高一数学新课标B版必修一函数应用题归类分析
新高一数学必修一b版知识点
新高一数学必修一b版知识点数学是一门基础学科，对于学生的学习能力和数学素养的培养具有重要意义。
在高中数学课程中，必修一B版是新高一数学课程的重点内容之一。
本文将为大家介绍新高一数学必修一B版的知识点。
1. 函数与导数函数与导数是高中数学中的重要概念，也是必修一B版中的核心内容。
在这一部分中，我们将学习到以下几个知识点：- 函数的性质和图像：包括奇偶性、周期性、单调性等。
我们需要了解函数的性质对函数图像的影响，掌握绘制函数图像的方法。
- 导数的概念与基本性质：明确导数的定义，学习导数的四则运算法则，以及一些基本导数公式。
同时，应用导数来解决函数的极值、图像的变化趋势等问题。
- 函数的应用：函数在实际问题中的应用，如利用函数模型进行问题的建立和求解。
掌握利用函数模型解决实际问题的方法。
2. 数列与数项数列与数项是高中数学中的另一个重要知识点。
在必修一B版中，我们将学习以下内容：- 等差数列与等比数列：了解等差数列和等比数列的定义与性质。
学会求解数列中的各种问题，如通项公式、前n项和等。
- 递归数列与特殊数列：掌握递归数列的定义与性质，了解斐波那契数列等一些特殊数列的特点及其应用。
- 数列求和问题：学会求解数列的部分和、前n项和和无穷级数的和。
熟练掌握数列求和的相关公式和方法。
3. 三角函数三角函数是数学中的重要分支之一，也是必修一B版中的一大知识点。
在这部分中，我们将学习以下几个知识点：- 三角函数的基本概念：熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义与性质。
学会与三角函数相关的一些重要公式和性质。
- 三角函数的图像与性质：了解三角函数图像的形状和变化规律，掌握绘制三角函数图像的方法。
- 三角函数的应用：学会利用三角函数解决实际问题的方法。
如利用正弦定理和余弦定理解决三角形相关的问题等。
4. 几何矩阵在几何学中，矩阵是一个重要的概念。
在必修一B版中，我们将学习以下内容：- 矩阵的定义：明确矩阵的概念和性质，掌握矩阵的基本运算法则。
高中数学必修一常见题型归类
常见题型归类第一章集合与函数概念集合题型1 集合与元素题型2 集合的表示^题型3 空集与0题型4 子集、真子集题型5 集合运算题型已知集合，求集合运算题型已知集合运算，求集合题型已知集合运算，求参数题型6 “二维”集合运算题型6 自定义的集合函数及其表示|题型1 映射概念题型2 函数概念题型3 同一函数题型4 函数的表示题型5 已知函数解析式求值题型6 求解析式题型7 定义域题型求函数的定义域题型已知函数的定义域问题，题型8 值域题型图像法求函数的值域题型转化为二次函数，求函数的值域题型转化为反比例函数，求函数的值域题型利用有界性，求函数的值域题型单调性法求函数的值域题型判别式法求函数的值域题型几何法求函数值域题型9 已知函数值域，求系数~函数的基本性质单调性题型1 判断函数的单调区间题型2 已知函数的单调区间，求参数题型3 已知函数的单调性，比较大小题型4 已知函数的单调性，求范围函数的基本性质奇偶性题型1 判断函数的奇偶性-题型2 已知函数的奇偶性，求解析式题型3 已知函数的奇偶性，求参数题型4 已知函数的奇偶性，求值或解集等函数的图像题型1 函数图像题型2 去绝对值作函数图像题型3 利用图像变换作函数图像题型4 已知函数解析式判断图像~题型5 研究函数性质作函数图像题型6 函数图像的对称性第二章基本初等函数指数函数题型1 指数运算7题型2 指数函数概念题型3 指数函数型的定义域、值域…题型4 指数函数型恒过定点题型5 单调性题型6 奇偶性题型7 图像题型8 方程、不等式对数函数题型1 对数运算题型2 对数概念^题型3 对数函数型的定义域、值域题型4 对数函数型的恒过定点题型5 奇偶性题型5 单调性题型6 对数函数型的图像题型8 方程、不等式幂函数题型1 幂函数概念|题型2 五个重要的幂函数题型3 幂函数性质题型4 求幂函数题型5 比较大小第三章函数的应用函数与不等式&题型1 不等式恒成立、存在问题题型2 一元二次不等式函数与方程题型1 函数的零点题型2 存在性定理题型3 判断函数的零点个数题型4 二分法题型5 求函数的零点(题型6 一元二次方程根的分布函数模型应用题型1函数模型应用第一章 集合与函数概念集合题型1 集合与元素）1.下列各项中,不能组成集合的是 ( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.设集合M={x ∈R|x ≤3},a=2,则 ( )∉M ∈M C.{a}∈M D.{a}∉M3.给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ( ):4.由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含 （ ） 个元素 个元素 C 。
必修一函数题型归纳总结
函数1.函数f : A →B 是特殊的映射。
特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！ 据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点， 但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
【例2】（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数有 个. （2）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝2. 同一函数的概念。
构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
【例3】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。
【例4】（1）函数lg 3y x =-的定义域是__ __（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______.（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________（4）（重要题型）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围 ； ②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围 。
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：①若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤ 解出即可；②若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时， 求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。
高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)课件
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ANALYSIS
SUMMARY
高中数学必修一函数 知识点与典型例题总 结(经典)(适合高一 或高三复习)课件
目录
CONTENTS
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 一次函数与二次函数 • 函数的应用 • 典型例题解析
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ANALYSIS
例题
答案与解析
复合函数是由两个或多个简单 函数通过复合而成的函数。解 题时需注意内外层函数的单调 性。
复合函数的形式为 f(g(x)) 或 g(f(x))，其中 f 和 g 是简单函 数。解题时需要理解内外层函 数的单调性对复合函数的影响 。
求函数 f(x) = log_2(x) 在 [1, 4] 上的值域，其中 g(x) = x^2。
首先确定内层函数 g(x) = x^2 在 [1, 4] 上是增函数，外层函 数 f(x) = log_2(x) 在 [1, 4] 上 也是增函数。然后计算端点处 的函数值，得到最小值为 log_2(1) = 0，最大值为 log_2(4) = 2，所以值域为 [0, 2]。
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详细描述
函数的周期性是指函数图像是否具有重复性。如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x， 都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。判断函数周期性的常用方法是通过观 察函数图像或计算周期的公式。
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SUMMAR Y
03
一次函数与二次函数
一次函数
01
02
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高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分—、函数的概念与表示1、映射：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象13•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
