数列中的一些常见问题

合集下载

数列常见题型总结经典

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。

数列解题中的几种常见错误及解析举例

立．当ｎ：１时，０ｌ＝Ｓ，即５与０关系公式 Ⅱ ＝ｌ
种情况：当ｇ＝１时，Ｓ＝ｎ。 ① 口；② 当ｑ≠ １时，
一
！
２
１一ｇ ‘
正解当ｑ＝１时，’ ＝ｎ，。＋ｎ＝２．Ｓ ’０．．．ａ，。＝２ａ．ｎ．当ｑ≠１时，Ｓ＝（１）十（２十０）十… ＋（十０。十口。）
泛的联系，以在历届高考中都受到了命题者的青睐，每年所是
成立的条件为ｎ２使用ｓｓ求ｎ＞Ｉ，一只能表示第二项以后
的各项，而第一项是否能用这个ｏ表示，尚需验证，只有当｜一ｓ
（ｎ＋３ｎ＋２）一［ｎ一１＋（（）２ｎ一１＋３）］
点粗浅的教学体会，当之处，批评指正．不请
数学学习与研究２１．００７
＝
是分步条件蜮
因此
要分两步：
＝
（ｌ２０＋口＋… ＋）＋（口＋。＋… ＋ｎ）
！垡２ｎ二：＋ｒ上
．
先求ｎ＝１结果当，，ｌ ≥２时使用。＝Ｓ一Ｓ，后验证是最
１＿ｑ
否可以合并．在解题的过程中，往只想到。Ｓｓ，而往＝一而忽略了。Ｓ一Ｓ成立的条件为ｎ．＝ ≥２
高考必考内容之一．其作为重点研究对象和载体的等差、尤等比数列，就更需要正确地理解和掌握了．解题时，在如果没有扎

等差数列的19种经典题型

等差数列的19种经典题型
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

以下是一些常见的等差数列题型：
1. 求等差数列的通项公式；
2. 已知等差数列的首项和公差，求第n项的值；
3. 求等差数列前n项的和；
4. 求等差数列中有多少项满足某个条件；
5. 求等差数列的前n项和与后n项和的关系；
6. 求等差数列的和等于某个数的情况下，确定首项和项数；
7. 求等差数列的和等于另一个等差数列的情况下，确定首项、项数及公差；
8. 求等差数列中的两个数之和等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
9. 求等差数列中的两个数之积等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
10. 求等差数列中的两个数之差等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
11. 求等差数列中的两个数之商等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
12. 求等差数列中的两个项之和等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
13. 求等差数列中的两个项的积等于某个数的情况下，确定
这两个项的位置；
14. 求等差数列中的两个项的差等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
15. 求等差数列中的一个项与它前面的项和后面的项的和的比值；
16. 求等差数列中任意两项之间的差的绝对值；
17. 求等差数列的平均值；
18. 已知等差数列的前n项和及项数，求公差；
19. 已知等差数列的前n项和及公差，求项数。

以上是一些经典的等差数列题型，通过掌握这些题型的解题方法和技巧，可以更好地解决与等差数列相关的问题。

数列题解析常见的数学题型及解题技巧

数列题解析常见的数学题型及解题技巧数列题解析：常见的数学题型及解题技巧数学中，数列是一种按照一定规律排列的数字序列。

数列题是中学数学常见的题型之一，考察学生对数列的理解和解题能力。

本文将介绍数列题的常见题型，并提供解题技巧。

一、等差数列1. 等差数列概念等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。

2. 等差数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。

(2) 求项数：已知等差数列的首项和公差，求第n项可以利用通项公式an = a + (n-1)d。

(3) 求公差：已知等差数列的首项和任意两项，可以利用公式d = an - a(n-1)来计算。

二、等比数列1. 等比数列概念等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

通常用字母a表示首项，q表示公比。

等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。

2. 等比数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等比数列的求和公式Sn = (a(1-q^n))/(1-q)来计算。

