一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题
二次函数的应用大题专练(七大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)
二次函数的应用大题专练(七大类型)题型一:考向分析1类型一、销售问题1(2023·浙江湖州·统考一模)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+900．(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28800元，求该月销售单价的最小值．【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元【解析】(1)解：在y=-3x+900中，令x=160，则y=420，∴政府这个月补贴420×20=8400元；(2)由题意可得：w=-3x+9002+30000，x-100=-3x-200∵a=-3<0，∴当x=200时，w有最大值30000．即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．(3)设每月获得的总收益为w ，由题意可得：w =-3x+9002+36300，=-3x-190x-100+20-3x+900令w =28800，则-3x-1902+36300=28800，解得：x=140或x=240，∵a=-3<0，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=190，∴当140≤x≤240时，w≥28800，∴该月销售单价的最小值为140元．2类型二、图形面积问题2(2023春·湖北武汉·九年级校联考期中)春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【答案】(1)(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)，(2)32m或10m，(3)168000元【解析】(1)解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：40-x20-x=(x2-60x+800)m2，花卉B的面积为：x40-x-10=(-x2+30x)m2，花卉C的面积为：x20-x=(-x2+20x)m2，故答案为：(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)；(2)解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2×x2-60x+800百元和3×-x2+30x百元，∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200×x2-60x+800=300×-x2+30x，∴x2-42x+320=0，解方程得x=32或x=10，∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；(3)解：∵花卉A与B的种植面积之和为：x2-60x+800+-x2+30x=(-30x+800)m2，∴-30x+800≤560，∴x≥8，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴y=2x2-60x+800+3-x2+30x，+4-x2+20x∴y=-5x2+50x+1600，∴y=-5(x-5)2+1725，∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x=8时，y最大，且y=-5(8-5)2+1725=1680(百元)，故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．3类型三、拱桥问题3(2023·安徽黄山·统考一模)如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB 和矩形OABC 构成.矩形OABC 的边OA =34米，OC =9米，以OC 所在的直线为x 轴，以OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D 的坐标为92,245.(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM ，点M 正好在抛物线上，支撑MN ⊥x 轴，ON =7.5米，点E 是OM 上方抛物线上一动点，且点E 的横坐标为m ，过点E 作x 轴的垂线，交OM 于点F .①求EF 的最大值.②某工人师傅站在木板OM 上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.【答案】(1)y =-15x -92 2+245；(2)①当m =72时，EF 有最大值165；②32<m <112.【解析】(1)解：由题意知，抛物线顶点D 的坐标为92,245，设抛物线的表达式为y =a x -92 2+245，将点A 0,34 代入抛物线解析式得34=a 0-92 2+245，解得a =-15，∴抛物线对应的函数的表达式为y =-15x -92 2+245；(2)解：①将x =7.5代入y =-15x -92 2+245中，得y =3，∴点M 152,3 ，∴设直线OM 的解析式为y =kx k ≠0 ，将点M 152,3 代入得152k =3，∴k =25，∴直线OM 的解析式为y =25x ，∴EF =-15m -92 2+245-25m =-15m 2+75m +34=-15m -72 2+165，∵-15<0,∴当m =72时，EF 有最大值，为165；②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125米，∴当EF >125时，他就不能刷到大门顶部，令EF =125，即-15m -72 2+165=125,解得m 1=32,m 2=112，又∵EF 是关于m 的二次函数，且图象开口向下，∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m 的范围是32<m <112．4类型四、投球问题4(2023·浙江丽水·统考一模)某天，小明在足球场上练习“落叶球”(如图1)，足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A 处，正对一门柱CD ，距离AC =12m ，足球运动到B 的正上方，到达最高点2.5m ，此时AB =10m ．球门宽DE =5m ，高CD =2m ．(1)以水平方向为x 轴，A 为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E 处进入球网．若离A 点8m 处有人墙GH ，且GH ∥CF ，人起跳后最大高度为2.2m ，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．【答案】(1)足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5(2)足球不能进球网，理由见解析(3)足球能越过人墙，理由见解析【解析】(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为-10，2.5 ，设抛物线的函数表达式为y =a x +10 2+2.5，将0，0 代入得，0=100a +2.5，解得a =-140，∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5；(2)解：足球不能进球网，理由如下：当x =-12时，y =-140-12+10 2+2.5=2.4，∵2.4>2，∴足球不能进球网．(3)解：足球能越过人墙，理由如下：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点0,0 ，∴设抛物线的函数表达式为y =-140x 2+bx ．如图，由题意知，四边形CDEF 是矩形，则CF =DE =5，在Rt △ACF 中，由勾股定理得AF =AC 2+CF 2=13，∵足球恰好在点E 处进入球网，∴抛物线经过点-13,2 ，将-13,2 代入得，2=-140×-13 2-13b ，解得b =-249520，∴y =-140x 2-249520x ，∵GH ∥CF ，∴△AGH ∽△ACF ，∴AH AF =AG AC ，即AH 13=812，解得AH =263，把x =-263代入得，y =-140×-263 2-249520×-263 =409180，∵409180>2.2，∴足球能越过人墙．5类型五、喷水问题5(2023·山东潍坊·统考一模)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度OH =1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度DE =2米，竖直高度EF =1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l 的距离OD 为d 米．(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC ；(2)求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带(即矩形DEFC 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内)，求d 的取值范围．【答案】(1)6米(2)y=-18x+22+2，2,0(3)2≤d≤22【解析】(1)解：如图，由题意得A2,2是上边缘抛物线的顶点，则设y=a x-22+2．又∵抛物线经过点0,1.5，∴4a+2=1.5，∴a=-18．∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-18x-22+2．当y=0时，-18x-22+2=0，∴x1=6，x2=-2(舍去)．∴喷出水的最大射程OC为6m．(2)法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线x=2，∴点0,1.5的对称点为4,1.5，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴将点C向左平移4m得到点B的坐标为2,0法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，∴可设y=-18x+t-22+2，将点0,1.5代入得t1=4，t2=0(舍去)∴下边缘抛物线的关系式为y=-18x+22+2，∴当y=0时，0=-18x+22+2，解得x1=2，x2=-6(舍去)，∴点B的坐标为2,0；(3)解：如图，先看上边缘抛物线，∵EF=1，∴点F的纵坐标为1．当抛物线恰好经过点F时，-18x-22+2=1．解得x=2±22，∵x>0，∴x=2+22．当x>0时，y随着x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥1，则x≤2+22．∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+22．∵DE=2，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+22-2=22．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB ≤d ，∴d 的最小值为2．综上所述，d 的取值范围是2≤d ≤22．6类型六、几何动点问题1例6．(2023·山东青岛·统考一模)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别是线段CD 和AD 上的动点．点P 以2cm/s 的速度从点D 向点C 运动，同时点Q 以1cm s 的速度从点A 向点D 运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ 沿AD 翻折得到QP ，连接PP 交直线AD 于点E ，连接AC 、BQ ．设运动时间为t s ，回答下列问题：(1)当t 为何值时，PQ ∥AC ？(2)求四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式；(3)是否存在某时刻t ，使点Q 在∠PP D 平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t =409(2)S =35t 2-425t +72(3)存在，t =5【解析】(1)解：过点A 作AK ⊥CD 于点K ，∵∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴由勾股定理得AC =AB 2+BC 2=10，∵AD =10cm ，∴AC =AD ，∴△ACD 是等腰三角形，∴CD =2CK ，又∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =∠AKC =90°，∴四边形ABCK 是矩形，∴CK =AB =8，∴CD =16，若PQ ∥AC ，∴DP DC =DQ DA，由题意得，DP =2t ,AQ =t 则DQ =10-t ，∴2t 16=10-t 10，解得t =409，所以，t =409时，PQ ∥AC ；(2)过点Q 作QT ⊥CD ，交CD 于点T ，交AB 于点H ，∴AK =HT =BC =6，由(1)知CK =DK =8，AD =10，∴cos ∠D =DK AD =45，∴sin ∠D =AK AD=35=QT DQ =QT 10-t ，∴QT =6-35t ，∴QH =6-6-35t =35t ，∵四边形BCPQ 的面积=S ΔABC +S ΔACD -S ΔPQD -S ΔABQ =12⋅AB ⋅BC +12⋅CD ⋅AK -12⋅DP ⋅QT -12⋅AB ⋅QH ∴S =12×8×6+12×16×6-12⋅2t ⋅6-35t -12×8⋅35t ，整理得S =35t 2-425t +72，即四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式为S =35t 2-425t +72；(3)如图，设PP 交AD 于点E ，过点Q 作QF ⊥DP 于点F ，由折叠的性质得∠ADP =∠ADP ，PP ⊥AD ，∵AD 平分∠PDP ，QT ⊥PD ,QF ⊥P D ，∴QT =QF =6-35t ,∵点Q 在∠PP D 平分线上，PP ⊥AD ,QF ⊥P D ，∴QF =QE =6-35t ，∴DE =DQ +EQ =10-t +6-35t =16-85t ，∵cos ∠EDP =DE DP=45，即16-85t 2t =45，解得t =5，经检验t =5是分式方程的解且符合题意，所以t =5时，点Q 在∠PP D 平分线上．7类型七、图形运动问题7(2023·天津·校联考一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形AOBC 是正方形，顶点A -4，0 ，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第二象限，△MON 的顶点M 0，5 ，点N 5，0 ．(1)如图①，求点B ，C 的坐标；(2)将正方形AOBC 沿x 轴向右平移，得到正方形A O B C ，点A ，O ，B ，C 的对应点分别为A ，O ，B ，C ．设OO =t ，正方形A O B C 与△MON 重合部分的面积为S ．①如图②，当1<t ≤4时，正方形A O B C 与△MON 重合部分为五边形，直线B C 分别与y 轴，MN 交于点E ，F ，O B 与MN 交于点H ，试用含t 的式子表示S ；②若平移后重合部分的面积为92，则t 的值是_______(请直接写出结果即可)．【答案】【答案】(1)B 0，4 ，C -4，4(2)①S =-12t 2+5t -12；②5-15或6【解析】(1)解：由A -4,0 ，得AO =4，∵四边形AOBC 正方形，∴OB =BC =4．∴B 0，4 ，C -4，4 ；(2)解：①∵M 0，5 ，N 5，0 ，∠MON =90°，∴OM =ON =5，∠OMN =∠ONM =45°．由平移知，四边形A O B C 是正方形，得B C =4，∠B =∠B O O =90°．∴四边形OO B E 是矩形．∴B E =OO =t ，OE =B O =4，∠B EM =90°．∴∠EFM =45°，∴EF =ME =1，B F =t -1．∵∠B FH =∠EFM =45°，∴∠B HF =45°．∴B H =B F =t -1．当1<t ≤4时，S =OO ⋅OE -12B H ⋅B F =4t -12(t -1)2=-12t 2+5t -12．②当1<t ≤4时，由题意得S =-12t 2+5t -12=92，解得t=5-15或5+15(舍去)；当t=5时，点O 与点N重合，此时S=12×4×4=8>92，∴5<t<9，∴A N=A F=9-t，由题意得129-t2=92，解得t=6或t=12(舍去)；综上，t的值是5-15或6．故答案为：5-15或6．题型二:压轴题速练1一．解答题(共24小题)1(2023•宁波一模)抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)，部分对应值如下表：每件售价(元)91113每天的销售量(件)1059585(1)求y与x的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)13元；(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，(8≤x≤15)，将(9，105)，(11，95)代入得105=9k+b95=11k+b，解得k=-5b=150，∴y=-5x+150，∴y与x的函数关系式为y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)由题意知，利润w=(x-8)(-5x+150)=-5(x-19)2+605，令w=425，则-5(x-19)2+605=425，解得x=13或x=25(不合题意，舍去)，∴每件消毒用品的售价为13元；(3)由(2)知w=-5(x-19)2+605(8≤x≤15)，∵-5<0，∴当8≤x≤15时，w随着x的增大而增大，∴当x=15时，w=525，此时利润最大，∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．2(2023•莱西市一模)某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x(元/件)，周销售量y(件)的三组对应值数据．x407090y1809030(1)求第一次每件玩具的进价；(2)求y关于x的函数解析式；(3)售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．【答案】(1)第一次每件玩具的进价为20元(2)y=-3x+300(3)当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800元【解析】解：(1)设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为(1+20%)m元，由题意得，3000 m -3000(1+20%)m=25，解得m=20，经检验m=20是原方程的解且符合题意，答：第一次每件玩具的进价为20元；(2)设y=kx+b，把x=40，y=180；x=70，y=9分别代入得，40k+b=180 70k+b=90，解得k=-3b=300，∴y=-3x+300，即y关于x的函数解析式是y=-3x+300；(3)W=y(x-20)=(-3x+300)(x-20)=-3x2+360x-6000=-3(x-60)2+4800，∵a=-3<0，抛物线开口向下，∴当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800．3(2023•天山区一模)一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x(天)，通过一个月(30天)的试销，该种水果的售价P(元/千克)与销售时间x(天)满足如图所示的函数关系(其中0≤x≤30，且x为整数)．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．(1)直接写出售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式；(2)求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．【解析】解：(1)当0≤x≤20时，设售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式为P=kx+b，把(0，34)，(20，24)代入得20k+b=24b=34，j解得k=-12b=34，∴P=-12x+34；由函数图象可知当20<x≤30时，P=24；综上所述，P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)设第x天的利润为W，∵该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，∴第x天的销售量为60+4(x-1)=(4x+56)千克，当0≤x≤20时，∴W=-12x+34-16(4x+56)=-2x2+72x-28x+1008=-2x2+44x+1008=-2(x-11)2+1250∵-2<0，∴当x=11时，W最大，最大为1250；当20<x≤30时，W=(24-16)(4x+56)=32x+448，∵32>0，∴当x=30时，W最大，最大为32×30+448=1408；∵1408>1250，∴试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．4(2023•武汉模拟)某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s(单位：m)随运动时间x(单位：s)变化的数据，整理得下表．滑行时间x/s01234滑行距离s/m06142436经验证小明离A 处的距离s 与运动时间x 之间是二次函数关系．小明出发的同时，小华在距赛道终点30m 的B 处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s 的速度飞向小明，无人机离A 处的距离y (单位：m )与运动时间x (单位：s )之间是一次函数关系．(1)直接写出s 关于x 的函数解析式和y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？【答案】(1)s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)小明出发8s 与无人机相遇．【解析】解：(1)设s 关于x 的函数解析式为s =ax 2+bx +c ，将(0，0)，(1，6)，(2，14)代入得：c =0a +b +c =64a +2b +c =14 ，解得a =1b =5c =0，∴s =x 2+5x ；根据题意得y =150-30-2x =-2x +120，∴s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)在s =x 2+5x 中，令s =150得：150=x 2+5x ，解得x =10或x =-15(舍去)，∴小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)由x 2+5x =-2x +120得：x =8或x =-15，∴小明出发8s 与无人机相遇．5(2023•邯郸模拟)将小球(看作一点)以速度v 1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v 1(m/s )与时间t (s )的积，另一部分与时间t (s )的平方成正比．若上升的初始速度v 1=10m/s ，且当t =1s 时，小球达到最大高度．(1)求小球上升的高度y 与时间t 的函数关系式(不必写范围)，并写出小球上升的最大高度；(2)如图，平面直角坐标系中，y 轴表示小球相对于抛出点的高度，x 轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v 2(m/s )，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式与(1)中的解析式相同．①若v 2=5m/s ，当t =32s 时，小球的坐标为 152，154 ，小球上升的最高点坐标为(5，5)；求小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高3536m 的小窗户PQ ，其上沿P 的坐标为6，154，若小球恰好能从窗户中穿过(不包括恰好去中点P ，Q ，墙厚度不计)，请直接写出小球的水平速度v 2的取值范围．【答案】(1)y =-5t 2+10t ，小球上升的最大高度是5m ；(2)①152，154 ；(5，5)；y =-15x 2+2x ；②185<v 2<4．【解析】解：(1)根据题意可设y =at 2+10t ，∵当t =1s 时，小球达到最大高度，∴抛物线y =at 2+10t 的对称轴为直线t =1，即-102a=1，解得a =-5，∴上升的高度y 与时间t 的函数关系式为y =-5t 2+10t ，在y =-5t 2+10t 中，令t =1得y =5，∴小球上升的最大高度是5m ；(2)①当t =32s 时，y =-5×32 2+10×32=154，x =v 2t =5×32=152，∴小球的坐标为152，154；由(1)可知，t =1s 时，取得最大高度，x =v 2t =5×1=5，∴小球上升的最高点坐标为(5，5)；由题意可知，x =v 2t ，∴t =x v 2=x 5，∴y =-5×x 5 2+10×x 5=-15x 2+2x ；∴小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式是y =-15x 2+2x ；故答案为：152，154 ；(5，5)；②∵PQ =3536m ，P 的坐标为6，154 ，∴Q 6，259；当小球刚好击中P 点时，-5t 2+10t =154，解得t =1.5或t =0.5，∵t >1，∴t =1.5，此时v 2=6t=4m/s ，当小球刚好击中Q 点时，-5t 2+10t =259，解得t =53或t =13，∵t >1，∴t =53，此时v 2=6t =185m/s ，∴v 2的取值范围为：185<v 2<4．