= 2(X) lg X , g(x) 2lg xC、B、f (X) lg+u) - - ,g(v)=1 u”D、f (x) =x,1 vX +1--- ,()决1)+ Ig( - 2、一fX~ Xx 1 =厂 f (X) X2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有y配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式2X X三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
广+ = +广+例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
+2 x y g x例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过—— =1解方程组求得函数解析式。
必修一函数剖析大全与题型分类
函数2.1函数题型分类原则总述函数考题的已知条件和问题的现象比较复杂，为了建立简洁的思路体系，最好是以函数的概念为载体，从学习知识的程序上建立线索，按共同的条件现象或问题现象进行题型分类。
函数：两个集合之间按照某种对应法则的一个映射。
函数的三大考点：独立的一个函数可根据定义分四大考点一、映射与函数的概念：①判断对应关系是不是映射（函数），②求两集合能形成映射的个数二、定义域，值域：只要提到“最大值”，“最小值”，“取值范围”首先联想求定义域值域的方法。
高中阶段定义域有2种题型，值域有4种题型，详见下文知识讲解。
三、对应法则：即y与x的对应关系。
这个定义很抽象，抽象的概念不会直接考察。
它的两种具体表示形式①解析式②图像，是函数的核心考点。
两个函数的关系：主要研究原函数与反函数的关系，反函数作为函数的第四个考点在高考中几乎必考1题。
四、反函数：主要考求反函数，或利用原反函数定义域值域、单调性、奇偶性、对称性关系解题。
2.2映射与函数的基本概念一、映射1、概念：A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。
A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。
在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。
图2-1是映射图2-2是一一映射图2-3不是映射映射概念题型：（一）求映射（或一一映射）的个数，若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有m n个（二）判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。
二、函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。
如图2-4。
高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。
偶尔也用表格表示函数。
函数三要素：定义域A ：x 取值范围组成的集合值 域B ：y 取值范围组成的集合对应法则f ：y 与x 的对应关系。
三种表示形式：解析式、图像、列表函数与普通映射的区别在于：（1）两个集合必须是数集；（2）不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。
人教B版 高一数学必修一 函数部分完整题型总结
人教B版高一数学必修一函数部分完整题型总结一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、命题热点分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。
选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.四、知识回顾（一）本章知识网络结构：定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质（二）考点总结 （1）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数.3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题.4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性.5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质. （2）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景.2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题. 4．知道指数函数是一类重要的函数模型. （3）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题. 3．知道对数函数是一类重要的函数模型. 4．了解指数函数 与对数函数 互为反函数. （4）幂函数1．了解幂函数的概念.2．结合函数 的图像，了解它们的变化情况. （5）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系.2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
高一函数题型及解题技巧
高一函数题型及解题技巧函数是数学中非常重要的一个概念，高中阶段学习的函数包括常用基本函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
掌握函数的概念和特点可以帮助学生更好地理解数学知识，并且在解题过程中能够更加灵活地运用函数的性质和特点。
接下来就让我们来了解一下高一阶段常见的函数题型及其解题技巧。
一次函数一次函数是一种最为基础也最为常见的函数类型，它的一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数。
在一次函数的解题过程中，常见的题型有求解函数的值、求解函数的解析式、函数的图像、函数的特性等。
求解函数的值：对于给定的一次函数y = kx + b，当给定x的值时，我们需要计算出对应的y的值。
这样的题目主要考察对一次函数的计算能力，需要注意根据函数的解析式直接代入x的值并计算得出结果。
求解函数的解析式：有时候我们需要根据已知的函数图像或者函数的性质来求解一次函数的解析式。
这种题型需要根据已知条件列方程组，然后解方程求解函数的解析式。
函数的图像：对于给定的一次函数，有时我们需要根据函数的解析式画出函数的图像。
这里需要注意一次函数的图像是一条直线，根据函数的解析式可以确定其斜率和截距，并且根据斜率和截距可以画出函数的图像。
函数的特性：一次函数的斜率和截距是其最为重要的特性，根据斜率和截距可以确定函数的增减性、奇偶性、单调性等特性。
在解题过程中需要根据函数的特性来分析问题并求解答案。
二次函数二次函数是另外一种比较常见的函数类型，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
在解题过程中，常见的题型有求解函数的值、求解函数的解析式、函数的图像、函数的特性等。
求解函数的值：对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，当给定x的值时，我们需要计算出对应的y的值。
这需要我们将x的值代入函数的解析式中，并通过计算得出对应的y的值。
求解函数的解析式：有时候我们需要根据已知的函数图像或者函数的性质来求解二次函数的解析式。
高一数学新课标B版必修一函数应用题归类分析
函数应用题归类分析我们已经学过一次函数、二次函数及分段函数，应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题，现归类如下。
一 能解决利润最大或效益最高问题例1、某售货点，从批发部批发某一种商品的进价是每份0.35元，卖不掉的商品还要以每份0.08元的价格退回批发部，卖出的商品的价格是每份0.5元，在一个月（30天）中，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，假设每天从批发部买进的商品的数量相同，则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利润是多少？分析：每月的利润=月总收入—月总成本，而月总收入有三部分：可每天卖出400份共20天的收入；可每天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入。
解、设每天从批发部买进的数量为x 份，易知250400x ≤≤设每月的纯收入为y 元，则由题意，得0.5200.525010(250)0.08100.3530y x x =⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯-⨯0.31050x =+[]250,400x ∈因为一次0.31050y x =+函数0.31050y x =+在区间[]250,400x ∈上为增函数，所以当400x =时，函数0.31050y x =+取得最大值：0.340010501170y =⨯+= （元）答；当每天从批发部进货400分时，每月所获得利润最大，最大利润是1170元。
点评：本题是一次函数模型的应用，对于利用一次函数来求最值，主要是利用其单调性来解决。
