高三数学函数的单调性1
2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习(含答案解析)
2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习（含答案解析）知识梳理一 函数的单调性1. 单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。
2.单调性的注意事项1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。
2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x −−>，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x −−<，则函数在该区间单调递减。
3. 函数单调性的判断方法主要有：(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小来判断单调性。
(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x −为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x −为减函数。
(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
二 函数的奇偶性一.函数奇偶性的定义：(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =− ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f −=− ⇔函数()f x 是奇函数。
3.2.1-单调性与最大(小)值课件-2025届高三数学一轮复习
f x1 − f x2 > 0,
f x1 − f x2 < 0,
f x1 > f x2 ,
或
即
或
x1 < x2
x1 − x2 < 0
x1 − x2 > 0,
f x1 < f x2 ,
∴ f x 在 a, b 上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题.
x1 > x2 ,
例1-2 (2024·河北省石家庄市期末)下列四个函数中，在 0, +∞ 上单调递增的是
= − +
−
因为 ， ∈ , +∞ 且 < ，可得 − < ， > ， <
−
> ，
所以 − = −
−
< ，即 < ，
所以函数 在 , +∞ 上单调递增．
3
, (−1, ]，单调
2
3
2
递减区间为[ , 4), 4, +∞ .
所以由复合函数的单调性可知函数y =
D.∀x1 ,x2 ∈ a, b ,且x1 ≠ x2 ,当 x1 − x2 [f x1 − f x2 ] > 0时，f x 在 a, b 上单调递
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
1
x
以f x = 为例，知B是假命题；
∵
f x1 −f x2
x1 −x2
< 0 x1 ≠ x2 等价于[f x1 − f x2 ] ⋅ x1 − x2 < 0,而此式又等价于
[1, +∞)，单调递减区间是(−∞, −3]和[−1,1].（函数的单调区间
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
高考第一轮复习-函数的单调性
年级高三学科数学版本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数)(xf的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf<，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf>，则称)(xf在这个区间上是减函数。
（3）单调区间：如果函数)(xfy=在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy=在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy=的单调区间。
注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf≤或)()(21xfxf≥②单调性刻画的是函数的“局部”性质。
如xy1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。
③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=xxf在R上是增函数证：设21xx<，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf++-=-=-而分子021<-=xx分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=xxxxxxx故0)()(21<-xfxf得证补：讨论函数22)(x xaxf-=的单调性)10(≠<a解：设1>a时，对任Rx∈，022>-xxa，设121<<xx2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减 当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数时，在或上是增函数在)0,[p-及],0(p上分别单调递减另法，利用导数21)(xpxf-=')(122pxx-=（1）若0>p则))((1)(2pxpxxxf-+='（2）若0<p，则0)(>'xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4] 讨论分式函数xbaxxf+=)(的单调性（0≠ab）以下只研究0,0>>ba与0,0<>ba两种情形对于0,0><ba与0,0<<ba可利用对称性得到。
高三数学知识点总结6：函数的单调性
（四）函数的单调性1.函数单调性的定义（局部性质）（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值,,21x x ①数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调增函数；（形：从左往右看图象逐渐上升；）②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调减函数（形：从左往右看图象逐渐下降.）（2）等价形式：任意,21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f （或写成0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ）都表明)(x f 在区间上单调增. 注：xy 1=的单调减区间为)0,(-∞和),0(+∞,单调区间有两段一般需要用“和”，不能“ ”. 2.判断单调性的方法（用来证明单调性的只有定义法和导数法）（1）定义法:取值，作差，变形，定号，结论. （2）利用函数的运算性质：若)(),(x g x f 为增函数，则)()(x g x f +为增，)0)((>a x af 为增，)(x f 为增，)0)((<a x af 为减，)(1x f 为减. （注：只能用“增”+“增”⇒“增”，“减”+“减”⇒减，其他不能确定单调性.）（3）复合函数单调性法则：同增异减.（内函数与外函数单调性相同，则整体增；内函数与外函数单调性相反，则整体减.）（4）导数法函数)(x f y =在区间D 上单调增⇔0)('≥x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0；函数)(x f y =在区间D 上单调减⇔0)('≤x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0.（注：如果问单调区间，不要带等号.令,0)('>x f 求单调增区间；令,0)('<x f 求单调减区间.）（5）图像法3.分段函数求单调性的方法①左段单调性与整体一致；②右段单调性与整体一致；③若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(≥≤右段函数在端点的函数值.。
函数的单调性与最值课件高三数学一轮复习
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1
(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]
高考数学总复习之函数的单调性
高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论； （2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数； 若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；； （4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。
高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理
条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论 M为函数y=f(x)的⑦ 最大值
M为函数y=f(x)的⑧ 最小值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y= 1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (×)
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y= 1
x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( )
A.m> 1
2
C.m>- 1
a
2即 0
,
a
2,
f ( 1 ) 0 , a 2 1 0 ,
解得2<a≤3,
即实数a的取值范围是(2,3].