6(2023•崂山区一模)跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P 处起滑，在助滑道PE 上加速，从跳台E 处起跳，最后落在山坡MN 或者水平地面上．运动员从P 点起滑，沿滑道加速，到达高度OE =42m 的E 点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM =38m ，ON =114m ，设MN 所在直线关系式为y =kx +b ．甲运动员起跳后，与跳台OE 水平距离xm 、竖直高度ym 之间的几组对应数据如下：水平距离x /m 010203040竖直高度y /m4248504842(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；(2)运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE 水平距离为50m ，即得到60分，每比50m 远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m 近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．风速得分：由逆风或者顺风决定．甲运动员动作分、风速加分如下表：距离分动作分风速加分50-2.5请你计算甲运动员本次比赛得分．【答案】(1)y =-150x 2+45x +42；(2)甲运动员本次比赛得分为147.5分．【解析】解：(1)∵抛物线经过点(10，48)，(30，48)，∴对称轴是：直线x =10+302=20，∴顶点坐标为(20，50)，设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =a (x -20)2+50，将(0，42)代入得：a (0-20)2+50=42，∴a =-150，∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =-150(x -20)2+50=-150x 2+45x +42；(2)根据题意可得，当y =0时，即-150(x -20)2+50=0，解得：x 1=70，x 2=-30(舍)，则60+2×(70-50)+50+(-2.5)=147.5，所以甲运动员本次比赛得分为147.5分．7(2023•镇平县模拟)为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED 和矩形ABCD 构成．已知矩形的长BC =12米，宽AB =3米，抛物线最高点E 到地面BC 的距离为6米．(1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED 的解析式；(2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y 轴对称的支撑柱PQ 和NM ，如图②所示．①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN ，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN ，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值，请你帮管理处计算一下．【答案】(1)抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①两根支撑柱之间的水平距离为6米；②“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值为18米．【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =12(米)，∴点A (-6，3)，点D (6，3)，根据题意和图象可得，顶点E 的坐标为(0，6)，∴可设抛物线AED 的解析式为：y =ax 2+6，把点A (-6，3)代入解析式可得：36a +6=3，解得：a =-112，∴抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①当y =5.25时，-112x 2+6=5.25，解得x =±3，3-(-3)=3+3=6(米)，∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；②设N点坐标为m，-112m2+6，则MQ=2m，MN=-112m2+6，∴w=2m+2-112m2+6=-16m2+2m+12=-16(m-6)2+18，∵-16<0，∴当m=6时，w有最大值，最大值为18，∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为18米．8(2023•宝应县一模)科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x(分钟)满足关系y=2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．(1)当x=8时，注意力指数y为84，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的函数关系式是y=-18x2+4x+60；(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟)(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？(精确到1分钟)(参考数据：6≈2.449)【答案】(1)84，y=-18x2+4x+60；(2)在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．【解析】解：(1)根据题意，把x=8代入y=2x+68可得：y=84，由题意可知，抛物线的顶点坐标为(16，92)，∴可设抛物线的解析式为：y=a(x-16)2+92，把(8，84)代入可得：64a+92=84，解得：a=-1 8，∴y=-18(x-16)2+92=-18x2+4x+60，故答案为：84，y=-18x2+4x+60；(2)由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；当8<x≤45是，则-18x2+4x+60≥80，即-18(x-16)2+92≥80，整理得：(x-16)2≤96，解得：8<x≤16+46，∴16+46-6=10+46≈20(分钟)，答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，∵10+46<24，∴0≤t<6，要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则当x=t和当x=t+24时对应的函数值相同，即2t+68=-18(t+24-16)2+92，整理得：(t+16)2=384，解得：t1=86-16，t2=-86-16(舍)，∴t≈4，答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．9(2023•昭阳区一模)新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【答案】(1)y=-2x2+20x+400；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．【解析】解：(1)由题意可得：销售量=(20+2x)套，则y=(20+2x)(140-x-100)=(2x+20)(40-x)=-2x2+60x+800，∴y与x的函数关系式为：y=-2x2+60x+800；(2)由题意可得：当y=1200时，即-2x2+60x+800=1200，解得：x1=10，x2=20，∴140-10=130(元)，140-20=120(元)，答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)由(1)可知：y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250，∵-2<0，∴当x=15时，y有最大值，最大值为1250，此时，售价=140-15=125(元)，答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．10(2023•大丰区一模)比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P(看成一个点)从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d(m)与运动时间t(s)之间的函数表达式是：d=7t，在竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；(2)当t=1时，求小铁球P此时的坐标；(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)(7，39.2)；(3)y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．【解析】解：(1)根据题意可得，OA的高度为44.1m，且竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2，∴当h=44.1时，小铁球落到地面，∴4.9t2=44.1，解得：t1=3，t2=-3(舍)，答：小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)当t=1时，则d=7×1=7，h=4.9×12=4.9，∴y p=44.1-4.9=39.2，∴小铁球P此时的坐标为(7，39.2)；(3)由(1)可知小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒，∴d=7×3=21，∴OB=21(m)，即B(21，0)，根据题意可得，顶点坐标为A(0，44.1)，∴可设抛物线解析式为：y=ax2+44.1，将点B(21，0)代入得：441a+44.1=0，解得：a=-1 10，∴抛物线的函数表达式为：y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．11(2023•南昌模拟)一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m(即DE=2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m(即F到DE的距离为2.5m)，达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．。
(完整word版)二次函数精选练习题及答案
二次函数练习题及答案一、选择题1． 将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 （ )A 23(2)1y x =++B 。
23(2)1y x =+-C 。
23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ； Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（ ）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。
b= -2,c=-1 D 。
b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是 ．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 ．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。
[9549528]1.4 二次函数的应用 同步练习(含解析)
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初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习一、单选题1.二次函数的图象与x轴交点的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个2.如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A. h＞B. 0＜h≤C. h＞2D. 0＜h＜24.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人A. 56B. 55C. 54D. 535.已知一次函数，二次函数，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为和，则下列表述正确的是（）A. B. C. D. ，的大小关系不确定6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1550D. 15587.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A. 米B. 8米C. 10米D. 2米8.实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（）A. b2﹣4ac＞0B. b2﹣4ac≥0C. b2﹣4ac＜0D. b2﹣4ac≤09.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③10.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定11.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12.如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系13.已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 202114.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交.则下列关于、的大小关系正确的是（）15.当时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题16.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是________m．17.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝________.18.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.19.已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．20.如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x 轴上，则不等式的解集为________．下函数关系：，则该球从弹起回到地面需要经过________秒，距离地面的最大高度为________米.22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________.23.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．过点且平行于轴的直线与直线交于点，当时，的值是________．24.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为________三、计算题26.已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
中考压轴题二次函数与周长、面积综合题(解析版)
专题05 二次函数与周长、面积综合题1.（2019年湖北省黄石市中考数学试题）如图，已知抛物线经过点、.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）【答案】（1），;（2）36;（3）【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；（2）S四边形AMBC=AB（y C-y D），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．【详解】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，点M坐标为（2，-3）；（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），S四边形AMBC=AB（y C-y D）=×6×（9+3）=36；（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y=x2，则定点D 与动点P 之间距离PD =，∵＞0，PD 有最小值，当x 2=3m -时， PD 最小值d =．2.（2019年湖南省常德市中考数学试题）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG 周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或或． 【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解． 【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+， 将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，的故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，∵20-<，故当22bx a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNCS MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，2711sin45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==，则292334PH x x x =-+++-=，解得：32x =，故点315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②，联立①②并解得：32x ±=即点'P 、''P 的坐标分别为⎝⎭、⎝⎭；故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3324⎛+-- ⎝⎭或3324⎛--+ ⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．（2019年山东省烟台市中考）如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，作DE x ⊥轴，垂足为点E .双曲线6(0)y x x=>经过点D ，连接MD ，BD .(1)求抛物线的表达式；(2)点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；【答案】(1)2y x 2x 3=-++；(2)N 5,07⎛⎫ ⎪⎝⎭；F 50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【解析】 【分析】（1）先求D 的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点M ，D 关于y 轴，x 轴的对称点M '，'D ，连接MD '交x 轴，y 轴于点N ，F .即M '，F ,N ，'D 在同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线MD '的表达式，再求N,F 的坐标； 【详解】解：(1)由题意，得点C 的坐标(0,3)，3OC =. ∵6k OC CD =⋅=， ∴2CD =.∴点D 的坐标(2,3).将点(1,0)A -，(2,3)D 分别代人抛物线23y ax bx =++，得30,423 3.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++.(2)分别作点M ，D 关于y 轴，x 轴的对称点M '，'D ， 连接MD '交x 轴，y 轴于点N ，F .由抛物线的表达式可知，顶点M 的坐标(1,4)， ∴点M 的坐标(1,4)-. 设直线MD '为y kx b =+， ∵点'D 的坐标(2,3)-， ∴4,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得7,35.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线MD '的表达式为7533y x =-+. 令0y =，则75033x -+=，解得57x =，∴点N 的坐标5,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.令0x =，则53y =，∴点F 的坐标50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．（广东省深圳市2019年中考数学试题）如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 1；（3）12(4,5),(8,45)P P -- 【解析】 【分析】（1）OB =OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ，即可求解；（2）CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，即可求解； （3）S △PCB ：S △PCA =12EB ×（y C -y P ）：12AE ×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB =OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ， 故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3…①； 对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC 、DE =1是常数， 故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD =C ′D ， 取点A ′（-1，1），则A ′D =AE ，故：CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE +1+A ′D +DC +1+A ′C （3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分， 又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×（y C -y P ）：12AE ×（y C -y P ）=BE ：AE ， 则BE ：AE ，=3：5或5：3， 则AE =52或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +3， 解得：k =-6或-2，故直线CP 的表达式为：y =-2x +3或y =-6x +3…② 联立①②并解得：x =4或8（不合题意值已舍去）， 故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A ′点来求最小值，是本题的难点．5.（湖南省益阳市2019年中考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A (1，4)，B (3，0)． (1)求抛物线对应二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P (m ，n )是抛物线在第四象限的图象上的点，且m +n ＝﹣1，连接P A 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122y y +)．的【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(43，﹣73)．【解析】【分析】(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．【详解】(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由(2)知：点N 是PQ 的中点， 设直线PC 的解析式为y =kx +b ，将点C (﹣1，0)、P (4，﹣5)的坐标代入得：045k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k b =-⎧⎨=-⎩，所以直线PC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y ＝2x +2， 直线DQ ∥CA ，且直线DQ 经过点D (0，3)， 同理可得直线DQ 的表达式为：y ＝2x +3…②， 联立①②并解得：x ＝﹣43，即点Q (﹣43，13)， ∵点N 是PQ 的中点， 由中点公式得：点N (43，﹣73)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N 是PQ 的中点，是本题解题的突破点． 