高一数学直线与平面平行判定

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直线与平面平行课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

1
∴AM＝2DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥平面PAD.
∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
课堂小结
1.直线与平面平行的判定定理
线线平行
线面平行
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
此平面平行.
2.直线与平面平行的性质定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
3、等角定理
定理如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
复习回顾
4、直线与平面有哪些位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
⊂
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； ∩ =
直线在平面外
(3)直线与平面平行——没有公共点.
线线平行Βιβλιοθήκη 线面平行一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与交线平行.
3．应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：
（1）利用性质定理在面内找平行线;
（2）证明直线与直线平行；
（3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）；
（4）得出结论.
E
证明：连接BD.
F
∵ AE EB,AF FD,
∴ EF / / BD.
又 EF 平面BCD,BD 平面BCD,
D
B
C
∴ EF / / 平面BCD.
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一
条与此直线平行的直线就可以了.
巩固训练
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，

第03讲空间直线、平面的平行 (精讲)-1(含答案解析)

第03讲空间直线、平面的平行(精讲）-1第03讲空间直线、平面的平行（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a αP ，a β⊂，b αβ= ⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号表述：,////,//a b a b P a b ββαβαα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⎭3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言////a a bb αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭3.2性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒∥∥（2022·全国·高一课时练习）1．判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．()（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．()（2022·全国·高一课时练习）2．已知长方体ABCD A B C D -'''',平面α 平面ABCD EF =,平面α 平面A B C D E F ''''''=,则EF 与E F ''的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定（2022·全国·高一课时练习）3．在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对平面彼此平行的一对是A ．平面11E FG 与平面1EGH B ．平面1FHG 与平面11F H G C ．平面11F H H 与平面1FHE D ．平面11E HG 与平面1EH G （2022·全国·高一课时练习）4．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对（2022·全国·高一课时练习）5．直线a ∥平面α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的直线（）A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．不存在（2022·全国·高二课时练习）6．若平面//α平面β，直线a α⊂，则a 与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））7．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，BC =，4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））8．已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．题型归类练（2022·四川成都·高一期末（理））9．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点,E F 分别在线段,CB AP 上，且CE EB =，=AF FP ．求证：//EF 平面PCD .（2022·重庆市第七中学校高一期末）10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．（2022·河北石家庄·高一期末）11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．（2022·四川南充·高二期末（文））12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）13．如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））14．如图，三棱锥-P ABC 中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥-P ABC 的表面积.题型归类练（2022·重庆巴蜀中学高二期末）15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠= ，AC和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，2PA PC ==．在线段PD 上确定一点M ，使得//PB 面ACM ，求此时PM MD 的值.（2022·安徽池州·高一期末）16．在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .写出图中与l 平行的直线，并证明。

第03讲空间直线、平面的平行 (精讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲空间直线、平面的平行(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述： a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a α，a β⊂，b αβ=⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质 ////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．( )（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体ABCD A B C D ''''-，平面α平面ABCD EF =，平面α平面A B C D E F ''''''=，则EF 与E F ''的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对5．（2022·全国·高一课时练习）直线//a 平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有6．（2022·全国·高二课时练习）若平面//α平面β，直线a α⊂，则a与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，3BC =4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．.题型归类练1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，=AF FP ．(1)求证：//EF 平面PCD ；2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥P ABC -中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥P ABC -的表面积.题型归类练 1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，AC 和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，6PA PC ==．(1)在线段PD 上确定一点M ，使得PB ∥面ACM ，求此时PM MD的值；2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .(1)写出图中与l 平行的直线，并证明；3．（2022·全国·高三专题练习）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.求证：EF∥DC ；4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，2BC DE EC ==，将DAE △沿AE 进行翻折，翻折后D 点到达P 点位置，且满足平面PAE ⊥平面ABCE ，如图2．(1)若点F 在棱PA 上，且EF ∥平面PBC ，求PF PA；5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC .求证：G 为SB 的中点题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.(1)求证：平面1A BD平面11CB D ； (2)求证：EF 平面11DCC D ；(3)求三棱锥1A BDA -的体积.例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC BB ==，点E ，F 分别为边1AA ，1DD 的中点.(1)求三棱锥1E A BC -的体积；(2)证明：平面1CFA ∥平面BDE .例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块中，E 是1CC 的中点.(1)求四棱锥11E ABC D -的体积；(2)要经过点A 将该木块锯开，使截面平行于平面1BD E ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.题型归类练1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C 的中点．(1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.(1)求证：CF //平面A 1EC 1；(2)过点D 做正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.角度2：平面与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，（1）若,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B A C 的中点，求证：平面1EFA //平面BCHG . （2）若点1,D D 分别是11,AC A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值．例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3AD =，O 为棱AB 的中点，点E 在棱AD上，且13AE AD =．(1)证明：CE PE ⊥；(2)在棱PB 上是否存在一点F 使OF ∥平面PEC ？若存在，请指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C -中，点D 、1D 分别是AC 、11A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值.2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF //CE ，BF ⊥BC ，BF ＜CE ，BF =2，AB =1，AD 5(1)求证：BC ⊥AF ；(2)求证：AF //平面DCE ；3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，2PA PD ==，4AB =，1DC =，22AD BC ==(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)在线段PA 上是否存在点M ，使得∥DM 平面PBC ？若存在，求PM AM的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：(1)正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．题型三：平行关系的综合应用典型例题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，A 、B 、C 为所在棱的中点，则能得出平面//ABC 平面DEF 的是（）A ．B ．C ．D ．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是___________.例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11ADD A （包括边界）内运动，且//BP平面AMN ，则1PA 的长度范围为___．题型归类练1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A ．2B 5C 6D ．222．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点．当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN //平面A 1BD 则线段MN 的最小值为（）A ．1B 6C 2D 33．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11(BCC B 包括边界)内运动．若1PA ∥平面AMN ，则1PA 的最小值是（）A ．1B 5C 32D 64．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为正方体棱的中点，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 的个数是___________.5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 为AD 的中点，F 在PA 上，AP =λAF ，若PC //平面BEF ，则λ的值为_________.6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为11A B ，11B C ，11C A 的中点，2AB =，M 为BD 的中点，则下列说法正确的是______．①AF ，BE 为异面直线；②EM ∥平面ADF ；③若BE CF ⊥，则12AA =④若60BEC ∠=︒，则直线1A C 与平面11BCC B 所成的角为45°．1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（）A ．26B ．27C ．42D ．62．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 的中点．OE平面PAC；(1)证明：//3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，EAB FBC GCD HDA 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．EF平面ABCD；(1)证明：//(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．。

高一数学必修二2.2.1直线与平面平行2.2.2平面与平面平行的判定导学案(解析版)