方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2);若f(x) 在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
高三数学函数的单调性1
高三备课组
1、函数的单调性的定义
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明： 定义法；导数法
4、一般规律
（ 1 ）若 f(x),g(x) 均为增函数，则 f(x)+g(x) 仍为增函 数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设 y f g x 是定义在M上的函数，若f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y f g x 在M上是减函数； 若f(x)与g(x)的单调性相同，则 y f g x 在M上是增 函数。
时 f ( x) 1 且对任意的a，b R 有 f (a b) f (a). f (b)
（1）求证：f 0 1 （2）求证： 对任意的x R，恒有f（x） 0
f x 是R上的增函数 （3）求证：
2 f x . f ( 2 x x ) 1 （4） 解不等式 。
练习：（变式四）设f(x)的定义域为 0, ，且在
x 0,上为增函数，f y f x f y
（1）求证：f 1 0, f xy f x f y
1 （2）设 f 2 1 解不等式 f x f 2。 x 3
三、小结 1．判断函数单调性（求单调区间）的方法 2、函数单调性的证明：定义法；导数法。 3、综合应用，特别与不等式联系。 四、作业：优化设计
； / 氢氧化钠生产厂家 不用顾忌打挠咯对方与爷相处的时间。半各月前的那壹天，韵音还像往常壹样，用过晚膳后，由大丫环碧荷陪着来到惜月这里，希望借着闲聊 天来打发壹会子时间。刚到院门口，韵音就看见秦公公在院门口的内侧候着呢，惊咯韵音壹身冷汗：这么晚咯，秦公公怎么会在这里？莫非 是……韵音刚要转身离开之际，秦顺儿正好也发现咯耿格格，于是赶快请咯安：“给耿格格请安。”“秦公公，爷这是……”“爷刚来，奴才 还没有得到吩咐呢。”“那，那我就先走咯。”“格格您走好。”碧荷瞪大咯眼睛，壹脸茫然地望向主子，韵音也是壹副傻愣愣的神情。这各 情况真是大大地出乎她们主仆两人的意料，啥啊时候惜月妹妹得咯爷的宠？而且还是在李侧福晋的眼皮子底下，得罪咯淑清姐姐，将来还不得 闹翻咯天？也不用碧荷四处打探，只随便问咯壹各在福晋院子当差的丫鬟妹就知道咯，原来是钮钴碌格格不小心落咯水。发生咯这么大的事情， 她这各当姐姐的居然不知道，韵音心中满怀愧疚。幸好王爷去探望咯惜月，有效地缓解咯韵音的内疚心理，否则她那壹晚上就别想睡各安稳觉 咯。虽然是因为没有及时得到消息的原因，但韵音仍为自己没有及时探望惜月妹妹而自责不已，因此第二日壹早她就赶快登门，只是闭口不谈 她昨天晚上已经来过，并见到秦公公的事情。“妹妹这次落水，真是让姐姐后怕呢！以后你可是千万要当心壹些，万不可再有闪失，凭白让爷 和福晋担惊受怕。”“姐姐放心，爷也是这么说的呢。”“噢？爷来过咯？”“是啊，昨天晚上爷壹回园子就过来探望咯。”“唉，那你可就 更得好好养着身子，万不可让爷再操心咯。”“姐姐说的是，妹妹也着急要赶快养好身子呢。”第壹卷 第164章 误撞惜月主动说起爷来探望 的事情，其实倒不是为咯向韵音炫耀，她们两各人是这王府中最要好的姐妹，她没有向韵音姐姐炫耀的必要，她只是在暗示韵音，别打扰咯她 和爷的好事。这各问题哪里还需要惜月暗示？韵音自从前壹天晚上见到秦顺儿出现在这各院子以后，每天的探望固定在咯给福晋请安之后，只 要是壹过咯响午，她根本就不会再踏入惜月院子半步。对于惜月的得宠，韵音真是打心眼儿里替这各妹妹高兴，她们两各人嫁进王府都七年咯， 不但没有壹子半女，就是连爷的面都很少见到。惜月妹妹这回好不容易守得云开见月明，她哪里还会这么不知趣地打扰呢。此时，面对着月信 已经推迟咯十天的新情况，惜月正在为如何保住爷不再重回淑清姐姐的怀抱而苦恼不已的时候，韵音的出现令她的脑海中想出来壹各不得已而 为之的主意。待韵音进咯屋里，惜月先是跟她聊咯很久的闲天，待韵音准备起身告辞的时候，惜月开口说道：“姐姐，今天晚膳
高三数学函数的单调性1
高三函数单调性知识点
高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。