(2) 求项数：已知等比数列的首项和公比，可以利用通项公式an = a * q^(n-1)进行转化求解。

(3) 求公比：已知等比数列的首项和任意两项，可以通过求项数的方式来计算公比。

三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前一项递推而来的数列。

递推数列题型比较灵活，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。

解决递推数列题目的关键是找到递推关系式，将问题转化为数列的求解问题。

四、复合数列复合数列是指数列中同时具有等差和等比特征的数列。

可以通过将复合数列拆分成等差数列和等比数列两部分来解决问题。

解决复合数列题目的关键是根据题目给出的条件，分别求解等差数列和等比数列的部分，然后将结果综合起来。

五、其他常见数列题型除了上述三种常见的数列题型外，还有一些其他常见的数列题型，如费马数列、幂次数列等。

高中数学解数列求和问题的技巧

高中数学解数列求和问题的技巧数列是高中数学中的重要概念之一，求和问题是数列中常见的考点。

解决数列求和问题需要掌握一些技巧和方法，下面我将介绍几种常见的数列求和问题及其解题技巧。

一、等差数列求和问题等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

求等差数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。

求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

例如，给定一个等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

根据求和公式，首先计算出末项an：an = a1 + (n - 1) * d = 3 + (10 - 1) * 2 = 21。

然后代入公式计算出前10项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (3 + 21) * 10 / 2 = 120。

二、等比数列求和问题等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。

求等比数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。

求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

例如，给定一个等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。

根据求和公式，代入相应的值计算出前5项的和：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。

三、特殊数列求和问题除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列，求和问题也有相应的解题技巧。

1. 平方数列求和问题：平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。

例如，1，1，4，16，...。

求平方数列的前n项和，可以利用平方数的求和公式来解决。

求和公式为：Sn = (2^(n+1) - n - 2) / 3。

2. 斐波那契数列求和问题：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。

例如，1，1，2，3，5，...。

求斐波那契数列的前n项和，可以利用斐波那契数列的性质来解决。

高考数学中常见的数列问题解答

高考数学中常见的数列问题解答数列作为高考数学中的常见考点之一，经常出现在各类数学试题中。

学好数列的相关知识，不仅能够帮助我们解答问题，还能够提高我们的逻辑推理能力和问题解决能力。

本文将针对高考数学中常见的数列问题，进行详细的解答和分析，帮助同学们更好地应对考试。

一、等差数列问题解答等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

常见的等差数列问题通常涉及求和、通项等问题。

1. 求等差数列的前n项和：设等差数列的首项为a1，公差为d，首项为a1，末项为an，共有n 项。

根据等差数列的特点，可得到如下公式：Sn = (2a1 + (n - 1)d) * n / 22. 求等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的特点，可得到如下公式：an = a1 + (n - 1)d3. 求等差数列中满足特定条件的项数：对于等差数列，我们常常需要求出满足一定条件的项数。

例如，已知等差数列的首项为a1，公差为d，求第n项为m的项数时，可以通过以下公式解答：an = a1 + (n - 1)d = m二、等比数列问题解答等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

常见的等比数列问题通常涉及求和、通项等问题。

1. 求等比数列的前n项和：设等比数列的首项为a1，公比为q，首项为a1，末项为an，共有n 项。

根据等比数列的特点，可得到如下公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 求等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。

根据等比数列的特点，可得到如下公式：an = a1 * q^(n - 1)3. 求等比数列中满足特定条件的项数：对于等比数列，我们常常需要求出满足一定条件的项数。

例如，已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项为m的项数时，可以通过以下公式解答：an = a1 * q^(n - 1) = m三、其他常见数列问题解答除了等差数列和等比数列外，还有一些其他常见的数列形式，如递推数列、斐波那契数列等，下面将对这些问题进行解答。

数列常见大题(含答案)

Tn 3 2 2 (22 23 2n ) (2n 1)2n1
2 22 23 2n1 (2n 1)2n1
2(2n1 1) (2n 1)2n1 (2n 1)2n1 2
Tn (2n 1)2n1 2
（12 分）
4．
已知数列{an } 满足：
1 a1
2 a2
n 3 (32n 1), n N *. an 8
8da1 4d
12d 2
16
，解得
ad1
8, 2,
或
ad1
8 2
因此 Sn 8n nn 1 nn 9，或Sn 8n nn 1 nn 9
9.设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求an 的通项公式；（Ⅱ）求an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
①当1 n 11时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 |
| an | a1 a2 a3
an
n(10
11 2
n)
n(21 2
n)
②当12 n 时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 | | an | a1 a2 a3 a11 (a12 a13 an )
所以Tn 3 7 2 11 22 ... 4n 1 2n1 ，
2Tn 32 722 1123 ... 4n 1 2n ，
2Tn Tn 4n 1 2n [3 4(2 22 ... 2n1)]
(4n 5)2n 5
Tn (4n 5)2n 5，n∈N﹡.
13.【2012 高考重庆文 16】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分））
解得 k 6 或 k 1（舍去），因此 k 6 。