例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？解、设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，依题意，得当130x ≤≤时，900y =；当3075x <≤时，90010(30)101200y x x =--=-+；所以所求函数为900(130)101200(3075)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ 设利润为Q ，则290015000(130)1500010120015000(3075)x x Q y x x x x -≤≤⎧=⨯-=⎨-+-<≤⎩ 当130x ≤≤时，max 900301500012000Q =⨯-=，当3075x <≤时，221012001500010(60)21000Q x x x =-+-=--+，所以当60x =时，m ax 21000Q = 12000>，答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21000元。
高中数学必修一函数的应用知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分函数的应用知识点整理第三章函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：（1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．第二部分练习题含答案解析第三章函数的应用一、选择题(每小题5分，共60分)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是()A．0B．1C．2D．4解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．答案：C2．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．0解析：令1＋1x＝0，得x＝－1，即为函数零点．答案：B3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．答案：C4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0 B．小于0C．无法判断D．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 答案：C5．函数f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是( )A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1，32)D ．(32，2)解析：f (12)＝e －2<0， f (1)＝e －1>0，∵f (12)·f (1)<0，∴f (x )的零点在区间(12，1)内． 答案：B6．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无穷多个解析：方程log 12x ＝2x －1的实根个数只有一个，可以画出f (x )＝log 12x 及g (x )＝2x －1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.答案：B7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )A ．55台B ．120台C ．150台D ．180台解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3000) ＝－0.1x 2＋36x －3000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D8．已知α是函数f (x )的一个零点，且x 1<α<x 2，则( ) A ．f (x 1)f (x 2)>0 B ．f (x 1)f (x 2)<0 C ．f (x 1)f (x 2)≥0D ．以上答案都不对解析：定理的逆定理不成立，故f (x 1)f (x 2)的值不确定．答案：D9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.答案：D10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为()答案：A11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则()A．k＝0 B．k>1C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：D12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根所在区间为()A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：设f (x )＝2x －x 2，由表格观察出x ＝1.8时，2x >x 2，即f (1.8)>0； 在x ＝2.2时，2x <x 2，即f (2.2)<0.综上知f (1.8)·f (2.2)<0，所以方程2x ＝x 2的一个根位于区间(1.8,2.2)内． 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)． 答案：(2,3)14．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由韦达定理得－12＋13＝b a ，且－12×13＝1a .解得a ＝－6，b ＝1. 答案：－6 115．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．图1解析：由题意知场地的另一边长为l －2x ， 则y ＝x (l －2x )，且l －2x >0，即0<x <l2. 答案：y ＝x (l －2x )(0<x <l2)16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n ≤0.1% 即(23)n ≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg2，∴n≥7.39，∴n＝8.答案：8三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－b2a＝2.设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x21＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(－ba)2－2ca＝10，∴16－6a＝10，∴a＝1.代入－b2a＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．解：令f(x)＝x2＋2x－5(x>0)．∵f(1)＝－2，f(2)＝3，∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．取(1,2)中点x1＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2＝1.25，f(1.25)<0.取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)．∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为800x m，于是鱼池与路的占地面积为y＝(x＋2)(800x＋4)＝808＋4x＋1600x＝808＋4(x＋400x)＝808＋4[(x－20x)2＋40]．当x＝20x，即x＝20时，y取最小值为968 m2.答：鱼池与路的占地最小面积是968 m2.20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P ＝x 3，Q ＝103x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y (万元)，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＝x 3＋10360－x ， 由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．21．(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax 2＋bx ＋c 表示，其中a ，b ，c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：(1)试确定成本函数y ＝f (x )；(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧36a ＋6b ＋c ＝104100a ＋10b ＋c ＝160，400a ＋20b ＋c ＝370解得a ＝12，b ＝6，c ＝50.所以y ＝f (x )＝12x 2＋6x ＋50(x ≥0)．(2)p ＝p (x )＝－12x 2＋14x －50(x ≥0)． (3)令p (x )＝0，即－12x 2＋14x －50＝0， 解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，故4.2<x <23.8时，p (x )>0；x <4.2或x >23.8时，p (x )<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：图2(1)散点图如图2：(2)设f (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝32，b ＝52， ∴f (x )＝32x ＋52.检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1； f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴模型f (x )＝32x ＋52能基本反映产量变化． (3)f (7)＝32×7＋52＝13，由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．