求函数解析式的几种常用方法

求函数解析式的几种常

用方法

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求函数解析式的几种常用方法

一、高考要求:

求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.

重难点归纳:

求解函数解析式的几种常用方法主要有:

1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.

二、题例讲解:

例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=

)1

(1

2x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.

(2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式.

命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.

知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;0

因此f (t )=12-a a .(a t －a －

t )

∴f (x )=1

2-a a (a x －a －

x )(a >1,x >0;0

(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c

得⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a

并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为.

f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1 或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.

例2．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.

命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.

知识依托:函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线. 错解分析:本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法:合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.

解:(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b

∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2. (2)当－1

∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1 ∴f (x )=－x 2+2.

(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2

综上可知:f (x )=⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.

例3．已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1).

解法一:(换元法）

∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1 令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u

∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3) ∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4) 解法二:(配凑法）

f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5 ∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),

即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4).

三、巩固练习:

1.若函数f (x )=

34-x mx (x ≠4

3

)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A 3 B 23 C －2

3

D －3

2.设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( ) (x )=(x +3)2－1 (x )=(x －3)2－1 (x )=(x －3)2+1 (x )=(x －1)2－1

3.已知f (x )+2f (x

1

)=3x ,求f (x )的解析式为_________.

4.已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________.

5.设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式.

6.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的

图象上，求这个矩形面积的最大值.

7.动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示PA 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),

并作出g (x )的简图.

8.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.

(1)证明:f (1)+f (4)=0;

(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；