在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。
一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。
若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。
若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。
递增函数和递减函数统称为单调函数。
2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。
3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。
高三数学函数的单调性1
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[问答题,简答题]发电机励磁电压、电流、功率？ [单选,A2型题,A1/A2型题]引起反应性低血糖最常见的原因是（）。A.2型糖尿病早期B.果糖不耐受症C.特发性功能性低血糖症D.胰岛素瘤E.倾倒综合征 [名词解释]家庭的涵义与特点 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者，男，60岁。主诉心胸憋闷疼痛，并放射至肩背，心悸怔忡，有恐惧感，舌紫有瘀点苔白，脉沉细涩。其病机是（）A.心血亏虚B.肝血不足C.心阳偏衰D.心阴虚亏E.心血瘀阻 [单选]关于21-三体综合征患儿的护理，错误的是（）A.长期耐心教育B.预防感染C.药物治疗为主D.保持皮肤干燥E.加强生活护理 [单选]《出境水生动物养殖场，中转场检验检疫注册登记证》有效期为（）年。A.1B.2C.3D.5 [填空题]乙炔装置AR476分析仪参比气是（）。 [单选]法兰密封件截面尺寸小，质量轻，消耗材料少，且使用简单，安装、拆卸方便，特别是具有良好的密封性能，使用压力可达高压范围，此种密封面形式为（）。A．凹凸面型B．榫槽面型C．O型面型D．环连接面型 [单选]不得妨碍边防检查人员依法执行公务。（）A.任何组织和个人B.部分组织和个人C.一定组织和个人D.特殊组织和个人 [单选]关于校异同和校是非，说法错误的是（）。A.校异同在于保证原稿的真实性不被损害B.校是非要求校对者有广博的知识C.校是非和校异同都是为了消灭出版物中的差错D.校是非的功能在于发现并直接改正原稿差错 [填空题]按照信息的性质，可以把信息分成（）、（）和（）。 [单选]焊接时要采用直流正接，不能选用（）弧焊电源。A、AX-320B、ZXG-300C、BX1-330D、AX7－400 [单选]起货机油温高温报警传感器一般设在（）。A．高压管B．回油管C．主泵吸口D．辅泵吸口 [单选]根据溶解度的大小，可以把气体分为易溶、可溶、微溶、（）等。A、难溶B、不溶C、轻溶D、重溶 [单选,A1型题]六淫致病的共同特点不包括（）A.外感性B.兼挟性C.转化性D.相侮性E.季节性 [单选,A2型题,A1/A2型题]男性，43岁。3小时前呕血1次，自觉头晕、乏力、出汗。查体：心率110次／分，血压100/70mmHg，肝掌，腹壁静脉曲张，超声示腹水。该患者的出血量可能为（）A.>5mlB.50～70mlC.250～300mlD.500～1000mlE.>1500ml [单选,A2型题,A1/A2型题]患者男性，58岁，银屑病4年，加重3天，查体见四肢伸侧及背部雨滴状红斑丘疹，色鲜红，有皮屑，抓破出现同样皮损，瘙痒较著，予PUVA治疗的叙述中正确的是（）A.可予PUVA全身治疗或PUVC的局部治疗B.可在服用8-MOP后2小时UVA全身照射C.PUVA法取得成功的关键是 [判断题]地面制动力的大小取决于制动器制动力的大小和轮胎与地面之间的附着力。（）A.正确B.错误 [问答题,简答题]发电机出口分相封闭母线的作用？ [判断题]防火门应为向疏散方向开启的平开门，并在关闭后应能从任何一侧手动开启。（）A.正确B.错误 [配伍题,B型题]这种分类方法与临床使用密切结合</br>这种分类方法，便于应用物理化学的原理来阐明各类制剂特征A、按给药途径分类B、按分散系统分类C、按制法分类D、按形态分类E、按药物种类分类 [单选]对于髋关节置换术，下列哪种体位是适当的（）A.髋屈曲超过90度B.下肢内收超过身体中线C.伸髋外旋D.屈髋内旋E.髋外展 [问答题,简答题]厂高变的作用？ [单选]围绝经期妇女，阴道不规则流血。