全册书综合练习题及解析一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}解析：∵A ∩B ＝{1,2}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 答案：D2．如图1所示，U 表示全集，用A ，B 表示阴影部分正确的是( )图1A ．A ∪B B ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩BD ．(∁U A )∩(∁U B )解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A )∩(∁U B )． 答案：D3．若f (x )＝1－2x ，g (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：g (1－2x )＝1－x 2x 2，令12＝1－2x ，则x ＝14，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C. 答案：C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2(x <1)，4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )A ．10B ．0，－2C ．0，－2,10D ．1，－1,11解析：因为x <1时，f (x )＝(x ＋1)2，所以f (－1)＝0.当m －1<1，即m <2时，f (m －1)＝m 2＝1，m ＝±1.当m －1≥1，即m ≥2时，f (m －1)＝4－m －2＝1，所以m ＝11.答案：D5．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7)B ．(5,7)C ．(－4，－3)∪(5,7)D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)解析：将x ＝6代入不等式，得log a 9>log a 19，所以a ∈(0,1)．则⎩⎨⎧x 2－2x －15>0，x ＋13>0，x 2－2x －15<x ＋13.解得x ∈(－4，－3)∪(5,7)．答案：C 6．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最大值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x ＋1>0， ∴12x ＋1在(－∞，＋∞)上递减且无最小值． 答案：A7．方程(13)x ＝|log 3x |的解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：图2在平面坐标系中，画出函数y 1＝(13)x 和y 2＝|log 3x |的图象，如图2所示，可知方程有两个解．答案：C8．下列各式中，正确的是( ) A ．(－43)23<(－54)23B ．(－45)13<(－56)13C ．(12)12>(13)12D ．(－32)3>(－43)3解析：函数y ＝x 23在(－∞，0)上是减函数，而－43<－54，∴(－43)23>(－54)23，故A 错； 函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，而－45>－56，∴(－45)13>(－56)13，故B 错，同理D 错． 答案：C9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A ．105 kJB ．104 kJC ．103 kJD ．102 kJ解析：H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝10，∴H 1＝103.答案：C10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析：当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D.答案：C11．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(－1,1)C ．(－1，12)D ．(－1,0)∪(1，12)解析：f (1－m )<－f (－m )，∵f (x )在(－1,1)上是奇函数，∴f (1－m )<f (m )，∴1>1－m >m >－1， 解得0<m <12，即m ∈(0，12)． 答案：A12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(1－x )，f (x －1)－f (x －2)，x ≤0x >0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意可得：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，从而f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3)． 两式相加得f (x )＝－f (x －3)，f (x －6)＝f [(x －3)－3]＝－f (x －3)＝f (x )， ∴f (2009)＝f (2003)＝f (1997)＝…＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.log 2716log 34的值是________．解析：log 2716log 34＝23log 34log 34＝23.答案：2314．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．解析：kx 2＋4kx ＋3恒不为零．若k ＝0，符合题意，k ≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k <34.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪0≤k <3415．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B＝Ø，则实数k 的取值范围是________．解析：∁U A ＝{x |1<x <3}，又(∁U A )∩B ＝Ø， ∴k ＋1≤1或k ≥3， ∴k ≤0或k ≥3.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．解析：当x ＝1时，y ＝a log 22＝a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)， ∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y ＝100log 2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案：500三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)用定义证明：函数g (x )＝kx (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数． 证明：设x 1<x 2<0，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，又∵k <0，∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )＝kx (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数． 18．(12分)已知集合P ＝{x |2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当P ∩Q ＝Ø时，求实数k 的取值范围．解：当Q ≠Ø，且P ∩Q ＝Ø时，⎩⎨⎧ 2k －1<2，2k －1≥k ＋1，或⎩⎨⎧k ＋1>5，2k －1≥k ＋1.解得k >4；当Q ＝Ø时，即2k －1<k ＋1，即k <2时，P ∩Q ＝Ø.综上可知，当P ∩Q ＝Ø时，k <2或k >4.19．(12分)已知f (x )为一次函数，且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值，并比较f (2007)和f (2008)的大小．解：因为函数f (x )为一次函数，所以f (x )在[－1,1]上是单调函数，f (x )在[－1,1]上的最大值为max{f (－1)，f (1)}．分别取x ＝0和x ＝2，得⎩⎨⎧4f (1)－2f (－1)＝18，4f (－1)－2f (1)＝24，解得f (1)＝10，f (－1)＝11，所以函数f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝11.又因为f (1)<f (－1)，所以f (x )在R 上是减函数，所以f (2007)>f (2008)．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增．故⎩⎨⎧ f (2)＝2f (3)＝5，即⎩⎨⎧ 4a －4a ＋2＋b ＝29a －6a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝0 ②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减．