2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定一、课标解读1、通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理2、理解并掌握两平面平行的判定定理，让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定3、培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力4、让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感二、自学导引问题1：如果你手里拿着一支笔（看作一条直线），如何保证笔与桌面平行呢？有哪些方法？直线和平面平行的判定定理符号表示问题2：空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？问题3：两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？平面与平面平行的判定定理三、合作探究1.根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？2.若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一个平面内有一条直线与另一个平面有公共点，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？3.三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？4.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？四、典例精析例1 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,M是线段EF的中点,求证:AM∥平面BDE.变式训练1 三棱柱111C B A ABC -中,E 为1AC 中点,F 为1CB 的中点.求证:EF ∥平面ABC例2 如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中.求证:平面11D AB ∥平面BD C 1变式训练2 在正方体1111D C B A ABCD -中,P N M ,,分别是11111,,D C C B C C 的中点,求证:平面MNP ∥平面BD A 1例3 如图所示,B 为ACD ∆所在平面外的一点,G N M ,,分别为BCD ABC ∆∆,的重心.(1) 求证:平面MNG ∥平面ACD(2) 求AD G MNG S S ∆∆:变式训练3 如图所示,a ∥α,αα∈D C B A ,,的另一侧的点，是,线段AC AB ,,AD 分别交α于G F E ,,,若5,4,4===AF CF BD ,则=EG ＿＿＿＿＿＿五、自主反馈1、判断下列说法是否正确？(1) 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行 ( )(2) 若一条直线a 和一个平面内的一条直线b 平行，则直线a 和这个平面平行( )(3) 若平面α外一直线a 与内α一直线b 平行，则a 与 α 平行 ( )2.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：（1）已知平面α，β和直线m ，n ，若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//；（2）一个平面α内两条不平行的直线都是平行与另一个平面β，则βα//.3.平面α与平面β平行的条件可以是（）（A ）α内有无穷多条直线都与β平行（B ）直线α//a ，β//a ，且直线a 不在α内，也不在β内（C ）直线α⊂a ，直线β⊂b ，且β//a ，α//b（D ）α内的任何直线都与β平行4.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，(1)与AB 平行的平面是 (2)与1AA 平行的平面是(3)与AD 平行的平面是5.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点.求证：平面AMN //平面EFDB .答案2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定例1 证明：OE O BD AC 连接设,=是矩形的中点，分别为ACEF EF AC M O ,, OE AM AOEM //∴∴是平行四边形，四边形 BDE AM BDE OE 平面平面⊄⊂,BDE AM 平面//∴例2 证明：设11111,O C A D B O AC BD == 为平行四边形四边形由1111,//B BDD DD BB ∴= BD C D B D B BD 11111//,//平面∴∴AO O C AO O C AO O C 111111//四边形，，且又∴= BD C AO OC AO 1111//,//平面为平行四边形，∴∴ BD C D AB 111//平面平面∴例3 证明：（1）连接BG BN BM ,,H F P CD AD AC ,,,,于并延长交的重心分别为BCD ABD ABC G N M ∆∆∆,,,, 则有2===GH BGNF BNMP BM连接PF MN PH FH PF //,,,有ACD MN ACD PF 平面，平面又⊄⊂ACD MG ACD MN 平面同理平面//,//∴ACD MNG M MN MG 平面平面//,∴=(2)9:1:=∆∆AD C MNG S S变式训练1. 略2.证明：连接11D B111111//,,D B PN C B C D N P ∴的中点分别是 BD PN BD D B //,//11∴又BD A BD BD A PN 11,⊂⊄平面BD A MN BD A PN 11//,//平面同理平面∴BD A PMN N PN MN 1//,平面平面又∴= 3.920自主反馈答案1.（1）错（2）错（3）对2.（1）错误（2）正确3.D4.略5.略。

高一数学空间中的平行关系

Байду номын сангаас
济南市长清第一中学
考点二平面与平面平行的判定与性质
1、设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β； ②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β； ③l∥α，m∥β，且l∥m； ④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
高中数学一年级
空间中的平行关系复习课
目录
1 知识回顾 2 考点一直线与平面平行的判定与性质 3 考点二平面与平面平行的判定与性质 4 考点三线面、面面平行的综合应用
知识回顾：
一、直线与直线平行
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
2、判定直线与直线平行的常用方法：（1）三角形中利用中位线定理（2）构造平行四边形（3）平行线的传递性（4）平行线分线段成比例
故面GFH∥面ACD
方法二取BE的中点M,连接GM,FM
G, M , F分别是CE, BE, AE的中点
GM // BC, FM // AB
又 GM 面GMF , FM 面GMF , AB 面ABC, BC 面ABC
GM FM M, AB BC B 面GMF // 面ABC
GF 面GMF
GF // 面ABC
考点一直线与平面平行的判定与性质
1.“直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”
的（）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：