妇科检查：子宫不大，无压痛，双侧附件无明显异常。首先考虑（）。A.子宫黏膜下肌瘤B.子宫内膜息肉C.有排卵性功血D.无排卵性功血E.子宫内膜炎 [单选,A1型题]在血吸虫发育各阶段，引起人体主要病理变化的是（）。A.尾蚴B.成虫C.虫卵D.幼虫E.毛蚴 [判断题]仲裁只适用于解决合同类纠纷。A.正确B.错误 [单选,A1型题]医疗机构从业人员违反本规范的，视情节轻重给予处罚，其中不正确的是（）A.批评教育、通报批评、取消当年评优评职资格B.卫生行政部门依法给予警告、暂停执业或吊销执业证书C.纪检监察部门按照党纪政纪案件的调查处理程序办理D.缓聘、解职待聘、解聘E.涉嫌犯罪的，移 [单选]关于抑郁发作的临床表现，下列说法正确的是（）。A.心情不好即抑郁发作B.症状持续至少2周C.不会出现幻觉D.多数伴有自罪妄想E.自杀是重度抑郁发作的标准之一 [单选]客户与证券公司进行金融交易，通过银行账户划转款项的，由（）向中国反洗钱监测分析中心提交大额交易报告。A、证券公司B、证券公司和银行各自C、证券公司和客户各自D、银行 [单选]我国合作社发展初期的特点是（）。A.政府主导性和过渡性B.综合性C.农民性D.服务性 [填空题]乙炔装置AR476分析仪预处理系统应该（）天切换一次。 [单选]初产妇，26岁，孕1产0，孕40周，因胎动减少入院，查宫底耻上34cm，LOA，先露头，固定，胎心132次／分，无宫缩，入院后测24h尿E3为6mg。应考虑为（）.A.脐带受压B.过期妊娠C.胎儿入盆D.胎头受压E.胎盘功能不全 [单选]不行经肘窝内的结构有()A．肱二头肌腱B．正中神经C．桡动脉D．桡神经E．尺神经 [单选]下列关于建设单位质量责任和义务的表述中，错误的是()。A.建设单位不得将建设工程肢解发包B.建设工程发包方不得迫使承包方以低于成本的价格竞标C.建设单位不得任意压缩合同工期D.涉及承重结构变动的装修工程施工期前，只能委托原设计单位提交设计方案 [单选]下列各项中，不应在利润表“营业收入”项目列示的是()。A.政府补助收入B.设备安装劳务收入C.代修品销售收入D.固定资产出租收入 [单选,A1型题]下列不应选用青霉素G的情况是（）。A.梅毒B.伤寒C.鼠咬热D.气性坏疽E.钩端螺旋体病 [单选,A1型题]不促进胰岛素释放，不加重肥胖的降糖药为（）。A.二甲双胍B.甲苯磺丁脲C.格列本脲D.格列吡嗪E.氯磺丙脲 [单选,A1型题]不属于采用注射法接种的疫苗是（）A.麻疹活疫苗B.乙肝疫苗C.脊髓灰质炎三型混合疫苗D.卡介苗E.百白破混合制剂 [问答题,简答题]在车站内使用单轨小车及人力推运的轻型车辆应遵守那些规定？ [多选]下列有关计算加油站销售收入的公式中，正确的有（）。A.销售收入＝不含税销售收入÷（1+增值税税率）B.销售收入＝含税销售收入÷（1+增值税税率）C.销售收入＝含税销售单价×销售总量D.销售收入＝不含税销售单价×销售总量
高三一轮复习函数的单调性ppt课件.ppt
高三总复习 数学 (大纲版)
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单 调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用； 对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适 当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x) 的单调性来求解．
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[例 1] 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,1)上的 单调性．
高三总复习 数学 (大纲版)
[解] 解法 1：任取－1<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝ a((xx121x－2＋11)()x(22x－2－1x) 1).因为(x(1xx122－＋11))((xx222－－1x)1)>0，所以 a>0 时， 函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；a<0 时，函数 f(x)在(－1,1) 上单调递增．
高三总复习 数学 (大纲版)
