2019年江苏高考数学复习§5.1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示

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江苏高考数学(理)总复习课件：平面向量的概念及其线性运算

求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
考点三共线向量定理的应用
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重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
设两个非零向量 a 与 b 不共线，
(1)若―A→B ＝a ＋b ，―B→C ＝2a ＋8b ，―C→D ＝3(a －b )，
求证：A，B，D 三点共线；
解：证明：因为―A→B ＝a ＋b ，―B→C ＝2a ＋8b ，―C→D ＝3a －3b ，
第五章平面向量
第一节
平面向量的概念及其线性运算
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试，全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练，全练力保全能
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课前双基落实
想一想、辨一辨、试一试，全面打牢基础
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必过教材关
1．向量的有关概念
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解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于 a 与 b 方向不确定，所以 a ，b 不一定相等，故②不正确； ―A→B ＝―D→C ，可能有 A，B，C，D 在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任一向量平行，故当 a ∥b ，b ∥c 时，若 b ＝0，则 a 与 c 不一定平行，故⑥不正确．答案：①②③⑥
a ＋b ＝ b ＋a ；
结合律：
平___行__四__边__形__法则
(a ＋b )＋c＝
_a_＋__(_b_＋__c_)_
向量运算
定义
法则 (或几何意义)
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运算律
求 a 与 b 的相反向
减法量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差

高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案充分不必要解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________．答案 1解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案－13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________．答案 EB →＝34AB →－14AC →解析作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案－13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．答案 3∶5解析由5AM →＝AB →＋3AC →，得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________．答案 0解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________．答案平行四边形解析依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案－1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解方法一由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________．答案 3∶2解析设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

高考数学一轮总复习-平面向量的概念、线性运算及坐标运算-知识点梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算【考纲要求】1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量；平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD 中（如图），向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下：（1）||||||λ=λ⋅a a ；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，0λ=a ；2．运算律设λ，μ为实数，则（1）()()λμ=λμa a ；（2）()λ+μ=λ+μa a a ；（3）()λ+=λ+λa b a b3．向量共线的充要条件已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则（1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0⇔-=a b （0→≠b ）要点诠释：①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。

5-1苏教版2019高三一轮复习课件平面向量的概念与线性运算

基础诊断
考点突破
解析
2→ 1 → 2→ → → → (1)PQ＝PB＋BQ＝3AB＋3BC＝3AB＋
1 → → 1→ 1→ 3(AC－AB)＝3AB＋3AC. 4→ → (2)∵AP＝3AB， 4 → → → → ∴OP－OA＝3(OB－OA) 1→ 4→ → ∴OP＝－3OA＋3OB. 答案 1→ 1→ (1)3AB＋3AC 1→ 4→ (2)－3OA＋3OB
基础诊断
考点突破
解析
→ ＝EC → ＋CF →. (1)在△CEF 中，有EF
→ 1→ 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC＝2DC. 因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点， 2→ → 所以CF＝ CB. 3 1 → 2→ 1→ 2 → → 所以EF＝ DC＋ CB＝ AB＋ DA 2 3 2 3 1→ 2 → ＝2AB－3AD.
(λ＋μ)a＝ λa＋μa ；
λ(a＋b)＝ λa＋λb
基础诊断
考点突破
3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa.
基础诊断
考点突破
诊断自测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行． (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ( ( ) )
解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． → ＝DC → ，∴|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC → ，又 A，B，C，D 是 ②正确．∵AB 不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 → → ABCD 为平行四边形，则|AB|＝|DC|， → → → → → → AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算教案理解析版

