2018高考选修4-4 坐标系与参数方程 17-18版选修4-4 第1节课时分层训练55

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2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲坐标系 1 精品

而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2aB．
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证法二：如图所示，
在▱ABCD 中， A→C＝A→B＋A→D，两边平方得A→C2＝A→B2＋2A→B·A→D＋A→D2. 同理可得B→D2＝A→D2－2A→D·A→B＋A→B2.
以上两式相加，得A→C2＋B→D2＝2(A→B2＋A→D2)，
[变式训练] 1.已知△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD| ＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则 A(0,0)，设 B(a,0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c.
所
以
|AD|2＋
[规律方法] (1)点 A(a，b)在伸缩变换 φ：yx′′＝＝μλxyλμ>>00，
的作用下，可得点 A′(λa，μb)；
若点 B 在伸缩变换 φ：yx′′＝＝μλxyλμ>>00，的作用下，得点
B′(c，d)，则点
c d Bλ.μ.
(2)一般地，在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸
缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后仍为
1．将点 P(－2,2)变换为 P′(－6,1)的伸缩变换公式为( )
A．x′＝13x y′＝2y
B．x′＝12x y′＝3y
x′＝3x C．y′＝12y
D．yx′′＝＝22yx
解析：设伸缩变换公式为
x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0，
由题意，得1－＝62＝μ，－2λ，
λ＝3， x′＝3x，
又|A→C|2＋|B→D |2＝2(|A→B|2＋|A→D|2)，

2018版高中数学一轮全程复习(课件)选修4—4 坐标系与参数方程 4-4.1

第十七页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
[解析] (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1，从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1，即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)．当 θ＝π2时，ρ＝233，所以 N23 3，π2.
第二十七页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
解析：(1)因为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝－2，
C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. (2)将 θ＝π4代入 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为12.
第十六页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向二极坐标与直角坐标的互化 [自主练透型] [例 2] 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3 ＝ 1(0≤θ≤2π)，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
[解析] 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化，先将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行求解．
∵ x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴ 直线的直角坐标方程为 x－ 3y－1＝0. ∵ ρ＝2cos θ，∴ ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ， ∴ x2＋y2＝2x. ∴ 圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. ∵ 圆心(1,0)在直线 x－ 3y－1＝0 上， ∴ AB 为圆的直径，∴ |AB|＝2. [答案] 2

高中课标课程选修4-4《坐标系与参数方程》教学参考一《坐标系与参数方程》概观

本专题与三角函数、圆锥曲线的联系是密切和自然的. 所以，教学过程中应充分重视知识的联系，使教学过程既成为学生学习新知识的过程，同时也成为已学知识的提升过程.
比如“声响定位”，教材创设的情景是要学生确定声响的位置，学生在思考如何解决这个情景问题时，发现要确定一个点的位置，必须借助于数量关系，此时教师可引导学生进一步思考要用什么数量关系来表示它？要怎样找到数量关系？最后让学生体会用坐标法解决问题的过程.
又如“参数方程的引入”，教材创设了飞机向灾区投放物资的情景，教师应引导学生思考；如果建立了适当的直角坐标系，物资离开飞机后的空中位置，可以用坐标系的坐标来表示，而表示物资位置的坐标，可以用物质离开飞机的时间来确定. 于是学生在这样一个问题情景中，感受到物资在某一时刻的位置可以用函数来刻画它，从而在意识上产生引入参数方程的必要性.
坐标系是坐标法思想得以实现的平台，是解析几何的基础. 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式. 2.坐标系与参数方程的作用
通过极坐标系、柱坐标系、球坐标系等不同的坐标系的学习，可以丰富对坐标系的认识，体会不同坐标系在刻画几何图形或描述自然现象的特点，从而可以根据不同几何图形的特点选择适当坐标系使建立的方程更加简单，研究更方便. 通过参数方程的学习，可以发现某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，而且有助于进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变. 3.教材地位分析
近十年来，本专题的教学内容在中学数学课程中经历了三个不同时期．一是以一章的形式出现在解析几何中；二是在“两省一市”(山西、江西、天津) 的教科书里面把它分解到各个章节中；三是在课标课程中，又重新把它集中为一个专题即《坐标系与参数方程》．本专题是以《平面解析几何初步》、《平面向量》、《三角函数》等模块的知识为基础，是平面解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化. 4.本专题知识网络图

2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲坐标系本讲高效整合1 精品

5．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．
解析：两圆方程分别为 x2＋y2＝2x，x2＋y2＝y，
两圆圆心分别为 C1(1,0)，C20，12，
所以|C1C2|＝
答案：
5 2
12＋122＝
5 2.
6．已知点 M 的柱坐标为23π，23π，23π，则点 M 的直角坐标为______，球坐标为________．
解析：设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ， z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由xy＝＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z，
x＝23πcos 23π＝－π3，得y＝23πsin 23π＝ 33π，
z＝23π，
r＝ x2＋y2＋z2，
由 cos
φ＝zr，
r＝2 得
32π，
cos φ＝ 22，
4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点和圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．
5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别．
[命题探究]
本章知识在高考中主要以直角坐标系的应用为主，并且主要以解答题为主，在历年的高考中均有体现，预测今后的高考中，仍将会出现以建立直角坐标系来解决实际问题的类型，并且还会有平移变换和直角坐标与极坐标、柱坐标、球坐标等的互化问题．
热点考点例析
[热点题型]
平面直角坐标系
解析法解决几何问题 1．运用坐标方法研究曲线(含直线)的形状与性质是曲型的数形结合思想的体现，坐标系的建立，在代数与几何之间架起了一座桥梁，使直观的几何图形一些性质的证明通过数量运算得以完美实现． 2．对于一些用纯平面几何知识难以证明的几何性质、定理等，如果要用坐标法，转化为代数运算，往往给解决问题带来极大的方便．