2．若 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1,2]上都是减
函数，则 a 的取值范围是
()
A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
高三总复习 数学 (大纲版)
解析：由 f(x)＝－x2＋2ax 得对称轴为 x＝a，且在[1,2] 上是减函数，所以 a≤1.
解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相 同的单调性，在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值，故 (a1－1＋loga1)＋(a2－1＋loga2)＝1＋a＋loga2＝a，可得loga2 ＝－1，求得
高三总复习 数学 (大纲版)
4．如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间(12，1) 上是增函数，求 f(2)的取值范围．
高三函数单调性知识点汇总
高三函数单调性知识点汇总函数是数学中一个重要的概念，而函数的单调性是研究函数性质的一个重要方面。
在高三数学学习中，掌握函数的单调性是非常关键的。
本文将对高三函数单调性的相关知识点进行汇总介绍，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增减而增大或减小的特性。
如果函数在定义域上始终递增，则称其为递增函数；如果函数在定义域上始终递减，则称其为递减函数。
二、函数的单调性判断方法1. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数的正负来判断函数的单调性。
对于函数f(x)，若f'(x)>0，则函数递增；若f'(x)<0，则函数递减。
2. 一阶差分法：对于离散的函数，可以通过计算相邻函数值之间的差来判断函数的单调性。
如果这些差值始终大于0，则函数递增；如果这些差值始终小于0，则函数递减。
3. 函数图像法：对于给定函数的图像，可以通过观察图像的趋势来判断函数的单调性。
如果图像从左向右逐渐上升，则函数递增；如果图像从左向右逐渐下降，则函数递减。
三、函数单调性的应用1. 利用函数的单调性寻找极值点：对于递增函数，极大值点对应函数曲线的拐点；对于递减函数，极小值点对应函数曲线的拐点。
2. 利用函数的单调性求不等式的解集：对于不等式 f(x)>0 或f(x)<0，可以先求出函数的零点，再根据函数的单调性确定满足条件的解集。
3. 利用函数的单调性进行证明：在数学证明中，可以根据函数的单调性来推导出一些结论，从而完成证明过程。
四、函数的单调性与其他概念的关系1. 函数的单调性与导数之间的关系：对于可导函数，函数递增则导数大于0，函数递减则导数小于0。
2. 函数的单调性与函数的增减性之间的关系：函数的单调性是函数的增减性的一种特殊情况。
函数的增减性包括递增、递减和不增不减三种情况，而函数的单调性只考虑递增和递减两种情况。
3. 函数的单调性与函数的凹凸性之间的关系：对于二阶可导函数，函数的凹凸性与函数的单调性有密切关系。
高三数学函数的单调性及最值知识点总结
高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性、最值知识点一单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数fx，若对于任意x1，x2∈D，当x1fx2，则称fx是区间D上的减函数。
2、如果函数y=fx在区间上是增函数或减函数，就说函数y=fx在区间D上具有严格的单调性，区间D称为函数fx的单调区间。
如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数fx的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≤M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最大值.最小值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≥M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最小值判断函数fx在区间D上的单调性的方法：1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
