【中小学资料】2018版高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积学案 苏教版选修2-1

3．1.5 空间向量的数量积

[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．

知识点一 空间向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律

(3)

题型一 空间向量的数量积运算

例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点

E ，

F 分别是AB ，AD 的中点，计算：

(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →. 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →

＝12|BD →|·|BA →|·cos〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14， 所以EF →·BA →＝14

.

(2)EF →·BD →＝12|BD →|·|BD →|·cos〈BD →，BD →

〉＝12×1×1×cos 0°＝12，

所以EF →·BD →＝1

2

.

(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos〈BD →，DC →

〉＝12×1×1×cos 120°＝－14，

所以EF →·DC →

＝－14

.

(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12

(CB →＋CA →)

＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →

] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14(－12－12＋12－12＋12)＝－18

. 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a ·b 计算准确． 跟踪训练1 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________． 答案 －13

解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋422＝－13.

题型二 利用数量积求夹角

例2

如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 解 因为BC →＝AC →－AB →

， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →

＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →

〉＝OA →·BC →

|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.

即OA 与BC 所成角的余弦值为3－22

5

.

反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．

跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD . 证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →

＝(MB →＋BC →＋12AD →－12

AC →)·AB →

＝12a 2＋a 2cos 120°＋12a 2cos 60°－12a 2

cos 60°＝0， 所以MN →⊥AB →

，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . 题型三 利用数量积求距离

例3 正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，求EF 的长．

解 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→

＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2， 且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →

＝－12a ＋1

2

b ＋

c ，

所以EF 2

＝|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14

b 2＋

c 2

＋2⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12a ·12b ＋12b·c －12a·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×2×2cos 60°

＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF ＝ 5.

反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．

跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内

且垂直于AB 的线段．又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长． 解 ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴〈CA →，BD →

〉＝120°. ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →

＝0， ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)(CA →＋AB →＋BD →) ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →

＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉 ＝62＋42＋82

＋2×6×8×(－12)＝68，

∴|CD →

|＝217，故CD 的长为217.

1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的________条件． 答案 充分不必要

解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．

2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |＝________. 答案

7

解析 ∵|a －3b |2

＝(a －3b )2

＝a 2

－6a ·b ＋9b 2

＝1－6×cos 60°＋9＝7.∴|a －3b |＝7.

3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是________．(填序号) ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；