2019-2020年高中数学第三章概率2.1古典概型的特征和概率计算公式备课资料北师大版必修3

2019-2020年高中数学第三章概率2.1古典概型的特征和概率计算公式备
课资料北师大版必修3
一、备用习题
1.在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,从中任取一根,取到长度超过30 mm的纤维的概率是( )
A. B. C. D.以上都不对
分析：在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,即基本事件总数为40,且它们是等可能发生的,所求事件包含12个基本事件,故所求事件的概率为.
答案：B
2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B. C. D.
分析：(方法一)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件,所以,所求概率为P(A)=.(方法二)本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件A)与取到不合格品(记为事件B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)=.
答案：C
3.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是_____________.
分析：记大小相同的5个球分别为红1,红2,白1,白2,白3,则基本事件为：(红1,红2),(红1,白1),(红1,白2)，(红1,白3),(红2,白1),(红2,白2),(红2,白3),(白1,白2),(白1,白3),(白2,白3)共10个,其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件,所以,所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解,对于求“至多”“至少”等事件的概率问题,常采用间接法,即求其对立事件的概率P(A),然后利用P(A)=1-P()求解.
答案：
4.抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率.
解：在抛掷2颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现1点,2点,…,6点6种不同的结果,我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分,由于1,2号骰子分别有6种不同的结果,因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种,在所有结果中,向上的点数之和为8的结果有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)5种,所以,所求事件的概率为.
5.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为Dd,若第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率(只要有基因D则其就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎).
解：由于第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来. Dd与Dd的搭配方式共有4种：DD,Dd,dD,dd,其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为=0.75.
答：第二子代为高茎的概率为0.75.
思考：第三子代高茎的概率呢？
二、古典概型经典案例分析
如果说你们班里有50人,那么我愿意和你打赌,你们班里至少有一对生日相同的人,你愿意站在我的反面和我打赌吗？
如果说你能够清楚地找到基本事件,分析好复杂事件包含了多少个基本事件,就能够通
过有理数的除法计算出概率,当然,分析清楚基本事件不可缺少的就是一种顺序的观点,可能有时候,用顺序的观点看问题会产生一些不必要的麻烦,但是往往在你忽略了顺序的时候,产生了一种错觉,于是就使你的先进的思想在这里就因为你的大意退化到了中世纪以前的水平.
那么充分小心的你,可能也会犯错误,甚至会感到头疼,因为记数也是一门技术,不一定都很简单.
好了言归正传,我们仍然讨论这个关于生日的赌局.我看起来是有着十分的把握(或者说接近十分的把握,因为十分就成了必然事件,显然,你看得出这个不是一个必然的事件,严格地说我有接近十分的把握),如果你曾经了解过一些关于这个问题的结论,你也可能不会愿意和我打赌,那么我们是如何来处理这个问题呢？
我们想通过两个经典的案例来说明这个问题.
设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(n≤N),求下列事件的概率.
指定的n个房间各有一个人住；
恰好有n个房间,其中各住一个人.
(这里必须得有一些排列组合的内容,也就要求读者具有排列组合的知识) 先看清楚这个问题里面的基本事件是什么呢？
是把n个人随机地安排到N个房间里的所有的情况,分别记n个人为a1,a2,…,a n,房间为A1,A2,…,A n,每个安排的结果作为一个基本事件,比如,可以把所有的人放到房间A1里,把第一个房间里放一个人假定是a1,这个就是一个基本事件,也就是每个安排的结果都是一个基本事件.那么有多少个这样的基本事件呢？我们就得借助于乘法原理了,可以考虑到整个的安排是分步进行的,先安排a1,再安排a2,依次下去,这个中间的顺序是没有问题的,因为我们只关心某人在某个房间,而不关心他是先到还是后到.第一个人可以有N个房间选住,第二个人仍然有N个房间选住,……也就是说每个人都有N种可能的情况,于是,所有人的可能的情况就是=N n.
这就是基本事件的个数,这里面也谈到了一个关于顺序的问题,我们自行地把这个事件里面安排进了顺序,这是一个重要的思想方法.
接下来统计我们需要的有利事件的个数,我们要求是指定的n个房间各有一个人住,那么,关于这n个房间的安排问题就不用我们操心了,我们只是看一下人与房间的搭配问题,于是,就可以得出概率：P(A)=.