2复合法：利用基本函数的单调性的复合。
3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
高三数学函数的单调性、最值知识点二函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
注:在单调性中有如下性质↑增函数↓减函数↑增函数+↑增函数= ↑增函数↑增函数-↓减函数=↑增函数↓减函数+↓减函数=↓减函数↓减函数-↑增函数=↓减函数用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1<x22作差变形即求fx1-fx2，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定fx1-fx2的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数fx在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
中职对口升学-高三数学第一轮复习：函数的性质
知识点二 函数的奇偶性
2.函数奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数y =f(x) 在定义域内的任意一个
x ,都有f(-x)= -f(x) ,则这个函数是奇函数.
偶函数
如果对于函数y =f(x) 在定义域内的任意一个
x ,都有f(-x)=f(x) ,则这个函数是偶函数.
1
2
• 作f(x1)-f(x2) ，通过因
• 判断f(x1)-f(x2) 的符号,
由定义得出单调性.
式分解、配方或有理
化等手段对差进行变
形.
3
知识点二 函数的奇偶性
1.轴对称和中心对称的图形
一般地,设点P(a,b) 为平面上任意一点,则点P(a,b) 关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b) ,
点P (a,b) 关于y轴的对称点的坐标为(-a,b) ,点P(a,b) 关于原点的对称点的坐标为(-a,-b) .
，但是
，
即函数的定义域不关于坐标原点对称,则函数一定是非奇非
偶函数.
(2)判断f(-x) 与f(x) 的大小关系,若f(-x)=f(x) ,则函数为
偶函数;若f(-x)=-f(x) , 则函数为奇函数.
当然，对于用图像法表示的函数,可以通过对函数图像对称
性的观察来判断函数是否具有奇偶性.
典例解析
例4
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)在此区间上
具有单调性，这个区间叫作单调区间.
知识点一 函数的单调性
2.单调函数的图像
增函数的图像从左往右呈上升趋势，减函数的图像从左往右呈下降趋势.
知识点一 函数的单调性
3.函数单调性证明的一般过程
高三数学复习：函数的单调性具体复习指导学习方法
高三数学复习：函数的单调性具体复习指导学习方法知识要点：1.函数单调性的定义：设函数f(x)在定义域的某个区间D上，若对于任意x1,x2∈D，当x1f(x2))，则函数f(x)在区间D上为增(减)函数。
定义的变形：(1)设任意x1,x2∈D，->0←→f(x)在D上是增函数。
(2)设任意x1,x2∈D，(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0←→f(x)在D上是增函数。
2.判断函数单调性的常用方法：(1)证明一个函数的单调性的方法：定义法，导数法；(2)判断一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常见函数法，运用复合函数单调性规律。
3.常用复合函数单调性规律：(1)若函数f(x),g(x)在区间D上均为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)在区间D上仍为增(减)函数。
(2)若函数f(x)在区间D上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间D上为减(增)函数。
(3)复合函数f[g(x)]的单调性的判断分两步：Ⅰ考虑函数f[g(x)]的定义域；Ⅱ利用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确定函数f[g(x)]的单调性，法则是“同增异减”，即内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性相反时为减函数。
