4
P
1 2
1 20
1 10
3 20
1 5
ξ 的均值 E(ξ)＝0×12＋1×210＋2×110＋3×230＋4×15＝32.
12345
解答
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值. 解 E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又 E(ξ)＝32， 则 a×32＋4＝1，∴a＝－2.
(2)均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
知识点二 两点分布、二项分布的均值
1.两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝ p . 2.二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝ np .
[思考辨析 判断正误]
1.随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.( × ) 2.随机变量的均值与样本的平均值相同.( × ) 3.若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( √ )
5
C.2
D.3
解析 E(X)＝1×35＋2×130＋3×110＝32.
12345
解析 答案
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用预习案
2.2 二项分布及其应用§2.2.1 条件概率【教学目标】1．知识与技能①了解条件概率及其性质．②理解条件概率的两种计数方法，并会进行简单的应用．2．过程与方法通过与普通概率的对比，理解条件概率的概念；通过例题讲解归纳条件概率的计 算方法3．情感、态度、价值观条件概率是学习相互独立事件概率的基础，也是前面所学概率的延续，要注意理 解.【预习任务】阅读课本P51 P531．对比教材的“探究”与“思考”，请从基本事件的角度说明这两个问题的区别。
1． 设A 、B 是两个事件，则事件AB 与事件B|A 分别表示什么样的事件？P （B|A ）是否等于P （B ）P （A ）？为什么？试举例说明3．写出条件概率的概率计算公式4．写出条件概率的性质.【自主检测】1．课本P54练习1，22．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=_______.3．在一个盒子中有大小一样的20个小球，其中10个红球，10个白球，求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率.【组内互检】P(B|A)的计算公式§2.2.2 事件的相互独立性【教学目标】1．知识与技能理解事件独立性的含义，能利用公式计算相互独立事件的概率．2．过程与方法在具体的情景中体会事件的独立性的含义，通过例题归纳独立事件的概率计算公 式.3．情感、态度、价值观相互独立事件同时发生的概率是实际生活中经常遇到的实例，要培养把实际问题 转化为数学问题的能力.【预习任务】阅读课本P54-P55，完成下列问题:1． 用文字语言叙述两个事件相互独立的含义？并举出生活中的实例.2．写出相互独立事件的概率计算公式.3．（1）说明“条件概率”与“相互独立事件的概率”的区别与联系.（2）说明“互斥事件”和“相互独立事件”的区别.【自主检测】1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜率相同，则甲队获得冠军的概率为 （ ）A ．34B ．23C ．35D ．122．3人独立地翻译密码，每人译出此密码的概率为0.35,0.30,0.25,试求（1）3人同时译出此密码的概率；（2）3人都未能译出此密码的概率；（3）至多有2人译出此密码的概率；（4）恰有1人译出此密码的概率；（5）此密码被译出的概率.【组内互检】相互独立事件的概率计算公式§2.2.3 独立重复试验与二项分布【教学目标】1．知识与技能理解n 次独立重复试验的概念，理解二项分布的定义掌握二项分布的应用，能进行一些与n 次独立重复试验及二项分布有关的概率计算2．过程与方法通过具体情境体会n 次独立重复、二项分步的特征，能在实际问题中判断出二 项分步，并加以应用3．情感、态度、价值观二项分步是常考的知识点，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，，要认真体会独立重复试验的特征学会应用.【预习任务】阅读课本P56～57，完成下列问题：1. 写出n 次独立重复试验的概念，并举出生活中的实例.2．总结n 次独立重复试验的特征.3．写出n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式．4．写出二项分布的分布列及记号.5．写出二项分布与两点分布的关系？【自主检测】1．.设随机变量X 服从)31,5(B ,则==)3(X P ________.2．9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率均为0.5，若1个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则需要补种，求（1）甲坑不需要补种的概率；（2）3个坑中恰好有1个坑需要补种的概率；（3）有坑需要补种的概率.【组内互检】n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、二项分布的特征§2.2.4 二项分布及其应用小结与复习【教学目标】1．知识与技能①巩固条件概率、相互独立事件和n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率的计算； ②能在具体问题中判断事件间的关系，恰当选择公式进行概率的计算2．过程与方法通过例题体会如何判断事件间的关系，恰当选择公式进行概率的计算．3．