我们可以换个角度来看一下,如果我们认为是把房间安排给人,那么,n个指定的房间就会被列成一个顺序,于是,第一个房间有n种可能性,第二个房间就会少了一种,即n-1种,以此类推,结论与我们前面的一样,那么,我们如果把统计基本事件的方式也变换一下呢？结论可能会有些不妥,因为如果考虑第一个房间有n种选择方式,第二个房间也有n种选择方式,以此类推,就会得到基本事件的个数是n n个,显然,结论是不同的,哪一个出了什么问题呢？
你只要稍加思考可能就会得出结论,这个问题的对应是有问题的,假设,我们的第一间房间分配给了a1,那么,第二间房间就不应该再分配给他了,但在刚才的过程中没有体现出来,那么就是说,我们可能统计错了一些情况,同时,有些人也可能分配不到房间.那么,我们做个改进,认为第一间房间有n种选择方式,第二间房间有n-1种行不行呢？显然这个改进更不成功,甚至有了荒唐的结论,因为这里的有些房间可能是可以不分配给任何人的,那么看来这几个只有最初的一个方案可行.同时,我们也得到了一个关于代数的结论：n!≤N n.
这个命题的具体的限制由你自己完成,当然你还可以运用代数的方法给出让人信服的证明.
再对这个问题进行总结,如果你再次地面临这种问题的时候,就要按号入座地找好谁是
房子,谁是人.或者我们也可以抽象一些,集合A有n个元素,集合B有N个元素,n≤N,那么,从集合A到集合B的映射有多少个,就是相当于基本事件的个数,那么,我们的有利事件,就是从集合A到集合B的一个含有n个元素的确定的子集的一一映射的个数,就是n!个,那么以后用映射的观点来处理就可以了,看看哪一个问题是映射.
我们再来探讨第二个问题,看看两者之间的细微的差别是什么？在第二个问题当中提到了一个“恰好”,我们如何来解释呢？显然这个词是与“指定”构成对比的.也就是强调我们要为这n个人先选出n个房间来,再进行处理,用到映射的观点,就是要从B中确定n个元素的子集,这个过程也是有很多的,再把这些子集重复第一题的过程,就是全体的有利事件的个数,于是,问题就归结为统计这些子集的个数,很简单地就可以得出有C n n个,那么概率就应该是P(A)=.
剩下的就是具体的计算了,好了,回味一下,你体会到了什么？
你可能感觉到一些困难,如果你没有感到困难的话就太好了,这个问题在历史上称为“分房问题”,我们可以进一步地拓展这个问题,据说在物理中就有一些非常有用的应用,可以参考我们的注解文章.
现在考虑有关n个人生日问题的事情,这个里面哪些是基本事件呢？那一定是n个人的生日情况的所有可能性,也就是与前面提到的分房问题的第一问相同,那么生日相同(即同月同日出生)的具体的有利事件的个数如何来统计呢？
看来稍微有些麻烦,我们需要了解的是,两个人,或者两个人以上的生日相同,就得认为是对这个事情很有帮助的例证,那么,我们把这个事情分为几类,只有两个人生日相同,只有三个人生日相同,等等,当然还有一些几组两个人的生日都相同的情况,事情就会变得尤其复杂,而且各类之间有交叉的地方还要注意避免,问题足以烦得你失去信心,我们能否换个角度来考虑.
我们完全可以考虑这个事件的反面,其实,如果计算一下你获胜的概率仍然可以表示出我获胜的机会的大小,那么对于你只有一种情况有利,就是所有人的生日都不相同,于是你就可以得到这将是一个上面分房问题叙述的第二类问题,那么你获胜的概率就可以计算出来了：(将N=365,闰年就不记了,直接套用前面的结论就可以了)P(A)=.
可以借助你的结论得出至少两人生日相同的概率,即.
这次只需要计算就可以了.
看来事情的结果对于选择打赌的你有些不利,如果班级里超过50人,几乎就是必然的规律了.
这可能极大地冲击了你的视觉,原因很简单,我们只是在意与自己生日相同的情况,确切地说,只是关注于在n个人中,至少有一个人的生日是特定的某一天的概率,这个不会很大,应该是,随着人数的增长,这个比率会平稳地增长,当然,这个与上述表格的数据的差别是很大的,表格中的数据增长是不均匀的,但是你把这个习惯主观推广了,问题就出现了.
这里面从反面入手,巧妙地运用分房问题的思路解决了这个问题,这种思想方法要学会运用.
2019-2020年高中数学第三章概率2.1古典概型的特征和概率计算公式教
学案北师大版必修3
预习课本P130～133，思考并完成以下问题
(1)古典概型的定义是什么？
(2)古典概型的概率公式是什么？
[新知初探]
1．古典概型的定义
如果一个试验满足：
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
(2)每一个试验结果出现的可能性相同．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
2．古典概型的概率公式
对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件数)为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝m n
.