典型例题：例1：确定下列函数的单调区间：(1)y=x2-3x+-解：x∈R(x--)2-2(x0)(x+-)2-2(x 由二次函数图象可知y在(-∞,--)和(0,-)上为减函数，在(--,0)和(-,+∞)上为减函数。
说明：利用绝对值的意义，分类去掉绝对值化归为常见函数是解题的关键。
注意当一个函数在多个区间上具有相同的单调性时，这多个区间之间不能使用“或”以及“∪”。
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练习：（变式四）设f(x)的定义域为 0, ，且在
x 0,上为增函数，f y f x f y
（1）求证：f 1 0, f xy f x f y
1 （2）设 f 2 1 解不等式 f x f 2。 x 3
时 f ( x) 1 且对任意的a，b R 有 f (a b) f (a). f (b)
（1）求证：f 0 1 （2）求证： 对任意的x R，恒有f（x） 0
f x 是R上的增函数 （3）求证：
2 f x . f ( 2 x x ) 1 （4） 解不等式 。
2
a
在区间 2,4 上是增函数？如果存在，说明a可取哪些
值；如果不存在，请说明理由。
练习：（变式一）函数 f x log 上是增函数，求a的取值范围。Leabharlann a x 8 x 9
在 1,
0 x0 (书）例5：定义在R上的函数y f ( x), f (0) ，当
2
（书）例2如果二次函数 f x x (a 1) x 5 是增函数，求 f (2) 的取值范围。
2
1 在 2 ,1 上
a （书）例3、讨论函数 f x x a 0 的单调性。 x
例4、是否存在实数a，使函数
f x logax x
白荌苒失神的笑了笑“没事”，虽然那孩子的爱一直有些偏执，但是终归是一个勇敢的孩子。
函数的单调性
高三备课组
1、函数的单调性的定义
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明： 定义法；导数法
4、一般规律
（ 1 ）若 f(x),g(x) 均为增函数，则 f(x)+g(x) 仍为增函 数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设 y f g x 是定义在M上的函数，若f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y f g x 在M上是减函数； 若f(x)与g(x)的单调性相同，则 y f g x 在M上是增 函数。
例1、求下列函数的单调区间，并确定每一单 调区间上的单调性。
1 x 1 y 1 x
1 2y 3
x2 x
1 3 3y x x 2 3x 6 3
练习(变式一)求下列函数的单调区间:
1y
x 2x 3
2
2y log1
x 2 x 12
三、小结 1．判断函数单调性（求单调区间）的方法 2、函数单调性的证明：定义法；导数法。 3、综合应用，特别与不等式联系。 四、作业：优化设计
; / 福利群 想要放开他的手，也许是因为他的那些话语，我便真的慢慢好了起来，可是，当我完全康复的时候，他又开始寻找了不同的大姐姐，我很生气， 每次都会去搅他的局，他还是那样无关痛痒的样子，后来也算倒霉、碰上了一个性格火爆的大姐姐，在我搅局的时候泼了我一杯红酒还甩了我 一耳光，我当时就被打愣住了，知北当时说了一个‘滚’字，哪位大姐姐便得意的看向我‘听到了没有，让你滚呐，不要再在这里碍眼了’， 我当时真的是有一种生无可恋的心情。然而，当我转身的时候知北却握住了我的手，他站了起来将我揽在了怀中一边替我擦拭脸上的红酒一遍 查看脸上的伤，他脸色不太好声音低沉地说了句‘是让你滚’然后便将我带离了那个地方，那是去年发生的事情，后来，我们就成了现在的这 种关系。”游悠还是笑得一脸的无害“他终于愿意跟我在一起了，他说等我大学一毕业就跟我结婚，我这一辈子好像都是为了不断地走向他而 努力着，不过，我觉得这样很好，因为我一直的梦想就是要跟他在一起呀！”游悠忽然又冲她眨了眨眼睛“姐姐，也许你不相信，但是，只有 我自己知道我从很小很小的时候就开始梦想着成为他的新娘！” 游悠抬起头来冲着白荌苒笑了笑“姐姐啊，今天真是太感谢你了，从来都没有人真正的听我说这么长时间的话了。”