反函数例题讲解
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点评： ，注意f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠－1}，值域为{y|y∈R且y≠－3}．
例5．已知一次函数y=f(x)反函数仍是它自己，试求f(x)的表达式．
分析：设y=f(x)=ax+b(a≠0)，则f－1(x)= (x－b)．
由 (x－b)=ax+b得 或
∴f(x)=x或f(x)=－x+b(b∈R)
由 （x≤0）易得函数f(x)的定义域为 ，值域为 ．于是有函数f－1(x)的定义域为 ，值域为 ．依此对给出图像作检验，显然只有（D）是正确的．
因此本题应选（D）．
例5．给定实数a，a≠0，a≠1，设函数 （x∈R，x≠ ）．
求证：这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形．
分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．
本题应选（D）．
因为若y= 4，则由 得x= 3．
由 得x=－1．
∴（D）中函数没有反函数．
如果作出 的图像（如图），依图更易判断它没有反函数．
例2．求函数 （－1≤x≤0）的反函数．
解：由 ，得： ．
∴1－x2= (1－y)2，
x2= 1－(1－y)2= 2y－y2．
∵－1≤x≤0，故 ．
又当－1≤x≤0时，0≤1－x2≤1，
由于函数f(x)与f－1(x)的图像关于直线y=x对称，故函数 （x∈R且x≠ ）的图像关于直线y=x成轴对称图形．
本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，y）是函数f(x)图像上任一点，则点P关于直线的对称点Q（y，x）也在函数f(x)的图像上（过程略）．
例题讲解（反函数）
例1．求下列函数的反函数：
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y=x对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.
分析：若先求出f-1(x)=2 -2(x≥-2),再解方程(1+ )2-2=2 -2，整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y=f(x)与y=f-1(x)的图象的关系求解.先画出y=f(x)=(1+ )2-2的图象，如图，因为y=f(x)的图象和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，可立即画出y=f-1(x)的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此，由方程组 联立即可解得.
例6．若函数 在其定义域内存在反函数．
(1)求a的取值范围；(2)求此函数的值域．
解：(1)方法一：原式可化为4xy+3y=ax+1，
(4y－a)x=1－3y，
当y≠ ，即 时，
解得 时原函数有反函数．
方法二：要使 在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，
即 ，所以 时函数 在其定义域内存在反函数．
(1)y=3x－1(x∈R)；
(2)y=x3＋1(x∈R)；
(3) (x≥0)；
(4) (x∈R，且x≠1)．
通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y=f(x)看成方程，解出x=f－1(y)，第二步将x，y互换，得到y=f－1(x)，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．
证明：先求给出函数的反函数：
由 （x∈R，x≠ ），得y(ax－1) =x－1．
∴(ay－1)x=y－1．①
若ay－1 = 0，则ay= 1．
又a≠0，故 ．此时由①可有y= 1．于是 =1，即a= 1，
这与已知a≠1是矛盾的，故ay－1≠0．
则由①得 （y∈R，y≠ ）．
∴函数 （x∈R，x≠ ）的反函数还是 （x∈R，x≠ ）．
例3．已知函数f(x) =x2+ 2x+ 2（x<－1），那么f－1(2 )的值为__________________．
分析：依据f－1(2 )这一符号的意义，本题可由f(x)先求得f－1(x)，再求f－1(2 )的值（略）．
依据函数与反函数的联系，设f－1(2 ) =m，则有f(m) = 2．据此求f－1(2 )的值会简捷些．
说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系.（１，２）在反函数图象上，则(2，1)也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f(2)=1,这是得到a,b的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a,b的值.
［例3］已知函数f(x)=(1+ )2-2(x≥-2)，求方程f(x)=f-1(x)的解集.
说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y=x对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y=x上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y=x与其中y=(1+ )2-２一个方程组的解的问题.