数列极限常见题型及解法

数列极限常见题型及解法汤原县鹤立高级中学乔春华数列极限是描述数列当项数n 无限增大时的变化趋势，是高考考点之一，多以选择题、填空题出现。

对于常见类型，应熟悉其解法和变形技巧。

注意向三个重要极限C C n =∞→lim （C 为常数），0lim =∞→n c n （c 为常数），0lim =∞→n n q （1<q ）转化，数列极限常见题型及解法如下：一、分式型数列的极限1.若分子、分母上n 的最高次数相同，则极限等于它们的系数比。

例1.求极限243132lim 22+++-∞→n n n n n 解：原式=22243132lim nn n n n +++-∞→ =32 2.若分子上n 的最高次数低于分母的最高次数，则极限一般等于零。

例2.求极限nn n n n 3243lim 423++-∞→ 解：原式=34231243lim nn n n n ++-∞→ =03.若分子上n 的最高次数高于分母的最高次数，则极限不存在。

例3.2lim 223-+-∞→n n n n n 极限不存在综上：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++++----∞→）（极限不存在q p q p q p b a b n b n b n b a n a n a n a q q q q p p p p n )(0)(lim 0011101110二、无限项形式变为有限项形式再求极限因为极限的运算法则，只适用于有限个数列之和求极限，所以求项数不定的积式、和式的极限分两步①将积式、和式化为有限项的积或和；②求极限例4.求极限nn n n n n n n -+++-+-∞→2221374lim解：原式=nn n n n -++∞→22)134(lim 232253lim =-+=∞→n n n 例5.求极限)211()411()311(lim +--⨯-∞→n n n 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯⨯⨯⨯⨯∞→21544332lim n n n n 222lim =+=∞→n n n 三、无理式求极限通常是将分子或分母有理化，使式子中的减号变为加号。

数列中常见的几类易错题

・
３２・
中学数学月刊
２１年第１０１期
数列中常见的几类易错题
万园（苏省盐城市明达中学２４０）江２００
数列是高中数学的重要内容之一，是高考也考查重点．考查的相关内容主要有：数列的概念、数列的运算与性质、数列与函数、不等式知识的综合．在解数列问题时学生常遇到一些问题，自己感觉解题过程是“ 无懈可击”的，即使有错误也发现不出错误的原因．面就常见的几类问题作一错下
（）如图１，求反比例函数的解析式；１４① ② 求的值及Ｄ点坐标；
（）图１，点Ｅ在线段ＡＤ上运动，２如５若连结
Ｃ，Ｅ作ＣＦ一４。Ｅ交ＡＣ于Ｆ点．Ｅ５，Ｆ ① 试说明 △ＣＤＥ ∽ △ ＥＡＦ；
因分析．１列｛ａ｝满足ａ＝１。ａ，一＋
一 …
②， ② 一 ① ，。一：。得，
因此一 ③．
由乘署・ … ・１旱号鲁叠知Ｉａ ‘ 』・以ａ景＝Ｊ２ “ ・・以４
’
故一对一ｌ成立．也
“ ＋ｎ＋ … ＋— 口（２ ∈ Ｎ＊，２。十以十十。以。≥ｚｎ扎 ’ ，）若 ’ 右
ａ１０则是一一０，错解．
又“ 一１０，是：１００故０．
故
十ｏｏ．
Ｄ１Ｄ

数列必会常见题型归纳

数列必会基础题型题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.5在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．7、已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形． B ）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S ..6、已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝．题型二：求数列通项公式： (A ）给出前n 项和求通项公式1、⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .2、设数列{}n a 满足2*12333()3n na a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式B ）给出递推公式求通项公式⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----1.已知数列{}n a 满足141,21211-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

数字序列找出数字序列中的规律并填写缺失的数字

数字序列找出数字序列中的规律并填写缺失的数字数字序列是数学中的重要概念，它由一系列数按照一定规律排列组成。

在数学领域，找出数字序列中的规律并填写缺失的数字是一项基本的技能。

本文将介绍一些常见的数字序列规律，并提供一些解题方法和示例。

一、等差数列等差数列是最简单的数字序列之一，它的特点是每个数与它前面的数之差都相等。

例如，1、3、5、7、9就是一个等差数列，公差为2。

通过观察这个数列，我们可以发现每个数都是前一个数加上公差得到的。

因此，如果有一部分数字缺失了，我们可以根据已知的数字和公差，计算出缺失的数字。

二、等比数列等比数列是一种常见的数字序列，其特点是每个数与它前面的数之比都相等。

例如，2、4、8、16、32就是一个等比数列，公比为2。

在等比数列中，每个数都是前一个数乘以公比得到的。

如果我们知道了一部分数字，并且能够确定它们之间的比值，就可以通过计算得到缺失的数字。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种非常特殊的数字序列，它的特点是每个数都是前两个数之和。