2018课标版文数一轮(12)选修4—4-坐标系与参数方程1-第一节坐标系

栏目索引
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ22ρsin θ+1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.
(2)极坐标 (i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的⑦ 距离 |OM|叫做点M的极径,记为ρ. (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ. (iii)极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 3.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间
2
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方法技巧极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用互化公式进行转化,最后化简得到直角坐标方程. (2)巧借两角和差公式,将ρsin(θ±α)=k或ρcos(θ±α)=k或ρ=ksin(θ±α)或ρ= kcos(θ±α)形式的极坐标方程进行转化,进而利用互化公式得到直角
栏目索引
教材研读
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
x ' ① x( 0), 的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角 y ' ② y( 0)

高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)

个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数 t 的一个值，就可以求出唯一对应的 x，y 的值．
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的参数方程如图圆 O 与 x 轴正半轴交点 M0(r，0)．
α α (t
为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义．
一般地，过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ba(a，b 为常数)的直线，参数方程为xy＝＝xy00＋＋abtt(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）
x＝rsin φcos θ (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为y＝rsin φsin θ ．
z＝rcos φ
第二讲：
第4页
一曲线的参数方程
1．参数方程的概念 1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变
2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程 F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程xy＝＝fg（（tt））(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，
它含有三个变量 t，x，y，其中 x 和 y 都是参数 t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，

2018届高考数学一轮复习选修4-4.1

选修4-4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
选修4-4
第一节
坐标系
主干知识回顾名师考点精讲
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考纲概述
考查热点
考查频次
备考指导
(1)了解坐标系的作用,了解在直线的极坐标方程 ★★★ 平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; (2)了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画 ★★★★★ 点的位置,能进行极坐标和直圆的极坐标方程角坐标的互化; (3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程
知识清单基础自测
第一节
坐标系
主干知识回顾名师考点精讲
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2.极坐标为P(ρ,2π+θ),Q(ρ,π+θ),R(-ρ,π+θ),S(-ρ,θ-π)的四点中,与M(ρ,θ)表示同一点的有 . P,R,S 【解析】在极坐标系中,表示同一点,极径相同时,极角相差2π的整数倍, 即π的偶数倍;极径互为相反数时,极角相差π的奇数倍.因为(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ),(ρ,θ+(2k+1)π)(k∈Z)表示同一点的坐标,据此判断与M(ρ,θ)表示同一点的有 P,R,S三点. 3.圆O的极坐标方程为ρ=4sin θ,将其化为直角坐标方程为 . x2+y2-4y=0 【解析】利用x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y,即化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0.
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1.在直角坐标系中,点P的坐标为(-1,- 3),则点P的极坐标为
4π 3
.
4π , 3
2,
【解析】�� =
4π 3
(−1)2 + (− 3)2 = 2,

(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

选修4-4坐标系和参数方程

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。

（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

2018年选修4-4 《坐标系与参数方程》复习提纲

选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲一、高考考试大纲说明的具体要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、基础知识梳理：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做；自极点O 引一条射线Ox 叫做；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个。

2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的，记为θ。

有序数对),(θρ叫做，记为 . 极坐标与表示同一个点。

极点O 的坐标为 . 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

4．极坐标与直角坐标的互化：5。

圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是；以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是；以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是；6.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是 .7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的，联系变数x,y 的变数t 叫做，简称。

创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程 1节精品

[要点梳理]
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
ห้องสมุดไป่ตู้
x′＝λ·xλ＞0， y′＝μ·yμ＞0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，
称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系 (1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的__极__径__，记为ρ.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的__极__角__，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
[解] 设伸缩变换为xy′ ′＝＝λμxyλμ＞＞00，，由题知λ29x2＋μ24y2＝1，即3λ2x2＋μ22y2＝1. 与 x2＋y2＝1 比较系数，得3μ2λ22＝＝11，，
故λμ＝＝32，，所以伸缩变换为xy′ ′＝＝32xy，，即先使圆 x2＋y2＝1 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍，得到椭圆x92＋y2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x92＋y42＝1.
③正确．极坐标系中，点2，π3与2，π3＋2kπk∈Z为同一点．
④错误．极坐标系中，方程 ρcos θ＝1 表示垂直于极轴的直线．
[答案] ①②③
【考向互动探究】考点一平面直角坐标系中的伸缩变换【例 1】在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x92＋y42＝1. 思路点拨设出伸缩变换，然后求出圆变换后的曲线方程，利用对应系数相等列出方程，求出变换．
考点三简单曲线的极坐标方程及应用【例 3】在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，点 P 为⊙C 上一动点，点 M 的极坐标为4，π2，点 Q 为线段 PM 的中点． (1)求点 Q 的轨迹 C1 的方程； (2)试判定轨迹 C1 和⊙C 的位置关系，并说明理由．