情感、态度、价值观该部分是高考的重点，需要掌握三种概率、一种分布的本质特征，培养把实际问题转化为应用问题的能力.【预习任务】1．写出条件概率的计算公式：2．写出相互独立事件的概率计算公式：3．写出n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率计算公式：4．如何判断随机变量服从二项分布，并写出二项分布的分布列：【自主检测】1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，求他语文也不及格的概率．2．一名学生每天骑车上学，从他家到学校途中有4个交通岗，设他在每个交通岗遇到 红灯的事件相互独立且概率为31. （1）设随机变量X 表示这么学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；（2）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3．甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是4332、，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.（1）求甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率：（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率：（3）假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击，问：乙恰好射击5次被终止的概率.【组内互检】如何判断随机变量服从二项分布。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分
所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则 所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝CC02C36 34＋CC12C36 24＝45. 答案：45
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
复习课件
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分布与超几何分布同步课件 新人教A版选修2-3
1
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列 第 2 课时 两点分布与超几何分布
[学习目标] 1.理解两点分布，并能进行简单的应用 (重点)． 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简 单的应用(重点、难点)．
X0
1 …M
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随
机变量 X 服从超几何分布．
温馨提示 两点分布的随机变量 X 只能取 0 和 1，否 则，只取两个值的分布不是两点分布．
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选
解析：(1)依据题意，得 0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得 a＝0.1. ∵乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2， ∴乙射中 7 环的概率为 1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η 的分布列分别为
ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2
1.8)2×0.1＝1.56.
所以 D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
[错因与防范] (1)解答本例易将方差的性质用错，即 D(aZ＋b)＝aD(Z)＋b. (2)解决此类问题方法，应利用公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，将求 E(aX＋b)，D(aX＋b)的问题转化为求 E(X)，D(X)的问题，从而可以避免求 aX＋b 的 分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算.
解决此类问题的第一步是判断随机变量 ξ 服从什么分布，第二步代入相应的公式求 解．若 ξ 服从两点分布，则 D(ξ)＝p(1－p)；若 ξ 服从二项分布，即 ξ～B(n，p)，则 D(ξ)＝np(1－p)．
2．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯 这一事件是相互独立的，并且概率是13. (1)求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差； (2)若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 η 的期望与方差． 解析：(1)易知司机遇上红灯次数 ξ 服从二项分布，且 ξ～B6，13， ∴E(ξ)＝6×13＝2，D(ξ)＝6×13×1－13＝34. (2)由已知 η＝30ξ， ∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
[随堂训练]
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布小结测标题(无答案)新人教A版选