8.5.2直线与平面平行教案-高一下学期数学人教A版必修第二册

8.5.2直线与平面平行教案一、内容和内容解析1. 内容直线与平面平行的判定与性质．2. 内容解析本节课是在学习了直线与平面平行的定义的基础上，探究直线与平面平行的判定定理和性质定理．直线与平面的平行关系是一种非常重要的空间位置关系．在直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行这三种平行关系的相互转化中，直线与平面的平行是很关键的一环．它既是进一步学习平面与平面平行的基础，其中也着直线与直线平行．正如前面所述，空间中，基本图形位置关系的研究，主要是以某两种图形的位置关系为前提（定义），研究相应的充分条件（判定）和必要条件（性质）．无论是判定还是性质，都是“空间基本图形确定的相互关系”．直线与平面平行的判定定理，反映了直线与平面在具备了什么条件下互相平行的问题，是充分条件．事实上，假设平面α外的一条直线a与α有交点，则平面α内的任意一条直线b与直线a要么相交，要么异面，即不存在与a平行的直线．直线与平面平行的性质定理，反映了在直线与平面平行的条件下，该直线与平面内特定的一些直线之间的位置关系，是必要条件．直线与平面平行的判定定理和性质定理的发现以及性质定理的证明过程，体现了直观感知、确认操作、思辨论证的立体几何研究的基本方法，有利于学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养．直线与平面平行的判定和性质的研究，是直线与平面平行、直线与直线平行两种位置关系的相互转化，体现了立体几何研究中空间问题平面化的研究思路．基于以上分析，确定本节课的教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究．二、目标和目标解析1．目标（1）探究并理解直线与平面平行的判定定理．（2）探究并证明直线与平面平行的性质定理．（3）结合直线与平面判定定理和性质定理的探究，体会立体几何中研究位置关系的判定和性质的方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能在直线与平面平行定义的基础上，将直线与平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定．达成目标（2）的标志是：学生能够将直线与平面的平行转化为该直线与平面内的直线之间的位置关系；并通过直线与平面平行的定义、直线与直线的位置关系的定义以及基本事实3的推论3，发现直线与平面平行的性质定理，并能对性质定理进行证明．达成目标（3）的标志是：结合直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究，体会什么是判定，什么是性质；了解发现图形位置关系的判定和性质的目标；能实现直线与直线、直线与平面的转化，体会其中空间问题与平面问题的转化．三、教学问题诊断分析在研究直线与平面平行的判定定理时，学生没有将直线与平面平行问题转化为直线与直线平行的问题解决经验．从直线与平面平行的定义转化到直线与平面内的一条直线平行是探究判定定理的关键，这里需要一定的生活实例和实验操作，学生直观感知，不难理解；但其中蕴含的转化思想值得学生认真体会．平面可以看成是由直线组成的．由直线a与平面α平行，可知直线a与平面α内的任何直线b都没有公共点，因此它们是异面直线或平行直线．由于a与b 没有公共点，如果再在四、教学过程设计（一）探究直线与平面平行的判定定理引言在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行是一种很重要的位置关系，不仅在现实生活中有广泛应用（比如木料划线），也是我们后面学习平面与平面平行的基础．如何判定直线和平面平行（即直线与平面平行的充分条件）？已知直线和平面平行的条件下，又蕴藏怎样的性质（即直线与平面平行的必要条件）？下面我们重点来探究这两个问题．问题1：根据定义，直线与平面平行是指直线与平面没有公共点．请同学思考，直接用定义去判断直线和平面平行与否是否方便？为什么？师生活动：学生思考后回答，师生对话，由于直线的无限延伸和平面的无限延展，很难直接判断直线与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．设计意图：直接用定义不易判定直线与平面是否平行，说明学习本课内容的必要性，激发学生的学习兴趣．由于平面可以看作是直线“编织”而成的“直线网”，因而直线与平面没有公共点即是等价于直线和平面内的任意一条直线没有公共点，但我们也不可能逐一检验平面内的每条直线．问题2：为便于判定，我们能否通过检验平面内较少条数的直线与平面外直线的位置关系来达到目的？如果可以，可以减少到几条？你能用生活中的实例来佐证你的结论吗？师生活动：教师设计如下“观察—探究”的活动，供学生在动手操作的基础上进行合情猜想：如图1（1），门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？如图1（2），将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动．在转动过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？在上述“观察—探究”的基础上，请学生尝试用自己的话说一说他们感受到的直线与平面平行的判定方法以及如何用字母符号和图形表示，之后再让学生看教科书里给出的直线与平面平行的判定定理，及其符号和图形表示．判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．设计意图：将利用定义判断，转化为“直线与平面内的一条直线平行”来进行判断．这一过程，体现了由复杂向简单、由空间向平面的转化．通过设置“观察—探究”活动，学生在直观感知的基础上进行大胆猜想，培养学生的数学抽象、直观想象等数学素养．追问1：为什么平面α外的直线a与α内的一条直线b平行，就可以说直线a和平面α平行了？你能对此做一个简要的解释吗？师生活动：学生思考交流，教师可以给予一定提示（反证法）．设计意图：增强说理，说明上述的猜想不是“瞎猜”．同时，反证法中会用到异面直线的判定，这也是对前面学习异面直线知识（教科书P130-例2）的一个回顾．追问2：这一定理告诉我们，通过直线间的平行，可以得出直线与平面平行，请说说这里面蕴含着怎样的数学思想方法？师生活动：学生回答，教师总结，指出转化的数学思想．设计意图：加深学生对定理的认识，明白将空间问题（直线与平面的平行）转化为平面问题（直线间的平行）是一种处理空间几何问题的常用方法．问题3：你能说说一定理在现实生活中的应用吗？师生活动：结合教科书中按照矩形镜子的例子，请同学们再多补充一些生活实例，体会其中的数学道理．设计意图：使学生了解判定定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识，进一步加强对判定定理的理解．（二）应用判定定理，熟练掌握例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．追问：（1）从要解决的问题来看，本题是要证明直线与平面平行，你能想到用什么方法？（学生活动预设：直线与平面平行的判定定理．）（2）EF与平面BCD中哪条直线平行？为什么？师生活动：在师生共同分析问题后，学生动笔完成证明过程，教师巡视，检查书写是否规范．设计意图：熟悉判定定理的应用，明确要证明直线与平面的平行，只需在平面内找出一条直线与该直线平行即可．同时规范书写格式．（三）探究并证明直线与平面平行的性质定理问题4：根据前述判定定理，我们已经研究了直线与平面平行的充分条件．下面我们将研究已知直线与平面平行，可以得到什么结论．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线是什么位置关系？师生活动：学生根据定义加以回答：或是异面直线，或是平行直线．设计意图：先对直线与平面平行条件下，该直线与平面内的直线具有怎样的位置关系做整体了解，然后再聚焦性质定理．追问1：若a∥α，平面α内的直线何时与直线a平行呢？你能够证明你的结论吗？师生活动：师生共同探究，假设平面α内的直线b与直线a平行，则a,b确定一个平面，记为β．我们可以将直线b看作是过直线a的平面β与平面α的交线．至此，老师可鼓励学生大胆提出猜想——若平面β经过直线a且与平面α相交，则直线a与平面α和β的交线b平行．在提出问题后，师生共同完成证明，并正式给出直线与平面平行的性质定理的文字、图形以及符号语言的描述．性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．设计意图：不同于通过观察、操作获得直线与平面平行的判定定理的过程，直线与平面平行的性质定理的研究更侧重于呈现提出问题，分析问题，最后解决问题的思辨过程．通过追问1的分析与解答，培养学生发现和提出问题的能力．追问2：直线和平面平行的性质定理给出了又一种判定两条直线平行的方法．请问使用该定理来判断直线与直线平行时共需要几个条件？师生活动：学生认真分析并回答问题．定理中的三个条件：（1）直线a和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b；（3）直线a在平面β内．教师然后给出一些命题让学生判断正误（比如“一条直线平行于一个平面，则它平行于这个平面内的所有直线．”），让学生明白定理中的三个条件缺一不可．设计意图：一方面提醒学生直线和平面平行的性质定理可作为直线与直线平行的判定方法，另一方面加深学生对定理结构的认识．（四）定理应用，巩固深化追问1：第（1）问是一个实际应用问题，你能用确切的数学语言对其进行刻画吗？师生活动：翻译成数学语言即是经过棱BC和BC外一点P作一个截面，确定该截面与木料表面的交线．追问2：该问题的数学本质是确定两个平面的交线．为了解决该问题我们可能用到哪些所学的知识？师生活动：直线与平面平行的性质定理，基本事实4和基本事实3及其推论．师生活动：学生思考，教师展示动画素材，为学生直观演示画线以及切割过程．设计意图：熟悉直线和平面平行的判定定理和性质定理的应用，让学生熟练掌握直线和直线平行、直线与平面平行的相互转化，同时规范解答格式．（五）巩固练习1．判断下列命题是否是真命题：（1）如果一条直线与平面内无数条直线没有公共点，则该直线与平面平行．（）。

平面与平面平行课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

证明：如图，平面α//平面β ，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b． ∵α∩γ=a，β∩γ=b， ∴a⊂α，b⊂β．又 α//β， ∴a，b没有公共点．又 a，b同在平面γ内， ∴a//b．
知识点二平面与平面平行性质定理
二、平面与平面平行性质定理
性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．符号语言： α//β，α∩γ=a，β∩γ=b a//b．
3
PARTTHREE
课堂小结
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
请回忆本节课内容，并回答下列问题：
（1）你学习了哪些知识？（2）本节课所学的知识中蕴含了什么样的数学思想？
类比、转化，特殊与一般的数学思想（3）直线、平面之间的平行关系是如何相互转化的？？
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
知识点二平面与平面平行性质定理
问题4：类比直线与平面平行的研究，下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出那些结论. 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？
追问4.1：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候这两条直线平行呢？在图中，平面A′B′C′D′与平面ABCD平行，在平面ABCD内过点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，怎样画出这条直线？
追问1.1：减少到一条可以吗？为什么？分析：也就是说“如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行”．通过分析，这是不一定成立的．
知识点一平面与平面平行判定定理
问题2：根据基本事实的推论2，3:两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线与另一个平面平行”或“一个平面内两条相交直线与另一个平面平行”，能否判断这两个平面平行？用自然语言和符号语言表示你的结论．

高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析

高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析1. a∥，则a平行于内的(D)A．一条确定的直线B．任意一条直线C．所有直线D．无数多条平行线【答案】D【解析】略2.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。

而由可得，从而有。

反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。

所以是的充分不必要条件，故选A3.直线a∥平面?，平面?内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有【答案】B【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。

则直线可能平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面。

故选B4. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是()A．过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行【答案】D【解析】经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，A不正确；在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交。

其它的点不行，B不正确；若过不在a，b上的任意一点，有直线l∥a，l∥b，则a∥b，与a，b异面矛盾，C不正确；在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，则该直线与直线a所在平面与直线b 平行。

而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一。

D正确，故选D5. a∥（判断对错） ( )【答案】错【解析】错误；6.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点7.、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。

高一数学直线与平面平行的判定与性质知识点复习

高一数学直线与平面平行的判定与性质知识点复
习
1.直线与平面平行的判定定理
符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.
[提醒]在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
2.直线与平面平行的性质定理
自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简称：线面平行，则线线平行.
符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b.
[提醒]一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面.
证明直线与平面平行，一般有以下几种方法
(1)若用定义直接判定，一般用反证法;
(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程;
(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.看过"高一数学直线与平面平行的判定与性质知识点复习"的还看了:。

高一数学人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定课件

(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CM. 证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF，所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM，所以BC1∥平面A1CM.