最新模拟试题6.（2020年安徽省阜阳市太和县九年级第二次调研模拟预测试题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =-(0a ＜)经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S △；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E F 、(点E 在点F 的左侧)，如果△MBF 与AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．【答案】（1）2y x =+；（23）抛物线2C 为：2y x =++或23327y x x =-++ 【解析】【分析】（1）根据题意，可以写出点B 和点A 的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M 的坐标，从而可以求得直线AM 的函数解析式，从而可以求得S △AOM ；（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F 的坐标，从而可以求得抛物线C 2的表达式．【详解】解：（1）过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，∵2OB =，∴0(2)B ，∵120AOB ∠=︒∴60AOH ∠=︒，30HAO ∠=︒．∵2OA =， ∴112OH OA ==． 在Rt AHO 中，222OH AH OA +=，∴AH ==∴(1A --，∵抛物线1C ：2y ax bx =+经过点A B 、，∴可得：420a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴这条抛物线的表达式为2y x x =；（2）过M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，∵2y x x =+=21)x -∴顶点M是1,3⎛ ⎝⎭，得3MG =设直线AM 为y =kx +b ，把(A -，1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入得k b k b =-+=+，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线AM为y x =-令y =0，解得x =12∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭∴111111×××22223223AOM S ON MG ON AH =⋅-⋅=+ （3）∵0(2)B ，、M ⎛ ⎝⎭，∴在Rt △BGM中，tan 3MG MBG BG ∠==， ∴30MBG ∠=︒．∴150MBF ∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO MB =，∴150MBO MOB ∠=∠=︒．∵120AOB ∠=︒，∴150AOM ∠=︒∴AOM MBF ∠=∠．∴当△MBF 与AOM 相似时，有：=OM BM OA BF 或=OM BF OA BM即332BF =或32=， ∴2BF =或23BF =． ∴0(4)F ，或803⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设向上平移后的抛物线2C为：2y x x k =++， 当0(4)F ，时，3k =， ∴抛物线2C为：2y =+当803F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，k =，∴抛物线2C 为：23327y x x =-++综上：抛物线2C 为：2y x =++或2y x x =++ 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．7.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，C 两点，已知点D 的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）点M ，N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标，并写出△DMN 周长的最小值；（3）点P 是抛物线上一动点，在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使∠PBA ＝∠ODN ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+4x +5；（2）点M 、N 的坐标分别为（85，175）、（34，0），△DMN 周长的最小；（3）点P （﹣23，73）． 【解析】（1）求出点B 、C 的坐标、将点B 、C 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）过点D 分别作x 轴和直线BC 的对称点D ′（0，-3）、D ″，连接D ′D ″交x 轴、直线BC 于点N 、M ，此时△DMN 的周长最小，即可求解；（3）tan∠ODN=13ONOD==tan∠PBA，确定直线BP的表达式，即可求解．【详解】（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，故点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或5，故点A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°；（2）过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，则CD″∥x轴，则点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，将点D′、D″的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线D′D″的坐标代入一次函数表达式为：y＝4x﹣3，则点M、N的坐标分别为（85，175）、（34，0），△DMN周长的最小值＝DM+DN+MN；（3）如图2，tan∠ODN＝13ONOD=＝tan∠PBA，则直线BP 的表达式为：y ＝﹣13x +s ，将点B 的坐标代入上式并解得： 直线BP 的表达式为：y ＝﹣13x +53…②， 联立①②并解得：x ＝5或﹣23（舍去5） 故：点P （﹣23，73）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性等知识点，其中（2），通过点的对称性确定点M 、N 的位置，是此类题目的基本方法．8.(2019年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷)如图，直线y ＝-12x -3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B (2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，D C ．设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m +3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D (﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F .设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D (﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠AB C ． ②作点D (﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D ′(﹣4，3)，直线AD ′的解析式为y ＝32x +9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A (﹣6，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F .∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF •AE +12•DF •OE ＝12DF •OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m )×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m +3)2+274， ∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D (﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D (﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠AB C ．②作点D (﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D ′(﹣4，3)，直线AD ′的解析式为y ＝32x +9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD ′与抛物线交于D (8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．. 9.（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点0()3,A ﹣、()9,0B 和()0,4C ，CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直于x 轴，垂足为E ，直线l 是该抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．(1)求出该二次函数的表达式及点D 的坐标；(2)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移，使其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到11Rt AO F △，求此时11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分图形的面积；(3)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度(06t <≤)得到222Rt A O C △，222Rt A O C △与Rt OED △重叠部分图形的面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为2484279y x x =-++，点D 的坐标为()6,4；(2) 163；(3)221(03)3146(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩. 【解析】【分析】（1）将点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）代入y =ax 2+bx +c 即可求出该二次函数表达式，因为CD 垂直于y 轴，所以令y =4，求出x 的值，即可写出点D 坐标；（2）设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，求出顶点坐标，证△FGH ∽△F A 1O 1，求出GH 的长，因为Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，所以S 重叠部分=11A O F S ∆-S △FGH ，即可求出结果； （3）当0＜t ≤3时，设O 2C 2交OD 于点M ，证△OO 2M ∽△OED ，求出O 2M =23t ，可直接求出S =2OO M S ∆=12OO 2×O 2M =13t 2；当3＜t ≤6时，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，分别求出直线OD 与直线A 2C 2的解析式，再求出其交点M 的坐标，证△DC 2N ∽△DCO ，求出C 2N =23（6-t ），由S =S 四边形A 2Q 2NM =2222A O C C MN S S ∆∆-，可求出S 与t 的函数表达式．【详解】(1)∵抛抛线2y ax bx c =++经过点()30A -,、()9,0B 和()0,4C ，∴抛物线的解析式为()()39y a x x =+-，∵点()0,4C 在抛物线上，∴427a =-， ∴427a =-， ∴抛物线的解析式为：2448(3)(9)427279y x x x x =-+-=-++， ∵CD 垂直于y 轴，()0,4C， 令24844279x x -++=， 解得，0x =或6x =，∴点D 的坐标为()6,4；(2)如图1所示，设1A F 交CD 于点G ，1O F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线2484279y x x =-++的顶点， ∴163,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴164433FH =-=， ∵11GH AO ，∴11FGH FAO △△∽， ∴111GH FH A O FO =， ∴4334GH =， 解得，1GH = ，∵11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形11A O HG ， ∴11A O F FGH S S S =-△△重叠部分 1111122AO O F GH FH =⋅-⋅ 114341223=⨯⨯-⨯⨯ 163=；(3)①当03t <≤时，如图2所示，设22O C 交OD 于点M ， ∵22C O DE ，∴2OO M OED △△∽， ∴22O DE EOO M O =， ∴246O M t =， ∴223O M t =， ∴22221121S 2233OO M S OO O M t t t ==⨯=⨯=△；②当36t <≤时，如图3所示，设22A C 交OD 于点M ，22O C 交OD 于点N ，将点()6,4D 代入y kx =， 得，23k =， ∴23OD y x =， 将点()3,0t -，(),4t 代入y kx b =+，得，(3)04k t b kt b -+=⎧⎨+=⎩， 解得，43k =，443b t =-+， ∴直线22A C 的解析式为：44433y x t =-+， 联立23OD y x =与44433y x t =-+， 得，2444333x x t =-+， 解得，62x t =-+，∴两直线交点M 坐标为462,43t t ⎛⎫-+-+⎪⎝⎭， 故点M 到2O C 2的距离为6t -，∵2C N OC ，∴2DC N DCO △△∽， ∴22DC C N CD OC=， ∴2664C N t -=， ∴22(6)3C N t =-， ∴222222A O C C MN A O NM S S S S ==-△△四边形211(6)22OA OC C N t =⋅-- 11234(6)(6)223t t =⨯⨯-⨯-- 21463t t =-+-； ∴S 与t 的函数关系式为：221(03)3146(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.2.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值3.已知关于x的一元二次函数(1)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；(2)设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.【答案】（1）；（2）【解析】(1)考查古典概型，满足条件的是5个，总的基本事件个数是15个，求两者的比即可；（2）考查几何概型，求出满足条件的区域面积比上总的区域面积即可.试题解析：(1)∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为. 6分(2)由（1）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分.由∴所求事件的概率为. 12分【考点】(1)古典概型；（2）几何概型.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A．a>0,4a+b=0B．a<0,4a+b=0C．a>0,2a+b=0D．a<0,2a+b=0【答案】A【解析】由f(0)=f(4)>f(1),可得函数图象开口向上,即a>0,且对称轴-=2,所以4a+b=0,故选A.5.对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是() A．(1,3)B．(-∞,1)∪(3,+∞)C．(1,2)D．(3,+∞)【答案】B【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由题意知即解得x>3或x<1,故选B.6.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.7.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.8.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值9.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【答案】D【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.10.已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是___.【答案】【解析】命题“”为真，即方程有两个不相等的实数根，且至少有一个正根.因为函数为二次函数，开口向上，且.所以.即m的取值范围是.【考点】一元二次方程根的分布、命题11.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.12.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题13.已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题考查一次函数与二次函数图像的关系以及作差法比较大小证明不等式问题，考查学生分析问题解决问题的能力.第一问，先求与轴的交点，由已知得此交点同时也在图像上，所以代入到解析式中，解出的值；第二问，作差法比较与的大小，再用作差法比较与的大小.试题解析：(1)设函数图象与轴的交点坐标为，又∵点也在函数的图象上，∴.而，∴.(4分)(2)由题意可知．∵，∴，∴当时，，即．(8分)又，，且，∴，∴，综上可知，.(13分)【考点】1.作差法比较大小；2.一次函数、二次函数.14.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.15.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.16.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.17.已知二次函数.（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程有两个不相等的实数根且必有一个根属于；（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先构造新函数，利用证明方程有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.试题解析：（1）构造函数，由于函数为二次函数，所以，对于二次函数而言，，若，则有且有，从而有，这与矛盾，故，故方程有两个不相等，由于，，所以，由零点存在定理知，方程必有一个根属于；（2）由题意知，化简得，即，则有，，由于，则，故，即.【考点】1.二次方程根的个数的判断；2.零点存在定理；3.二次函数图象的对称轴18.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中 ( ) A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【答案】B【解析】若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.【考点】本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力19.已知函数，若,且，则的最小值是 .【答案】【解析】画出函数图象，从图象上可知，所以由可得，所以，设，，当时，，当时，，所以函数在上的最小值为.【考点】二次函数、导数的应用.20.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．21.函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的增区间为 ,由已知可得⋯①,⋯②由①②得: .【考点】二次函数的单调区间,不等式运算.22.对一元二次方程的两个根的情况，判断正确的是A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于2【答案】A【解析】，所以该方程的两个根一个小于1，一个大于3.【考点】本小题主要考查一元二次方程的根的判断.点评：解决本小题的关键是根据已知条件得出，通过解一元二次不等式即可得根的情况，要注意数形结合的应用.23.（本题满分12分）设函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－ax＋3， 2分其判别式Δ＝a2－36.当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立， 4分此时f(x)在R上为增函数． 6分(2)a＝2时，f′(x)＝3x2－2x＋3＞0恒成立，因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 8分从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)＝f(2)＝15， 10分max要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，解得m∈[15，＋∞)．故m的取值范围是[15，＋∞)． 12分【考点】利用导数研究函数的单调性。
初中数学第二十二章二次函数总复习练习题(单元测试卷)附带答案及详细解析
