中考数学压轴题破解策略专题23《平行四边形的存在性》

n 2.
此时点
M
的坐标为
2,
1 3
，N
的坐标为
2,
2 3
.
例 3 如图，抛物线 y x2 bx c 的顶点为 D（－1，－4），与 y 轴交于点 C（0，－ 3），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．
4
（1）求抛物线的表达式； （2）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A，C，E，F 为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B E
D
C
F
（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验． 如图．已知平行四边形 ABCD．连结 AC，BD 交于点 O．设顶点坐标为 A（xA，yA）．B（xB，
1
yB），C（xC，yC），D（xD，yD）．
A
B
O D
C
①_x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标：
ìïïíïïî
y
C
B
E
y
C
B
E
O
DA
x
O
DA
G
x
图1
解 （1）如图 1，过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G．
易证△ODC≌△GED（AAS），所以 GE = OD = 1 OA = 1 ． 2
所以点 E 的坐标为（3，1）．
而直线 AB 为抛物线的对称轴，直线 AB 的表达式为 x＝2，
所以可设抛物线的表达式为 y＝a（x－2）2＋k，
专题 23《平行四边形的存在性》
破解策略 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知
识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高， 这类题，一般有两个类型： （1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题： 以 A，B，C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：
D
A
C
E
F
B
（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题： 先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形． 解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论． 通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答． 如图，若 AB∥CD 且 AB＝CD，分别过点 B，C 作一组平行线 BE，CF，分别过点 A，D 作一组平 行线 AE，DF，则△AEB ≌△DFC，从而得到线段间的关系式解决问题．
解 （1）将点 C，D 的坐标代入抛物线的表达式，得 y x2 2x 3.
（2）存在．
百度文库
将
C，E
两点的坐标代入表达式，得 ìïïíïïî
4a + k = 2, a + k = 1,
解得 ìïïïïïíïïïïïî
a k
= =
1, 3 2. 3
所以抛物线的表达式为 y 1 x 22 2 1 x2 4 x 2
3
33 3
（2）存在．
由题意可设点
M
的坐标为（2，m），N
的坐标为
n,
1 3
n2
4 3
n
2
．
以点 M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：
3
①当 DE 为平行四边形的边时， （i）如图 2，若 DE∥MN，MD∥NE，
2 1 n 3
由平移的性质可得
m
0
1 3
n2
4 3
n
2
1
m 1. 解得 n 4.
此时点 M 的坐标为（2，1），N 的坐标为（4，2）． （ii）如图 3，若 DE∥MN，ME∥ND．
请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
y
O P
Ax
B M
解：（1）将点 A，B 的坐标代入抛物线的表达式，得 y＝x2－2x＋3．设直线 AB 的表达 式为 y＝kx＋b，将点 A，B 的坐标代入，得 y＝x－3． （2）存在． 因为 PM∥OB，所以当 PM＝OB 时，四边形即为平行四边形． 根据题意设点 P 的坐标为（p，p－3），则点 M 的坐标为（p，p2－2p－3）．
例题讲解 例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2＋mx＋n 经过点 A（3，0），B（0，
﹣3），P 是直线 AB 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M．
（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的表达式；
（2）是否存在这样的点 P，使得以点 P，M，B，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
xB yB
-
xA = xC yA = yC -
xD , yD
或
ìïïíïïî
xB yB
-
xC = xA yC = yA -
xD , yD .
②利用中点坐标公式求未知点的坐标：
ìïïïïïíïïïïïî
xA + 2
yA + 2
xC yC
= =
xB + xD , 2
yB + yD . 2
有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．
n 1 2 3.
由平移的性质可得
1 3
n2
4 3
n
2
0
m
1.
m 3. 解得 n 0.
此时点 M 的坐标为（2，3），N 的坐标为（0，2）． ②当 DE 为平行四边形的对角线时，如图 4．
1 3 2 n.
由平行四边形对角线互相平分性质可得
0
1
m
1 3
n2
4 3
n
2.
m 1 . 解得 3
①_x0001_ 作平行线：如图，连结 AB，BC，AC，分别过点 A，B，C 作其对边的平行线， 三条直线的交点为 D，E，F．则四边形 ABCD，ACBE，ABFC 均为平行四边形．
D
A
C
E
F
B
②倍长中线：如图，延长边 AC，AB，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点 D， E，F，连结 DE，EF，FD．则四边形 ABCD，ACBE，ABFC 均为平行四边形．
所以 ( p - 3) - ( p2 - 2 p - 3) = 3 ．
解得 p = 3 ± 21 ，故满足条件的点 P 的横坐标为 p = 3 ± 21 ．
2
2
例 2 边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，D 是 OA 边的中点，
2
连结 CD，点 E 在第一象限，且 DE⊥DC，DE＝DC，以直线 AB 为对称轴的抛物线过 C，E 两 点． （1）求抛物线的表达式； （2）M 为直线上一动点，N 为抛物线上一动点，问：是否存在点 M，N，使得以点 M，N，D， E 为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明 理由．