第二章 随机变量及其分布本试卷满分45+5分一．选择题（每小题5分，共15分）1．抛掷两次骰子，两次出现的总数之和不等于8的概率为 ( ) A ．1112 B ． 3136 C ． 536 D ． 1122．设ξ是一个随机变量，且D(10ξ)＝40，则D （ξ）＝ ( )A.0.4B.4C.40D.4003．甲盒中有200个螺杆,其中有160个A 型的;乙盒中有240个螺母,其中有180个A 型的,现从甲乙两盒中各任取一个,则能配成A 型螺栓的概率为 ( )A.120B.1516C.35D.1920二．填空题（每小题5分，共10分）4．设X ～Ｎ(0,1),则P(｜X ｜＞1)＝ ．5．在等差数列{ a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{ a n }的前10项中随机取数，每次取一个，取后放回，连取3次，假定每次取数都互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两正一负的概率为 ．三．解答题（每小题10分，共20分）6．A 、B 、C 三名乒乓选手间的胜负情况如下：A 胜B 的概率为0.4，B 胜C 的概率为0.5，C 胜A 的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：A 与B ；第二轮：第一轮的胜者与C ；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者； 第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．求：（１）B 连胜四轮的概率;（２）C 连胜三轮的概率．7. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．附加题（5分）ξ，则小白某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若E()=4.2得5分的概率至少为2。
山西省忻州市17学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差预习案2_3
2.3 离散型随机变量的均值与方差§2.3.1 离散型随机变量的均值【教学目标】1．知识与技能理解离散型随机变量的均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值．2．过程与方法通过实例理解期望的意义；通过例题体会正确写出随机变量的分布列是计算均值的关键，并总结步骤.3．情感、态度、价值观离散型随机变量的分布列、均值是本部分的重点知识，是高考的知识点，对生产、生活中有现实的指导意义，需要熟练应用.【预习任务】阅读课本P60 P63，完成下列问题：1．举例说明加权平均数的含义是什么？2．写出离散型随机变量X的均值计算公式为：3．举例说明为什么离散型随机变量X的均值E(X)反映了取值的平均水平？4．设X为离散型随机变量，且Y=aX+b，写出随机变量Y的分布列.并写出E（Y）与E（X）有的关系.5．写出二项分布的均值计算公式：【自主检测】1．课本P64练习2 5题2．袋中有6个红球、4个白球，从中随机任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设X为取得红球的次数，则E(X)=3．某种种子每粒发芽的概率都为0.09，现种了1000粒，对于没发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则E(X)=【组内互检】离散型随机变量X的均值计算公式、二项分布的均值计算公式§2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】1．知识与技能了解离散型随机变量的方差的概念,会计算简单的离散型随机变量的方差．2．过程与方法通过实例理解方差的实际意义，体会正确写出随机变量的分布列是计算方差的关键，通过例题熟悉方差计算公式.3．情感、态度、价值观体验数学的价值，增强学习数学的兴趣.【预习任务】阅读课本P64-P67，完成下列问题：1．写出初中所学方差的计算公式及方差的意义。
2．已知离散型随机变量的分布列，写出方差的计算公式及其意义。
3．设X为离散型随机变量，且Y=aX+b，则D(X)=_________.4．若随机变量X服从两点分布，则D（X）=若X服从二项分布，则D（X）=【自主检测】1．课本P68练习1-2题2．已知X～B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6，则n,p的值分别是3．设袋中有a个红球，b个黄球，c个篮球，规定：取一个红球得1分，取一个黄球得2分，取一个篮球得3分。
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布
第二章《离散型随机变量及其分布列》
【教学目标】
1．知识与技能
使知识条理系统，题型归类；能应用所学知识和方法解答与分布列、均值、方差
等有关的实际问题.
2．过程与方法
通过学生对知识的总结，使学生知识更条理系统，通过对典型例题的讲解归纳，
掌握本章题型基本方法，体会实际问题抽象为数学问题的化归思想.
3．情感、态度、价值观
该部分是高考的重点知识，要注意方法的掌握,在强化知识间的联系中，培养学生分析问题、解决问题的能力.
【预习任务】
1．写出离散型随机变量的特点及求离散型随机变量分布列步骤：
2．分别写出条件概率、相互独立事件、n次独立重复试验恰好发生k次的概率计算公式：
3．已知离散型随机变量X的分布列，写出E(X)、D(X)的计算公式及各自的意义：
4．分别写出下列分布的特点、分布列与其均值、方差：
（1）两点分布
（2）二项分布及均值、方差的计算公式
（3）超几何分布
（4）正态分布的均值、方差
【自主检查】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）,现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
（1）求X的分布列及E(X)、D(X).
(2) 若Y=aX+b ,E(Y)=1,D(Y)=11,求a,b的值.