故⎩⎨⎧f (2)＝5f (3)＝2，即⎩⎨⎧4a －4a ＋2＋b ＝59a －6a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， 由题意知2＋m 2≤2或2＋m2≥4，∴m ≤2或m ≥6. 21．(12分)设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式和定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，y ＝103x (3－x )．又⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，所以0<x <3，所以f (x )＝103x (3－x )(0<x <3)．(2)y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋94＋274＝－3(x －32)2＋274.当x ＝32∈(0,3)时，u 取得最大值274，所以u ∈(0，274]，y ∈(1,10274]．(3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 是增函数，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上f (x )是递增的；当32<x <3时，u 是减函数，y ＝10u 是增函数，所以f (x )是减函数．22．(12分)已知函数f (x )＝lg(4－k ·2x )(其中k 为实数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．解：(1)由题意可知：4－k·2x>0，即解不等式：k·2x<4，①当k≤0时，不等式的解为R，②当k>0时，不等式的解为x<log24k，所以当k≤0时，f(x)的定义域为R；当k>0时，f(x)的定义域为(－∞，log24 k)．(2)由题意可知：对任意x∈(－∞，2]，不等式4－k·2x>0恒成立．得k<42x，设u＝42x，又x∈(－∞，2]，u＝42x的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1)．。
高一数学必修一函数题型与解法
高一数学必修一函数题型与解法
函数是数学中一个重要概念，它可以把一组数字的变化规律表示出来，并且可以把不同的变量之间的关系表示出来。
高一数学必修一中的函数题是高中数学教学中一个重要部分，它涉及到函数的概念，定义，性质，图像，求导，上下函数，函数的增减性等内容。
函数是一种数学概念，可以表示某种变化规律，并可以把不同变量之间的关系表示出来。
高一数学必修一中的函数题，要求学生整体理解函数的概念，理解函数的定义，函数的定义域和值域，函数的性质和图像，求导，上下函数，函数的增减性等内容。
针对高一数学必修一中的函数题，学生在解题时要注意以下几点：
1、理解函数的概念，理解函数的定义，定义域和值域，性质和图像，求导，上下函数，函数的增减性等内容；
2、根据函数的定义，用数学公式表示出函数，全部推导出函数的性质；
3、根据函数的性质，用图像、表格或计算机绘制出函数的图像；
4、根据函数的性质，求出函数的导数，判断函数的增减性；
5、根据函数的定义，求出函数的上下函数；
6、完成函数的综合应用，求出函数的最值、极值点，以及函数的上下函数对应的最值、极值点等。
人教高中数学B版必修1 函数的应用(Ⅰ) 精讲精析
2·3 函数的应用（Ⅰ）解函数应用题常用函数与方程、转化与化归等思想方法建立恰当的数学模型；能力方面要求注重逻辑推理能力、计算能力、阅读理解能力等，在具体解题过程中主要应抓住以下几个步骤：第一步：阅读理解，认真审题.第二步：引进数学符号，建立数学模型.第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：转化成具体问题作出规范解答.其一般思路可表示如下：例1. 某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？【解析】分析：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．而每月所获利润= 卖报收入的总价－付给报社的总价．卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；①可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入，10·0.05·（x-250）．付给报社的总价为30·0.20x．解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为y =20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·（x-250）-30·0.20x=0.5x+625，x∈[250，400]．因函数y 在[250，400]上为增函数，故当x = 400时，y 有最大值825元．例2. 乘出租汽车，行程4km 以内，车费为10.40元（即就是起步价）；行程大于4km 而不超过15km 时，超出4km 的部分，每km 车费1.60元；行程大于15km 以后，超出15km 的部分，每km2.40元（含返程费）；途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元．又计价器每半km 里计一次价，例如：当行程x （km ）满足12≤x ＜12.5时，按12.5km 计价；当12.5≤x ＜13时，按13km 计价．等候时间每2.5分钟计价一次，例如：等候时间t （分钟）满足2.5≤x ＜5时，按2.5分钟计价，当5≤x ＜7.5时，按5分钟计价目．请回答下列问题：（1）若行驶12km ，停车等候3分钟，应付多少车费？（2）若行驶23.7km ，停车等候7分钟，应付多少车费？（3）若停车等候8.5分钟，所付车费为54.4元，那么所行驶的实际路程为km ？（4）若途中没有停车等候，所付车费y （元）是行程x （km ）的函数y =f (x )，画出0＜x ＜6的图象．【解析】分析：这是一个人们乘车的实际问题．所付车费y （元）应包括起步价、正常行驶费，等候费用等部分．解：（1）行驶12km ，按题意应按12.5km 计价，车费为10.4+1.6×(12.5-4) = 24（元）．等候3分钟，按题意应按2.5分钟计价，等候费为8.06.155.2=⨯（元）． 故 合计应付车费24.8元． （2）行驶23.7km ，按题意应按24km 计价，车费为10.4+1.6×(15-4)+2.4×(24-15) = 49.6（元）．等候7分钟，按题意应按5分钟计价，等候费为1.6元．故 合计应付车费51.2元．（3）停车等候8.5分钟，按题意应按7.5分钟计价，等候费为 4.26.155.7=⨯（元） 若计价器上所显示的路程为15km ，则共付车费为2.4+10.4+11×1.6 = 30.4（元）．于是，超过15km 以后的路程计费为24元．考虑到超过15km 后，每km 的计费为2.4元，故15km 后行驶了10km ．故计价器上所显示的路程为25km ，从而实际的行程为24.5~25km （含24.5km ，不含25km ）．（4）x 与y 的关系用表格可表示如下：图象如图1所示． 例3. 用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域.【解析】分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.解：如图设x AB 2=则CD 弧长=x π于是AD 22x x m π--= 因此mx x y ++-=224π再由02202>⎪⎩⎪⎨⎧-->x x m x π 解之得π+<<20m x 即函数式是：mx x y ++-=224π定义域是：)2,0(+πm 评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确数学应用题的能力要求及求解应用题的基本步骤.1． 数学应用题的能力要求：（1） 阅读理解能力；（2） 抽象概括能力（3） 数学语言的运用能力；（4） 分析、解决数学问题的能力2． 解答应用题的基本步骤：（1） 合理、恰当假设；y（2） 抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；（3） 分析、解决数学问题；（4） 数学问题的解向实际问题的还原.例4.如图所示，有一块半径为R 的半圆形纲板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数式，并求出它的定义域.【解析】分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R ，两腰长为2x ，因此，只须用已知量（半径R ）和腰长x 的函数式.解：如图所示，AB=2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上设腰长AD=BC=x ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，墨守成规结BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ～△ABD.∴AB AE AD ⋅=2即R x AE 22= ∴Rx R AE AB CD 222-=-= 所以，)2(222Rx R x R y -++= 即R x Rx y 422++-= 再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R x x 解得R x 20<< ∴周长y 与腰长x 的函数式为：R x x Ry 4212++-=， 定义域为：)2,0(R。
人教高中数学B版必修1 函数的应用(Ⅱ) 精讲精析
