上海沪科版初中数学九年级上册21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题ppt课件
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沪科版九上数学第2课时 利用二次函数模型解决实物型抛物线问题
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得
81.5 = a·4502ꧬ
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y 1 x2 0.5450 x 450
2500
（2）当 x 450 100 350(m) 时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m). 2500
2
故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m.
(0,3)
(-2,1)
(2,1)
O
x水面
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结
果是相同的.
随堂练习
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，
大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个
挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称 轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条 抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100m，50m 处垂直钢索的长.
(0,0.5)
-450
O
-450
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为
（0,0.5）对称轴为y轴，设抛物线对应的函
数表达式为y=ax2+0.5.
y
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a ·(-2)2+3.
(0,3)
解得a
1 2
.
(-2,1) O
(2,1) 水面 x
所以抛物线解析式为y 1 x2 +3. 2
抛物线解析式为y 1 x2+3. 2
y
水面下降一米，即此时y=0.
则 1 x2 3 0, 解得x= 6.
上海沪科版初中数学九年级上册21.4 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题1
上海沪科版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！
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O
-13
-3
21.4 二次函数的应用
第2课时 建立二次函数模型解决实际问题
ABCD 的三边组成，尺寸如图所示． 1
A D
视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF 的长度为图2h
2.5
3.05
l
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。
沪科版九年级数学上册21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题(21PPT)
C.160m
D.200m
课堂小结
转化
实际问题 （实物中的抛物线形问题） 回归
数学模型
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛 物线问题
转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
课后作业
P38练习2
抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近
地面处被垫起时竖直向上的
初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是
多少？
(1)问排球上升的最大高度是多少？
h
v0t
1 2
gt 2
解：根据题意， h 10t 1 10t2
2
得 h 5t 12 5t 0
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）. 即上升的最大高度为5m.
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 二次函数的形式为 y ax2
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的
表达式：
h
v 0t
1 2
gt 2
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛是竖直向
沪科九年级数学上册第21章4 第2课时 用二次函数解决抛物线形建筑问题
y
E
(2)当x=1时，y 1 3 8，
33
8 0.5 13，13＞1.8，
D
C
3
66
x
所以这艘游船能通过.
B
A
建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤：
① 根据题意建立适当的平面直角坐标系.
二
② 把已知条件转化为点的坐标.
次
③ 合理设出函数的解析式.
函
④ 利用待定系数法求出函数解析式.
y
E
当y=0.5时， 1 x2 3=0.5，x 30
3
2
所以 CD = 2 30 30 (m)
D
C
2
x
B
A
故水面宽度CD为 30 m.
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱 顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时： （1）求此时水面的宽度CD为多少米？ （2）若游船的宽度(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为 1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？
25 5
2.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 m，两侧距地面3 m高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离 为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，
精确到0.1 m) ( A )
A. 6.9 m
B. 7.0 m
y
C. 7.1 m
D. 6.8 m
O
x
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱
数 的
⑤ 根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题.
应
用
桥梁建筑类实际问题与二次函数的联系：
建立模型
E
(2)当x=1时，y 1 3 8，
33
8 0.5 13，13＞1.8，
D
C
3
66
x
所以这艘游船能通过.
B
A
建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤：
① 根据题意建立适当的平面直角坐标系.
二
② 把已知条件转化为点的坐标.
次
③ 合理设出函数的解析式.
函
④ 利用待定系数法求出函数解析式.
y
E
当y=0.5时， 1 x2 3=0.5，x 30
3
2
所以 CD = 2 30 30 (m)
D
C
2
x
B
A
故水面宽度CD为 30 m.
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱 顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时： （1）求此时水面的宽度CD为多少米？ （2）若游船的宽度(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为 1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？
25 5
2.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 m，两侧距地面3 m高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离 为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，
精确到0.1 m) ( A )
A. 6.9 m
B. 7.0 m
y
C. 7.1 m
D. 6.8 m
O
x
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱
数 的
⑤ 根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题.
应
用
桥梁建筑类实际问题与二次函数的联系：
建立模型
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O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
D B
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的
表达式：
h
v0t
1 2
gt 2
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛是竖直向
上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2), t是物体
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 二次函数的形式为 y ax2
如何确定a是多少？
-2 -1
12
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出
2 a 22
解得
a1 2
-2
A
-4
因此， y 1 x2 ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中， 求出这条抛物线表示的函数的解析式；
C A
y O
h 20 m
解：设该拱桥形成的抛
x 物线的解析式为y=ax2.
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
水面宽3m时 x 3
2
从而
y
1 23 22 Nhomakorabea9 8
1.125
因此拱顶离水面高1.125m
y （2，2） 我们来比较一下
y
（0，0）
y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.25a+k=3.05， k=3.5，
解得
a=－0.2， k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.25m.
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
y
-450 O
450 x
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建 立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函 数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
例3：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距 离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运 行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时， 篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处.
解得
a
81 4502
1 2500
故所求表达式为
y 1 x2 0.5(450 x 450) 2500
y -450 O
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索 的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y
y
y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
导入新课
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱 桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米. 现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样 变化．你能想出办法来吗？
(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果 她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣
球最佳？ 解：当h=2.5 m时，得
h
v0t
1 2
gt 2
10t 5t2 2.5
解得 t1 0.3s, t2 1.7s
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度， 但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻， 选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近
地面处被垫起时竖直向上的
初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是
多少？
(1)问排球上升的最大高度是多少？
h
v0t
1 2
gt 2
解：根据题意， h 10t 1 10t2
2
得 h 5t 12 5t 0
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）. 即上升的最大高度为5m.
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二 次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、 难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
导入新课
情境引入
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛 美丽的广州吧！
o
x
（0，0）
o
（4，0） x
y （0，2）
谁最 合适
（-2，-2） （2，-2）
（-2，2）
y
（-2，0） （2，0）
o
x
（-4，0）
o （0，0） x
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
例1 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似 地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面 的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立 平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表 达式；