高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》知识点讲解

预测2012年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力．
二、考题诊断 1．(2010·山东高考)在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：两平行直线的投影不一定重合，故A错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B、C均错误．答案：D
证明：∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B1D1∥BD，又BD⊂平面C1BD，B1D1⊄平面C1BD， ∴B1D1∥平面C1BD，同理D1A∥平面C1BD. ∵B1D1∩AD1＝D1，B1D1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面 AB1D1， ∴平面AB1D1∥平面C1BD.
3.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1 C1D1中，底面是正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF；
证明：连接CD1、AD1， ∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点， ∴PQ∥CD1，又CD1⊄平面BPQ，PQ⊂平面BPQ， ∴CD1∥平面BPQ. 又D1Q＝AB＝1，D1Q∥DC∥AB， ∴四边形ABQD1是平行四边形， ∴AD1∥BQ，又∵AD1⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ， ∴AD1∥平面BPQ. 又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ. ∵AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.
()
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
解析：A、C中b都可能在面内故错，B中α与β相交
也可行．

人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质

人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质一、直线与平面平行的判定定理语言文字_______一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面______________二、平面与平面平行的判定定理语言文字一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，__________，a∥α，b∥α⇒α∥β作用证明两个平面__________1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．三、直线与平面平行的性质定理（1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：,,a a b a b αβαβ⊂=⇒∥∥．（4）直线与平面平行的性质定理的作用①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．四、平面与平面平行的性质定理（1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：,,.∥∥a b a b αβαγβγ==⇒1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 2．应用该定理证明线线平行．五、两个平面平行的其他性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．答案一、平面外平行平行二、相交平行a b P平行三、（1）平行交线四、（1）两个平行平面相交帮—重点1．直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定；2．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；3．掌握平面与平面平行的性质定理，并会应用性质定理解决问题．帮—难点1．线面平行、面面平行的综合应用；2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系的相互转化．帮—易错1．忽略线面平行、面面平行的判定定理使用的前提条件；2．忽略定理的必备条件致误．1．直线与平面平行的判定应用判定定理证明线面平行的步骤：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．1）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP的图形序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①连接AC ，AC ∥MN ，BC ∥PN 可得出面ACB ∥面MPN .∴AB ∥面MPN ；④AB ∥PN ，∴AB ∥面PMN ；②③中，AB 与面PMN 不平行．2）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB 的中点. 求证：1BC ∥平面1CA D ．【答案】证明详见解析．【解析】如图所示，连接1AC ，交1A C 于点O ，连接OD ，则O 是1AC 的中点． ∵点D 是AB 的中点， ∴1∥OD BC ．又∵OD ⊂平面1CA D ，1BC ⊄平面1CA D ， ∴1BC ∥平面1CA D ．3）如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .【证明】如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴F ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 2．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定方法有如下三种：（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难．（2）根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．（3）根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，有以下结论：①m ，n 相交且都在平面α，β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】设m ∩n ＝P ，则直线m ，n 确定一个平面，设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，因此，α∥β，即命题①正确；如图，在长方体中，直线EF 平行于平面ADD 1A 1和平面A 1B 1C 1D 1，即满足命题②的条件，但平面A 1B 1C 1D 1与平面ADD 1A 1不平行，因此命题②不正确；图中，EF ∥平面ADD 1A 1，BC ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ∥BC ，但平面ADD 1A 1与平面A 1B 1C 1D 1不平行，所以命题③也不正确．2）如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，,,,E F E F ''分别是,,,AB CD A B C D ''''的中点．求证：平面A EFD ''∥平面BCF E ''．【答案】证明详见解析．【解析】∵E E '，分别是AB A B ''，的中点，∴=A E BE ''∥．∴四边形A EBE ''为平行四边形， ∴A E BE ''∥．∵A E '⊄平面BCF E ''，BE '⊂平面BCF E ''，∴A E '∥平面BCF E ''．同理，A D ''∥平面BCF E ''．又A EA D A '''='，∴平面A EFD ''∥平面BCF E ''．利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤：第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论． 3．线面平行、面面平行的综合应用在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理．一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现．1）如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交【答案】 A【解析】把这三条线段放在正方体内如图，显然AC ∥EF ，AC ⊄平面EFG .EF ⊂平面EFG ，故AC ∥平面EFG .故选A.2）如图所示，在四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点.（1）求证：∥平面GF ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点H ，使得平面∥GFH 平面ACD ，若存在，请找出点H 并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，故∥GF AC . ∵GF ⊄平面ABC ，∴∥GF 平面ABC .（2）线段BC 上存在一点H 满足题意，且点H 是BC 的中点. 理由如下：由点,G H 分别为,CE CB 中点可得：∥∥GH EB AD .∵GH ⊄平面ACD ，∴∥GH 平面ACD .由（1）可知，∥GF 平面ACD ，且GF GH G =，.故平面∥GFH 平面ACD .本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行，着重考查了推理与论证能力． 4．直线与平面平行的性质定理的应用应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．1）若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．直线a上的点到平面α的距离相等B．直线a平行于平面α内的所有直线C．平面α内有无数条直线与直线a平行D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【分析】直线a与平面α内的所有直线平行或异面．【解答】解：由直线a平行于平面α，知：在A中，直线a上的点到平面α的距离相等，故A正确；在B中，直线a与平面α内的所有直线平行或异面，故B错误；在C中，平面α内有无数条直线与直线a平行，故C正确；在D中，平面α内存在无数条直线与直线a成90°角，故D正确．故选：B．2）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【答案】B【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在C中，n∥α或n ⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解析】由m，n表示两条不同的直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．3）在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．【答案】是【解析】因为侧面AA 1B 1B 是平行四边形，所以AB ∥A 1B 1，因为AB ⊄平面A 1B 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AB ∥平面A 1B 1C 1，同理可证：BC ∥平面A 1B 1C 1.