初中数学第二十二章二次函数数学考试姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共18题；共36分）1.（2020九上·杭州月考）若点A(3,y1)，B(0,y2)，C(−2,y3)在抛物线y=x2−4x+k 上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y2>y3>y1B. y2>y1>y3C. y3>y2D. y1>y2>y32.（2020九上·达拉特旗月考）抛物线y＝5（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. （2，-3）B. （2，3）C. （-2，3）D. （-2，-3）3.二次函数y=ax2+bx+a（a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 4a2−b2化简结果为（）4aA. aB. 1C. ﹣aD. 04.若二次函数y=ax2的图象经过点P（2，8），则该图象必经过点A. （2，-8）B. （-2，8）C. （8，-2）D. （-8，2）5.（2017九上·云梦期中）若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣4和2，那么二次函数y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（）A. x=﹣2B. x=﹣1C. x=0D. x=16.抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是( )A. （1，0）B. （－1，0）C. （－2，1）D. （2，－1）7.（2020九上·商丘月考）关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A. 图象的开口向上B. 当x＞1时，y随x的增大而减小C. 图象的顶点坐标是（﹣1，2）D. 图象与y轴的交点坐标为（0，2）8.（2019九下·武冈期中）在下列函数中，其图象与x轴没有交点的是（）A. y=2xB. y=﹣3x+1C. y=x2D. y= 1x9.（2018九上·金山期末）将抛物线y=−(x+1)2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（）A. 向下平移3个单位；B. 向上平移3个单位；C. 向左平移4个单位；D. 向右平移4个单位．10.将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（)A. y=（x+1）2+4B. y=（x-1）2+4C. y=（x+1）2+2D. y=（x-1）2+211.将抛物线y=3x2先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为（）A. y=3(x+2)2+3B. y=3(x−2)2+3C. y=3(x+2)2−3D. y=3(x−2)2−312.对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 613.（2017九上·仲恺期中）关于二次函数y=3（x﹣2）2+6，下列说法正确的是（）A. 开口方向向下B. 顶点坐标为（﹣2，6）C. 对称轴为y轴D. 图象是一条抛物线(a≠0,c>0)的图象是14.（2019九上·萧山月考）下列各图中有可能是函数y=ax2+c, y=ax（）A. B. C. D.15.（2019九上·遵义月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②b2-4ac＜0 ；③2a+b＞0 ；④a+b+c＞0，其中正确的个数（）A. 1B. 2C. 3D. 416.抛物线y=(x+3)2−2可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位17.（2017九上·常山月考）已知二次函数y=2(x−3)2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=3；③其图象顶点坐标为（3，1）；④当x＜3时，y随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18.（2018·吉林模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（）A. ac+1=bB. ab+1=cC. bc+1=aD. 以上都不是二、填空题（共18题；共20分）19.（2018·长宁模拟）已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n 的大小关系是m________n．（填“＞”、“＜”或“=”）20.（2020九上·吴兴月考）当x＝0时，函数y＝2x2+1的值为________．21.（2020九上·亳州月考）关于x的函数y=(m−2)x|m|−4是二次函数，则m=________．22.（2020·淮安模拟）把抛物线y=x2向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为________．23.（2019九上·闵行期末）抛物线y=x2+3x+2与y轴的公共点的坐标是________．24.（2017九上·孝南期中）抛物线y=x2-3x-4与y轴的交点坐标为________.25.（2018九上·江海期末）把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为________26.（2019九上·万州期末）抛物线y＝﹣x2+2x﹣3顶点坐标是________；对称轴是________.27.（2019九上·河西期中）请写出一个对称轴为x＝1的抛物线的解析式________.28.如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n=________．29.（2020九上·德清期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，则a的取值范围是________.30.（2019九上·衢州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3) 在x轴上方部分记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x 轴交于另一点A2．继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x 轴交于另一点A3；将C3绕点A 2旋转180°得C4，与x 轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，A n，…，及抛物线C1，C2，…，C n，…．则点A4的坐标为________；C n的顶点坐标为________(n为正整数，用含n的代数式表示) ．31.（2020·上城模拟）当-1≤a≤ 14时，则抛物线y=-x²+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值________。
湖南中考数学考点知识点(四)
湖南中考数学考点知识点（四）1．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．2．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．3．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．4．分段函数（1）一次函数与常函数组合的分段函数．分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）（2）由文字图象信息确定分段函数．根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大．3．各个分段中，准确确定函数关系．4．确定函数图象的最低点和最高点．5．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y ＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．6．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．7．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．8．两条直线相交或平行问题直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．9．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．10．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．11．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．12．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．14．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．15．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．16．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．17．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．18．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．19．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）20．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．21．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）。
中考数学分类一次函数与二次函数试卷(含答案)
中考数学试题分类—次函数与二次函数一．一次函数的图象（共2小题）1．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．二．一次函数的性质（共1小题）3．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．5．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y=√2x+2C．y＝4x+2D．y=2√33x+26．（2019•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A．﹣1B．0C．3D．4四．一次函数的应用（共10小题）7．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是．8．（2020•宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？9．（2020•衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？①游轮与货轮何时相距12km？10．（2020•绍兴）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12471112y（斤）0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？11．（2020•金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．12．（2020•温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．①已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．13．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．14．（2019•台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h=−310x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．15．（2019•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）16．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B ﹣C ﹣D 分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）五．一次函数综合题（共2小题）17．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y =−12x +4分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连结OE ．动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某一点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B 的坐标和OE 的长．（2）设点Q 2为（m ，n ），当n n =17tan ∠EOF 时，求点Q 2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合．①延长AD 交直线BC 于点Q 3，当点Q 在线段Q 2Q 3上时，设Q 3Q ＝s ，AP ＝t ，求s 关于t 的函数表达式．①当PQ 与△OEF 的一边平行时，求所有满足条件的AP 的长．18．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =n +n 3，y =n +n 3那么称点T 是点A ，B 的融合点． 例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =−1+43=1，y =8+(−2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．①若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．六．反比例函数的性质（共1小题）19．（2020•杭州）设函数y 1=n n ，y 2=−n n （k ＞0）． （1）当2≤x ≤3时，函数y 1的最大值是a ，函数y 2的最小值是a ﹣4，求a 和k 的值．（2）设m ≠0，且m ≠﹣1，当x ＝m 时，y 1＝p ；当x ＝m +1时，y 1＝q ．圆圆说：“p 一定大于q ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．（2020•温州）点P ，Q ，R 在反比例函数y =n n （常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝27，则S 2的值为 ．21．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OAB 的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y =n n （x ＞0）的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连结CD ．若△ACD 的面积是2，则k 的值是 ．22．（2019•衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，①ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =n n （k ≠0）图象经过点C ，且S △BEF ＝1，则k 的值为 ．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．（2020•金华）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y=n n（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a24．（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=n n（x ＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝．25．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD的两边分别与坐标轴平行，顶点A，C都在双曲线y=n n（常数k＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是．九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=n n的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=n n（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=nn（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为 ，n n 的值为 ． 28．（2019•宁波）如图，过原点的直线与反比例函数y =n n （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限．点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE ．若AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，则k 的值为 ．29．（2019•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y =12x ﹣1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1=n n （k ＞0，x ＞0），y 2=2n n （x ＜0）的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连结OC ，OD ．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是 ．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．（2019•温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）近视眼镜的度数y （度）200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A ．y =100n B ．y =n 100 C ．y =400n D ．y =n 40031．（2020•台州）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2﹣y3）的大小：y1﹣y2y2﹣y3．32．（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．①方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．参考答案与试题解析一．一次函数的图象（共2小题）1．【解答】解：由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．故选：B．2．【解答】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误； D 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＜0，∴直线y 2＝bx +a 经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．二．一次函数的性质（共1小题）3．【解答】解：设该函数的解析式为y ＝kx +b ，∵函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1， ∴{n +n =0n =1 解得：{n =−1n =1， 所以函数的解析式为y ＝﹣x +1，故答案为：y ＝﹣x +1（答案不唯一）．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．【解答】解：∵函数y ＝ax +a （a ≠0）的图象过点P （1，2），∴2＝a +a ，解得a ＝1，∴y ＝x +1，∴直线交y 轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A ．5．【解答】解：∵直线y ＝2x +2和直线y =23x +2分别交x 轴于点A 和点B ． ∴A （﹣1，0），B （﹣3，0）A 、y ＝x +2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y ＝x +2与x 轴的交点在线段AB 上；B 、y =√2x +2与x 轴的交点为（−√2，0）；故直线y =√2x +2与x 轴的交点在线段AB 上；C 、y ＝4x +2与x 轴的交点为（−12，0）；故直线y ＝4x +2与x 轴的交点不在线段AB 上；D 、y =2√33x +2与x 轴的交点为（−√3，0）；故直线y =2√33x +2与x 轴的交点在线段AB 上； 故选：C ．6．【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx +b ， ∴{4=n +n 7=2n +n ∴{n =3n =1， ∴y ＝3x +1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；故选：C ．四．一次函数的应用（共10小题）7．【解答】解：令150t ＝240（t ﹣12），解得，t ＝32，则150t ＝150×32＝4800，∴点P 的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）．8．【解答】解：（1）设函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx +b ，得{0=1.6n +n 80=2.6n +n ， 解得：{n =80n =−128， ∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128；由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），∴x 的取值范围是1.6≤x ≤3.1．∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x ≤3.1）；（2）当y ＝200﹣80＝120时，120＝80x ﹣128，解得x ＝3.1，由图可知，甲的速度为801.6=50（千米/小时），货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v ≥120，解得v ≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．9．【解答】解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h ）．（2）①280÷20＝14h ，∴点A （14，280），点B （16，280），∵36÷60＝0.6（h ），23﹣0.6＝22.4，∴点E （22.4，420），设BC 的解析式为s ＝20t +b ，把B （16，280）代入s ＝20t +b ，可得b ＝﹣40，∴s ＝20t ﹣40（16≤t ≤23），同理由D （14，0），E （22.4，420）可得DE 的解析式为s ＝50t ﹣700（14≤t ≤22.4），由题意：20t ﹣40＝50t ﹣700，解得t ＝22，∵22﹣14＝8（h ），∴货轮出发后8小时追上游轮．①相遇之前相距12km 时，20t ﹣40﹣（50t ﹣700）＝12，解得t ＝21.6．相遇之后相距12km 时，50t ﹣700﹣（20t ﹣40）＝12，解得t ＝22.4，当游轮在刚离开杭州12km 时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km ，所以此时两船应该也是想距12km ，即在0.6h 的时候，两船也相距12km∴0.6h 或21.6h 或22.4h 时游轮与货轮相距12km ．10．【解答】解：（1）观察图象可知：x ＝7，y ＝2.75这组数据错误．（2）设y ＝kx +b ，把x ＝1，y ＝0.75，x ＝2，y ＝1代入可得{n +n =0.752n +n =1， 解得{n =14n =12， ∴y =14x +12， 当x ＝16时，y ＝4.5，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．11．【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），∴13.2﹣1.2＝12（℃），∴高度为5百米时的气温大约是12℃；（2）设T 关于h 的函数表达式为T ＝kh +b ，则：{3n +n =13.25n +n =12， 解得{n =−0.6n =15， ∴T 关于h 的函数表达式为T ＝﹣0.6h +15（h ＞0）；（3）当T ＝6时，6＝﹣0.6h +15，解得h ＝15．∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．12．【解答】解：（1）设3月份购进x 件T 恤衫，18000n +10=390002n ，解得，x ＝150，经检验，x ＝150是原分式方程的解，则2x ＝300，答：4月份进了这批T 恤衫300件；（2）①每件T 恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），（180﹣130）a +（180×0.8﹣130）（150﹣a ）＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）化简，得b =150−n 2； ①设乙店的利润为w 元，w ＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）＝54a +36b ﹣600＝54a +36×150−n 2−600＝36a +2100， ∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ∴a ≤b ， 即a ≤150−n 2，解得，a ≤50，∴当a ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝3900，答：乙店利润的最大值是3900元．13．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米． 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6千米；（2）设y ＝kx +b （k ≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得{150n +n =35200n +n =10， ∴{n =−0.5n =110， ∴y ＝﹣0.5x +110，当x ＝180时，y ＝﹣0.5×180+110＝20，答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝﹣0.5x +110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．14．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数解析式是y ＝kx +b ，{n =615n +n =3，解得，{n =−15n =6， 即y 关于x 的函数解析式是y =−15x +6；（2）当h ＝0时，0=−310x +6，得x ＝20， 当y ＝0时，0=−15x +6，得x ＝30，∵20＜30，∴甲先到达地面．15．