工力04-2章弯曲内力

RA
Q
RB
qa
M
qa 2
2
qa
2
qa
注意集中力偶m=qa2 作用处，弯矩突变
a qa 2 M 极 RA a q a 2 2 MC RA 2a q 2a a 0
Q max qa
M max qa 2
M RA 2a q 2a a qa qa
dx
Mc 0 :
dx [ M ( x ) dM ( x )] M ( x ) Q( x ) dx q( x )dx 0 2 dM ( x ) Q( x ) dx 对上式求导得：
d 2M ( x ) dx 2 dQ( x ) q( x ) dx
•归纳:载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系：
2
C
2
刚架的内力图
横梁 立柱
当杆件变形时，两杆连接处保持刚 性，即角度（一般为直角）保持不 变。 在平面载荷作用下，组成刚架的杆 件横截面上一般存在轴力、剪力和 弯矩三个内力分量。
节点处的平衡关系
FN
B
M
FQ
M FQ FQ FN
FQ
M
FN
FN
M
内力分量的正负号与观察者位置的关系：
轴力的正负号与观察者位置无关； 剪力的正负号与观察者位置无关；
§4-4 弯矩、剪力荷载集度间的微分关系
确定M(x)、Q(x)、q(x)的联系，正确、方便画出内力图。
1. 微分关系
y A q(x) B x
•取典型微段
q(x) c
M(x) Q(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
x
l
dx
dx
q(x) 在 dx 上看成是均布， 所有力按正向画出。
q(x) c
（2）作图
Pa
a
A RA x RA y
B RB y
+
N图
P2
P 2
P2
+
P
Pa Pa
N max P 2 Q max P
Q图
M图
M max Pa
习题
4-5（b）、（e）、（f）、（h）
4-7
例题
此 外 伸 梁 (overhanging beam) 的受力以及各部分尺 寸均示于图中。
D
q
A
B
FAy
4a
FBy
a
qa
试画出：其剪力图和弯矩图 , 并确定剪力和弯矩绝对值 的最大值。 解：1．确定约束力 根据梁的整体平衡，由 M A＝0， M B＝0 求得A、F 两处的约束力
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
qa d
从图中不难 得到 剪力 与弯矩的绝对值的最大值 x 分别为
9 ＝ qa max 4 81 M max ＝ qa 2 32 FQ
O
b 7qa/4 a
x
qa2 e b,c
81qa2/32
O
d
M
P A C D P B
解：（1）支反力
a
Q RA
2a
a
RB
RA RB P 2
(2)作剪力图、弯矩图
9
9 x E＝ a 4 1 2 81 2 M E＝ qx E ＝ qa 2 32
q
D
5．根Ay
FQ
9qa/4 a
4a FBy
a
ql
e
O
qa
qa
x
c
b 7qa/4
d
a
x
qa2 e d
O
b,c
M
q
D
A
E
B
FAy F
Q4 9qa/
4a FBy
a
e c qa
a
ql
7 ．确定剪力与弯矩的最 大绝对值
2
如果一段梁上没有分布载荷作用，即q＝0，这一段梁上 剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这 一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。 如果一段梁上作用有均布载荷，即q＝常数，这一段梁上 剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函数，因 此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。 弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度q的正负有关：当 q 为正 ( 向上 ) 时，抛物线为凹曲线，凹的方向与 M坐标正方向 一致，：当 q 为负 ( 向下 ) 时，抛物线为凸曲线，凸的方向与 M 坐标正方向一致。
QA QC P 2, QC P 2
P2
M
P2
P 2 Pa 2
M C Pa 2, M中 0
Pa 2
Q max P 2 M max Pa 2
q A C
qa
2a a
2
解:（1）支反力
B
RA RB qa
(2)作剪力图、弯矩图
QA qa, QB qa
弯矩的正负号与观察者位置有关。
例：作刚架的内力图
解：（1）支反力
刚架和曲杆可看作折线或曲线的梁，内力的计算和剪力 弯矩图的作法原理上与横梁相同。剪力的正负仍以外法线为 基准判断，弯矩图画在杆变形后凹面的一侧。可以顺时针逐 段按直梁画. 2a
C D
a
P
RAx P , RAy RBy P 2
①
dQ ( x ) q( x ) dx Q图曲线的切线斜率为q(x)
dM ( x ) Q( x ) dx
②
M图曲线的切线斜率为Q(x) ③
d M( x ) dx 2
2
q( x )
M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
①
dQ ( x ) q( x ) ② dx
d M( x ) dM ( x ) q ( x ) Q( x ) ③ dx dx 2
q
C
D
A
B
解：2．确定控制面
FAy FQ
4a FBy
a
qa
x
O
x
O
3．建立坐标系 建立FQ－x和M－x坐 标系
M
q
D
A
B
FAy FQ
9qa/4 a
4a
a
FBy
qa
O
c
qa d
qa
b 7qa/4 a
解：4．确定控制面 上的剪力和弯矩值， x 并 将 其 标 在 FQ － x 和 M－x坐标系中。
x
内力图画法二：
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
• 求控制截面的内力值（截面法）
• 确定内力图形状（微分关系）
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图大体相 似，但略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 (假定剪力 和弯矩都为正方向)。 建立FQ - x 和M – x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯 矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯 矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
M(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
Q(x)
dx
•列平衡方程
Y 0 :
Q( x ) [ Q( x ) dQ( x )] q( x )dx 0
dQ( x ) q( x ) dx
q(x)
c
M(x) Q(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x) 高阶微量
O
qa2 b,c
d
M
q
D
A
B
5．根据微分关系连图线
a qa
FAy FQ
9qa/4 a
4a FBy
qa
qa
x
O
c
b 7qa/4
d
a
x
qa2 d
O
b,c
M
6．确定弯矩图极值点的 位置
q
D
q
A xE
9 FAy＝ qa 4
A
B
E
FAy
4a
FBy
a
qa
F ＝0， 4 qa q x ＝0
y E 2 qxE M＝0， M E 2 ＝0