【组内互检】
离散型随机变量X的分布列，写出E(X)、D(X)的计算公式及各自的意义
【本章知识结构】
2。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列教材梳理素材 新人教A版选修23
2.1 离散型随机变量及其分布列庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量1.随机变量在一些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且这个变量X 是随着试验的结果的变化而变化的，我们把这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用字母X ，Y ，ξ，η……表示.2.随机变量的特征（1）不确定性（随机性）.即在试验之前，不能确定随机变量的结果；（2）随机变量和函数一样是一种映射，它把随机试验的结果映为实数；（3）可类比性.可类比函数进行理解，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.知识拓展 随机变量X 是和随机事件A 互相对应的.随机变量X 的取值x 1,x 2,…是和A 中的随机事件A 1，A 2，…一一对应的；随机变量X 中的每个取值x 1,x 2,…的概率P(X=x 1)，P(X=x 2),…分别等于随机事件A 1,A 2,…所发生的概率P(A 1),P(A 2)….随机变量X 不但有取值范围，而且还要有取值的概率，这是和通常的变量所不同的地方.辨析比较 要注意区分随机变量ξ(u)与以前所学函数f(x)，这是两个不同的概念.函数f(x)是研究确定性现象的，它定义在实数轴上，有确定的因果关系，概率中的随机变量是研究随机现象的，它定义在由全部试验结果所组成的集合上，它的取值是不能预知的.我们研究随机变量，关心的是随机变量能取哪些值，即都包含哪些试验结果（基本事件），以及注意研究它的统计规律.3.离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.如：抛掷骰子向上的面的点数是离散型随机变量，它的取值只有1，2，3，4，5，6这六个结果.二、离散型随机变量的分布列1.X 的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…x n ,X 取每一个值x i (i=1,2,…,n)的概率P(X=x i )=P i ，以表格形式表示如下：X ｘ1 ｘ2 … ｘｉ … ｘn P ｐ1 ｐ2 … ｐI … ｐn 这个表格称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.要点提示 X 的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律性.为了表达简单，也用等式P(X=x i )=p i ,i=1,2,…,n 表示X 的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质（1）p i ≥0,i=1,2,…,n;（2）∑=ni iP 1=1. 性质：（1）是由概率的非负性所决定的.性质（2）是因为一次试验的各种结果是互斥的，而全部结果之和为一必然事件.深化升华 由于离散型随机变量取的各个可能值之间彼此互斥，因此离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.方法归纳 求离散型随机变量的分布列的步骤：①首先确定随机变量X 的取值有哪些；②求出每种取值下随机事件的概率；③列表对应，即为分布列.上述步骤的关键是各随机事件的概率的计算.3.两点分布如果随机变量X 的分布列是X 0 1P 1-ｐ ｐ我们称这样的分布为两点分布列.如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率. 深化升华 两点分布又称0-1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以这种分布还称为伯努利分布.两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用两点分布来研究.两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1.4.超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取ｎ件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为P {X=k}=n Nk n M N k M C C C --,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}，且n≤N,M≤N, n,M,N∈N *，称分布列X0 1 … ｍ P n Nn M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N m n M N m M C C C -- 为超几何分布列.如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布.超几何分布列给出了求解这类问题的方法，可以做公式直接运用求解，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前提下记忆.在超几何分布中，只要知道N ，M 和ｎ，就可以根据公式，求出X 取不同ｍ值时的概率P （X=ｍ），从而列出X 的分布列.疑点突破 在模型应用中，有时所遇到的问题是直接符合超几何分布的，这时只需直接利用模型即可；而有时需要构造或转化才可以利用.如从10名女生和15名男生中任选5名参加校体操队，求至少有3名女同学被选中的概率.此题与模型对照有点差别，但稍作转化再比较便知，设取出女生数为X ，则N=25，ｎ=10，M=5.就可以借助于模型处理了. 问题·探究问题1 随机变量是映射吗？它与函数的区别与联系是什么？思路:随机变量和函数一样，也是一个映射.随机变量是人为的把随机试验的结果映为实数，这与函数概念的本质是一样的.只不过函数是把实数映为实数.在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.探究:随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件，在学习时，我们要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系.问题2 如果已知某离散型随机变量的分布列如下Ξ 1 2 … ｋ … 9 10P b ab … a k-1b … a 8b A 9你能根据上表及离散型随机变量的性质发现ａ和ｂ的关系吗？