【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx +b （k ≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y ＝kx +b ，得{0=20n +n 2700=38n +n ，解得{n =150n =−3000， ∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达为y ＝150x ﹣3000（20≤x ≤38）；（2）把y ＝1500代入y ＝150x ﹣3000，解得x ＝30，30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；（3）设小聪坐上了第n 班车，则30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．16．【解答】解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA 的解析式为y ＝kx ，30k ＝2400，得k ＝80，∴直线OA 的解析式为y ＝80x ，当x ＝18时，y ＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x ＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如右图所示．五．一次函数综合题（共2小题）17．【解答】解：（1）令y ＝0，则−12x +4＝0，∴x ＝8，∴B （8，0），∵C （0，4），∴OC ＝4，OB ＝8，在Rt △BOC 中，BC =√82+42=4√5，又∵E 为BC 中点，∴OE =12BC ＝2√5； （2）如图1，作EM ⊥OC 于M ，则EM ∥CD ，∵E 是BC 的中点∴M 是OC 的中点∴EM =12OB ＝4，OE =12BC ＝2√5∵∠CDN ＝∠NEM ，∠CND ＝∠MNE∴△CDN ∽△MEN ，∴nn nn =nn nn =1，∴CN ＝MN ＝1，∴EN =√12+42=√17，∵S △ONE =12EN •OF =12ON •EM ，∴OF =3×4√17=1217√17，由勾股定理得：EF =√nn 2−nn 2=(2√5)2−(121717)2=1417√17，∴tan ∠EOF =nn nn =14√171712√1717=76， ∴nn =17×76=16， ∵n =−12m +4， ∴m ＝6，n ＝1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点P 、Q 同时作匀速直线运动，∴s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ，∵当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，∴t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2， ∴s ＝Q 3C =√22+42=2√5，∵Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），∴t ＝4时，s =√(6+4)2+(6−1)2=5√5，将{n =2n =2√5和{n =4n =5√5代入得{2n +n =2√54n +n =5√5，解得：{n =32√5n =−√5， ∴s =3√52n −√5，∵s ≥0，t ≥0，且32√5＞0， ∴s 随t 的增大而增大， 当s ≥0时，3√52n −√5≥0，即t ≥23，当t =23时，Q 3与Q 重合，∵点Q 在线段Q 2Q 3上，综上，s 关于t 的函数表达式为：s =3√52n −√5（23≤t ≤4）； ①（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，∠QPB ＝∠EOB ＝∠OBE ，作QH ⊥x 轴于点H ，则PH ＝BH =12PB ， Rt △ABQ 3中，AQ 3＝6，AB ＝4+8＝12，∴BQ 3=√62+122=6√5， ∵BQ ＝6√5−s ＝6√5−3√52t +√5=7√5−3√52t ，∵cos ∠QBH =nn nn 3=nn nn =1265=25√5，∴BH ＝14﹣3t ，∴PB ＝28﹣6t ， ∴t +28﹣6t ＝12，t =165；（ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，过点Q 作QG ⊥AQ 3于点G ，过点P 作PH ⊥GQ 于点H ，由△Q 3QG ∽△CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q ＝1：2：√5，∵Q 3Q ＝s =3√52t −√5，∴Q 3G =32t ﹣1，GQ ＝3t ﹣2， ∴PH ＝AG ＝AQ 3﹣Q 3G ＝6﹣（32t ﹣1）＝7−32t ，∴QH ＝QG ﹣AP ＝3t ﹣2﹣t ＝2t ﹣2，∵∠HPQ ＝∠CDN ，∴tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN =14，∴2t ﹣2=14(7−32n )，t =3019， （iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行，综上，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019． 18．【解答】解：（1）x =13（﹣1+7）＝2，y =13（5+7）＝4， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x =13（t +3），y =13（2t +3），则t ＝3x ﹣3，则y =13（6x ﹣6+3）＝2x ﹣1；①当∠DHT ＝90°时，如图1所示，点E （t ，2t +3），则T （t ，2t ﹣1），则点D （3，0），由点T 是点D ，E 的融合点得：t =n +33，2t ﹣1=2n +33， 解得：t =32，即点E （32，6）；当∠TDH ＝90°时，如图2所示，则点T （3，5），由点T 是点D ，E 的融合点得：点E （6，15）；当∠HTD ＝90°时，如图3所示，过点T 作x 轴的平行线交过点D 与y 轴平行的直线于点M ，交过点E 与y 轴的平行线于点N ，则∠MDT ＝∠NTE ，则tan ∠MDT ＝tan ∠NTE ，D （3，0），点E （t ，2t +3），则点T （n +33，2n +33）则MT ＝3−n +33=6−n 3，MD =2n +33，NE =2n +33−2t ﹣3=−2(2n +3)3，NT =n +33−t =3−2n 3， 由tan ∠MDT ＝tan ∠NTE得：6−n 32n +33=2(2n +3)33−2n 3， 解得：方程无解，故∠HTD 不可能为90°． 故点E （32，6）或（6，15）． 六．反比例函数的性质（共1小题）19．【解答】解：（1）∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1最大值为n 2=n ，①；当x ＝2时，y 2最小值为−n 2=a ﹣4，①； 由①，①得：a ＝2，k ＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m ＝m 0，且﹣1＜m 0＜0，则m 0＜0，m 0+1＞0，∴当x ＝m 0时，p ＝y 1=n n 0＜0， 当x ＝m 0+1时，q ＝y 1=n n 0+1＞0， ∴p ＜0＜q ，∴圆圆的说法不正确．七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．【解答】解：∵CD ＝DE ＝OE ，∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （n 3n ，3a ），Q （n 2n ，2a ），R （n n ，a ）， ∴CP =n 3n ，DQ =n 2n ，ER =n n ，∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ， ∴S 1=23S 3＝2S 2， ∵S 1+S 3＝27，∴S 3=815，S 1=545，S 2=275， 故答案为275．21．【解答】解：连接OD ，过C 作CE ∥AB ，交x 轴于E ， ∵∠ABO ＝90°，反比例函数y =n n （x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，∴S △COE ＝S △BOD =12n ，S △ACD ＝S △OCD ＝2，∵CE ∥AB ，∴△OCE ∽△OAB ，∴n △nnnn △nnn=14， ∴4S △OCE ＝S △OAB ，∴4×12k ＝2+2+12k ，∴k =83， 故答案为：83．22．【解答】解：连接OC ，BD ，∵将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，∴OA ＝OE ，∵点B 恰好为OE 的中点，∴OE ＝2OB ，∴OA ＝2OB ，设OB ＝BE ＝x ，则OA ＝2x ，∴AB ＝3x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3x ，∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴nn nn =nn nn =n 3n =13， ∵S △BEF ＝1，∴S △BDF ＝3，S △CDF ＝9，∴S △BCD ＝12，∴S △CDO ＝S △BDC ＝12，∴k 的值＝2S △CDO ＝24．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．【解答】解：∵k ＞0，∴函数y =n n （k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， ∵﹣2＜0＜2＜3，∴b ＞c ＞0，a ＜0，∴a ＜c ＜b ．故选：C ．24．【解答】解：过点M 作MN ⊥AD ，垂足为N ，则MN ＝CD ＝3， 在Rt △FMN 中，∠MFN ＝30°，∴FN =√3MN ＝3√3，∴AN ＝MB ＝8√3−3√3=5√3，设OA ＝x ，则OB ＝x +3，∴F （x ，8√3），M （x +3，5√3），又∵点F 、M 都在反比例函数的图象上，∴8√3x ＝（x +3）×5√3，解得，x ＝5，∴F （5，8√3），∴k ＝5×8√3=40√3．故答案为：40√3．25．【解答】解：∵D （5，3），∴A （n 3，3），C （5，n 5），∴B （n 3，n 5），设直线BD 的解析式为y ＝mx +n ，把D （5，3），B （n 3，n 5）代入得{5n +n =3n 3n +n =n 5，解得{n =35n =0， ∴直线BD 的解析式为y =35x ． 故答案为y =35x ．九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．【解答】解：（1）过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，OC =12OB ，∵B （4，0），∴OB ＝OA ＝4，∴OC ＝2，AC ＝2√3． 把点A （2，2√3）代入y =n n ，得k ＝4√3．∴反比例函数的解析式为y =4√3n ；（2）分两种情况讨论：①点D 是A ′B ′的中点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ． 由题意得A ′B ′＝4，∠A ′B ′E ＝60°，在Rt △DEB ′中，B ′D ＝2，DE =√3，B ′E ＝1．∴O ′E ＝3，把y =√3代入y =4√3n ，得x ＝4，∴OE ＝4，∴a ＝OO ′＝1；①如图3，点F 是A ′O ′的中点，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ． 由题意得A ′O ′＝4，∠A ′O ′B ′＝60°，在Rt △FO ′H 中，FH =√3，O ′H ＝1．把y =√3代入y =4√3n ，得x ＝4，∴OH ＝4，∴a ＝OO ′＝3，综上所述，a 的值为1或3．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．【解答】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y =n n 的图象上，∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a −12b ＝12，∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴nn nn =nn nn ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝3：1，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝m ，则AT ＝3m ，AK ＝TK ＝1.5m ，BK ＝0.5m ，∴AK ：BK ＝3：1，∴n △nnn n △nnn =12n −12n =3， ∴n n =−3，即n n =−13， 故答案为24，−13． 28．【解答】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ， ∵过原点的直线与反比例函数y =n n （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE ＝∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE ＝S △AOC ，∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE ＝S △AOC ＝12，设点A （m ，n n ），∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ，∴3DH ＝AF ，∴D （3m ，n 3n ），∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC ＝S △AOF +S梯形AFHD +S △HDC =12k +12×（DH +AF ）×FH +S △HDC =12k +12×4n 3n ×2m +12×14×2n 3n ×2n =12k +4n 3+n 6=12，∴2k ＝12，∴k ＝6；故答案为6；（另解）连结OE ，由题意可知OE ∥AC ，∴S △OAD ＝S △EAD ＝8，易知△OAD 的面积＝梯形AFHD 的面积，设A 的纵坐标为3a ，则D 的纵坐标为a ，∴（3a +a ）（n n −n 3n ）＝16，解得k ＝6．29．【解答】解：令x ＝0，得y =12x ﹣1＝﹣1， ∴B （0，﹣1），∴OB ＝1，把y =12x ﹣1代入y 2=2n n （x ＜0）中得，12x ﹣1=2n n （x ＜0）， 解得，x ＝1−√4n +1，∴n n =1−√4n +1， ∴n △nnn =12nn ⋅|n n |=12√4n +1−12， ∵CE ⊥x 轴， ∴n △nnn =12n ，∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，∴12√4n +1−12=12n ，∴k ＝2，或k ＝0（舍去）．经检验，k ＝2是原方程的解．故答案为：2．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．【解答】解：由表格中数据可得：xy ＝100，故y 关于x 的函数表达式为：y =100n ． 故选：A ．31．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：y =n n （k ≠0，x ＞0）， 把（3，400）代入y =n n 得，400=n 3， 解得：k ＝1200， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =1200n （x ＞0）； （2）把x ＝6，8，10分别代入y =1200n 得，y 1=12006=200，y 2=12008=150，y 3=120010=120， ∵y 1﹣y 2＝200﹣150＝50，y 2﹣y 3＝150﹣120＝30，∵50＞30，∴y 1﹣y 2＞y 2﹣y 3，故答案为：＞．32．【解答】解：（1）∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v 关于t 的函数表达式为：v =480n ，（t ≥4）． （2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时 将t ＝6代入v =480n 得v ＝80；将t =245代入v =480n 得v ＝100． ∴小汽车行驶速度v 的范围为：80≤v ≤100．①方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t =72代入v =480n 得v =9607＞120千米/小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．。
一次函数的性质与应用问题(真题5道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题11一次函数的性质与应用问题（北京真题5道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率一次函数的性质与应用问题（大题）2016.2019.2020.2021.2022 5年4考1.一次函数综合题（1）一次函数与方程、不等式之间的关系：利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与x轴和y 轴交点、不等式的解集、一次函数的平移、参数的确定等、（2）一次函数与几何图形的面积问题:首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（3）一次函数的优化问题:通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（4）用函数图象解决实际问题:从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．2.一次函数的应用（1）分段函数问题：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题：解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）常见题型：行程问题、表格问题、图象问题、最大利润问题、方案问题常用的解题思路：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．x 【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m 的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2016·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4)．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．2．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；①若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．3.（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=ax+b(a≠0)经过点A（1，2），与x轴交于点B（3，0）．(1)求该直线的解析式；(2)过动点P(0，n)且垂直于y轴的直线与直线l交于点C，若PC≥AB，直接写出n的取值范围．2．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：3．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．4．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．5．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移4个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A，函数y=mx(m<0)的图象与一次函数y=kx+b的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围．6．（2022·北京密云·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−3)和点B(5,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m 的取值范围．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与的图象在第四象限的交点为(n,−1)．反比例函数y=mx(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．x平移8．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12得到，且过点(0,−1)．(1)求这个一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx+1的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，求m的取值范围．9．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．10．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=x平行，且过点(2,1)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直线y=kx+b(k≠0)分别交x，y轴于点A，点B，若点C为x轴上一点，且S△ABC=2，直接写出点C的坐标．x，11．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=12且经过点A(2,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于一次函数y=mx−1(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．x+b与直线l2:y=2x交于点A(m,n)．12．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=12(1)当m=2时，求n，b的值；(2)过动点P(t,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．13．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．14．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．15．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为16．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.17．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数x的图象向上平移3个单位长度得到．y=12(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．18．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．19．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点．(1)当点P1的坐标为(−1.5,0)时，①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；①如果点M(x，y)是点P1的k倍关联点，且满足x=−1.5，−3≤y≤5．那么k的最大值为________；(2)如果点P2的坐标为(1,0)，且在函数y=−x+b的图象上存在P2的2倍关联点，求b的取值范围．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y≡kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，√5，求k的取值范围；①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于45①如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．（2022·北京房山·一模）如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．(1)当m=9时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；2(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．22．（2022·北京房山·一模）如图1，①I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交①I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为①I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为①I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的①O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则①O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），①O关于直线m的“特征数”为_____________；①若直线n的函数表达式为y=√3x+4，求①O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√3为半径作①F．若①F与直线l相离，点N（–1，0）是①F关于直线l的“远点”，且①F关于直线l的“特征数”是6√6，直接写出直线l的函数解析式．23．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1−y2|．,0)，B为y轴上的一个动点，(1)已知点A(−12①若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标：；①求点A与点B的“非常距离”的最小值；x+2上的一个动点，(2)已知C是直线y=12①若点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；①若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．24．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 25．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值26．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=kx+b与坐标轴分别交于A(2,0)，B(0,4)两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2:y=m(x−4)(m≠0)分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；①若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．27．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．28．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．29．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝ax（a≠0）过点A（﹣2，1），直线l2：y＝mx+n过点B（﹣1，3）．(1)求直线l的解析式；(2)用含m的代数式表示n；(3)当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝ax的值小于函数y＝mx+n的值，求m的取值范围．。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学是一门精确的科学，常常被用来解决各种实际问题。