１．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称错误!）平面向量是自由向量零向量长度为错误!的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于１个单位的向量非零向量a的单位向量为±错误!平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量—b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a—b＝a＋（—b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ a；λ（a＋b）＝λa＋λb时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]１．在△ABC中，错误!＝c，错误!＝b，若点D满足错误!＝２错误!，则错误!＝________.解析：如图，因为在△ABC中，错误!＝c，错误!＝b，且点D满足错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!b＋错误!c.答案：错误!b＋错误!c１若a∥b，则a＝b；２若|a|＝|b|，则a＝b；３若|a|＝|b|，则a∥b; ４若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确命题的序号是________．答案：４３．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋２b平行，则实数λ＝________.解析：因为向量λa＋b与a＋２b平行，所以λa＋b＝k（a＋２b），则错误!所以λ＝错误!.答案：错误!１．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．２．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．３．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]１．若菱形ABCD的边长为２，则|错误!—错误!＋错误!|＝________.解析：|错误!—错误!＋错误!|＝|错误!＋错误!＋错误!|＝|错误!|＝２．答案：２２．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|２a|＝２|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝２|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故q p．所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要３．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋m j，错误!＝n i＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是________．（填序号）１m＋n＝１；２m＋n＝—１；３mn＝１；４mn＝—１．解析：由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋m j＝λ（n i＋j）＝λn i＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．答案：３错误!错误![题组练透]１两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若|a|＝|b|，则a＝b；３若错误!＝错误!，则A，B，C，D四点构成平行四边形；４在平行四边形ABCD中，一定有错误!＝错误!；５若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题是________．（填序号）解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故１不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故２不正确；错误!＝错误!，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故３不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b ＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．答案：１２３⑥１对于实数p和向量a，b，恒有p（a—b）＝p a—p b；２对于实数p，q和向量a，恒有（p—q）a＝p a—q a；３若p a＝p b（p∈R），则a＝b；４若p a＝q a（p，q∈R，a≠0），则p＝q.其中正确的命题是________．（填序号）解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知１２４正确；当p＝0时，p a＝p b＝0，而不一定有a＝b，故３不正确．答案：１２４[谨记通法]有关平面向量概念的6个注意点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．（２）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．（３）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．（４）非零向量a与错误!的关系：错误!是与a同方向的单位向量，—错误!是与a反方向的单位向量．（５）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．（6）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．错误!错误![题组练透]１．如图，在△ABC中，错误!＝错误!＝错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.解析：由题意，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，∴λ＝μ＝错误!，λ＋μ＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·苏州调研）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝________错误!.解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以错误!＋错误!＝２错误!，错误!＋错误!＝２错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝４错误!.答案：４３．（２0１9·海门中学检测）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝________（用错误!，错误!表示）．解析：因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.答案：错误!错误!＋错误!错误![谨记通法]１．平面向量的线性运算技巧（１）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．（２）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．２．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路（１）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．（２）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．（３）比较、观察可知所求．错误!错误![典例引领]设两个非零向量a与b不共线，（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b同向．解：（１）证明：因为错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３a—３b，所以错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３a—３b＝５（a＋b）＝５错误!.所以错误!，错误!共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）因为k a＋b与a＋k b同向，所以存在实数λ（λ＞0），使k a＋b＝λ（a＋k b），即k a＋b＝λa＋λk b.所以（k—λ）a＝（λk—１）b.因为a，b是不共线的两个非零向量，错误!解得错误!或错误!又因为λ＞0，所以k＝１．[由题悟法]共线向量定理的３个应用（１）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．（２）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（３）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]１．（２0１8·南京第十三中学测试）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝４，且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R），则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以错误!＋λ＝１，解得λ＝错误!，如图，过点D 分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，由AB＝４，得AN＝AM＝３，又因为错误!＋错误!＝错误!，所以（错误!＋错误!）２＝|错误!|２，所以AD２＝２7，AD＝３错误!.答案：３错误!２．（２0１9·天一中学检测）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设错误!＝a，错误!＝b.（１）试用a，b表示错误!，错误!，错误!；（２）证明：B，E，F三点共线．解：（１）在△ABC中，∵错误!＝a，错误!＝b，∴错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝a＋错误!（b—a）＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—a＋错误!b.（２）证明：∵错误!＝—a＋错误!b，错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—a＋错误!错误!＝—错误!a＋错误!b＝错误!（—a＋错误!b），∴错误!＝错误!