3·4 函数的应用（Ⅱ）函数模型在解题中的应用一）常见的函数模型1．一次函数模型：现实生活中很多问题都可联系一次函数模型进行解决，如物体匀速直线运动中位移和时间的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，都可以通过直线来直观地刻画其变量之间的关系.解析式：y=kx+b,k≠0.其中参变量k有时称为比例系数.2．二次函数模型：抛体运动中位移和时间的关系（如掷铅球），匀加速直线运动中位移和时间的关系（如研究汽车刹车后的滑行）等，都可以通过二次曲线来刻画其变量之间的关系.解析式：y=ax2+bx+c,a≠0.3．幂函数模型：在气象学、工程学等科学与生产实践中蕴含着幂函数关系，这是一种应用十分广泛的函数模型，二次函数模型就是其中一种重要的模型.解析式：y=ax n+b，a·b≠0.4．指数函数模型：细胞分裂、人口增长、利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活中都蕴含着指数函数关系.解析式：y=a·b x+c，a·b≠0.5．对数函数模型：对数函数模型在生产、生活及航天等领域有着比较广泛的应用.解析式：y=log a x，a>0且a≠1.二）实际问题的函数刻画生活中的许多实际问题，都可转化为函数问题.通过建立函数模型，可以把实际问题转化为函数问题，进而利用函数的有关性质对函数问题进行处理和研究，得到数学结论，从而达到解决实际问题的目的.用函数来刻画实际问题是解决实际问题的第一步，也是最重要和最困难的一步，关键要做到以下几点：第一：认真读题.可以先大致浏览全题，理解问题背景，初步把握变量之间的数量关系；明确问题；第二：翻译.一要明确题目中涉及的概念、术语的意思及它们之间的联系，比如“利润”、“产量”的含义及两者之间的联系（利润=产量×（售价-成本））；二要设出相应的变量，用数学符号表述它们之间的联系，得到数学等式或方程；设变量时一般要遵循“问什么就设什么”的原则；第三：解题原则：以问题解决为中心.即为了解决问题需要我们做什么就做什么，反映在解答顺序上是“就问题找条件”；数学结论要注意还原为实际问题的答案.三）数学建模1．数学建模是一种新的数学学习方式，有助于培养同学们的探究能力和创新能力，有助于体验数学在解决实际问题中的作用，体验数学的应用价值.比如今年牙买加选手博尔特打破百米世界纪录后，美国《连线》杂志就发表了文章，介绍数学家绘制的人类短跑速度纪录曲线，那么这根曲线到底是哪个函数的图像的一部分呢？我们就可以进行不同的假设，进行函数模拟，然后进行检验，最后数学家们认为，人类短跑速度并未达到人类的极限；再如，今年四川发生大地震之前的2006年，陕西师范大学的三位数学教师就公开发表学术论文，表明他们用数学的方法得到一个结论：云南和四川发生6.7级以上强震的最有可能的年份就是2008年，……类似的例子很多，都体现了数学是有巨大应用价值的.2．数学建模的一般过程：①实验——通过实验等方法采集数据、列表、绘制散点图；②假设——分析图表信息，根据散点分布情况，选择适当的函数类型；再通过代入已有的部分散点信息，得到近似的函数模型；③检验——通过另外一些散点信息，检验这个模型的准确性；④修正——如果检验时相差很大，则对模型进行3．在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用.这部分内容常见的数学模型有:(1) 平均增长率问题：如果原产值为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的产值或产量；(2) 储蓄中的复利问题：如果本金为a 元，每期利率为r ，本金和为y ，存期为x ，则；(3) 根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A 和水深h 的函数关系；(4) 通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.例1. 2000年我国人均国民生产总值约为900美元，如果按7.5%的年平均增长率，经过10年，在2010年可否达到翻一番即人均1800美元的水平？解：按7.5%的年平均增长率，经过10年后，人均国民生产总值为900×（1+7.5%）10=900×2.061=1854.93>1800，故可以达到翻一番的目标.答：10年后可以达到翻一番的目标.例2. 某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量.I ．写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；II ．为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：I 由题意得，y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1000(1+0.6x)x p N y )1(+=x r a y )1(+==-60x 2+20x+200(0<x<1).II 可转化为求解不等式组故本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式为y=-60x 2+20x+200(0<x<1).为使本年度年利润比上年有所增加，则投入成本增加的比例x应在内.例3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可以销售100件，现在他采用提高售价、减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？解：设每件提高x 元，0≤x ≤10，则每件获利为x+2元，每天销售量为（100-10x)件，每天获总利润为y=(2+x)(100-10x)=-10x 2+80x+200=-10（x-4）2+360.故对0≤x ≤10，当x=4时y max =360.答：他将销售价定为每件14元时才能使每天获得的利润最大.例4. 建造一个容积为8m 3，深2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为多少？解： 设池底的长为x m ，依题意可知其宽为.从而其总造价为由于该函数当时函数有最小值为1760.答：水池的最低总造价为1760元.(1.21)100010013y x x >-⨯⎧⇒<<⎨<<⎩10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⨯=x x 4320480802x x 421204y x ≤2x =。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数的应用》章末分层突破、考点测评及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一章末分层突破[自我校对]①指数函数②对数函数③幂函数1. 有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2. 确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断．设g(x)＝e 2x ＋|e x －a|，x ∈[0，ln3]，其中a ≤2 2.(1)当a ＝1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由；(2)求函数g(x)的最小值．【精彩点拨】 使用换元法和分类讨论思想求解．【规范解答】 (1)当a ＝1时，设t ＝e x(显然t ∈[1,3])，则h(t)＝t 2＋t －1， 令h(t)＝t 2＋t －1＝0，解得t ＝－1＋52或t ＝－1－52都不满足t ∈[1,3]，∴函数g(x)不存在零点．(2)设t ＝e x ，则h(t)＝t 2＋|t －a|(显然t ∈[1,3])． 当a ≤1时，h(t)＝t 2＋t －a 在区间[1,3]上是增函数， 所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a. 当1＜a ≤22时，h(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t ＋a (1≤t ≤a )，t 2＋t －a (a ＜t ≤3).因为函数h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，又函数h(t)在[1,3]上为连续函数，所以函数h(t)在[1,3]上为增函数， 所以h(t)的最小值为h(1)＝a.综上可得，当a ≤1时，g(x)的最小值为2－a ； 当1＜a ≤22时，g(x)的最小值为a.[再练一题]1. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：04100081】【解析】在同一坐标系中作出f(x)＝⎩⎨⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2及y ＝k 的图像(如下图)．可知，当0＜k ＜1时，y ＝k 与y ＝f(x)的图像有两个交点，即方程f(x)＝k 有两个不同的实根．【答案】 (0,1)2. 根据f(a 0)·f(b 0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．3. 初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．4. 取区间中点c ，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b n )中，a n 与b n 按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．求32的一个近似值．(精度为0.01)【精彩点拨】 利用转化与化归思想求解．【规范解答】 设x ＝32，∴x 3－2＝0，令f(x)＝x 3－2，则f(x)的零点即为32的近似值，下面用二分法求解．