在解决二次函数、一次函数及方程等综合问题时，我们可以运用数学的思想和方法，来得到准确的答案。
我们来看二次函数的问题。
二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在解决二次函数的问题时，我们可以利用一些基本的性质和定理。
要判断二次函数的开口方向。
如果a>0，则二次函数开口向上；如果a<0，则二次函数开口向下。
根据开口方向，我们可以判断二次函数的最值及其位置。
要求解二次函数的零点。
零点即函数f(x)的解，即f(x)=0。
我们可以利用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a来求解零点。
除了这些基本性质和定理，还有一些与二次函数相关的应用问题。
给定二次函数的图像，我们可以求出其顶点坐标、对称轴等相关信息；或者给定二次函数的零点，我们可以根据这些零点求出二次函数的表达式。
在解决一次函数的问题时，我们可以利用直线的性质和定理。
要求解一次函数的解。
解即函数f(x)的零点，即f(x) = 0。
对于一次函数，解的存在与唯一性是显然的，可以直接求解。
要求出一次函数的斜率。
斜率即直线的倾斜程度，可以用来描述直线的陡峭程度。
一次函数的斜率可以通过函数的表达式直接求出。
我们还可以利用一次函数的直线方程解决一些几何问题。
给定一次函数的两个点的坐标，我们可以通过求解直线的方程，来计算直线与坐标轴、直线之间的夹角等几何量。
我们来看方程的问题。
方程是数学中的基本概念，常常被用来描述物理、化学等实际问题。
在解决方程的问题时，我们可以利用方程的性质和定理。
要求解方程的解。
解即方程的等式成立时的未知量的取值。
对于一次方程，我们可以直接求解；而对于二次方程，我们可以利用一元二次方程的一些基本方法来求解。
要判断方程的解的个数。
对于一次方程，解的个数可以通过方程的系数来判断；而对于二次方程，我们可以通过判别式来判断。
二次函数与几何图形的综合题
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2015年03月03日光辉职业的初中数学组卷一．解答题（共30小题）1．（2015•崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=﹣+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；（3）直线y=﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2015•三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．3．（2015•金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H．当FG=GH时，求点H的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当△AEM 与△BCM相似时，求点M的坐标．4．（2015•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C 在x轴上（不与点A重合）（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，∠APC=90°，求点P的坐标及∠ACP的度数．5．（2015•宝山区一模）（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax2+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax2+bx+c的特征数，记作{a，b，c}；请求出与y轴交于点C（0，﹣3）的抛物线y=x2﹣2x+k在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=a（x+m）2+k的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作{a，m，k}；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{u，v，w}的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数{u，v，w}无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B 两点（A 在B的左边），请直接写出△ABC的重心坐标．6．（2015•松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．7．（2015•山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x2﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【特例探究】（1）填空，当m=0时，OP=_________，PH=_________；当m=4时，OP=_________，PH= _________．【猜想验证】（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x2﹣1变成y=x2﹣4x+3，直线l变成y=m（m＜﹣1）．已知抛物线y=x2﹣4x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m （m＜﹣1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离．①用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；②求m的值及点N的坐标．8．（2015•徐汇区一模）已知：如图，抛物线C1：y=ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、B（A 在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC．（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；（2）把抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴交于点F（0，﹣1），求抛物线C2的函数解析式；（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当△APF与△FMG相似时，求点G的坐标．9．（2014•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B在x轴上，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB=S△ABC时，求点P的坐标；（3）若点N由点B 出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．10．（2014•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（﹣2，﹣4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于点C、x轴于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣，顶点坐标为（﹣，）]．11．（2014•青海）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A （﹣6，0），与x轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．12．（2014•河池）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．（1）抛物线的解析式是_________；（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′E∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′P=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q 的坐标；若不存在．请说明理由．13．（2014•葫芦岛）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G 九个格点．抛物线l的解析式为y=x2+bx+c．（1）若l经过点O（0，0）和B（1，0），则b=_________，c=_________；它还经过的另一格点的坐标为_________．（2）若l经过点H（﹣1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上．（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．14．（2014•日照二模）已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B ；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC 是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．15．（2014•福田区模拟）如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．16．（2014•西城区一模）抛物线y=x2﹣kx﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G 所对应的函数表达式；（3）将线段BC平移得到线段B′C′（B的对应点为B′，C的对应点为C′），使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B′到直线OC′的距离h的取值范围．17．（2014•成都三模）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上有一点M使△MAB的周长最小，求出此时△MAB的周长；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点N（不与点O、A重合），使∠NAO比∠MAO小？若存在请求出点N横坐标x N的取值范围；若不存在，请说明理由．18．（2014•宜春模拟）如图，对称轴为x=﹣3的抛物线y=ax2+2x 与x 轴相交于点B、O．连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l（1）①求抛物线的解析式，并求出顶点A 的坐标；②求直线l的函数解析式．（2）若点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当9＜S≤18时，t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最小值时，抛物线上是否存在点Q ，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．19．（2014•河东区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．20．（2013•铁岭）如图，抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设△AEC的面积为S1，△DEC 的面积为S2，求S1：S2的值．（3）点F坐标为（6，0），连接DF，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F 匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值．21．（2013•海曙区一模）如图，A为第一象限内一点．⊙A切y轴于点D，交x轴于点B，C，点E为BC 的中点．（1）求证：四边形OEAD是矩形；（2）若A（5，4），求过点D，B，C的抛物线解析式；（3）点F与（2）中的点D，B，C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得抛物线经过点F？请直接写出点F的坐标及相应平移方向与平移距离；（4）在（2）的条件下，点P为线段AD上的一动点，在BP右侧作PQ⊥PB，且PQ=PB，求当DQ+BQ 最小时P点坐标．22．已知二次函数C1：y=x2+2ax+2x﹣a+1，且a变化时，二次函数C1的图象顶点M总在抛物线C2上；（1）用含有a的式子表示顶点M的坐标，并求出抛物线C2的函数解析式；（2）若抛物线C2的图象与x轴交于点A、B（A在B点左侧），与y轴交于点C．设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．且满足AC=2EF，是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线C2对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线l交抛物线于M、N两点，当y轴平分MN时，求出直线l的函数解析式．23．如图，抛物线y=x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为2．（1）求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C 、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为M，与x轴交于A、B两点．（1）判断△MAB的形状，并说明理由；（2）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．25．如图，二次函数y=x2+c的图象经过点D（﹣，），与x轴交于A，B两点．（1）求c的值；（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；（3）设点P，Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P，Q，使△AQP ≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图②供选用）．26．如图，已知抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（，﹣）．（1）求抛物线对应的函数关系式及对称轴；（2）点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点，证明直线y=﹣（x+1）必经过点C′；（3）问：以AB为直径的圆能否过点C？并说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴的正半轴相交于点A，过点A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于点N，交⊙P于点D．（1）填空：点A的坐标是_________，⊙P半径的长是_________；（2）若S△BNC：S△AOB=15：2，求N点的坐标；（3）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．28．如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，AB与⊙M相切于A，BC与⊙M相切于点D，圆M与x轴相切于点O，已知B点坐标为（4，12）．（1）求点C的坐标；（2）求经过A、B、C三点的函数的解析式，并写出对称轴；（3）求圆M在抛物线的对称轴上切得的弦EF的长．29．如图，已知二次函数y=（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A、B的坐标；（2）求S△AOB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P ，使以P 、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？30．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC是否为直角三角形，并给出理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标，并求出此时四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．一．解答题（共30小题）1．（2015•崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=﹣+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；（3）直线y=﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）作CD⊥x轴于D，根据题意求得∠OAB=∠CBD，然后求得△AOB∽△BDC，根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD，从而设BD=m，则C（2+m，2m），代入抛物线的解析式即可求得；（3）分两种情况分别讨论即可求得．解答：解：（1）把x=0代入y=﹣x+1得，y=1，∴A（0，1），把y=0代入y=﹣x+1得，x=2，∴B（2，0），把A（0，1），B（2，0）代入y=x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式y=x2﹣x+1，（2）如图，作CD⊥x轴于D，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBD=90°，∴∠OAB=∠CBD，∵∠AOB=∠BDC，∴△AOB∽△BDC，∴==2，∴CD=2BD，设BD=m，∴C（2+m，2m），代入y=x2﹣x+1得，2m=（m+2）2﹣（m+2）+1，解得，m=2或m=0（舍去），∴C（4，4）；（3）∵OA=1，OB=2，∴AB=，∵B（2，0），C（4，4），∴BC=2，①当△AOB∽△PBC时，则=∴=，解得，PB=，作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，∴=，即=，∴PE=1，∴P的纵坐标为±1，代入y=﹣x+1得，x=0或x=4，∴P（0，1）或（4，﹣1）；②当△AOB∽△CBP时，则=，即=，解得，PB=4，作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，∴=，即=，∴PE=4，∴P的纵坐标为±4，代入y=﹣x+1得，x=﹣6或x=10，∴P（﹣6，4）或（10，﹣4）；综上，P的坐标为（0，1）或（4，﹣1）或（﹣6，4）或（10，﹣4）．点评：本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键．2．（2015•三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）分别令解析式y=﹣x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（4）设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF 求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答：解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，，解得：，即该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；（3）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．如图1所示，作CH⊥x对称轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（4）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．∵直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．3．（2015•金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H．当FG=GH 时，求点H的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当△AEM与△BCM 相似时，求点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量的值，可得相应函数值，根据FG=GH，可得关于a的方程，解方程，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得关于b的方程，解方程，可得答案．解答：解：（1）当y=0时，2x+6=0．解得x=﹣3，即A（﹣3，0），由抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），得，解得．故抛物线为y=﹣x2﹣x+2；（2）设H点的坐标为（a，0），F（a，2a+6），G（a，﹣a2﹣a+2）．由FG=GH，得2a+6=2（﹣a2﹣a+2）．化简，得2a2+7a+3=0．解得a=﹣，a=﹣3（不符合题意要舍去），点H的坐标（﹣，0）；（3）设M点坐标为（b，0），AM=b+3，BM=1﹣b，抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，得E（﹣1，4），C（0，2）．由勾股定理，得AE=2，BC=．当△AEM∽△BCM时，=，即=．化简，得3b=﹣1，解得b=﹣，即M（﹣，0）；当△AEM∽△BMC时，=，即=，化简，得b2+2b+7=0．实数b不存在；综上所述：M（﹣，0）．点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了线段中点的性质，（3）利用了相似三角形的性质．4．（2015•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C在x轴上（不与点A重合）（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，∠APC=90°，求点P的坐标及∠ACP的度数．考点：二次函数综合题．分析：（1）分类讨论：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根据相似三角形的性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得∠COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案；当点P的坐标为（﹣，1）时，根据正弦函数据，可得∠AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．