D4_2换元法

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高等数学-4_2换元法

4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x

(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )

tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）

sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x

(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x

1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1

1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )

D4_2换元法

2. 求
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证

4.2 换元积分法

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分

f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解：令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1

du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

42换元积分法1

dx 12xx2
d(12xx2) 5 d(x1)
12xx2
2(x1)2
212xx25arcsxin1C
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2
18
3. 求不定积分
解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
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复习引入 (Introduction)
上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”
给出了“基本积分公式表” 。
但是，对于形如
2sin2xdx; 1x2dx;
这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表
我们就无能为力了。
为此，……
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1
第四章
第二节换元积分法(1)
（Integration by Substitution）
故原式 =
1 4
dx
614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
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15
内容小结常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
co 2x s1 2(1co 2x)s ; si2x n 1 2(1co 2x)s ;
x2a2
a2 C
x2 a2
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例15 求 co4sxdx.
解: 由cos4x(cos2x)2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
(5)

4
dx x2

4.2_换元积分法

x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习：求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt

第2讲不定积分的换元积分法

2 x 3 3 x 6 6 x 6 l6 n x 1 ) ( C .
p1
pn
一般说 , 被来积函数 x, 由 xq1, , xqn 通过
四则运算构 , 可成作时变量t代 k 换 x.
这里 k为分母 q1, q2, , qn 的最小公. 倍数
例6 计算x4(dx2x1).

dx asettcatd nt
x2a2
atatn
x
t a
x2 a2
sect dt
l|n ste tc a t| n C 1 l|x n x 2 a 2 | C . ( C ＝ C 1 la n )
(2)x (, a)时 x0
令 x a ste ， c t ， d x 则 a ste ta tc d t， n 故 2
一、不定积分的第一换元法首先看复合函数的导公数式:
设可 y 微 F (u ),u 函 (x )可数构 I上成
可微的复y合 F(函 (x)数 )则 ,
( F (( x ) ) ) F (( x ) ( ) x ),
它的微分形式为 d F (( ( x ) ) F ( ) ( x ) ( ) x ) d x
.
解
令 utax， n d则 ucdo x 2xs ,于是
c d x 4 x o s c 1 2 x o c 1 s 2 x o d x ss2 e x c c 1 2 x o d x s
(1ta2nx)cdox2sx (1u2)du
u 1 u 3 C tax n 1 ta 3xn C .
f(ek)xexdx f(uk)du (uex).

第2节换元积分法

或
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数，且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时，可以不必将 u 写出来。例3 求不定积分解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x

4-2 换元法1-第一换元法

1 1 − cos x 1 1− u + C. = ln + C = ln 2 1 + cos x 2 1+ u
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导，设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积求不定积分时，分公式相对比，并利用简单的变量代换，分公式相对比，并利用简单的变量代换，把要求的积分化成已知的形式，把要求的积分化成已知的形式，求出以再把原来的变量换回。后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。与只相差一个常数 • 注意例3，4与例解法差别。注意例，与例5解法差别。与例解法差别

换元法解四次方程

换元法解四次方程换元法是解四次方程的一种常用方法。

它的基本思想是通过引入一个新的变量，将原方程转化为一个更容易处理的形式，进而求解方程。

对于四次方程，一般形式是ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e是已知的实数系数。

我们可以通过适当的换元，将其简化为某个二次方程。

首先，我们引入一个新的变量y，令x^2 = y。

这样，原方程可以改写为ay^2 + by^(3/2) + cy + dy^(1/2) + e = 0。

我们可以看出，这是一个关于y的一元四次方程。

接下来，我们尝试将y的次数降低。

我们可以尝试令z =y^(1/2)，这样方程变为az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0。

现在，我们可以通过二次方程的求解方法来求解这个新方程。

设z = m + n，并将z的四次方展开，即(z^2)^2 = (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2。

将z的四次方进行展开，并代入az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0中，整理得(am^2 + bm + c)m^2 + (2amn + bn + d)mn + (an^2 + e) = 0。

我们可以发现，fa(y) = (a + bm + cm^2)y^2 + (2amn + bn + d)yn + (an^2 + e)是一个关于y的一元二次方程。

根据二次方程的求解方法，我们可以求得y的值。

一旦求得y的值，我们可以通过y = x^2得到x的值。

注意，这里可能会有多组解，需要分别代入原方程检验。

总结一下，换元法是一种求解四次方程的有效方法。

通过引入新的变量，将四次方程转化为一个更简化的一元二次方程，从而解得方程的根。

需要注意的是，在求得新方程的解后，需要将其代入原方程进行检验，找出满足条件的实数解。

参考内容：1. 《高等数学题型与解题技巧》- 王天民：这本书对求解四次方程中的换元法进行了详细的介绍，包括具体的推导过程和实例演练，可以帮助读者更好地理解和掌握换元法的使用方法。

高等数学 4-2换元积分法

说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

4_2二重积分的计算

2
2
例3
计算二重积分 x yd x d y .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。解 ⑴因为下图所示的三角形区域的斜边方程是所以 D 可表示为
a 0
y
b
x a

y b
1
D : 0 x a , 0 y b (1
x a
)
( xy 2
b
2
x a
) xdx
a 0
o
a
x
1 2 1 2
x
2

2
x
)
2 b (
2
4a a
a
)
1 8
a b
2
2
2
4a
y 5x
例4 计算二重积分 ( x 6 y ) d x d y,其中 D 是由三条线 y x , y 5 x , x 1 所围成
D
y x
的区域.
x 1
解
易知积分区域可表为
xd x
1 0
1 1 1 yd y 2 2 4

