一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

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一次函数的应用二次函数与几何知识的综合应用练习题

20XX 届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是

会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，

若每月租书数量为x 册.

（1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系

式；

（2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关

系式；

（3）小军选取哪种租书方式更合算？

2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知

大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购

车总费用为y （万元）．

（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；

（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最

省的方案，并求出该方案所需费用．

3、如图，抛物线y =2

1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．

4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物

线交x 轴于另一点C （3,0）.

第3题图

⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求

出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

5、已知双曲线x

二次函数的应用大题专练(七大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)

二次函数的应用大题专练(七大类型)

题型一:考向分析

1类型一、销售问题

1(2023·浙江湖州·统考一模)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+900．

(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?

(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?

(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28800元，求该月销售单

价的最小值．

【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元

【解析】

(1)解：在y=-3x+900中，令x=160，则y=420，

∴政府这个月补贴420×20=8400元；

(2)由题意可得：w=-3x+900

2+30000，

x-100

=-3x-200

∵a=-3<0，

∴当x=200时，w有最大值30000．

即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．

(3)设每月获得的总收益为w ，

由题意可得：w =-3x+900

2+36300，

=-3x-190

x-100

+20-3x+900

令w =28800，则-3x-190

2+36300=28800，

解得：x=140或x=240，

∵a=-3<0，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=190，

∴当140≤x≤240时，w≥28800，

(新)中考数学二次函数与几何综合典型试题(附答案解析)

（3）先求解D（，），E（2，－2），如图，过点D作DG⊥CE交CE的延长线于点G，证明CG＝DG＝，可得∠ECD＝∠GDC＝45°，如图，在CD的上方作∠PDC＝∠EDC交y轴于点Q，交抛物线于点P，证明△QCD≌△ECD，可得QC＝EC＝2，可得Q（0，0），再求解直线DQ的解析式为，联立，再解方程组可得答案.
①-2m+3-m2=2，
解得m1= ，m2= ，
∵m＜0，
∴m= ，符合题意；
②-2m+3-m2=-2，
解得m1= ，m2= ，
∵m＜0，
∴m= ，符合题意．
综上所述，m的值为或；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）．
设AB=d，
当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下，
【详解】
解：（1）把、代入得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）令 =0
解得x1=-1，x2=3
∴B
设P（x，y）（x＞0）
∵ 与的面积相等，
∴
即
解得x=4
∴P（4，5）；
（3）∵B（3，0），C（0，-3）∠BOC=90°
∴OB=OC=3，△BOC是等腰直角三角形
如图，过Q1作Q1D⊥l于D点，与抛物线的另一个交点为Q2

二次函数与几何图形综合应用训练题精选(6)

二次函数与几何图形综合应用训练题精选（6）

1．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标（﹣1，0），AB＝4．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE∥BC交x轴于点E，点P是抛物线的对称轴与线段BC的交点，连接PD、PE，设CD的长为t，△PDE的面积为S．求S与t之间的函数关系式，并求出当S最大时，点D的坐标；

（3）在（2）条件下，连接AD，把△AOD绕点O沿逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A'OD'，其中边A'D'交坐标轴于点F．在旋转过程中，是否存在一点F，使得∠D'＝∠D'OF？若存在，请直接写出所有满足条件的点D'的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，二次函数y＝ax2+bx+3交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴．交抛物线于另一点D．

（1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．PE∥x轴，PF∥y轴．求线段EF的最大值；

（3）如图2，点M是线段①上的一个动点，过D点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；

一次函数和几何综合题

1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P

且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是

一元二次方程x 2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

中考中的一次函数应用题(答案)

中考中的一次函数应用题求解（答案）

1 试题概述

一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。

一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。

2.1方案设计问题

⑴物资调运

例1.（2008年重庆第27题）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；

中考中的一次函数应用题(答案)

中考中的一次函数应用题求解（答案）

1 试题概述

2.1方案设计问题

⑴物资调运

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？

函数与几何综合问题专练2023中考真题分类汇编(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题（25题）