错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点B，∴B，E，F三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝________.解析：根据向量加法的运算法则可知，错误!＋错误!＝错误!＝２错误!，故λ＝２．答案：２２．（２0１9·海门中学检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.解析：因为错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!—错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!＝错误!（错误!—错误!），所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·启东期末）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.解析：由已知，得错误!＝错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!—错误!错误!，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝１，μ＝—错误!，则λ＋μ＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·扬州模拟）在△ABC中，N是AC边上一点且错误!＝错误!错误!，P是BN上一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值是________．解析：如图，因为错误!＝错误!错误!，P是错误!上一点．所以错误!＝错误!错误!，错误!＝m错误!＋错误!错误!＝m错误!＋错误!错误!，因为B，P，N三点共线，所以m＋错误!＝１，则m＝错误!.答案：错误!５．（２0１9·张家港模拟）如图所示，向量错误!，错误!，错误!的终点A，B，C在一条直线上，且错误!＝—３错误!，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，若c＝m a＋n b，则m—n＝________.解析：由向量错误!，错误!，错误!的终点A，B，C在一条直线上，且错误!＝—３错误!，得错误!＝错误!＋错误!＝错误!—３错误!＝错误!—３（CO―→＋错误!），即错误!＝错误!＋３错误!—３错误!，则c＝—错误!a＋错误!b.又c＝m a＋n b，所以m＝—错误!，n＝错误!，所以m—n＝—２．答案：—２6．（２0１8·江阴高级中学测试）已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b ＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.解析：依题意，设a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有（a＋b）—（b＋c）＝m c—n a，即a—c＝m c—n a.又a与c不共线，于是有m＝—１，n＝—１，a＋b＝—c，a＋b＋c＝0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标１．已知△ABC和点M满足错误!＋错误!＋错误!＝0．若存在实数m，使得错误!＋错误!＝m错误!成立，则m＝________.解析：由错误!＋错误!＋错误!＝0得点M是△ABC的重心，可知错误!＝错误!（错误!＋错误!），即错误!＋错误!＝３错误!，则m＝３．答案：３２．（２0１9·江阴期中）若a，b不共线，且a＋m b与２a—b共线，则实数m的值为________．解析：∵a＋m b与２a—b共线，∴存在实数k，使得a＋m b＝k（２a—b）＝２k a—k b，又a，b不共线，∴１＝２k，m＝—k，解得m＝—错误!.答案：—错误!３．下列四个结论：１错误!＋错误!＋错误!＝0；２错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0；３错误!—错误!＋错误!—错误!＝0；４错误!＋错误!＋错误!—错误!＝0，其中一定正确的结论个数是________．解析：１错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0，１正确；２错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，２错；３错误!—错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0，３正确；４错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＝0，４正确．故正确的结论个数为３．答案：３４．（２0１8·南汇中学检测）已知△ABC中，点D在BC边上，且错误!＝２错误!，错误!＝r错误!＋s错误!，则r＋s＝________.解析：如图，因为错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!错误!—错误!错误!.又错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝—错误!，所以r＋s＝0．答案：0５．（２0１8·海安中学检测）如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且错误!＝错误!错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!＋错误!＝b＋错误!a.答案：错误!a＋b6．（２0１9·常州调研）已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的值为________．解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!—错误!错误!＝错误!错误!—错误!错误!，又错误!＝m错误!＋n错误!，所以m＝错误!，n＝—错误!，故m＋n＝错误!—错误!＝—错误!.答案：—错误!7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，错误!２＝１6，|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|，则|错误!|＝________.解析：由|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|可知，错误!⊥错误!，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|错误!|＝错误!|错误!|＝２．答案：２8．（２0１9·启东期中）在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.解析：如图，∵错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!，∴AD＝错误!AB，DM＝错误!BC，且DM∥BC，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案：错误!9．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把错误!分成２∶１的一个三等分点，DC交OA于点E，设错误!＝a，错误!＝b.（１）用a和b表示向量错误!，错误!；（２）若错误!＝λ错误!，求实数λ的值．解：（１）依题意，A是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，即错误!＝２错误!—错误!＝２a—b，错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝２a—b—错误!b＝２a—错误!b.（２）若错误!＝λ错误!，则错误!＝错误!—错误!＝λa—（２a—b）＝（λ—２）a＋b.因为错误!与错误!共线．所以存在实数k，使错误!＝k错误!.即（λ—２）a＋b＝k错误!，因为a，b是不共线的两个非零向量，所以错误!解得错误!１0．设e１，e２是两个不共线的向量，已知错误!＝２e１—8e２，错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２.（１）求证：A，B，D三点共线；（２）若错误!＝３e１—k e２，且B，D，F三点共线，求k的值．解：（１）证明：由已知得错误!＝错误!—错误!＝（２e１—e２）—（e１＋３e２）＝e１—４e２，因为错误!＝２e１—8e２，所以错误!＝２错误!.又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）由（１）可知错误!＝e１—４e２，因为错误!＝３e１—k e２，且B，D，F三点共线，所以错误!＝λ错误!（λ∈R），即３e１—k e２＝λe１—４λe２，得错误!解得k＝１２．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·汇龙中学检测）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋y的取值范围是________．解析：由于A，B，D三点共线，设错误!＝α错误!，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋α错误!＝错误!＋α（错误!—错误!）＝（１—α）错误!＋α错误!.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，错误!与错误!方向相反，则存在λ＜—１，使得错误!＝λ错误!＝λ[（１—α）·错误!＋α错误!]＝λ（１—α）错误!＋λα错误!＝x错误!＋y错误!，因此x＝λ（１—α），y＝λα，所以x＋y＝λ＜—１．答案：（—∞，—１）２．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R）．（１）若m＋n＝１，求证：A，P，B三点共线；（２）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝１．证明：（１）若m＋n＝１，则错误!＝m错误!＋（１—m）错误!＝错误!＋m（错误!—错误!），所以错误!—错误!＝m（错误!—错误!），即错误!＝m错误!，所以错误!与错误!共线．又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．（２）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，所以错误!—错误!＝λ（错误!—错误!）．又错误!＝m错误!＋n错误!.故有m错误!＋（n—１）错误!＝λ错误!—λ错误!，即（m—λ）错误!＋（n＋λ—１）错误!＝0．因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线，所以错误!所以m＋n＝１．。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示课件