又因为AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.4）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC =2FB =2，若∥MB 平面AEF ，试判断点M 的位置．【答案】M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ．【解析】如图，过F ，B ，M 作平面FBMN ，交AE 于N ．因为∥BF 平面11AAC C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN 平面11AAC C MN =，所以∥BF MN ．又∥MB 平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN 平面AEF FN =，所以∥MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以MN =BF =1．又EC ∥FB ，EC =2FB =2，所以MN ∥EC ，MN =12EC ，故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ． 5．平面与平面平行的性质定理的应用利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；（4）由定理得出结论．1）设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当点A 、B 分别在平面α，β内运动时，动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当点A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当点A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．无论点A ，B 如何移动都共面【答案】 D【解析】无论点A 、B 如何移动，其中点C 到α、β的距离始终相等，故点C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．2）下列命题中不正确的是( )A ．两个平面α∥β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【答案】 A【解析】选项A 中直线a 可能与β平行，也可能在β内，故选项A 不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C 正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B ，D 也正确，故选A.3）设α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS 的长是________．【答案】272或16【解析】有两种情况，当点S 在α，β面同侧时，如图(a )所示，∵α∥β，平面SBD ∩α＝AC ，平面SBD ∩β＝BD ，∴AC ∥BD ，AS BS ＝CSDS ，且AS AB ＝CS CD， ∴CS ＝AS ·CD AB ＝8×349－8＝272.同理，当点S 在α，β两平面之间，如图(b )所示，可证得AC ∥DB 及SA SB ＝CSDS ，∴CS CD －CS ＝89. ∴9CS ＝8CD －8CS ，∴CS ＝8CD 17＝8×3417＝16.4）已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A 、B 、C ，直线b 与这三个平面依次交于点E 、F 、G ．求证：AB EFBC FG=．【答案】证明详见解析．【解析】如图，连接AG 交β于H ，连接BH 、FH 、AE 、CG ．∵∥βγ，平面ACG ∩β＝BH ，平面ACG CG γ=，∴BH ∥CG ．同理AE ∥HF ， ∴AB AH EF BC HG FG ==，即AB EFBC FG=． ①当a 与b 共面时，有AE ∥BF ∥CG ．上述证明过程也是正确的，只是此时B 、H 、F 三点共线． ②连接CE ，可同理证明．③当a 与b 异面时，可过A （或B 、C ）作b 的平行线或过E （或F 、G ）作a 的平行线，再利用面面平行的性质定理可证得结论．以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”．6．忽略定理使用的前提条件致错如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α．这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确．∵a∥α，∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c．又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α．【错因分析】忽略了b⊂α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b与平面α有两种位置关系：b∥α和b⊂α．【正解】这个命题不正确．若b⊄α，∵a∥α，∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c．又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α．若b⊂α，则不满足题意．综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b⊂α．【易错警示】错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．7．对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略“第三个平面”这一条件如图，α∥β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，则AC所在的直线与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？【错解】这个说法正确．【错因分析】忽略了AB，CD可能异面的情况．当AB，CD异面时，AC与BD不平行．【思路分析】AB，CD共面时，AC∥BD；AB，CD异面时，AC∥β，但AC与BD不平行．同理BD∥α，但BD与AC不平行．【正解】这个说法错误．【易错警示】使用定理证明或判断线线平行和线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可．1.能保证直线a与平面α平行的条件是（）A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b【答案】D【解答】在A中，b⊂α，a∥b，则直线a与平面α平行或a⊂α，故A错误；在B中，b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c，则直线a与平面α平行或a⊂α，故B错误；在C 中，b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，则直线a与平面α平行、相交或a⊂α，故C错误；在D中，a⊄α，b⊂α，a∥b，由此利用线面平行的判定定理得直线a与平面α平行．故选：D．在A中，直线a与平面α平行或a⊂α；在B中，直线a与平面α平行或a⊂α；在C中，直线a与平面α平行、相交或a⊂α；在D中，利用线面平行的判定定理得直线a与平面α平行．2．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条【答案】A【解析】如图所示，正方体ABCD–A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱是BB1和DD1，共有2条．故选A．3.下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行B．α与β同时平行于同一条直线C．α与β同时要垂直于同一条直线D．α与β同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．故选：C．4．若平面α∥平面β，则（） A ．平面α内任一条直线与平面β平行B ．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C ．平面α内存在一条直线与平面β不平行D ．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交【答案】A【解析】根据平面与平面平行的性质可知，若a ⊂平面α，平面∥α平面β，则∥a 平面β.故选A. 5．已知a ，b 为不同的直线，α、β、γ为不同的平面.在下列命题中，正确的是（） A ．若直线//a 平面α，直线//a 平面β，则∥αβ B ．若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则∥αβ C ．若直线a α⊂，直线b β⊂，且∥a β，∥b α，则∥αβ D ．若平面∥α平面γ，平面∥β平面γ，则∥αβ 【答案】D【解析】若∥a α且∥a β，则α和β平行或相交，A 错误；若平面α内的无数条相互平行的直线均平行于平面β，则α和β可能相交，B 错误；若∥a b ，此时直线a α⊂，直线b β⊂，且∥a β，∥b α，则α和β可能相交，C 错误；由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，D 正确.本题正确选项为D.本题考查空间中的平行关系，涉及线线关系、线面关系、面面关系.求解时，根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果.6．设α、β是两个平面，a 、b 是两条直线，下列推理正确的是（）A ．∥∥∥a b a b ⎫⇒⎬⎭ααB ．∥∥a a a b b ⊂⎫⎪⇒⎬⎪=⎭αβαβC ．∥∥a b a b ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβD ．∥∥a b a b ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβ 【答案】 B【解析】对于A ，也可能a α⊂，故A 错误，对于B ，根据线面平行的性质定理可知B 正确；对于C ，由α，β平行可知a ，b 没有公共点，故a ，b 平行或异面，故C 错误；对于D ，若α，β相交，a ，b 均与交线平行，显然结论不成立，故D 错误．故选B ．本题考查线线、线面、面面位置关系的判定及性质，属于基础题.求解时，根据空间线面位置关系的定义、判定定理和性质进行判断．7．如图，在平行六面体ABCD −1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱,,AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①1A M ∥1D P ； ②1A M ∥1B Q ； ③1A M ∥平面11DCC D ； ④1A M ∥平面11D PQB .则以上正确说法的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】连接PM ，因为M 、P 分别为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD .由题意知AD 平行且等于11A D ，故PM 平行且等于11A D ，所以四边形11PMA D 为平行四边形，所以1A M ∥1D P ，故①正确. 显然1A M 与1B Q 为异面直线.故②错误.由①知1A M ∥1D P .由于1D P 在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内，且1A M 不在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内.故1A M ∥平面11DCC D ，1A M ∥平面11D PQB ，故③④均正确. 所以正确说法的个数为3，故选C.本题主要考查线面平行的判断.其中通过证明平行四边形得到线线平行是解题的关键.8．