例如，1、1、2、3、5、8、13就是一个斐波那契数列。

在斐波那契数列中，每个数都是前两个数相加得到的。

如果我们可以确定斐波那契数列的前两个数，并且知道数列的规律，就可以计算出后面缺失的数字。

四、其他数字序列规律除了等差数列、等比数列和斐波那契数列外，还存在很多其他数字序列的规律。

例如，三角数列、平方数列、立方数列等等。

这些序列都有自己特定的生成规律，需要通过观察和推理来找出规律并填写缺失的数字。

例如，给定以下数字序列：3、6、9、12、x、18。

我们可以观察到每个数与前一个数之差都是3，因此可以确定这是一个等差数列，公差为3。

根据已知的数字和公差，我们可以计算出缺失的数字：15。

在解题过程中，我们可以利用代数的方法来推导数字序列的规律。

通过设定未知数和方程，我们可以利用已知的数字和等式来解出缺失的数字。

另外，利用计算机编程可以更快地计算和推导数字序列的规律，特别是对于复杂的序列来说。

数列中的最值问题

问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆．（Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大．【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（），解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列；当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为．【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为．【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值；若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．（2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。

数列常见大题含答案

常见数列大题收集1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（公式法）（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和。

（裂项法） 1．（1）设｛a n ｝的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+。

由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得{}n =2-.n a a n 故的通项公式为（2）由（I ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111-+-++)2-1113232112nn n n-=---（. 2.在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比1>q ， 1002534231=++a a a a a a ，且4是2a 与4a 的等比中项，⑴求数列}{n a 的通项公式；（公式法） ⑵设n nn a a b 22log +=，求数列}{n b 的前n 项和n S ，（分组求和法）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，由已知得⎩⎨⎧====∴>=+-∴===+>=+=++82,8,2101610164,10,0,100)(23114224224242242534231q a q a a a q x x a a a a a a a a a a a a a a a n 即的两根，为方程、，又则又 …………………………… 4分解得112a q =⎧⎨=⎩ 12n n a -∴=.…………………………… 7分（2）由（1）知，212log 4(1)n n n n b a a n -=+=+-21(1444)(1231)(1)41 32n n n T n n n -∴=+++++++++---=+…………………………… 12分3. 数列{a n }的前n 项和n S =2n ，数列{n b }满足112,32n a n n b b b +==+•。

常见数列应用问题例举

・＋
・＝４．Ｃ
（一ｚｚｚ９）≥ ・ √・— ｓ一＋ √ ＋ — Ａ
欲取等号，且仅当一，当一时，一，ｆ
，
√ ＋一，ｌ＿’ ÷ 号ｌｂ．ｌ・Ｉ一．Ｉａ
／，，人＋１ —１Ａ６此时８ｉ－一３代得一１
的模型．
一
该病毒的患者共有８７６０人，１问１月几日，市感该染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患
者人数．
、
等差数列模型
【析】设１日这一天新感染者最多，分１月则由题意可知从１月１日到日，天新感染者１每人数构成一等差数列；从＋１日到３日，天新０每感染者构成另一个等差数列．两个等差数列的这
２溶液稀释问题．
（０一２ｎ３，１月３日新感染者人数为一３）０一０１０
６ｏ２（０３～一０３～）３＝一２ｎ＋５０一００７．
故共感染者人数为：— ２＋０ｎ０５ｎ（
— — —
－
３）＋０
少３Ｏ人，１月３到１０日止，市在这３该Ｏ天内感染
出现的频率较高．与函数、程、等式、数、它方不复立体几何等知识密切相关．列作为特殊的函数，数在实际问题中也有着广泛的应用，增长率、行如银信贷、度匹配、老保险、钢堆垒等问题．浓养圆

数学中的数列问题

数学中的数列问题在数学中，数列是一种由一系列数字按照特定规律排列组成的序列。

数列问题是数学中常见且重要的问题之一，涉及到数列的性质、分类、求和等方面。

在本文中，我们将探讨数学中的数列问题并且介绍一些解决这些问题的常用方法。

一、等差数列等差数列是最基本的数列之一，其特点是每个数与它的前一个数之差都相等。

我们用a₁、a₂、a₃、...、an表示等差数列中的任意一项，d表示公差（即相邻两项之差）。

那么，等差数列的通项公式为aₙ =a₁+(n-1)d。

求和是解决等差数列问题的常见需求之一。

当我们需要求等差数列的前n项和时，可以利用以下的求和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2二、等比数列与等差数列类似，等比数列也是由一系列数字按照特定规律排列组成的序列。