3.要注意待定系数法和方程思想的运用.
1 1 OC = OD = OA , OB ,AD与BC相交于点M.设例1 如图所示,在△ABO中, 4 2 OA =a, OB =b.

(1)试用a和b表示向量 OM ;
OA , OE =λ (2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设

解析 (1)设 = ma + nb , 则 = = ma + nb a =( m -1) a + nb , = AD OD AM OM OA OM
1 1 OA OA OB = - =-a+ b. 2 2

AD 共线. AM 与 ∵A、M、D三点共线,∴
对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对

(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=

(x,y) ,其中

x 叫做a在x轴上的坐标,
y 叫做a在y轴上的坐标. 终点A 的坐标,即若 OA =(x,
设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 y),则A点坐标为 5.平面向量的坐标运算
解析
m 4n 3, (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以解得 2m n 2,
5 m , 9 n 8 . 9
(2)由题意知a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∵(a+kc)∥(2b-a),
16 . ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=13

皮皮高考系列----5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理

第一节平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理一、向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

有二个要素：大小、方向.二、向量的表示方法：1. 几何表示法：用有向线段表示---(有向线段：具有方向和长度的线段)；2. 字母表示法：用字母、等表示；3. 坐标表示法:分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。

任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作(其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标)特别地，，，。

；若，，则，三、向量的有关概念1.零向量：长度为0的向量叫零向量，记为；2.单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）3.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.4.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相等向量.5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.性质：是唯一）（其中）6.垂直向量：两向量的夹角为性质：（其中）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。

四、向量的加法、减法：1. 向量的加法（1）平行四边形法则：（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）（2）三角形法则（3）多边形法则（三角形法则的推广）两个以上的非零向量相加：……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……2.向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。

即：-= + (-)；差向量的意义：= , =, 则=3.平面向量的坐标运算：若，，则，，。

4.向量加法的运算律：交换律：+=+；结合律：(+) +=+ (+)5.常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）||²+||²=2（||²+||²）（3）或G是△ABC的重心，则点G其中A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3）五、向量的模：1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||2、模的求法：若，则 ||若，则 ||3、性质：（1）；（实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4）（当且仅当共线时取“=”）即当同向时，；当反向时，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即六、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（注意：实数与向量不能求和求差）（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ七、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