一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，

，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为

【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝

⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．

【详解】解：如图，

∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，

∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，

∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，

当,M B 重合时，

∵()8,6B -，则()4,3H -，

∴4MH AH NH ===，符合题意，

∴()8,6M -，

当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，

.专题训练(七)二次函数综合题

D，B为顶点的三角形
与以A，O，C为顶点的三角形相似，求E
点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
解：
∴y＝－x ＋3x－2.
2
∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2， AO CO 1 2 m－ 2 当＝时，得＝，∴ED＝ . ED BD ED m－2 2
19 2 又由(2)可知：PE＝－m ＋ m＋2 ， 4 5 19 2 ∴－m ＋ m＋2 ＝ m. 4 4
19 5 ①若－m ＋ m＋2＝ m， 4 4
2 2
1 整理得 2m －7m－4＝0，解得 m＝4 或 m＝－ . 2 19 5 2 ②若－m ＋ m＋2＝－ m，整理得 m2－6m－2＝0， 4 4 解得 m＝3＋ 11或 m＝3－ 11. 由题意得，m 的取值范围为－1<m<5，故 m＝3＋ 11这个解舍去．综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P (4，5)，(3－ 11，2 11－3)．
年份
2012
题号
26
考点
求一次函数与坐标轴的交点求二次函数解析式分类讨论思想存在性问题(等腰三角形) 求抛物线与坐标轴的交点坐标，顶点坐标求一次函数的解析式分类讨论思想存在性问题(相似三角形) 求直线与抛物线的交点对称问题求抛物线的解析式及其顶点坐标相似三角形的判定与性质求直线与抛物线的交点对称问题

中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题

大家都知道函数相关知识内容一直是中考数学的重难点、热点，必考内容之一。纵观历年全国各地中考数学试卷，我们可以很直观的发现，函数所占的分值较高，甚至全国大多数的中考数学压轴题都是以函数为知识背景。

一次函数作为初中数学三大函数之一，自然受到中考数学命题的特别青睐。在中考冲刺复习阶段，很多考生往往只盯着二次函数的复习，忽视了一次函数和反比例的巩固和学习，认为只要复习好二次函数就能拿到中考函数的全部分数，这样的复习方法是非常危险。

像这样“以偏概全”的中考复习方法要不得，要想“打好”中考这场战争，我们就需要做好全面复习，落实每一个基础知识点，掌握好每一个方法技巧和数学思想方法等，这样才能从容应对中考。

因此，今天我们就一起来讲讲一次函数与几何相关的综合问题。

一次函数与几何图形相关的综合问题，大部分都是解答题，而且有时难度较大。考生在考试中遇到此类问题，如果不认真审题,理清题意，或是没有把一次函数知识点吃透，很容易让自己花费了大量时间,但又无法正确解决问题。

下面我们先来看一道典型例题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：

如图，已知一次函数y=－x 7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A 运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A 时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

初中数学：二次函数的综合应用练习

)1,3(A 初中数学：二次函数的综合应用练习

命题点1二次函数的实际应用

1.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元.为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20千克.

（1）设每千克水果降价x 元,平均每天盈利y 元,试写出y 关于x 的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?

2.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召,某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯,并投放市场进行试销售,经过调查发现该产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：y=-10x+1200.

（1）求出利润S （元）与销售单价x （元）之间的关系式；（利润=销售额-成本）（2）当销售单价定为多少时,该公司每天获取的利润最大?最大利润是多少元? 命题点2二次函数与几何图形综合题（必考） 3.如图,顶点为的抛物线经过坐标原点

O,与x 轴交于点B.

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C,交抛物线于点D,求证：△OCD

≌

△

OAB

；

第3题图

（3）在x 轴上找一点P,使得△PCD 的周长最小,求出P 点的坐标. 4.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(1,0)、B(4,0)、 C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC 的周长最小？若存在,求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在,请说明理由；

(3)如图②,点Q 是线段OB 上一动点,连接BC,在线段BC 上是否存在这样的点M,使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在,求点M 的坐标；若不存在,请说明理由.