（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D 是
型或
Y 型区域，即平行于 y
X
轴或
x
轴
y
D1
的直线与区域 D 边界曲线的交点不多
于两点.若
D 不满足这个条件,可将 D
D2
D3
分块.再应用积分的分域性质来计算.
0
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重积分本身没有新困难,感到困难的是如何根据区域去确定两次积分的上、下限. 建议先将区域 D 的图形画出，再写出区域 D 上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限. 定限法则:就 X 型区域而言

D4_2换元法

de
x
dln x
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例7. 求
x 2 3 x 解: 原式 e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec

e3
x
dx .
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x

解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x

cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
思考：
3 4 sin x cos x dx . 2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2
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多元函数积分的换元法

多元函数积分的换元法在计算多元函数的积分时，经常会遇到比较复杂的函数形式，这时候使用换元法是一个非常有效的方法。

多元函数的积分也可以通过类似于一元函数的换元法来简化问题，使得积分计算更加方便。

本文将介绍多元函数积分的换元法，并通过具体的例子展示如何应用该方法。

1. 二重积分中的换元法对于二重积分$$ \\iint_D f(x,y)dxdy $$可以通过变换x=g(u,v),y=ℎ(u,v)将积分区域D映射到uv平面上的一个新区域D∗，令$y=h(u,v), dy=\\frac{\\partial h}{\\partial u}du+\\frac{\\partialh}{\\partial v}dv$，$x=g(u,v), dx=\\frac{\\partial g}{\\partialu}du+\\frac{\\partial g}{\\partial v}dv$。

则有$$ \\iint_{D^*} f(g(u,v), h(u,v))|J|dudv = \\iint_D f(x,y)|J|dxdy $$其中J为Jacobi行列式。

2. 三重积分中的换元法对于三重积分$$ \\iiint_V f(x,y,z)dxdydz $$类似地，可以通过变换x=u(s,t),y=v(s,t),z=w(s,t)将积分区域V映射到st 平面上的新区域V∗。

令 \begin{aligned} x&=u(s,t) \\ y&=v(s,t) \\ z&=w(s,t)\end{aligned} 则有$$ \\iiint_{V^*} f(u(s,t),v(s,t),w(s,t))|J|dsdt = \\iiint_{V} f(x,y,z)|J|dxdydz $$其中J为Jacobi行列式。

3. 常用的换元公式在具体的计算中，常用的换元公式包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。

例如，对于极坐标 \begin{aligned} x&=r\cos\theta \\ y&=r\sin\theta \end{aligned} 则有$$ dxdy = rdrd\\theta $$通过这些换元公式，可以将复杂的多元函数积分问题转化为简单的一元函数积分问题，从而更容易求解。

二元函数求极限的积分换元法步骤

二元函数求极限的积分换元法步骤在数学分析中，对于二元函数求极限的过程中，有时会遇到需要进行积分换元的情况。

积分换元法是一种常用的求解积分的方法，可以简化复杂的积分表达式，使之更易求解。

本文将介绍二元函数求极限时的积分换元法步骤，以帮助读者更好地理解和应用该方法。

一、问题引入对于给定的二元函数 $f(x, y)$，我们希望求解其在点 $(a, b)$ 处的极限值。

为了方便起见，我们可以将问题转化为一个积分问题，并通过积分换元法来求解。

二、积分换元法的基本思想积分换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使得被积函数在新的变量下表达更加简单。

常用的换元方法包括直接代换法和参数代换法。

三、步骤详解具体而言，二元函数求极限的积分换元法步骤如下：1. 根据问题给定的条件，确定需要求解的二元函数 $f(x, y)$，并确定积分的上下限。

2. 引入新的变量 $u$ 和 $v$，并建立变量间的变换关系，即 $x=g(u, v)$ 和 $y=h(u, v)$。

3. 计算函数 $f(g(u, v),h(u, v))$ 的偏导数 $f_x$ 和 $f_y$。

4. 根据链式法则，计算偏导数 $\frac{{\partial u}}{{\partial x}}$、$\frac{{\partial u}}{{\partial y}}$、$\frac{{\partial v}}{{\partial x}}$、$\frac{{\partial v}}{{\partial y}}$。

5. 计算实变量积分的 Jacobi 行列式$J=\left\vert\begin{matrix}\frac{{\partial x}}{{\partial u}}&\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\\\frac{{\partial y}}{{\partial u}}&\frac{{\partialy}}{{\partial v}}\end{matrix}\right\vert$。

两类“换元积分法”的联系与区别

(下转第49页)摘要不定积分是高等数学中的教学重点与难点，不定积分计算方法一般被分为换元积分法、直接积分法与分部积分法几种方式，其中，换元积分法又可以分为第一类换元法与第二类换元法两种，帮助学生掌握好第一类积分法与第二类积分法在归类上的联系与区别，能够有效提高学生应用积分法求解积分问题的能力，第一类积分法与第二类积分法最大的区别就是，第一类积分法不需要设置变量，可以通过凑微法和转化法进行计算，而在使用第二类积分法时，就必须要选择好变量进行替换。

关键词两类“换元积分法”联系区别On the Relationship and Distinction between Two Types of "Integration by Substitution"//Yang YanhuaAbstract Indefinite integral is a key and difficult point of higher mathematics,and the computing methods of indefinite integral are generally classified into integration by substitution,immediate integration and integration by parts,among which integration by substitution can be classified into the first type of substitution and the second type of substitution.To help students master the rela-tionship and distinction between the two types of substitution caneffectively improve students'ability of using integration methodsto solve integration problems.The biggest distinction between the two types of substitution is that variables are not needed in the former but improvising differentiation and conversion method can be used in the computing,while a certain variable must be se-lected to be substituted in the latter.Key words two types of "integration by substitution";relation-ship;distinction不定积分是高等数学中的教学重点与难点，此类知识也是学生学习重积分、定积分与微分方程等知识的学习技术。