2019届一轮复习苏教版平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示课件

解析如图所示,
因为 ( AB + BD = AB + AB + AB + AB )=- AB + AD = BC =3 BC + BC = CD ,所以 CD = AC - AC .
方法指导利用向量加法和减法的三角形法则将 AB 与 AD 进行转化,最终将 AD 用 AC 表示出来.
AB + AD ⇔D为BC的中点”是解决此类问题的关键. AC =2 “

4.(2014课标Ⅰ改编,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 EB + FC =
.
答案 AD
1 1 1 1 1 EB EB AB FC =- FC = b a + a b = AC =b,则 =- 设 =a, b+a, a+b,从而 + (a+b)= 2 2 2 2 2
2m n 9, m 2, 解得 m 2n 8, n 5,
B组
考点一
统一命题、省(区、市)卷题组
向量的线性运算与几何意义
1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确的是

.
3 1 4 4 1 3 EB = AB - ② AC 4 4 3 1 ③ EB = AB + AC 4 4 1 3 ④ EB = AB + AC 4 4
EB = AB - AC ①
答案 ①
解析本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
EA =- EA + EB = AB =- AB ,又∵D为BC的中点,∴ AB + AD ,∴ AD + AD = ∵E是AD的中点,∴ (

高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)

专题五平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二平面向量基本定理及坐标表示考向一平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。

高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示课件

则有 AN
= 1 ( AB

+ AC
),
2
所以 MN

= AN

- AM
= 1 ( AB

+ AC
)- 2 AC
= 1 AB
- 1 AC
,
2
3
26
因为 MN =x AB +y AC ,
所以x= 1,y=- 1.
26

5.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, 3 ),C(3,0),动点D满足| CD|=1,则| OA
考点一向量的线性运算与几何意义
1.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是
.
①a⊥b;②|a|=|b|;③a∥b;④|a|>|b|.
答案 ①
解析本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b. 一题多解将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.

切的圆上.若 AP =λ AB+μ AD,则λ+μ的最大值为
.
答案 3
解析本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为圆
心且与BD相切的圆上,∴可设P

2 cos θ, 5
2 5
sin
θ

,

考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算【2019年高考数学真题分类】

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考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T7同2019·全国卷Ⅰ文科·T8)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A. B. C. D.π6π32π35π6【命题意图】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归的思想,以及数学运算等数学素养.【解题指南】先由(a -b )⊥b 得出向量a ,b 的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【解析】选B .设夹角为θ,因为(a -b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0,所以a ·b=b 2,所以cos θ===,又θ∈[0,π],所以a a ·b |a |·|b ||b |22|b |212与b 的夹角为,故选B .π3【题后反思】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的模,再利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,最后求出夹角,注意向量夹角范围为[0,π].2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T3)已知=(2,3),=(3,t ),||=1,则·= ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3【命题意图】考查向量的坐标运算,向量的模,以及向量的数量积运算.【解析】选C .因为=-=(1,t -3),又因为||=1,即12+(t -3)2=12,解得t =3,所以=(1,0),故·=2. 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T3)已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a-b |= ( )A. B.2 C.5 D.5022【命题意图】考查向量的坐标运算以及向量的模,属于容易题.【解析】选A .由向量a =(2,3),b =(3,2),可得a -b =(-1,1),所以|a -b |==.12+122。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示讲义