例题讲解（练习）
例1．函数f(x)=x－x3是否存在反函数？说明理由
点评：不存在，∵f(0)=f(－1)=f(1)=0．
令x2+ 2x+ 2 = 2，则得：x2+ 2x= 0．
∴x= 0或x=－2．
又x<－1，于是舍去x= 0，得x=－2，即f－1(2 ) =－2．
例4．已知函数 （x≤0），那么f(x)的反函数f－1(x)的图像是()
分析：作为选择题，当然不必由f(x)求出f－1(x)，再作出f－1(x)图像，予以比较、判断．
通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．
解：(1)由y=x2－2x－3，得y=(x－1)2－4，
即(x－1)2=y＋4，
因为x≤0，所以 ，所以原函数的反函数是
(x≥－3)．
(2)当x≤0时，得x=y＋1且y≤－1；
当x＞0时，得 且y＞－1，
所以，原函数的反函数是：
例题讲解(反函数）
反函数例题讲解
例1．下列函数中，没有反函数的是( )
(A)y=x2－1（x< ）(B)y=x3+1（x∈R）
(C) （x∈R，x≠1）(D)
分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．
判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．
解：由函数f(x)=(1+ )2-2(x≥-2)画出图象，如图，由于函数f(x)的反函数的图象与函数f(x)的图象关于y=x对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y=x上.因此，方程组 的解即为f(x)=f-1(x)的解，于是解方程组得x=-2或x=2,从而方程f(x)=f-1(x)的解集为｛-2,2｝.
5． ，2
由y=x2+2 (x≤1)解得 (y≥3)
∴ (x≥3)．
故 (x≥2)．
点评：f－1(x+1)表示以x+1代替反函数f－1(x)中的x，所以要先求f－1(x)，再以x+1代x，不能把f－1(x+1)理解成求f(x+1)的反函数．
习 题
1．已知函数f(x)=x2－1 (x≤－2)，那么f－1(4)=______________．
如第(3)小题，由 解得x=(y－1)2，再将x，y互换，得y=(x－1)2．到此以为反函数即y=(x－1)2，这就错了．必须根据原函数的定义域x≥0，求得值域y≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为
y=(x－1)2(x≥1)．
例2．求下列函数的反函数：
(1)y=x2－2x－3(x≤0)；
(2)
［例2］若点P(1，2)在函数y= 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a,b的值.
选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.
解：由题意知P(1，2)在其反函数的图象上，
根据互为反函数的函数图象关于y=x对称的性质，
Ｐ′(2，1)也在函数y= 的图象上，
因此： 解得:a=-3,b=7.
∴0≤ ≤1，0≤1－ ≤1，
即0≤y≤1．
∴所求的反函数为 （0≤x≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：
①把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x=φ(y)．
②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；
③依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x=φ(y)为y=φ(x)．
2．函数y=－x2+x－1 (x≤ )的反函数是_________________．
3．函数 的反函数为__________________．
4．函数 (x≤1)的反函数的定义域是_____________．
5．已知 与 是互为反函数，则m=______和n=________．
答 案
1．
2．
3．
4．
［例1］若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x)=(x-1)2(x≤1)，求g(x).
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.
解：f(x)与g(x)在定义域内互为反函数，
f(x)=(x-1)2(x≤1)的反函数是
y=1- (x≥0)，
∴g(x)=1- (x≥0).
说明：互为反函数的图象关于y=x对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f(x)与g(x)互为反函数，要求g(x),只须求f(x)在限定区间上的反函数即可.
