圆锥曲线的共同性质详解

c a 线 l:x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:
变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: 2 1(a 0, b 0) 2 a b
复习回顾
1、 椭圆的定义：
圆、椭圆、双曲线、抛物线为什么 统一称为圆锥曲线？
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|） 2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内先到一定点F 与后到一条定直线l 的距离之 比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
抛物线的标准方程与几何性质
2 2 标准方程 y 2 px( p 0) y 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0)
y
y
y
x 2 2 py( p 0 y
图
F
形
准线方程 焦点坐标 范围 对称轴 顶点坐标
o
F
x
F
o
x
o
p y p2 F (0, ) 2
x
o
x 4
1 2
1 2
4、动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=-5 的距离小2,则动点P的轨迹方程是
5、 已知椭圆
离为10, 求P点到左焦点的距离.
x2 y2 1 上 25 16
一点P到右准线距
知识与思想方法回顾:
1.圆锥曲线的共同性质; 2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.圆锥曲线的统一定义又称第二定义，反映在数 学思想层面上是将平面上倾斜的线段转化为与坐 标轴平行的线段求解。
1、方程的左边为二次式，右边为一次式 2、焦点在X轴上，关于X的就是一次式，关于Y 的就是二次式。 3、焦点在Y轴上，关于Y的就是一次式，关于X 的就是二次式。 问：如何判断抛物线的焦点位置？ （1）先看”一次式”是关于X,还是关于Y的 （2）再看”一次式”前面的系数，如果是正的，焦 点就 在正半轴上，如果是负的，焦点就在负半轴上.
P为双曲线左支上一点，P到右准线的距离为d，则由双曲
线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，所|PF2|=30，又由双曲线
第二定义可得d =24
法二：不求P到右焦点距离，是否可直接求P 到右准线的距离？
练一练：
1、已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中心 到准线距离是 2、设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双 曲线的离心率为 3、中心在原点,准线方程为 x 4,离心率为 椭圆方程是
推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为: 你能解释这个式子的几何意义吗？
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:
例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
a 准线: x c
完成课本P49
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
1填空
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x2 y2 (1) 1 25 9 x2 y 2 (3) 1 25 9
(2)4x y 16
2 2
(4)4 y x 16
2 2
(5) y 16x
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛物线,此时 PF/d=1. 若PF/d≠1呢?
F
x
p x p 2 F ( ,0 ) 2
p x 2p
F ( 2
,0)
p F (0, ) 2
p y 2
x 0, y R x 0, y R y 0, x R
y 0, x R
x轴
x轴
y轴
y轴
原点o(0,0) 原点o(0,0)
原点o(0,0) 原点o(0,0)
Байду номын сангаас：抛物线的标准方程有何特点？
你能借助第二定义推导圆锥曲线的焦半径公式吗？
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y
d2
M1
d1
P
O
d2
M2 x F1
M2
P
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
2
(6) x 2 16y
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.
x2 y2 1 例3已知双曲线 64 36
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.因|PF1|=14<2a , 所以
( x c) 2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x y 1(a b 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.