解答：解：（1）点C的坐标为（m，0）或（4m，0）．或（﹣4m，0）；（2）当△BOC与△AOB全等时，点C的坐标为（m，0），二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，，解得．二次函数解析式为y=﹣x2+4，点C的坐标为（2，0）；（3）作PH⊥AC于H，设点P的坐标为（a，﹣a2+4），∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°﹣∠CPH，∴△APH∽△PCH，∴=，即PH2=AH•CH，（﹣a2+4）2=（a+2）（2﹣a）．解得a=，或a=﹣，即P（，1）或（﹣，1），如图：当点P1的坐标为（，1）时，OP1=2=OC，sin∠P1OE==∴∠COP=30°，∴∠ACP==75°当点P的坐标为（﹣，1）时，sin∠P2OF==，∠P2OF=30°．由三角形外角的性质，得∠P2OF=2∠ACP，即∠ACP=15°．点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．5．（2015•宝山区一模）（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax2+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax2+bx+c的特征数，记作{a，b，c}；请求出与y轴交于点C（0，﹣3）的抛物线y=x2﹣2x+k在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=a（x+m）2+k的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作{a，m，k}；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{u，v，w}的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数{u，v，w}无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出△ABC的重心坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）把C坐标代入抛物线解析式求出k的值，确定出抛物线解析式，即可得出抛物线在单同学眼中的特征数；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，确定出抛物线在尤同学眼中的特征数即可；（3）把抛物线解析式化为顶点形式，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足，得到b=0，即可得出董和谐的表述；（4）找出AB的中点，求出AB边中线方程，同理求出AC边中线方程，联立求出重心坐标即可．解答：解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：k=﹣3，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，则该抛物线在单同学眼中的特征数为{1，﹣2，﹣3}；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴上述抛物线在尤同学眼中的特征数为{1，﹣1，﹣4}；（3）y=ax2+bx+c=a（x+）2+c﹣，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足，即b=0，∵y=（x﹣1）2﹣4可以看做y=x2﹣4沿平行于x轴方向向右平移1个单位而成，∴董和谐的表述为：特征数{1，0，﹣4}的抛物线沿平行于x轴方向向右平移1个单位的图象；（4）对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3，令y=0，得到x2﹣2x﹣3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=3或x=﹣1，即A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴线段AB中点坐标为（1，0），AB边的中线方程为y=（x﹣1）=3（x﹣1）=3x﹣3；∵AC边中点坐标为（﹣，﹣），AC边的中线方程为y=（x﹣3）=（x﹣3）=x﹣，联立得：，解得：，则△ABC的重心坐标为（，﹣1）．点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，线段中点坐标公式，直线的点斜式方程，以及新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．（2015•松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）由二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得，解得．二次函数的解析式y=x2﹣4x；（2）y=x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4），这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）；（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=x+m，如图：作MG⊥PC于G，设G（a，a+m）．由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG．在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CG=DC=4，MG=DM=2，，化简，得8m=36，解得m=．点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质．7．（2015•山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x2﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【特例探究】（1）填空，当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5．【猜想验证】（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x2﹣1变成y=x2﹣4x+3，直线l变成y=m（m＜﹣1）．已知抛物线y=x2﹣4x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m＜﹣1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离．①用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；②求m的值及点N的坐标．。
培优12.二次函数的应用
培优《二次函数的应用》 一、知识要点1.二次函数的应用主要体现在：（1）与一次函数或反比例函数的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（2）与三角函数、几何知识的综合应用；（4）与其他学科知识的综合应用；（5）生产、生活实际应用题2.解决实际问题的具体步骤：（1）建立数学模型，即把实际问题中的有关变量关系用函数关系式表达；（2）应用函数的性质解决实际问题. 二、典型例题例 1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为()x m ，花园的面积为2()y m ． (1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？例 2. 某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图10(1)(2)两图．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6 月份最低；图10(1)的图象是线段，图10(2)的图象是抛物线段． (1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．例3.已知抛物线线2y ax bx c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程210160x x-+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线2x=-．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC 于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．三、能力测试1.周长为8m最大透光面积是222.38.34.2564.DmCmBmA2.已知某商品涨价x成（1成即10%）后，销量将减少x65成，若要获得最大的营业额，则需涨价A. 1成B. 2成C. 3成D. 4成3.一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）间的关系式为210S t t=+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米4.二次函数2y ax bx c=++图象上部分点的对应值如下表：则使y的取值范围为．5.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。
最新二次函数与几何综合压轴题题型归纳
课题函数的综合压轴题型归类教学目标1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积教学内容一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总4、二次函数与X轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线y二mx2• 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：2已知关于x的方程mx -3（m-1）x • 2m-3 = 0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。
解：当m = 0时，x =1；当m^O 时，A= （m—3f±0，x= _1）一中 '，捲=2—?、x? =1 ；2m m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y =x2-mx • m-2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2，2=m1-x ；2y_x +2=0 的/曰7，解得：丿y = T；1 —x = 0.X =1学生：___________ 科目：数学教师:•••抛物线总经过一个固定的点（1, - 1 ）。
（题目要求等价于：关于m的方程y—x2二ml—x不论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程ax = b有无数解u7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线h、丨2，点A在丨2上，分别在l i、丨2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。
（2）如图，直线、I2相交，两个固定点A、B，分别在h、J上确定两点M、N，使得BM MN AN之和最小。
（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线I上确定两点E、F （E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。
二次函数各知识点、考点、典型例题及练习
二次函数各知识点、考点、典型例题与对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年XX 市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象与其性质，一元二次方程根与系数的关系，与二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
2022年中考数学训练 专题八 二次函数及其应用
专题八二次函数及其应用一、单选题1.（2022·衢州）二次函数y=x²的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位2.（2022·温州）已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则( )A. y3<y2<y1B. y3<y1<y2C. y2<y3<y1D. y1<y3<y23.（2022·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac。
设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，( )A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=04.（2022·杭州）设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，( )A. 若h=4，则a<0B. 若h=5，则a>0C. 若h=6，则a<0 D. 若h=7，则a>05.（2022·宁波）如图，一次函数(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x= 1.则下列选项中正确的是（）A. B. C. D. 当(n为实数)时，6.（2019·温州）已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣27.（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3） D. （-1，-3）8.（2019·嘉兴）小飞研究二次函数( 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.（2019·湖州）已知a，b是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是（）A. B. C. D.10.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1 D. M=N或M=N-111.（2019·绍兴）D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位二、填空题12.（2018·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a ＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a ＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题13.（2018·湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．14.（2018·绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。
二次函数与几何综合压轴题题型归纳
课题二次函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 教学目标2、 掌握特殊图形面积的各种求法1、 利用图形的性质找点 重点、难点2、 分解图形求面积教学内容知识点睛：一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式22： ABy A y Bx A x Bx A x B y A y B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：2 ，2直线 yk 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线相交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线213 与y mxmx x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定3此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m0 时， x1；当 m0 时，m 3203 m 1， x1 231 ；， x、 x22m m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 y x2mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
二次函数与几何图形结合题及答案
1.如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标;（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45o∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45o过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）…………………1分∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5) ∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分（2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223y x x =--∴设点E(t ， t+1),则F （t ，223t t --）………………………5分 ∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分=2325()24t --+∴当32t =时，EF 的最大值=254∴点E 的坐标为（32，52）………………………………7分 （3）①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F 的坐标（32，154-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行 = S BEF V + S DEF V=12531253(4)(1)242242⨯-+⨯- =758 ………………………………………………10分 ②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)则有：25232m m --= 解得:1226m =－,2226m += ∴12265(,)2p －, 22265(,)2p + ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n --）则有：215423n n --=- 解得：112n = ，232n =（与点F 重合，舍去） ∴3P 11524（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265(,)2p －，22265(,)2p +3P （11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分3.如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，－2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（1）∵c bx x y ++=2的顶点为C （1，－2），∴2)1(2--=x y ，122--=x x y ． ……………2分（2）设直线PE 对应的函数关系式为b kx y +=２６题备用图由题意，四边形ACBD 是菱形.故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ． ………3分由P (0，－1)，M （1，0），得⎩⎨⎧=+-=01b k b ．从而1-=x y ， …5分 设E (x ，1-x )，代入122--=x x y ，得1212--=-x x x ．解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2) …………………………………7分．4如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为Q （2，－1）∴设()122--=x ay 将C （0，3）代入上式，得()12032--=a1=a ∴()122--=x y ， 即342+-=x x y …（3分）（2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)令y =0, 得0342=+-x x解之得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0) （5分）②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)∵OA=OC, ∠AOC=ο90, ∴∠OAD 2=ο45当∠D 2AP 2=ο90时, ∠OAP 2=ο45, ∴AO 平分∠D 2AP 2又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称设直线AC 的函数关系式为b kx y +=将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ⎩⎨⎧=+=b b k 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y ……………（7分） ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=0 0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=－1 ∴P 2的坐标为P 2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,－1) …………………………………………………（9分）(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………（10分）当点P 的坐标为P 2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵P(2,－1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1) ……………（13分）3. （2011，25，10分）如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.(1)求a 的值；(2)求A ,B 两点的坐标;(3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D ´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。
中考数学复习 二次函数 第19讲 二次函数的应用(2)试题(含解析)