二次函数与几何图形的综合题

说明：

1.试题左侧二维码为该题目对应解析；

2.请同学们在独立解答无法完成题目后再扫描二维码查看解析，杜绝抄袭；

3.查看解析还是无法掌握题目的，可按下方“向老师求助”按钮；

4.组卷老师可在试卷下载页面查看学生扫描二维码查看解析情况统计，了解班级整体学习情况，确

定讲解重点；

5.公测期间二维码查看解析免扣优点，对试卷的使用方面的意见和建议，欢迎通过“意见反馈”告

之。

2015年03月03日光辉职业的初中数学组卷

一．解答题（共30小题）

1．（2015•崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=﹣+1与坐标轴的两个交点A、B，点

C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点C坐标；

（3）直线y=﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2015•三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过

点B、C和点A（﹣1，0）．

（1）求B、C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD

为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

3．（2015•金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．

九上数学每日一练：二次函数与一次函数的综合应用练习题及答案_2020年压轴题版

1.答案：
2.答案：
3.答案：
4.答案：
5.答案：
②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求
的值.
③求证：抛物线L与直线
的交点M始终位于轴下方.
考点：反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-动态几何问题;
答案解析
2020年九上数学：函数 _二次函数 _二次函数与一次函数的综合应用练习题答案
（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．
考点：二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-几何问题;
答案解析
5. (2020宁波.九上期中) 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4 ).
的面积为 .求关于的函数解析式及自变量的取值范围，
并求出的最大值；
（3）已知为抛物线对称轴上一动点，若
是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标.
考点：二次函数与一次函数的综合应用;直角三角形的性质;
答案解析
3. (2020龙岗.九上期末) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线

中考数学《二次函数的实际应用与几何问题》专项练习题及答案

一、单选题

1．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的

圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（）

A．B．

C．D．

2．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A．y=x2+16B．y=(x+4)2C．y=x2+8x D．y=16−4x2

3．若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（）A．24B．36C．48D．96

4．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）

A．B．

C．D．

5．已知抛物线y=−3

(x−1)(x−9)与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于

点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）

A．7

2B．

√41

C．√34

D．2√3

6．如图所示，△DEF中，∠DEF=90°，∠D=30°，DF=16，B是斜边DF上一动点，过B作AB⊥DF于B，交边DE(或边EF)于点A，设BD=x，△ABD的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）

A．（B．

C．D．（

7．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为ℎ=30t−5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )

中考数学每日一练：二次函数与一次函数的综合应用练习题及答案_2020年综合题版

答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数与一次函数的综合应用练习题

~~第1

题~~

(2020宁波.中考模拟) 已知抛物线

与两坐标轴分别交于A(-1,0),C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B,C

两点（1）求二次函数的解析式

（2）请求出一次函数的解析式并结合图象，直接写出当一次函数值小于二次函数时自变量x 的取值范围

考点：二次函数与一次函数的综合应用;~~第2题~~

(2020武汉.中考模拟) 已知抛物线y ＝x +（2m ﹣1）x ﹣2m （m ＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，D 为抛物线上的一点，BD 平分四边形ABCD 的面积，求点D 的坐标；

（3）如图2，平移抛物线y ＝x +（2m ﹣1）x ﹣2m ，使其顶点为坐标原点，直线y ＝﹣2上有一动点P ，过点P 作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E 、F （直线PE 、PF 不与y 轴平行），求证：直线EF 恒过某一定点.

考点：

二次函数图象的几何变换;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用;~~第3题~~

(2017玉林.中考模拟) 已知抛物线y= x +1（如图所示）．

（1）

填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；

222

答案答案

答案（2）

已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）

二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

〔1〕求A 、B 、C 三点的坐标;

〔2〕过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;

解：〔1〕令0y =，得2

10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =-

∴A (1,0)-B (1,0)C (0,1)-……………………3分

〔2〕∵O A =O B =O C =1∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45

∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45

过点P 作P E ⊥x 轴于E ，那么∆A P E 为等腰直角三角形

令O E =a ，那么P E =1a +∴P (,1)a a +

∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2

11a a +=- 解得12a =，21a =-〔不合题意，舍去〕∴P E =3……………………………………………………………………………5分

∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12

AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分

2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

〔1〕求b ,c 的值；

〔2〕点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

〔3〕在〔2〕的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 假设存在，求出所有点P 的坐标；假设不存在，说明理由.