思路:离散型随机变量的分布列有两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,…,n;（2）∑=n i iP 1=1.由性质（2）可得∑=-911k k a b+a 9=1,则 ∑=-911k k ab=1-a 9⇔b ∑=-911k k a =(1-a)∑=-911k k a ，所以可得b=1-a,即a+b=1.再由分布列的性质（1）知各个值对应的概率应为非负实数.综上可以发现ａ与ｂ必须满足：①a≥0,b≥0；②a+b=1.探究:求分布列可以分为以下几步：(1)明确随机变量的取值范围；(2)求出每一个随机变量值的概率；(3)列成表格得分布列.分布列的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.典题·热题例1下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数ξ；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数ξ；③一天之内的温度ξ；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射击手在一次射击中的得分.其中ξ是离散型随机变量的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④思路分析：根据离散型随机变量的定义，可知①②④中的ξ可能取的值，可以按一次序列出，而③中的ξ可以取某一区间内的一切值，属于连续型的随机变量，故选B. 答案：B方法归纳 判断一个随机变量是否是离散型随机变量，就是看这一变量的所有可能的取值是否可以一一列出.例2袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.求取球次数X 的概率分布列.思路分析：要求取球次数X 的概率分布列，需先写出X 的可能取值，然后求出X 中每一个可能值的概率.本题在求概率时要注意题中条件，每次从中任取一球，且每次取出黑球不再放回.解： X 的可能取值为1，2，3，4，5，则第1次取到白球的概率为：P （X=1）=51， 第2次取到白球的概率为：P （X=2）=514154=⨯， 第3次取到白球的概率为：P （X=3）=51314354=⨯⨯， 第4次取到白球的概率为：P （X=4）=5121324354=⨯⨯⨯， 第5次取到白球的概率为：P （X=5）=511121324354=⨯⨯⨯⨯， 所以X 的分布列是：X 12 3 4 5 P 51 51 51 51 51拓展延伸 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的概率分布列.思路分析： 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6.“X=3”对应条件“取出3个球，编号为1，2，3”；“X=4”对应条件“取出3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”；“X=5”对应条件“取出3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”； “X=6”对应条件“取出3个球中恰好取到6号球和1，2，3，4，5号球中的2个”. 而要求其概率则要利用古典概型的概率公式和排列组合知识求解，从而获得X 的分布列. 解：随机变量X 的可能取值为3，4，5，6.从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为36C ，事件“X=3”包含的基本事件总数为33C ；事件“X=4”包含的基本事件总数为2311C C ；事件“X=5”包含的基本事件总数为2411C C ；事件“X=6”包含的基本事件总数为2511C C .于是有P （X=3）=2013633=C C ；P （X=4）=203362311=C C C ；P （X=5）=103C 362411=C C ； P （X=6）=21362511=C C C . 所以随机变量X 的分布列为X 34 5 6 P 201 203 103 21 方法归纳 确定离散型随机变量X 的分布列，要根据其常规步骤来执行.其关键是要搞清X 取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列组合知识求出X 取每个值的概率.例3（2005山东高考）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为71，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 ξ表示取球终止所需要的取球次数.（1）求袋中所有的白球的个数；（2）求随机变量ξ的概率分布；（3）求甲取到白球的概率.思路分析：（1）求袋中原有白球的个数，需设出白球的个数，利用古典概型公式，列出方程组求解;（2）写出ξ的可能取值，求出相应概率，写出ξ的分布列;（3）利用所求的分布列，甲取到白球的概率为P (A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5).解：(1)设袋中原有n 个白球,由题意知67)1(2672)1(71272⨯-=⨯-==n n n n C C n . 可得 n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.(2)由题意, ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ=1)=73;P(ξ=2)=726734=⨯⨯;P(ξ=3)=356567234=⨯⨯⨯⨯; P(ξ=4)=35345673234=⨯⨯⨯⨯⨯⨯; P(ξ=5)=3513456731234=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 所以ξ的分布列为Ξ 12 3 4 5 P 73 72 356 353 351 (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第五次取球, 记“甲取到白球”为事件A ，则P （A ）=P （ξ=1）+P(ξ=3)+P(ξ=5)=3522。
山西省忻州市2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列(1)测标题(无答案