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，过BD 1的平面，分别与AA 1，CC 1交于M ，N ，则四边形BND 1M 的形状为________．【答案】平行四边形【解析】由题意知，平面A1B∥平面C1D，∴MB∥D1N，同理，D1M∥BN. ∴四边形BND1M是平行四边形．9．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为________.【答案】平行或相交【解析】三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行；当三条平行线段不共面时，两平面一定平行. 故填平行或相交.10．三棱锥S−AB C中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.【答案】平行【解析】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，又AE=2ES，所以EG∥SM，又EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SB C.故填平行.11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个结论中，正确结论的序号是________．【答案】①②③④【解析】展开图可以折成如图①所示的正方体．图①在正方体中，连接AN ，如图②所示，图②∵AB ∥MN ，且AB ＝MN ，∴四边形ABMN 是平行四边形．∴BM ∥AN ，∴BM ∥平面DE ，同理可证CN ∥平面AF ，∴①②正确；如图③所示，图③可以证明BM ∥平面AFN ，BD ∥平面AFN ，则平面BDM ∥平面AFN ，同理可证平面BDE ∥平面NCF ，所以③④正确．12．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，∥AB DC .设E 是DC 的中点，求证：1∥D E 平面1A BD .【答案】见解析. 【解析】连接BE .∵E 是DC 的中点，22DC AD AB ==，AD DC ⊥，∴四边形DABE 为正方形， ∴11BE AD A D ==，且11∥∥BE AD A D ，∴四边形11A D EB 为平行四边形，∴11∥D E A B ， ∵1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，∴1∥D E 平面1A BD .本题主要考查线面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两面平行，在其中一平面内的直线平行于另一面.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，且1∥A B 平面1AC D ，1D 是11B C 的中点.求证：平面11A BD ∥平面1AC D . 【答案】见解析.【解析】连接1A C 交1AC 于点E ，连接ED ， ∵四边形11A ACC 是平行四边形，∴E 是1A C 的中点，1A B ∥平面1AC D ，平面1A BC 平面1AC D DE =，∴根据线面平行的性质定理，可得1ED A B ∥，E 是1A C 的中点，D ∴是BC 的中点，又1D 是11B C 的中点，11BD C D ∴∥且11BD C D =，∴四边形11C D BD 为平行四边形，11C D BD ∴∥，1BD ∴∥平面1AC D ，又11A BBD B =，∴平面11A BD ∥平面1AC D .本题主要考查了线面平行的性质定理的应用，以及面面平行的判定与证明，其中解答中把握几何体的结构特征，熟练应用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．求解时，连接1A C 交1AC 于点E ，连接ED ，利用线面平行的性质定理，证得1ED A B ∥，又由四边形11C D BD 为平行四边形，得11C D BD ∥，证得1BD ∥平面1AC D ，利用面面平行的判定定理，可得平面11A BD ∥平面1AC D .14．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）1∥C O 平面11AB D ；（2）平面11∥AB D 平面1C BD . 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连接11A C 交11B D 于点1O ，连接1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体，∴四边形11A ACC 是平行四边形，11∥A C AC ∴且11A C AC =，又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11∥O C AO ∴且11O C AO =，∴四边形11AOC O 是平行四边形，11,∥C O AO ∴又1AO ⊂平面11AB D ，1C O ⊄平面11AB D ，1∥C O ∴面11AB D .（2）1111ABCD A B C D -是正方体，1111,∥∥AB DC AD BC ∴，∴1∥AB 平面1,C BD 1∥AD 平面1C BD ，又11,AB AD A =1AD ⊂平面111,AB D AB ⊂平面11AB D ，∴平面11∥AB D 平面1C BD .本题主要考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.15.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是（） A ．A 1O ∥D 1C B ．A 1O ⊥BC C ．A 1O ∥平面B 1CD 1 D ．A 1O ⊥平面AB 1D 1【答案】C【解析】∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，∴A 1D ∥B 1C ，OD ∥B 1D 1， ∵A 1D ∩DO ＝D ，B 1D 1∩B 1C ＝B 1，∴平面A 1DO ∥平面B 1CD 1， ∵A 1O ⊂平面A 1DO ，∴A 1O ∥平面B 1CD 1．故选：C ．推导出A 1D ∥B 1C ，OD ∥B 1D 1，从而平面A 1DO ∥平面B 1CD 1，由此能得到A 1O ∥平面B 1CD 1．16.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ．本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．17．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A ．若m ⊂α，∥n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，∥n α，则∥n βC ．若m ⊂α，∥n α，m ，n 共面于β，则∥m nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -中，取，m n 分别为棱11，BC C D ，平面α为平面，ABCD β为与平面1111A B C D 平行的平面，满足选项A 中的条件，但是∥αβ，选项A 错误；取，m n 分别为棱1，BB BC ，平面，αβ为1111，A B C D ABCD ，满足选项B 中的条件，但是n ⊂β，选项B 错误；取，m n 分别为棱1，AB AA ，平面，αβ分别为平面111111，BCC B A B C D ，满足选项D 中的条件，但是m n A =，选项D 错误.本题选择C 选项.18．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，11C D ，11D A ，1D D ，1C C 的中点.则下列叙述中正确的是（）A ．直线∥BQ 平面EFGB ．直线1∥A B 平面EFGC ．平面∥APC 平面EFGD ．平面1∥A BQ 平面EFG【答案】B【解析】过点,,E F G 的截面如图所示（,H I 分别为1,AA BC 的中点）1∥A B HE ，1A B ⊄平面EFG ，HE ⊂平面EFG ，1∥A B ∴平面EFG .本题正确选项为B.本题考查了直线与平面、平面与平面平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.求解时，将平面EFG 扩展，可作出过,,E F G 的正方体的截面，易证得1∥A B 平面EFG .19.如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．②④【答案】C【解析】正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，在图①中，∵BC ∥PN ，AC ∥PM ，AC ∩BC ＝C ，PN ∩PM ＝P ，∴平面ABC ∥平面PMN ， ∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故①能得出AB ∥平面MNP ；在图②中，∵AC ∥MN ，BC ∥PN ，AC ∩BC ＝C ，MN ∩PN ＝N ，∴平面ABC ∥平面PMN ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故②能得出AB ∥平面MNP ；在图③中，BC ∥MN ，AC ∥PN ，BC ∩AC ＝C ，MN ∩PN ＝N ，∴平面ABC ∥平面PMN ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故③能得出AB ∥平面MNP ；在图④中，AB ∩PB ＝B ，PB ⊂平面PMN ，∴AB ∩平面PMN ＝B ，故④不能得出AB ∥平面MNP ．故选：C ．在图①中，由BC ∥PN ，AC ∥PM ，推导出AB ∥平面MNP ；在图②中，由AC ∥MN ，BC ∥PN ，推导出AB ∥平面MNP ；在图③中，由BC ∥MN ，AC ∥PN ，推导出AB ∥平面MNP ；在图④中，AB ∩平面PMN ＝B ．20．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G H ，，则HG 与AB 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A 【解析】,E F 分别是11,AA BB 的中点，∥EF AB ∴.又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，AB ∴∥平面EFGH . 又AB平面ABCD ，平面ABCD平面EFGH GH =，AB GH ∴∥.本题考查线面平行的判定和性质，属于简单题.求解时，由EF AB ∥得到∥AB 平面EFGH ，从而得到AB GH ∥.21．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在A 1B 1上，且B 1E =1，记图中阴影平面为平面α，平面α∥平面BC 1E ，若平面α∩平面AA 1B 1B =A 1F ，则AF 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】A【解析】因为平面α∥平面BC 1E ，平面α∩平面AA 1B 1B =A 1F ，平面BC 1E ∩平面AA 1B 1B =BE ，所以A 1F ∥BE .又A 1E ∥BF ，所以四边形A 1EBF 是平行四边形，所以A 1E =BF =2，所以AF =1.故选A.本题考查平面与平面平行的性质定理.属于中档题.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行;平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行.特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性. 22．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.【答案】平行【解析】∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EB ＝FD ．又∵EB ∥FD ，。