(2)由 解得 ．
∴ 的反函数为 ．
∵ 的定义域是{x|x∈R且x= }
故 的值域是{y|y∈R且y≠ }．
例7．设函数y=f(x)满足f(x－1)=x2－2x+3(x≤0)，求f－1(x+1)．
解：∵x≤0，则x－1≤－1．
∵f(x－1)=(x－1)2+2 (x≤0)
∴f(x)=x2+2(x≤－1)．
例2．求下列函数的反函数．
(1)
(2)
(3)f(x)=x2－2x+3，x∈(1，+∞)
(4) (－1≤x≤0)
点评：(1) (x∈R且xБайду номын сангаас6)
(2)f－1(x)=x2+1 (x≤0)
(3) (x>2)
(4) (0≤x≤1)
例3．求函数 的反函数．
点评：反函数为 ．
例4．已知 ，求f[f－1(x)]的值．
例5．已知一次函数y=f(x)反函数仍是它自己，试求f(x)的表达式．
分析：设y=f(x)=ax+b(a≠0)，则f－1(x)= (x－b)．
由 (x－b)=ax+b得 或
∴f(x)=x或f(x)=－x+b(b∈R)
由 （x≤0）易得函数f(x)的定义域为 ，值域为 ．于是有函数f－1(x)的定义域为 ，值域为 ．依此对给出图像作检验，显然只有（D）是正确的．
因此本题应选（D）．
例5．给定实数a，a≠0，a≠1，设函数 （x∈R，x≠ ）．
求证：这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形．
分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．
本题应选（D）．
因为若y= 4，则由 得x= 3．
由 得x=－1．
∴（D）中函数没有反函数．
如果作出 的图像（如图），依图更易判断它没有反函数．
例2．求函数 （－1≤x≤0）的反函数．
解：由 ，得： ．
∴1－x2= (1－y)2，
x2= 1－(1－y)2= 2y－y2．
∵－1≤x≤0，故 ．
又当－1≤x≤0时，0≤1－x2≤1，
由于函数f(x)与f－1(x)的图像关于直线y=x对称，故函数 （x∈R且x≠ ）的图像关于直线y=x成轴对称图形．
本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，y）是函数f(x)图像上任一点，则点P关于直线的对称点Q（y，x）也在函数f(x)的图像上（过程略）．
例题讲解（反函数）
例1．求下列函数的反函数：
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y=x对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.
分析：若先求出f-1(x)=2 -2(x≥-2),再解方程(1+ )2-2=2 -2，整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y=f(x)与y=f-1(x)的图象的关系求解.先画出y=f(x)=(1+ )2-2的图象，如图，因为y=f(x)的图象和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，可立即画出y=f-1(x)的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此，由方程组 联立即可解得.
例6．若函数 在其定义域内存在反函数．
(1)求a的取值范围；(2)求此函数的值域．
解：(1)方法一：原式可化为4xy+3y=ax+1，
(4y－a)x=1－3y，
当y≠ ，即 时，
解得 时原函数有反函数．
方法二：要使 在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，
即 ，所以 时函数 在其定义域内存在反函数．
(1)y=3x－1(x∈R)；
(2)y=x3＋1(x∈R)；
(3) (x≥0)；
(4) (x∈R，且x≠1)．
通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y=f(x)看成方程，解出x=f－1(y)，第二步将x，y互换，得到y=f－1(x)，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．
证明：先求给出函数的反函数：
由 （x∈R，x≠ ），得y(ax－1) =x－1．
∴(ay－1)x=y－1．①
若ay－1 = 0，则ay= 1．
又a≠0，故 ．此时由①可有y= 1．于是 =1，即a= 1，
这与已知a≠1是矛盾的，故ay－1≠0．
则由①得 （y∈R，y≠ ）．
∴函数 （x∈R，x≠ ）的反函数还是 （x∈R，x≠ ）．
例3．已知函数f(x) =x2+ 2x+ 2（x<－1），那么f－1(2 )的值为__________________．
分析：依据f－1(2 )这一符号的意义，本题可由f(x)先求得f－1(x)，再求f－1(2 )的值（略）．
依据函数与反函数的联系，设f－1(2 ) =m，则有f(m) = 2．据此求f－1(2 )的值会简捷些．
说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系.（１，２）在反函数图象上，则(2，1)也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f(2)=1,这是得到a,b的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a,b的值.
［例3］已知函数f(x)=(1+ )2-2(x≥-2)，求方程f(x)=f-1(x)的解集.
说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y=x对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y=x上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y=x与其中y=(1+ )2-２一个方程组的解的问题.