§5.1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示命题探究答案:3解析:解法一:∵tan α=7,α∈[0,π],∴cos α=,sin α=,∵与的夹角为α,∴=,∵=m +n ,||=||=1,||=, ∴=,①又∵与的夹角为45°,∴==,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos αcos 45°-sin αsin 45°=×-×=-,∴·=||·||·cos∠AOB=-,将其代入①②得m-n=,-m+n=1,两式相加得m+n=,所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交直线OA,OB于点M,N,则=m ,=n,由正弦定理得==,∵tan α=7,α∈[0,π],∴sin α=,cos α=, ∴sin(135°-α)=sin(45°+α)=sin 45°cos α+cos 45°sin α=. ∵||=,∴||=== ,||===,又=m +n =+,||=||=1,∴m=,n=,∴m+n=3.考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.向量的线性运算与几何意义1.几何图形中的向量表示2.利用向量关系求参数B 填空题★★☆2.平面向量基本定理及坐标运算1.利用基向量表示平面向量2.向量的坐标运算B6题5分填空题★★☆分析解读江苏高考对本部分内容的考题以中档题为主,重点考查平面向量的基本定理和线性运算及坐标运算.五年高考考点一向量的线性运算与几何意义1.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是.①a⊥b;②|a|=|b|;③a∥b;④|a|>|b|.答案①2.(2015四川改编,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N 满足=3,=2,则·= .答案93.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.答案90°4.(2013四川理,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=. 答案 2考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2017课标全国Ⅲ理改编,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为.答案 32.(2016课标全国Ⅱ理改编,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= .答案83.(2016四川改编,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是.答案4.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-35.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .答案;-6.(2014陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=.答案7.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是.答案+1教师用书专用(8)8.(2013北京理,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .答案 4三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一向量的线性运算与几何意义1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)在△ABC中,∠ABC=120°,BA=2,BC=3,D,E是线段AC的三等分点,则·的值为.答案2.(苏教必4,二,2,变式)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=.答案3.(苏教必4,二,2,变式)如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC,若=m+n(m,n∈R),则m-n= .答案-24.(2017江苏赣榆高级中学月考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,若+++=λ,则λ=.答案 45.(2017江苏南通中学期中,6)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC上靠近点B的三等分点,那么= .(用和表示)答案-6.(2016江苏如东高级中学期中,16)已知P是△ABC内一点,且+2+3=0,设Q为CP的延长线与AB的交点,令=p,用p表示.解析∵=+,=+,∴(+)+2(+)+3=0,即+3+2+3=0.又∵A,Q,B三点共线,C,P,Q三点共线,∴设=λ,=μ.∴λ+3+2+3μ=0,(λ+2)+(3+3μ)=0.又∵,为不共线的向量,∴解得λ=-2,μ=-1.∴=-=,故=+=2=2p.考点二平面向量基本定理及坐标运算7.(2018江苏盐城高三(上)期中)设向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y= .答案8.(苏教必4,二,3,变式)如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,λ,μ是实数,则下列说法中正确的是(填序号).①若λ,μ满足λe1+μe2=0,则λ=μ=0;②对于平面α内任意一个向量a,使得a=λe1+μe2成立的实数λ,μ有无数对;③线性组合λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量;④当λ,μ取不同的值时,向量λe1+μe2可能表示同一向量.答案①③9.(苏教必4,二,3,变式)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=.答案10.(2017江苏南京高淳质检,13)在边长为1的正△ABC中,已知=x,=y,x>0,y>0,且x+y=1,则·的最大值为.答案-B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共10分)1.(苏教必4,二,3,变式)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是.答案m≠12.(苏教必4,二,3,变式)如图,在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为.答案二、解答题(共15分)3.(2017江苏徐州沛县中学质检,20)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足=+. (1)求证:A、B、C三点共线;(2)求的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=·-||的最小值为-,求实数m的值.解析(1)证明:由已知得-=(-),即=,∴∥.又∵、有公共点A,∴A、B、C三点共线.(2)由(1)易知,=(+),∴=,∴=2,∴=2.(3)易知C,=(cos x,0),∴f(x)=·-||=1+cos x+cos2x-cos x=(cos x-m)2+1-m2,∵x∈,∴cos x∈[0,1].若m<0,则当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知矛盾;若0≤m≤1,则当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2,令1-m2=-,得m=±(舍);若m>1,则当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,令2-2m=-,得m=.因为>1,所以符合题意.综上所述,m=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 平面向量的线性运算1.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m= .答案 32.(2016江苏苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查,12)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2,设∥,若=+λ(λ∈R),则λ的值为.答案方法2 平面向量的坐标运算3.(2017江苏南京、盐城二模,13)已知平面向量=(1,2),=(-2,2),则·的最小值为.答案-4.(2016江苏扬州中学质检,11)在矩形ABCD中,AB=,BC=,P为矩形内一点,且AP=,=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为.答案。