高一数学必修一复习知识点总结(最新6篇)

高一数学必修一复习知识点总结（最新6篇）高一必修一数学复习知识点梳理篇一直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。

直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

高一必修一数学复习知识点梳理篇二定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q 是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质

两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。

高中数学专题-直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质一、线线平行的证明方法（一）利用平行四边形；（二）利用三角形或梯形的中位线或平移；（三）如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行；（线面平行的性质定理）（四）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；（面面平行的性质定理）（五）如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行；（线面垂直的性质定理）（六）平行于同一条直线的两条直线平行；（七）夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

（需证明）二、线面平行的证明方法（一）定义法：直线与平面没有公共点；（二）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；（线面平行的判定定理）（三）两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法（一）定义法：两平面没有公共点；（二）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（面面平行的判定定理）（三）平行于同一平面的两个平面平行；（四）经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行；（五）垂直于同一直线的两个平面平行。

相关例题1．通过“平移”再利用平行四边形的性质① 如图,四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；② 如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB ＝1,BC ＝2,CD ＝1＋3,过A 作AE ⊥CD,垂足为E,G 、F分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；③ 已知直三棱柱ABC －A1B1C1中,D, E, F 分别为AA1, CC1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C1D ⊥BC ；（Ⅱ）C1D ∥平面B1FM.DA 1AF（第1题图）④如图所示, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBA⊥⊥CD=2AB, E为PC的中点, 证明://EB PAD平面;【相关点拨】①取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形；②取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形；③连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA；④取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形2．利用三角形、梯形中位线的性质①如图,已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证：AM∥平面EFG。

高一数学直线、平面平行的判定及其性质测试答案

直线、平面平行的判定及其性质测试答案第1题. 已知a αβ= ，m βγ= ，b γα= ，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题.答案：Ａ．第3题.答案：证明：连结A F 并延长交B C 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，B F M F F DF A=∴，又由已知P EB FE AF D =，P EM FE AF A=∴．由平面几何知识可得EF //PM ，又E F P B C ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第4题.答案：证明：如图，分别在A B 和C D 上截取11AE A E =，11D F D F =，连接1E E ，1FF ，E F ． ∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于A E ，11D F 平行且等于D F ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1A A ，1FF 平行且等于1DD ．1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11E F F E 为平行四边形，11E F EF //．∵ ∴11E F //平面A BC D ．第5题.答案：111∶∶第6题. 如图，正方形A B C D 的边长为13，平面A B C D 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是P A ，D B 上的点，且58PM M A BN N D ==∶∶∶．（１）求证：直线MN //平面PBC ；（2）求线段M N 的长．（１）答案：证明：连接A N 并延长交B C 于E ，连接P E ，则由AD BC //，得B NN EN D A N =．B NP MN D M A =∵，N EP MA N M A =∴． MN PE ∴//，又P E ⊂平面PBC ，M N ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ．（２）解：由13PB BC PC ===，得60P B C ∠=þ；由58B E B N A DN D==，知5651388B E =⨯=，由余弦定理可得918P E =，8713M N P E ==∴．第7题.答案：证明：连接A C 、B D 交点为O ，连接M O ，则M O 为B D P △的中位线，∴PD MO //． P D ⊄∵平面M A C ，M O ⊂平面M A C ，∴PD //平面M A C ．第8题.答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接O F ，O B ，O F ∵ 平行且等于1112B C ，B E 平行且等于1112B C ， O F ∴ 平行且等于B E ，则O F E B 为平行四边形，EF ∴//B O ． E F ⊄∵平面11BB D D ，B O ⊂平面11BB D D ， ∴EF //平面11BB D D ．第9题.答案：解：如图，连接D B 交A C 于点O ，取1D D 的中点M ，连接M A ，M C ，则截面M A C 即为所求作的截面．M O ∵为1D D B △的中位线，1D B M O ∴//．1D B ⊄∵平面M A C ，M O ⊂平面M A C ，1D B ∴//平面M A C ，则截面M A C 为过A C 且与直线1D B第10题. 第11题.答案：证明：111111B B AA B B D D A A D D⎧⎪⇒⎨⎪⎩ ∥ ∥ ∥⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B D B D B A BD D B A BD ⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩ 平面同理平面////⇒111B C D A BD 平面平面//．第12题. 答案：证明：（１）AM C N M N AC M BN BAC M N P AC M N P M N M N P⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．C NC P PN BD N BPDBD M N P BD M N P PN M N P⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）M N P AC D PE AC AC D PE AC AC M N P =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题.答案：证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是A C ，C B ，B D ，D A的中点．， EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面．CD EH ∵//，C D ⊄平面E F G H ，E H ⊂平面E F G H ， CD ∴//平面E F G H ．同理AB //平面E F G H ．（２）设PQ 平面E F G H ＝N ，连接P C ，设PC EF M = ．PCQ △所在平面平面E F G H ＝M N ， C Q ∵//平面E F G H ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．E F ∵ 是A B C △是的中位线， M ∴是P C 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面E F G H 平分．第14题.答案：Ｄ．第15题.答案：Ａ．第16题.答案：20．第17题.答案：m n ∶．第18题. 答案：（１）证明：BC ∵//平面E F G H ，B C ⊂平面ABC ，平面ABC 平面E F G H E F =， BC EF ∴//．同理BC GH //， EF GH ∴//，同理EH FG //， ∴四边形E G F H 为平行四边形．（２）解：∵A D 与B C 成60þ角，∴60H G F ∠=þ或120þ，设:A E A B x =，∵E F A Ex B C A B==， B C a =，∴E F ax =，由1E H B Ex A D A B==-，得(1)EH a x =-．∴sin 60EFG H S EF EH =⨯⨯四边形þ(1)2ax a x =⨯-⨯22()2a x x =-+2211()224x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦．当12x =时，28S a =最大值，即当E 为A B的中点时，截面的面积最大，最大面积为28a ．第19题.答案：425∶第20题.答案：证明：如图，取C D 的中点E ，连接N E ，M E ∵M ，N 分别是A B ，P C 的中点， NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面P A D ，ME //平面P A D ．又NE ME E = ，∴平面MNE //平面P A D ，又M N ⊂平面M N E ，∴MN //平面P A D ．第21题.答案：证明：分A B ，C D 是异面、共面两种情况讨论．（１）当A B ，C D 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．AE EB C F FD =∶∶∵，EF AC BD ∴////且E F α⊄，A C α⊂，∴EF //平面α．（２）当A B ，C D 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD //交β于点H ．在H 上取点G ，使A G G H mn =∶∶，连接E F ，由（１）证明可得GF HD //，又A G G H A EE B =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α．第23题.答案：Ｂ．第24题.答案：Ａ．第25题. 如图，已知点P 是平行四边形A B C D 所在平面外的一点，E 、F 分别是P A 、B D 上的点且::P E E A B F F D =，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结A F 并延长交B C 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，B F M F F DF A=∴，又由已知P EB FE AF D =，P EM FE AF A=∴．由平面几何知识可得EF //PM ，又E F P B C ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第26题.答案：证明：如图，分别在A B 和C D 上截得11AE A E =，11D F D F =，连接1E E ，1FF ，E F ．∵长方体1AC 的各个面为矩形， 1EE ∴平行且等于1A A ，1FF 平行且等于1DD ．1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11E F F E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面A B C D ，11E F ⊄平面A B C D ， ∴11E F //平面A B C D ．第27题.答案：证明：因为1111ABC D A B C D -为正方体，所以1111D C A B //，1111D C A B =．又11AB A B //，11AB A B =，所以11D C AB //，11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C B D ．同理11D B //平面1C B D ，又1111D A D B D = ，所以，平面11A B D //平面1C B D ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外．求证：b α//．答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ．因为a α//，a β⊂，c αβ= ，所以a c //．因为a b //，所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄，所以b α//．第29题. 如图，直线A A '，B B '，C C '相交于O ，A O A O ='，B O B O ='，C O C O ='．求证：ABC //平面A B C '''．答案：提示：容易证明AB A B //''，AC A C //''．进而可证平面ABC //平面A B C '''．第30题.答案：Ｃ．。