2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第一讲坐标

轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 O1(－2， 0)， O2(2，0).由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为 1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1). 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或 x2＋y2－12x ＋3＝0).
变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平
x′＝λx，λ>0， φ： y′＝μy，μ>0 的作面直角坐标系中任意一点，在变换_______________
φ 为平面直角坐用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称__
标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
【综合评与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也
有不同形式．因此我们研究几何图形时可以根据需要选择
不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.
极坐标系
极坐标的概念
点的极坐标与直角坐标的互化
直线和圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆锥曲线统一的极坐标方程
柱坐标系和球坐标系两种坐标系的概念
§1 平面直角坐标系
1.坐标系特征，选择适当的坐标 (1)坐标法：根据几何对象的______ 方程，通过_____ 方程研究它的______ 性质及系，建立它的_____ 与其他几何图形的关系 .
【学习目标】

2018年高考数学(文)一轮复习文档选修4-4 坐标系与参数方程第1讲坐标系 Word版含答案

第讲坐标系 , )
．坐标系
()伸缩变换
设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，
点(，)对应到点(λ，μ)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
()极坐标系
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为ρ；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点的极坐标，记为(ρ，θ)．．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(，)和(ρ，θ)，则θ，＝ρθ，))θ＝()（≠）Ｗ.))
．直线的极坐标方程
若直线过点(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρ(θ－α)＝ρ(θ－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
()直线过极点：θ＝θ和θ＝π＋θ；
()直线过点(，)且垂直于极轴：ρθ＝；
()直线过且平行于极轴：ρθ＝．
．圆的极坐标方程
若圆心为(ρ，θ)，半径为，则该圆的方程为：
ρ－ρρ(θ－θ)＋ρ－＝.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
()当圆心位于极点，半径为：ρ＝；。

2018版高考数学(全国人教B版理)大一轮复习讲义：选修4-4坐标系与参数方程第1讲含解析

（建议用时：60分钟)1。

在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin错误!＝错误!.(1）求圆O和直线l的直角坐标方程；(2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin错误!＝错误!，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1,即x－y＋1＝0。

(2)由错误!得错误!故直线l与圆O公共点的一个极坐标为错误!.2.（2017·贵阳调研）以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ＝错误!.（1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过极点O作直线l交曲线于点P，Q,若｜OP｜＝3｜OQ｜，求直线l的极坐标方程.解(1)∵ρ＝错误!，ρsin θ＝y,∴ρ＝错误!化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4。

（2）设直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R),根据题意21－sin θ0＝3·错误!，解得θ0＝错误!或θ0＝错误!，直线l的极坐标方程θ＝错误!（ρ∈R)或θ＝错误!（ρ∈R)。

3。

在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝错误!对称的曲线的极坐标方程.解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系,则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为（x－1)2＋y2＝1，且圆心为（1，0)。

直线θ＝错误!的直角坐标方程为y＝x，因为圆心（1，0）关于y＝x的对称点为(0，1)，所以圆（x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1。

所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝错误!对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

4.在极坐标系中,已知圆C的圆心C错误!，半径r＝3.(1）求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且错误!＝2错误!,求动点P的轨迹方程。

2018版高考数学(理)第一轮总复习习题：选修4-4坐标系与参数方程含答案

选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐标系突破点（一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源"与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：{ x ′＝λ·x (λ＞0)，，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ′(x ′，y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例］求椭圆错误!＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程．［解] 由错误!得到错误!①将①代入x 24＋y 2＝1,得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1。

因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧］应用伸缩变换公式时的两个注意点（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标（x ，y ）与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式错误!建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f （x ，y ）＝0，一般都要改写为方程f （X ，Y ）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：错误!求点A 错误!经过φ变换所得的点A ′的坐标．解:设A ′（x ′，y ′），由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x ′＝3×错误!＝1,y ′＝错误!×（－2）＝－1，本节主要包括2个知识点：1。

平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2。

极坐标系。

所以A′(1，－1）为所求．2．求直线l:y＝6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′（x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x.3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′（x′，y′),由题意,将错误!代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1,即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1（－5，0）,F2(5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a，b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4,即a＝3，b＝2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流"1．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地,没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．（3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ）与(ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）(θ∈R）,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ) 表示;同时，极坐标(ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y）极坐标（ρ，θ）互化公式错误!错误!考点贯通抓高考命题的“形”与“神"极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式错误!及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标（1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．（2)求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步,根据角θ的正切值tan θ＝错误!(x≠0）求出角θ（若正切值不存在，则该点在y轴上），问题即解．[例1]在极坐标系下，已知圆O:ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin错误!＝错误!。

2018高考选修4-4 坐标系与参数方程 17-18版 选修4-4 第1节 课时分层训练55

2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 1 精品