由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，列表如下：由于625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即32的一个近似值是1.265625.[再练一题]2. 用二分法求5的近似值．(精度为0.1)【解】设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.1.(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．2. 函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x ·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【精彩点拨】【规范解答】 (1)由题意知： 当0≤x ≤20时，v(x)＝60； 当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎨⎧60， 0≤x ≤20，13(200－x )， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎨⎧60x ， 0≤x ≤20，13x (200－x )， 20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋10 0003.所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 000 3.又1 200＜10 0003，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．[再练一题]3. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【解】(1)由题设，每年能源消耗费用C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)在f(x)＝8003x＋5＋6x中，令3x＋5＝t，则3x＝t－5，∴g(t)＝800t＋2t－10＝2⎝⎛⎭⎪⎫t＋400t－10，∵0≤x≤10，∴t∈[5,35]，由函数的单调性知，g(t)在t∈(0,20]上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴g(t)在t＝20时有最小值．∴当3x＋5＝20，即x＝5时，f(x)min＝70.∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.在数学上，多，对于五次以上的一般代数方程．一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解．而将解方程的问题转化为函数的零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法．解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为函数零点的求解问题．试判断方程3x－x2＝0的实数解的个数．【精彩点拨】像这类含有指数函数、对数函数的方程属于超越方程，无法用公式求出它的解，所以在确定它的解的个数时，只能转化为判断函数图像的交点的个数问题来解决．【规范解答】法一设函数f(x)＝3x－x2，用计算器作出x，f(x)的对应值表：<0，f(0)＝1>0.由表可知，f(－1)＝－3又函数的图像是连续的，∴函数在(－1,0)内有零点．∵f(x)＝3x－x2在(－∞，0)上是增函数，∴方程在(－1,0)内有一个实数根．故方程3x－x2＝0只有一个实数解．法二构造两个函数y＝3x和y＝x2，在同一坐标系内画出函数y＝3x和y＝x2的图像，如图．由图可知两个函数图像只有一个交点，故方程3x－x2＝0只有一个实数解．[再练一题]4. 求方程lg x－x2＋4＝0的实根个数．【解】列表如下：两个交点，即方程lg x－x2＋4＝0的实根个数为2.1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x ≤2，(x －2)2，x>2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】 当x>2时，g(x)＝x －1，f(x)＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g(x)＝3－x ，f(x)＝2－x ； 当x<0时，g(x)＝3－x 2，f(x)＝2＋x.由于函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)； 当0≤x ≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x ＝3－x ，无解； 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为2. 【答案】 A2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )【导学号：04100082】A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【解析】 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．【答案】 B3. (2016·天津高考) 已知函数f(x)＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝⎛⎦⎥⎤0，58D.⎝⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58【解析】 f(x)＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4.因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54.所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，0＜ω≤18或14≤ω≤58.【答案】 D4. 若函数f(x)在定义域{x|x ∈R 且x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝0，故选B. 【答案】 B5. 若函数f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． 【解析】 由f(x)＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示， 则当0<b<2时，两函数图像有两个交点，从而函数f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点．【答案】 (0,2)6. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 令f(x)＝0，得y 1＝x 2，y 2＝3－2x ，其图象如图(1)y 轴左侧，当x>0时，由f(x)＝0，得y 3＝ln x ，y 4＝2，其图象如图(1)y 轴右侧，∴f(x)有2个零点．(1) 【答案】 C。
高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
必修一函数性质及题型分析例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2） (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域四．六．函数的周期性：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。
说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； ⑶计算：七、单调性奇偶性综合1、(2014·安徽)若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ， 1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.5162、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．f(－25)＜f(11)＜f(80) B ．f(80)＜f(11)＜f(－25) C ．f(11)＜f(80)＜f(－25) D ．f(－25)＜f(80)＜f(11)3、已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，434、(2015·湖北省襄阳市高三第一次调研)设f(x)为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5、(2014·课标Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是_________．(－1，3)．6、(2014·全国大纲)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．