证明线面平行的方法(共10篇)

证明线面平行的方法（共10篇）篇1：证明线面平行一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)2【直线与平面平行的判定】定理:平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。

【判断直线与平面平行的方法】(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面3篇2：证明线面平行【直线与平面平行的判定】定理:平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。

【判断直线与平面平行的方法】(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的`直线必平行于另一个平面。

【平面与直线平行的性质】定理:若一条直线平行于一个平面，则通过该直线的任意平面与该平面的交线平行于该直线。

这个定理揭示了直线与平面的平行性隐含着直线之间的平行性。

可以得出直线平行于平面。

这提供了一种制作平行线的重要方法。

注意:直线平行于平面并不意味着所有的直线都平行于平面，而是直线垂直于平面，所以这条直线垂直于平面中的所有直线。

3本题就用到一个关键概念：重心三分中线设E为BD的中点，连接AE，CE则M在AE上，且有AM=2MEN在CE上，且有CN=2NE在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3EN:EC=1:3所以，MN//ACAC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点所以，MN//平面ACD本题就用到一个关键概念：重心三分中线设E为BD的中点，连接AE，CE则M在AE上，且有AM=2MEN在CE上，且有CN=2NE在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3EN:EC=1:3所以，MN//ACAC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点所以，MN//平面ACD篇3：证明线面平行的方法证明线面平行的方法证明线面平行的方法线面平行重点难点剖析线面平行关系的判断和证明是空间线面位置关系的研究重点之一，它包括直线与直线的平行，直线与平面的平行以及平面与平面的平行.本节复习包括首先要系统梳理有关判断、证明线面平行关系的各种依据，其中既包括有关定义、公理，还包括相应的判定定理或性质定理.梳理中不仅要明确有关判断、证明各有哪些依据，还要体会不同的依据在思维策略上给我们的指导.例如判断线面平行可有三种思维策略：(1)从概念考虑，即依据线面平行的'定义作思考，这就需要证明直线和平面没有公共点.证明方法通常选择反证法.(2)从降级角度考虑，即通过证明线线平行来证明线面平行.其依据为：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.证明方法通常是把平面外的这条直线经过平移，移到这个平面中去.(3)从升级角度考虑，即通过证明面面平行来证明线面平行.其依据为：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.证明方法是找出一个与这个平面平行的平面，并且使这条直线正好在所找的平面内.其中思维策略的选择不仅要注意建立这种意识，还要根据不同问题的不同条件，才能作出恰当的选择.在复习中应注意积累这种思考、选择的经验.2题目如图1,已知四边形ABCD,ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF和AC上,且FM=AN,求证:MN∥平面EBC.一、找“线线平行”思考1如图2,过M作MH∥EF交BE于H,则MHEF=BBMF.过N作NG∥AB交BC于G,则NGAB=CANC.由于四边形ABCD,ABEF为两个全等正方形,则BF=AC,EF=AB,又因为FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四边形MHGN为平行四边形,所以MN∥平面EBC.思考2如图3,连结AM并延长交BE于K,则CK在平面EBC内.由题意,知△AFM∽△BKM,则AMMK=BFMM,因为FM=AN,BF=AC,则FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,则MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面内找一条直线与平面外直线平行,通常有两种方法可找:①构造平行四边形;②构造三角形,利用对应边成比例.二、找“面面平行”思考3如图4,过M 作MH∥BE,交AB于H,连结NH,则BMBF=BBHA.由于四边形ABCD,ABEF为全等的的正方形,又因为FM=AN,则有BMBF=CCNA,所以在3线面的我已经给你了我来补充线线的1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行篇4：高中数学证明线面平行方法一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用平行平面的性质:如果两个平面平行，则一个平面中的直线一定平行于另一个平面。

高一年级数学直线与平面平行的判定定理

问题 3 根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
五、规律总结直线与平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
符号表示：
a
b
a
//
a // b
a
b
（2）与 AA平行的平面是＿平＿面＿B＿BC＿C ＿平＿面＿C＿C＿DD＿
（3）与AC平行的平面是＿＿＿平＿面＿＿AB＿C＿D ＿＿＿
D A
D A
C B
C B
八、定理应用
例1：如图，长方体 ABCD ABCD 中，（1）与AB平行的平面是＿平＿面＿AB＿C＿D＿平＿面＿＿CC＿D＿D
（2）与 AA平行的平面是＿平＿面＿B＿BC＿C ＿平＿面＿C＿C＿DD＿
EF / /BD
B
C
EF//平面BCD.
变式强化
小结
思考交流
作业
九、变式练习
如图,在空间四面体A-BCD中,E、F、M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点
【变式一】四边形EFMN , 是什么四边形？平行四边形
【变式二】直线AC与平面EFMN的位置关系是什
A
么？为什么？ AC与平面EFMN平行
BD1
/
/
EO
EO / /平面BCD1
D
C
O
A
B
变式强化
小结
思考交流
作业
思考交流：
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. A1 ∵O 为矩形ABCD对角线的交点,

高一数学平行平面的判定

D1
C1 B1
正方体ABCD A1B1C1D1中，
A1
证明平面C1BD // 平面AB1D1. D 证明： A B AB CD C1D1 ABC1D1是平行四边形
C
BC1 // AD1
BC1 平面AB1D1 AD1 平面AB1D1
BC1//平面AB1D1
同理C1D//平面AB1D1
BC1 C1D=C1
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
； /chengjiaoliang/ 成交量；
品/客客气气の进城/不敢在露出跋扈之态/谭妙彤着马开和叶静云都心惊の站在那里/她解释道/那些血液相信玄元境の精血/留在这里镇守城门の/孕育着它们の意/所以特别恐怖/不相信玄命境の大修行者能撼动の/||玄元境の血液/叶静云心里跳咯跳/玄元境相信玄命境之上の壹佫境界/也相信 ‘吞日月之精华’の大修行者/但玄元境の强者未免太过恐怖咯/单单血液就能震杀玄命境/这超出她の想象/纪蝶此刻也受到触动/静静の着城门/面色虽然冷艳/但能出她の不平静/|玄元境又称呼为王境/真正步进咯修行打大殿堂/已经存在相当の成就/在普通人眼里相信可望不可及の强者咯/这等强者能凌空而行/能排山倒海/世俗之人甚至存在人敬畏它们为神/在修行者の层次里/也算王者/|谭妙彤解释道/|步进玄元境/才真正の步进强者层次/|谭妙彤说话间/带着马开壹大伙儿前往城门/存在着之前の例子/马开等人自然准备咯壹些价值百金の物品进城/可它还未取出来/就被谭妙彤笑着阻拦/恁们不用进城费/||嗯/在叶静云疑惑里/谭妙彤跑到城门口/被几佫守卫挡下来/谭妙彤也没存在说什么/取出壹块晶莹剔透の玉佩/放在手心/几佫守卫到这块玉佩/面色剧变/猛然跪倒在地上/见过大姐/|守卫の反应让城门所存在人都瞪圆咯眼睛/这些守卫