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第19讲 二次函数的应用(2)1. (2012，河北，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.(1)(2)已知出厂一张边长为40 cm 的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)． ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？【思路分析】 (1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n .利用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)①设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2元．由题意，得p ＝y －mx 2，进而得出m 的值，求出函数解析式即可．②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．解：(1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n .由表格中的数据，得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10.所以一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y ＝2x ＋10.(2)①设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2元．由题意，得p ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，p ＝26代入p ＝2x ＋10－mx 2，得26＝2×40＋10－m ·402. 解得m ＝125.所以一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为p ＝－125x 2＋2x ＋10.②因为a ＝－125＜0，所以当x ＝－b 2a＝－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝25(在5～50之间)时，p 最大＝4ac －b 24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125×10－224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝35.所以出厂一张边长为25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．利润问题例 1 (2018，扬州节选，导学号5892921)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？例1题图【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y 与x 之间的函数关系式．(2)先由题意得出x 的取值范围，再根据总利润＝销售量×单件的利润，将(1)中的函数关系式代入，得到总利润与销售单价之间的函数关系式，最后根据其性质求出最大值．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700.(2)由题意，得－10x ＋700≥240. 解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元， 则w ＝(x －30)·y＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1 000x －21 000＝－10(x －50)2＋4 000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大，w 最大＝－10×(46－50)2＋4 000＝3 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元．针对训练1 (2018，深圳模拟)某商场试销一种成本为50元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%.经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)符合一次函数关系，试销数据如下表：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若该商场获得的利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y 与x 之间的函数关系式．(2)根据利润＝销售量×(销售单价－单件成本)，将(1)中的函数关系式代入，得到利润w 与销售单价x 之间的函数关系式，再根据x 的取值范围和二次函数的性质求出最大值．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝75，60k ＋b ＝70.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝130.∴y ＝－x ＋130.(2)w ＝(x －50)(130－x )＝－x 2＋180x －6 500＝－(x －90)2＋1 600.由题意，得x ≤50×(1＋50%)，即x ≤75. ∴50≤x ≤75.∵当x ＜90时，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝75时，w 取得最大值，为1 375.所以当销售单价定为75元时，商场可以获得最大利润，最大利润是1 375元．二次函数与几何图形的综合例2 (2018，保定模拟)如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝3，P 是AD 边上的一动点(点P 异于点A ，D )，Q 是BC 边上的任意一点，连接AQ ，DQ ，过点P 作PE ∥DQ 交AQ 于点E ，作PF ∥AQ 交DQ 于点F .(1)求证：△APE ∽△PDF ；(2)设AP ＝x ，求四边形EQDP 的面积S (用含x 的代数式表示出来)；当四边形EQDP 的面积等于214时，说明PE 与DQ 的数量关系．例2题图【思路分析】 (1)根据PE ∥DQ ，PF ∥AQ 得出同位角相等即可证得两三角形相似．(2)由PE ∥DQ ，得到△APE ∽△ADQ .根据相似三角形的性质得到S △APE S △ADQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AP AD 2＝x 29.求出S △ADQ ＝12S 矩形ABCD ＝3，于是得到S ＝S △ADQ －S △APE ＝－13x 2＋3.根据四边形EQDP 的面积等于214，列方程即可得到结论．(1)证明：∵PE ∥DQ ， ∴∠APE ＝∠PDF . ∵PF ∥AQ ，∴∠DPF ＝∠PAE . ∴△APE ∽△PDF . (2)解：∵PE ∥DQ ， ∴△APE ∽△ADQ .∴S △APE S △ADQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AP AD 2＝x 29，AP AD ＝PE DQ. ∵S △ADQ ＝12S 矩形ABCD ＝3，∴S △APE ＝13x 2.∴S ＝S △ADQ －S △APE ＝－13x 2＋3.当四边形EQDP 的面积等于214时，214＝－13x 2＋3.解得x ＝32.∴AP ＝32＝12AD .∴PE ＝12DQ .针对训练2(2018，揭阳一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A →D 方向运动．设AP ＝x ，△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，y ＝S 1＋S 2，则y 与x 之间的关系式是 y ＝－x 2＋3x .训练2题图【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，AD 为BC 边上的高，AP ＝x ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°.∴BD ＝AD ＝2.∴PE ＝AP ＝x ，PD ＝AD －AP ＝2－x .∴y ＝S 1＋S 2＝x ·22＋(2－x )·x ＝－x 2＋3x .一、 选择题1. (2018，马鞍山二模)某农产品市场经销一种成本为每千克40元的农产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg ；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg.设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为(C )A. y ＝(x －40)(500－10x )B. y ＝(x －40)(10x －500)C. y ＝(x －40)[500－10(x －50)]D. y ＝(x －40)[500－10(50－x )]【解析】 因为销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝(x －40)[500－10(x －50)]．2. (2018，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y (件)与销售单价x (元/件)之间的函数关系式为y ＝－4x ＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C )A. 60元/件B. 70元/件C. 80元/件D. 90元/件【解析】 设销售该商品每月所获总利润为w 元，则w ＝(x －50)(－4x ＋440)＝－4x 2＋640x－22 000＝－4(x －80)2＋3 600.∴当x ＝80时，w 取得最大值，最大值为3 600.所以当售价为80元/件时，销售该商品所获月利润最大．3. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，P 是BC 边上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，作PE ⊥AP 交外角∠DCF 的平分线于点E .设BP ＝x ，△PCE 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是(C )第3题图A. y ＝2x ＋1B. y ＝12x －2x 2C. y ＝2x －12x 2D. y ＝2x【解析】 如答图，过点E 作EH ⊥BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCH ＝ 90°.∵CE 平分∠DCH ，∴∠ECH ＝12∠DCH ＝45°.∵∠CHE ＝90°，∴∠CEH ＝∠ECH ＝45°.∴EH ＝CH .∵四边形ABCD 是正方形，AP ⊥EP ，∴∠B ＝∠CHE ＝∠APE ＝90°.∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠EPH ＝90°.∴∠BAP ＝∠EPH .∴△BAP ∽△HPE .∴AB PH＝BP EH .∴44－x ＋EH ＝x EH .∴EH ＝x .∴y ＝12·CP ·EH ＝12·(4－x )·x ＝2x －12x 2.第3题答图4. (2018，淄博模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么四边形APQC 的面积最小时，经过(C )第4题图A. 1 sB. 2 sC. 3 sD. 4 s【解析】 设点P ，Q 同时出发t s 时，四边形APQC 的面积为S mm 2，则S ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×12×24－12·4t ·(12－2t )＝4t 2－24t ＋144＝4(t －3)2＋108.∵4＞0，∴当t ＝3时，S 取得最小值．5. (2018，天津武清区模拟)某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y ＝－x 2＋70x －800，要想获得日最大利润，则销售单价为(B )A. 30元B. 35元C. 40元D. 45元【解析】 ∵y ＝－x 2＋70x －800＝－(x －35)2＋425，∴当x ＝35时，y 取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，日销售利润最大．6. (2018，广州南沙区模拟)如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ 的面积最大是(C )第6题图A. 10 cm 2B. 8 cm 2C. 16 cm 2D. 24 cm 2【解析】 设运动时间为t s ．根据题意，得AP ＝2t ，AQ ＝t ，∴S △APQ ＝t 2.易知0＜t ≤4，∴△APQ 的面积最大是16 cm 2.7. 如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是边BC 和CD 上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E ，F 怎样运动，始终保持AE ⊥EF .设BE ＝x ，DF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是(C )第7题图A. y ＝x ＋1B. y ＝x －1C. y ＝x 2－x ＋1D. y ＝x 2－x －1【解析】 ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∴∠BAE ＝∠FEC .∴△ABE ∽△ECF .∴AB ∶EC ＝BE ∶CF .∴AB ·CF＝EC ·BE .∵AB ＝1，BE ＝x ，EC ＝1－x ，CF ＝1－y ，∴1·(1－y )＝(1－x )·x .化简得y ＝x 2－x ＋1.二、 填空题8. (导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝16，AB ＝12，E ，F 分别是边BC ，DC 上的点，且EC ＋CF ＝8.设BE 的长为x ，△AEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数解析式是( y ＝12x 2－10x ＋96 ).第8题图【解析】 ∵BE ＝x ，∴CE ＝16－x .∵CE ＋CF ＝8，∴CF ＝x －8.∴DF ＝20－x .∴y ＝S 矩形ABCD－S △ABE －S △CEF －S △ADF ＝12x 2－10x ＋96.9. (2018，天津和平区一模)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用是800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加1人，每人的费用就降低10元．当一个旅行团有 55 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．【解析】设一个旅行团有x人，营业额为y元．根据题意，得y＝x[800－10(x－30)]＝－10x2＋1 100x＝－10(x－55)2＋30 250.故当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．三、解答题10. (2018，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润？【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.(2)设每星期的销售利润为W元．根据题意，得W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000.∴当x＝50时，W最大，W最大＝4 000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元．(3)由题意，得－10(x－50)2＋4 000＝3 910.解得x＝53或x＝47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润．11. (2018，承德一模，导学号5892921)某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资成本x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：(1)分别求出利润y1与y2关于投资成本的函数解析式；(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．【思路分析】 (1)根据题意设y1＝kx，y2＝px2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解：(1)设y1＝kx.由表格数据可知，函数y1＝kx的图象过(2，4)，∴4＝k·2.解得k＝2.故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y1＝2x(x≥0)．设y2＝px2.由表格数据可知，函数y2＝px2的图象过(2，2)．∴2＝p ·22. 解得p ＝12.故种植花卉的利润y 2关于投资成本x 的函数解析式是y 2＝12x 2(x ≥0)．(2)因为投入种植花卉金额m 万元，则投入种植树木金额(8－m )万元． 根据题意，得W ＝2(8－m )＋12m 2＝12m 2－2m ＋16 ＝12(m －2)2＋14. ∵a ＝12＞0，0≤m ≤8，∴当m ＝2时，W 取得最小值，为14. ∵a ＝12＞0，∴当0≤m <2时，W 随m 的增大而减小；当2<m ≤8时，W 随m 的增大而增大． 在对称轴左侧，当m ＝0时，W 取得最大值，为16. 在对称轴右侧，当m ＝8时，W 取得最大值，为32. ∵16<32，∴当m ＝8时，W 取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．12. 如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2.(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．第12题图【思路分析】 (1)用x 分别表示出PB ，BQ 的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解．(2)把函数解析式整理成顶点式，然后结合实际求二次函数的最值即可．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，BQ ＝x ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0≤x ≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814.∵当x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0≤x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大，y 最大＝20.所以△PBQ 的面积的最大值是20 cm 2.1. 某旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则会相应地减少10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(C )A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元【解析】 设每张床位收费提高x 个20元，每天收入为y 元．根据题意，得y ＝(100＋20x )(100－10x )＝－200x 2＋1 000x ＋10 000.当x ＝－b 2a ＝1 000200×2＝2.5时，可使y 有最大值．又x 为整数，则x ＝2时，y ＝11 200；x ＝3时，y ＝11 200.所以为使租出的床位少且租金高，每张床位每天最合适的收费是100＋3×20＝160(元)．2. (2017，湖州，导学号5892921)湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20 000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值； (2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m kg ，销售单价为y 元/kg.根据以往经验可知m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20 000（0≤t ≤50），100t ＋15 000（50＜t ≤100），y 与t 之间的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t ≤50和50＜t ≤100时，y 关于t 的函数解析式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)第2题图【思路分析】 (1)由放养10天的总成本为30.4万元，放养20天的总成本为30.8万元可列出方程组进而求得答案．(2)①分0≤t ≤50，50＜t ≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得．②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额－总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.4，20a ＋b ＝30.8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04，b ＝30.(2)①当0≤t ≤50时，设y 关于t 的函数解析式为y ＝k 1t ＋n 1.将(0，15)，(50，25)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1＝15，50k 1＋n 1＝25.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15，n 1＝15.∴此时y 关于t 的函数解析式为y ＝15t ＋15.当50＜t ≤100时，设y 关于t 的函数解析式为y ＝k 2t ＋n 2.将(50，25)，(100，20)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50k 2＋n 2＝25，100k 2＋n 2＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110，n 2＝30.∴此时y 关于t 的函数解析式为y ＝－110t ＋30.②当0≤t ≤50时，W ＝20 000⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋15－(400t ＋300 000)＝3 600t .∵3 600＞0，∴当t ＝50时，W 最大，W 最大＝180 000. 当50＜t ≤100时，W ＝(100t ＋15 000)⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋30－(400t ＋300 000)＝－10t 2＋1 100t ＋150 000 ＝－10(t －55)2＋180 250. ∵－10＜0，∴当t ＝55时，W 最大，W 最大＝180 250.综上所述，当t ＝55时，W 最大，最大值为180 250.。
人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 0），抛物线的对称轴为x 2）点P 的坐标为04）；（3）2． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323k k --，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(32(31)k k - =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
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2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题
1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是
会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，
若每月租书数量为x 册.
（1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系
式；
（2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关
系式；
（3）小军选取哪种租书方式更合算？
2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知
大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购
车总费用为y （万元）．
（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最
省的方案，并求出该方案所需费用．
3、如图，抛物线y =
2
1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物
线交x 轴于另一点C （3,0）.
第3题图
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求
出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
5、已知双曲线x
k y 与抛物线y=ax
2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,
6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一
个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图
（1）求m 的值；（3分）
（2）求点B 的坐标；（3分）
（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使S △ABD =S △ABC ，
求点D 的坐标．（4分）
（第7题图）
8、已知抛物线212
y x x c =++与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围；
(2)抛物线212
y x x c =++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值． 9、某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政府补贴。
农民
田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？
（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的56. 若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？
10、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种
树苗每株30元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%，
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买的树苗的费用最低？并求出最
低费用．。