例题讲解（练习）
例1．函数f(x)=x－x3是否存在反函数？说明理由
点评：不存在，∵f(0)=f(－1)=f(1)=0．
令x2+ 2x+ 2 = 2，则得：x2+ 2x= 0．
∴x= 0或x=－2．
又x<－1，于是舍去x= 0，得x=－2，即f－1(2 ) =－2．
例4．已知函数 （x≤0），那么f(x)的反函数f－1(x)的图像是()
分析：作为选择题，当然不必由f(x)求出f－1(x)，再作出f－1(x)图像，予以比较、判断．
通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．
解：(1)由y=x2－2x－3，得y=(x－1)2－4，
即(x－1)2=y＋4，
因为x≤0，所以 ，所以原函数的反函数是
(x≥－3)．
(2)当x≤0时，得x=y＋1且y≤－1；
当x＞0时，得 且y＞－1，
所以，原函数的反函数是：
例题讲解(反函数）
反函数例题讲解
例1．下列函数中，没有反函数的是( )
(A)y=x2－1（x< ）(B)y=x3+1（x∈R）
(C) （x∈R，x≠1）(D)
分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．
判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．
解：由函数f(x)=(1+ )2-2(x≥-2)画出图象，如图，由于函数f(x)的反函数的图象与函数f(x)的图象关于y=x对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y=x上.因此，方程组 的解即为f(x)=f-1(x)的解，于是解方程组得x=-2或x=2,从而方程f(x)=f-1(x)的解集为｛-2,2｝.
5． ，2
由y=x2+2 (x≤1)解得 (y≥3)
∴ (x≥3)．
故 (x≥2)．
点评：f－1(x+1)表示以x+1代替反函数f－1(x)中的x，所以要先求f－1(x)，再以x+1代x，不能把f－1(x+1)理解成求f(x+1)的反函数．
习 题
1．已知函数f(x)=x2－1 (x≤－2)，那么f－1(4)=______________．
如第(3)小题，由 解得x=(y－1)2，再将x，y互换，得y=(x－1)2．到此以为反函数即y=(x－1)2，这就错了．必须根据原函数的定义域x≥0，求得值域y≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为
y=(x－1)2(x≥1)．
例2．求下列函数的反函数：
(1)y=x2－2x－3(x≤0)；
(2)
［例2］若点P(1，2)在函数y= 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a,b的值.
选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.
解：由题意知P(1，2)在其反函数的图象上，
根据互为反函数的函数图象关于y=x对称的性质，
Ｐ′(2，1)也在函数y= 的图象上，
因此： 解得:a=-3,b=7.
∴0≤ ≤1，0≤1－ ≤1，
即0≤y≤1．
∴所求的反函数为 （0≤x≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：
①把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x=φ(y)．
②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；
③依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x=φ(y)为y=φ(x)．
2．函数y=－x2+x－1 (x≤ )的反函数是_________________．
3．函数 的反函数为__________________．
4．函数 (x≤1)的反函数的定义域是_____________．
5．已知 与 是互为反函数，则m=______和n=________．
答 案
1．
2．
3．
4．
［例1］若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x)=(x-1)2(x≤1)，求g(x).
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.
解：f(x)与g(x)在定义域内互为反函数，
f(x)=(x-1)2(x≤1)的反函数是
y=1- (x≥0)，
∴g(x)=1- (x≥0).
说明：互为反函数的图象关于y=x对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f(x)与g(x)互为反函数，要求g(x),只须求f(x)在限定区间上的反函数即可.
(2)由 解得 ．
∴ 的反函数为 ．
∵ 的定义域是{x|x∈R且x= }
故 的值域是{y|y∈R且y≠ }．
例7．设函数y=f(x)满足f(x－1)=x2－2x+3(x≤0)，求f－1(x+1)．
解：∵x≤0，则x－1≤－1．
∵f(x－1)=(x－1)2+2 (x≤0)
∴f(x)=x2+2(x≤－1)．
例2．求下列函数的反函数．
(1)
(2)
(3)f(x)=x2－2x+3，x∈(1，+∞)
(4) (－1≤x≤0)
点评：(1) (x∈R且xБайду номын сангаас6)
(2)f－1(x)=x2+1 (x≤0)
(3) (x>2)
(4) (0≤x≤1)
例3．求函数 的反函数．
点评：反函数为 ．
例4．已知 ，求f[f－1(x)]的值．