17、设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m 的取值范围是________________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，128、设函数f(x)＝x3＋x ，若0≤θ≤π2时，f(mcos θ)＋f(1－m)>0恒成立，求实数m 的取值(－∞，1)5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f += ⑴求)1(f ，⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ，求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10≠=a a (2)负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈(3)正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； (5)负分数指数幂()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式根式的性质:当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 (1) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab (2)1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+1、 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=a x (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1)定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞)值域(0,+ ∞) (-∞,+ ∞)过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=a x与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称单调性a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数值分布y>1 ? y<1? y>0? y<0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论1、（1）)35lg(lg xxy-+=的定义域为_______；（2）312-=xy的值域为_________；（3）)lg(2xxy+-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log212≤-x，则________∈x3、要使函数ay xx421++=在(]1,∞-∈x上0>y恒成立。
高中数学最全必修一函数性质详解及知识总结点计划及题型详解
( 经典 ) 高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解剖析一、函数的观点与表示1 、映照：（1）对映照定义的理解。
（2）判断一个对应是映照的方法。
一对多不是映照，多对一是映 射→ (x 2+y 2,xy) ，求象 (5 ，2)会合 A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 A → B 的映照 f:(x,y) 的原象 .3. 已知会合 A 到会合 B ＝｛ 0，1，2，3｝的映照 f:x →，则会合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素最多时的会合 A. 2、函数。
组成函数观点的三因素 ①定义域②对应法例③值域 两个函数是同一个函数的条件：三因素有两个同样1、以下各对函数中， 同样的是（）A 、 f ( x) lg x 2, g( x) 2 lg xB 、 f ( x) lgx1, g (x) lg( x 1) lg( x 1)x 1C 、1 u 1 vf (u)u, g( v)v1 1 D 、f （x ）=x ， f ( x)x 22、 M { x | 0 x 2}, N { y | 0 y 3} 给出以下四个图形，此中能表示从会合M 到会合N 的函数关系的有 （ ）A 、 0个B 、1个C 、2个D 、 3个y yy y32 2 2 2 1111O1 2 xO1 2 xO1 2 xO1 2 x二、函数的分析式与定义域 函数分析式的七种求法待定系数法： 在已知函数分析式的结构时，可用待定系数法。
例 1设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4x 3 ，求 f (x)配凑法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式，求 f (x) 的分析式， f [ g( x)] 的表达式简单配成 g ( x) 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数 f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g( x) 的值域。
例 2 已知 f (x1) x 2 1 ( x 0) ，求 f (x) 的分析式 xx 2三、换元法： 已知复合函数 f [ g(x)] 的表达式时，还能够用换元法求 f ( x) 的分析式。
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祁阳一中高二文科周考数学试卷（2014-10-11）
分值:100分 时量:90分钟 命题人: 张洁
一、选择题:（本大题共6个小题,每小题5分, 共30分。
）
1.已知命题;32,:x x R x p <∈∀命题,1,:23x x R x q -=∈∃则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．q p ∧
B ．q p ∧⌝
C ．q p ⌝∧
D ．q p ⌝∧⌝
2．双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的渐近线方程是,02=±y x 则其离心率为（ ）
A ．5
B ．
2
5
C ．3
D ．5
4.若点O 和点F(-2，0)分别是双曲线)0(1222
>=-a y a
x 的中心和左焦点，点P 为
双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围（ ）
A ．),323[+∞-
B ．),323[+∞+
C ．),4
7
[+∞- D ．),47[+∞
5．如果方程)0,0(12
2<<=+-q p q y p x 表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双
曲线共焦点的是（ ）
A. 1222=++q y p q x
B. 122
2-=++p
y p q x
C. 1222=++q y q p x
D. 122
2-=++p
y q p x
6．已知ABC ∆的两个顶点A 、B 分别是椭圆
19
252
2=+y x 的左、右焦点，三个内角A 、B 、C 满足sinA-sinB=2
1
sinC,则顶点C 的轨迹方程是( )
A.
112422=-y x B. )0(11242
2<=-x y x C.
)2(112422-<=-x y x D. 112
42
2=+y x
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分。
) 7.若函数,52)1()(2'3-+-=x x f x x f 则=)2('f __________
8.某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出)200(x -件，当每件商品的定价为__________元时，利润最大.
9.曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴和直线2=x 所围成的三角形的面积为__________.
._______________13083.1023的切线方程为平行的曲线与直线+-==-+x x y y x ._________________4042.112面积最大，使上求一点线的弧弧是坐标原点，试在抛物
两点，、相交于与抛物线已知直线PAB P AOB O B A x y y x ∆==-+
祁阳一中高二文科周考数学答卷（2014-10-11）
班次 姓名 学号
一、选择题:（本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
）
二、填空题: (本大题共5小题，每小题5分，共25分。
)
7． 8．
9． 10． 11． 三、解答题:（本大题共4小题，满分45分。
要求每大题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
）
12．（本小题9分）把边长为60cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形,再把他的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大?最大容积是多少?
).(ln )(12.13R a x
a
x x f ∈+=
分）已知函数（本小题 的值；
平行，求处的切线与直线，在点（）若曲线（a y x f x f y 01))1(1)(1=--=.1)(112≤≥=x f x a 时，证明：，且）当（
.2
1
1ln 2)(12.(14处取得极值和在分）已知函数本小题=-=+-
=x x x x b ax x f 的值；求b a ,)1(
.)(]4,4
1
[2的取值范围恒成立，求时，）若（c c x f x >∈
15．（本小题12分）已知双曲线6:22=-y x C 的左、右焦点分别是1F 、2F
（1）若双曲线C 上一点P 使得0
2190=∠PF F ,求21PF F ∆的面积.
（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，求实数k 的取值范围.。