离散型随机变量及其分布列（一）本试卷满分50+5分一、选择题（每小题5分，共5分）1．在10件产品中，有3件是次品，现从中任取2件，如果用随机变量ξ表示取到次品的件数，那么 ( )A ．ξ的取值为0，1B ．ξ的取值为1，2C ．ξ的概率分布为32,211,72D ．ξ的概率分布为151,157,157 二、填空题（每小题5分，共25分）2．某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率是___________．3．若随机变量X 所有可能的取值为1,2,3,4,5，且P （X ＝k ）=ck ，则常数c=P(2≤X ≤4)= ．4．100个乒乓球中，有5只是不合格的，现从中抽出10只，用X 表示次品数，则P （X ＝2）＝ （填表达式）．5．从每组6人的4个小组中，任选4人去开座谈会，恰好3个是组长的概率表达式为 ．6．生产方提供20箱的一批产品，其中有2箱不合格，采购方接受该产品的准则是：从该批产品中任取3箱，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是三、解答题（每小题10分，共20分）7．一个袋中有六个大小同样的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列.8.(2020湖南)某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列.附加题（5分）若随机变量X的概率分布列为：试求出常数c。
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列§2.1.1 离散型随机变量及其分布列一【典型范例】（以下内容不要求学生预习时完成）例1．写出下列各随机变量可能取值：(1)抛掷一枚骰子得到的点数．(2)袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数(3)抛掷两枚骰子得到的点数构成的数对之和(4)某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数．(5)某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽．求这名射手的射击次数X的可能取值．例2．随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的分布列．例3：课本P49页练习3【课堂检测】1．将1枚均匀硬币连续投掷3次，用X表示“正面向上的次数”，则随机变量X满足0≤X≤2所对应的随机事件是（）A．只有两次正面向上B．至多两次正面向上C．至少两次正面向上D．无两次正面向上2．先后抛掷1个骰子2次，以下的随机变量可能取哪些值？（1）两次投掷出的最大点数（2）两次掷出的点数之和（3）第一次与第二次掷出的点数之差【典型范例】（以下内容不要求学生预习时完成）例1．P47例2例2．P48例3例3．盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒子中任取2个球，若X表示从盒子中取出的4个球中所包含的黑球的个数，求X的分布列【课堂检测】1．课本P50页B组12．课本P50页B组2【典型范例】（以下内容不要求学生预习时完成）例1．设随机变量X 的分布列P(X=k 5)=ak(1,2,3,4,5k =)． (1)求常数a 的值；(2)求P(X ≥35)；(3)求P(110<X<710)．例2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用ξ表示分数，求ξ的概率分布．例3．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖1张，可获取价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获取价值10元的奖品；其余6张设有奖。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1 离散型随机变量及其分布列
§2.1.1 离散型随机变量及其分布列一
【典型范例】（以下内容不要求学生预习时完成）
例1．写出下列各随机变量可能取值：
(1)抛掷一枚骰子得到的点数．
(2)袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数
(3)抛掷两枚骰子得到的点数构成的数对之和
(4)某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数．
(5)某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中
就一直射到子弹耗尽．求这名射手的射击次数X的可能取值．
例2．随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的分布列．
例3：课本P49页练习3
【课堂检测】
1．将1枚均匀硬币连续投掷3次，用X表示“正面向上的次数”，则随机变量X满足0≤X≤2所对应的随机事件是（）
A．只有两次正面向上B．至多两次正面向上C．至少两次正面向上D．无两次正面向上2．先后抛掷1个骰子2次，以下的随机变量可能取哪些值？（1）两次投掷出的最大点数
（2）两次掷出的点数之和
（3）第一次与第二次掷出的点数之差
【典型范例】（以下内容不要求学生预习时完成）
例1．P47例2
例2．P48例3
例3．盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒子中任取2个球，若X表示从盒子中取出的4个球中所包含的黑球的个数，求X的分布列
【课堂检测】
1．课本P50页B组1
2．课本P50页B组2
【典型范例】（以下内容不要求学生预习时完成）
例1．设随机变量X 的分布列P(X=k 5
)=ak(1,2,3,4,5k =)． (1)求常数a 的值；(2)求P(X ≥35)；(3)求P(110<X<710
)．
例2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用ξ表示分数，求ξ的概率分布．
例3．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖1张，可获取价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获取价值10元的奖品；其余6张设有奖。
某顾客从这10张奖券中任取2张，求
（1） 该顾客中奖的概率该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列。
【课堂检测】
袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球
（1）求得分X 的概率分布
（2）求得分大于6分的概率。