不同的是，等比数列中每个数与它的前一个数的比值都相等。

我们用a₁、a₂、a₃、...、an表示等比数列中的任意一项，r表示公比（即相邻两项之比）。

那么，等比数列的通项公式为aₙ = a₁ *r^(n-1)。

求和是解决等比数列问题的另一个常见需求。

当我们需要求等比数列的前n项和时，可以利用以下的求和公式：Sₙ = (a₁ * (1 - r^n)) / (1 - r)，其中r不等于1。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两个数都是1，之后每个数都是其前两个数的和。

即F₁ = 1，F₂ = 1，Fn = Fn-1 + Fn-2（n≥3）。

斐波那契数列在实际中有着广泛的应用，例如金融、自然科学等领域。

斐波那契数列具有一些独特的性质和规律，如黄金比例等，是数学研究和探索的热门话题之一。

四、等差数列与等比数列的比较在实际问题中，等差数列和等比数列常常会同时出现，我们需要通过观察和分析来确定究竟应该使用哪种数列。

一般来说，如果问题中给出的数列是首项和公差都是整数，那么可以先考虑等差数列。

如果问题中给出的数列是首项和公比都是整数，那么可以尝试使用等比数列。

高考数列常考知识点

高考数列常考知识点在高考数学中，数列是一个常见的考点。

数列作为数学的基础概念之一，是许多数学问题的关键元素。

数列的概念和性质不仅仅是高考数学的基本知识点，也是后续数学学习的重要基础。

在本文中，我们将讨论高考中常考的数列知识点，帮助同学们掌握数列的基本概念和解题技巧。

一、等差数列等差数列是最为常见的数列之一。

等差数列的特点是：每一项与它的前一项之差都相等。

常用的表示方式是使用首项 a 和公差 d 表示。

数列的通项公式可以表示为 a_n = a + (n-1)d，其中 a_n 表示第 n 项。

在高考中，经常会出现以下几类问题与等差数列有关：1. 求等差数列的前 n 项和。

这个问题是等差数列的基本应用，常用的求和公式是 Sn = n/2(a + l)，其中 Sn 表示前 n 项和，a 表示首项，l 表示最后一项。

2. 求等差数列的通项公式。

有时候，我们需要根据已知的数列的前几项或者一个递推关系，来推导数列的通项公式。

这个问题需要利用等差数列的性质进行推导和分析。

3. 求等差数列中满足一定条件的项数。

有时候，我们需要找到等差数列中满足某种条件的项数，这种问题也需要运用等差数列的性质和求解方法来解决。

二、等比数列等比数列也是高考中常考的数列知识点。

等比数列的特点是：每一项与它的前一项之比都相等。

通常使用首项 a 和公比 q 来表示等比数列。

数列的通项公式可以表示为 a_n = a * q^(n-1)，其中 a_n 表示第 n 项。

在高考中，经常会出现以下几类问题与等比数列有关：1. 求等比数列的前 n 项和。

与等差数列类似，等比数列也可以求解前 n 项和。

常用的求和公式是 Sn = a(1 - q^n)/(1 - q)。

2. 求等比数列的通项公式。

同样地，有时候我们需要根据已知的数列的前几项或者一个递推关系，来推导等比数列的通项公式，这个问题也需要利用等比数列的性质进行推导和分析。

3. 求等比数列中满足一定条件的项数。

数列极限常见题型

数列极限常见题型数列是数学中常见的概念，它在数学以及实际生活中都有重要的应用。

在数学中，数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的序列。

在常见的数列题型中，包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

首先，让我们来了解一下等差数列。

在等差数列中，每个数与它的前一个数之差都是相等的，这个差值称为公差。

一个等差数列可以用一个公式来表示：an = a1 + (n-1)d，其中an代表第n个数，a1代表首项，n代表数列中的第n个数，d代表公差。

等差数列的应用非常广泛，在几何中经常用到。

接下来，让我们来了解一下等比数列。

在等比数列中，每个数与它的前一个数之比都是相等的，这个比值称为公比。

一个等比数列可以用一个公式来表示：an = a1 * r ^(n-1)，其中an代表第n个数，a1代表首项，r代表公比。

等比数列在实际生活中也有很多应用，比如财经领域中的复利计算。

除了等差数列和等比数列，斐波那契数列也是一个常见的数列类型。

斐波那契数列是前两个数之和等于第三个数这样的数列。

其中第一个数和第二个数都是1，从第三个数开始，每个数都等于前面两个数之和。