[点睛] 在一次试验中可能出现的每一个结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．例如，掷一枚骰子，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”共6个结果，就是该随机试验的6个基本事件．
[小试身手]
1．一个家庭有两个小孩，则所有的基本事件是( )
A ．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B ．(男，女)，(女，男)
C ．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D ．(男，男)，(女，女)
解析：选C 用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个基本事件(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
2．下列试验是古典概型的为( )
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率；
A ．①②
B ．②④
C ．①②④
D ．③④
解析：选C ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
3．从100台电脑中任抽5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( ) A.1100 B.15
C.16
D.120 解析：选D 每台电脑被抽到的概率为5100＝120
. 4．从1,2,3,4中随机取出两个数，则其和为奇数的概率为________．
解析：不同的取法包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同，因此是古典概型．和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，
(3,4)，共4个基本事件，故所求概率为46＝23
. 答案：23
古典概型的判定
[典例] (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
[解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．
[活学活用]
下列随机事件：
①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；
③一只使用中的灯泡寿命长短；
④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
这些事件中，属于古典概型的有________．
解析：
[典例]
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
[解] 在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则所有的基本事件包括：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)记“点数之和为5”为事件A ，从图中可以看到事件A 包含的基本事件数共有4个：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P (A )＝436＝19
. (2)记“点数之和为7”为事件B ，从图中可以看到事件B 包含的基本事件数共有6个：
(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，所以P (B )＝636＝16
. (3)记“出现两个4点”为事件C ，则从图中可以看到事件C 包含的基本事件数只有1
个：(4,4)，所以P (C )＝136
.
求解古典概型的概率“四步”法
[活学活用]
先后抛掷均匀的壹分、贰分、伍分硬币各一次．
(1)一共可能出现多少种结果？
(2)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的结果有多少种？
(3)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的概率是多少？
解：(1)先后抛掷壹分、贰分、伍分硬币时，可能出现的结果共有8种，即(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)用A 表示事件“2枚正面朝上，1枚反面朝上”，所有结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
(3)因为每种结果出现的可能性相等，所以事件A 的概率P (A )＝38
.
[层级一 学业水平达标]
1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.16
B.13
C.12
D.23
解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰
好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13
.故选B. 2．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49
B.13
C.29
D.19
解析：选D 个位数与十位数之和为奇数的两位数一共有45个，其中个位数为0的有5
个，概率为19
. 3．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，
所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12
. 4．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
解析：从3男3女中选出2名同学，共有以下15种情况：(男1，男2)，(男1，男3)，(男2，男3)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(男3，女1)，(男3，女2)，(男3，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，
女3)，其中2名都是女同学的有3种情况，故所求的概率P ＝15
.
答案：15
[层级二 应试能力达标]
1．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( ) A.12
B.1536
C.1936
D.56
解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条
件的数记为(b 2,
4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，
(36,24)，19个结果，P ＝1936
. 2．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )
A.427
B.827
C.18
D.14
解析：选B 在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3
面是涂色的，故概率P ＝827
. 3．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.310
B.25
C.12
D.35 解析：选C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种等可能情况，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5
种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12
. 4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：选B 袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a ，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3. 从袋中任取两球有{a ，b 1}，{a ，b 2}，{a ，c 1}，{a ，c 2}，{a ，c 3}，{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 1，c 2}，{b 1，c 3}，{b 2，c 1}，{b 2，c 2}，{b 2，c 3}，{c 1，c 2}，{c 1，c 3}，{c 2，c 3}，共15个基本事件．
其中满足两球颜色为一白一黑的有{b 1，c 1}，{b 1，c 2}，{b 1，c 3}，{b 2，c 1}，{b 2，c 2}，{b 2，c 3}，共6个基本事件．
所以所求事件的概率为615＝25
. 5．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线ax ＋by ＋3＝0与圆x 2＋y 2
＝1有公共点的概率是________．
解析：将a ，b 的取值记为(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能． 当直线与圆有公共点时，可得3a 2＋b 2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，
(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为59
. 答案：59
6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
解析：设过保质期的2瓶记为a ，b ，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为： (1,2)，(1,3)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(a ，b )
共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P ＝110
. 答案：110
7．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)．其
中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求概率为34
. 答案：34
8．为迎接xx奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：
(1)求a，b
(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．
解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝25
50
＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5
＝0.1.
(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.
事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男
1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．
所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝3
10
.
9．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4而小于9”，求P(B)；
(3)这种游戏公平吗？试说明理由．
解：将所有可能情况列表如下：
(1)“和为6”的结果有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种结果，故所求的概率为525＝1
5
.
(2)“和大于4而小于9”包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个基本事件，所以P (B )＝16
25
.
(3)这种游戏不公平．因为“和为偶数”包括13个基本事件，即甲赢的概率为13
25，乙赢
的概率为25－1325＝12
25
，所以它不公平．。