斐波那契数列的公式为：an = Some answers include an = a1 + a0，其中an代表第n个数，a1和a0为前两个数。

斐波那契数列在计算机领域中有广泛的应用，比如算法设计和编程问题。

在解决数列题目时，我们需要根据题目中给出的条件来确定数列的类型，并利用相应的公式进行计算。

有时候题目可能会提供数列的前几个数，我们可以利用已知的数据，推导出数列的类型和相关的公式，进而解决问题。

除了上述的常见数列类型，还有其他一些特殊的数列，比如等差数列的和数列、等比数列的和数列等。

这些数列一般涉及到数列的求和问题。

求和问题在数学中也是一个重要的研究方向，它有很多的技巧和方法可以解决。

总之，数列是数学中一个非常重要的概念，它在数学以及实际生活中有广泛的应用。

了解常见数列题型以及相应的解题方法，可以帮助我们更好地理解数学，提高解题的能力。

初中数学数列与函数常见问题

初中数学数列与函数常见问题数列与函数是初中数学学习中的重要内容，对于很多初中生而言，数列与函数的概念和应用常常是比较困惑的。

本文将围绕初中数学数列与函数的常见问题展开，为同学们提供清晰的解答和指导。

问题一：数列与函数的基本概念是什么？数列是按照一定的规律排列起来的一串数，其中每个数都有固定的位置，称为项。

我们用a₁, a₂, a₃,…, aₙ表示数列的前n项，a₁为第一项，aₙ为第n项。

函数是两个集合之间的对应关系。

在数学中，我们用f(x)表示函数f中的元素x的像。

其中，x称为自变量，f(x)称为因变量。

问题二：什么是等差数列和等差数列的通项公式是什么？等差数列是指数列中相邻两项之差始终相等的数列。

我们用a₁, a₂, a₃,…, aₙ表示等差数列的前n项，公差用d表示。

等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d。

问题三：什么是等比数列和等比数列的通项公式是什么？等比数列是指数列中相邻两项之比始终相等的数列。

我们用a₁, a₂, a₃,…, aₙ表示等比数列的前n项，公比用q表示。

等比数列的通项公式为：aₙ = a₁q^(n-1)。

问题四：如何判断一个数列是等差数列或等比数列？对于等差数列，我们可以通过计算相邻项的差是否恒定来判断。

如果相邻项之差恒定，则该数列为等差数列。

对于等比数列，我们可以通过计算相邻项的比是否恒定来判断。

如果相邻项之比恒定，则该数列为等比数列。

问题五：如何求解数列的和？对于等差数列，我们可以通过求解首项和末项的平均值乘以项数来得到数列的和。

即：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2。

对于等比数列，我们可以通过最后一项与首项的比例关系来求解。

即：Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) ÷ (1 - q)。

问题六：什么是函数的图像？函数的图像是函数中各个元素所对应的点在平面上的位置的集合。

通常，我们将自变量x作为平面上的横坐标，因变量f(x)作为纵坐标，将这些点连成曲线，便得到了函数的图像。

数列中的奇、偶项问题

=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]
(-1+2-5) (14+4+6)
32 +7
2
2
=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)]=
+
=
.
2
当
2
时,Tn-Sn=
-(n +4n)=
2
2
综上可知,当 n>5 时,Tn>Sn.
− 2 -4,即+1
=(an+2)2,n≥2.
因为{an}的各项均为正数,所以 an+1=an+2,即 an+1-an=2,n≥2.
因为 a3=5,所以32 =4(a1+a2)+9,22 =4a1+5,解得 a2=3,a1=1.则 a2-a1=2,满足
an+1-an=2,
所以数列{an}是公差为 2 的等差数列,
=
(-1)
>0,所以
2
2
Tn>Sn.
2
[对点训练 2](2024·山东聊城模拟)已知数列{an}满足 a1+a3=2a2,
3 ,为奇数,
an+1=
数列{cn}满足 cn=a2n-1.
+ 2,为偶数,
(1)求数列{cn}和{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)由 an+1=
探究二
奇、偶项通项不同的数列求和
-6,为奇数,