§3.1-2哥西定理哥西积分

合集下载

第三章复变函数的积分(余家荣2014)

( x, y)
zdz (x iy)(dx idy)
C
( x0 , y0 )
( x, y)
(xdx ydy) i(xdy ydx) ( x0 , y0 )
x
y
( x, y)
xdx ydy i dxy
x0
y0
( x0 , y0 )

1 2
(
x2
dz

2i

0
n0 n0
目录上页下页返回结束
【例1.4】设C为连接z0, z两点的简单曲线，求 c dz, c zdz
( x, y)
x
y
解: dz dx idy dx i dy
C
( x0 , y0 )
x0
y0
( x x0) i( y y0) z z0
【例1.1】设C为从0到1+i的直线段, 求 (x y ix2 )dz C
I (x y ix2)(dx idy) C
(x y)dx x2dy i x2dx (x y)dy
C
C
C : y x 1 x2dx i 1 x2dx
目录上页下页返回结束
2. 结论: 任意两个原函数相差一个常数. Proof: 设F(z),Φ(z)为f(z)的任意两个原函数
[(z) F(z)] f (z) f (z) 0 (z) F(z) C
即： (z) C F(z)
3. De2.2: 设f(z)在D内连续, 积分上限为z , 下限为α,
n
n
推广 c k fk (z)dz k c fk (z)dz

通信工程专业函授(业余)本科教学大纲

（二）参考书目
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。

柯西积分定理

受此启发 ,柯西(Cauchy) 于1825年给出如下定理 :
二、柯西－古萨特基本定理
1、柯西积分定理——单连通区域
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那么函数 f (z) 沿 D 内的任何一条封闭曲线 C
的积分为零: ?c f (z)dz ? 0.
1851年，黎曼在附加假设“f ?(z) 在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明．
C
D
黎曼证明令 z ? x ? iy, f (z) ? u( x, y) ? iv(x , y),
则 ?C f (z)dz ? ?C udx ? vdy ? i ?C vdx ? udy ,
而 f ?(z)在D内连续，则 ux , u y , vx , v y在D内连续，
且满足C—R方程： u x ? v y , u y ? ? vx
C
?a
C1
? 故
1 C (z ? a)n
dz ?
? 2? i ,
? ?
0,
n?1 n ? 1.
重要
积分
此结论非常重要 , 用起来很方
公式
便, 因为C不必是圆, a也不必是
圆的圆心, 只要a在简单闭曲线
C 内即可 .
例5
计算积分
?C
2z z2
? ?
1 dz , z
C
为包含圆周
y
z
?1
在内的任何正向简单闭曲线.
L2 ? AA?F ?B?BFA . 由于f (z)在L1及L2所围闭单通区域上解析,
? ? 故 f (z)dz ? 0,
f (z)dz ? 0, 从而有
L1
L2
? ? ? ? f (z)dz ? f (z)dz ? ︵ f (z)dz ? ︵ f (z)dz

2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载

2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。

柯西积分定理ppt课件

1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
10
定理3.2.2' 设简单闭曲线L是单连通区域D的边界, f (z)在闭区域D D L上解析，则
L f (z)dz＝0.
定理3.2.3(推广的Cauchy积分定理) 设D是简单闭曲线L所围成的区域. 若f (z)在D上解析，在 D D L上连续,则
第二节柯西积分定理
• 一、单连通区域的柯西积分定理 • 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式 • 三、多连通区域上的柯西积分定理
1
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
观察上节例2, 被积函数当 n 1 时为 1 ,
证设L是光滑曲线z z(t)(a t b), z(a) , z(b) ,则
f (z)dz L
b F ' (z(t))z' (t)dt
a
F(z(t)) b a
F(z(b)) F(z(a)) F( ) F().
若L是分段光滑曲线，则可把积分分成几段计算，
再求和。
20
另证由假设，根据推论3.2.1和定理3.2.6，
z
F(z) f ()d z0
是在D内确定的一个函数. 下证F ' (z) f (z),z D. 任意取定z1 D，令L0为D内连接z0与z1的一条简单曲线，
16
并取z D与z1充分接近，记L1 L0 z1z,则

柯西积分公式及高阶导数公式

2
z 1
2
1 f (z) f ( z0 ) dz . Czz 2πi 2 0
z 1

2
i.
(2) 根据 Cauchy积分公式 ,
4 dz z 1 dz 的分段光滑 ( 或可求长 ) Jordan 曲线 , 则 1 z2 1 1 z 1 z 1
如果各阶导数存在的分段光滑 (或可求长) Jordan曲线, 则 ,
并且导数运算可在积分号下
进行, 则 f (z) 1 f (z) 1 (1) 解析函数是否存 f ( z0 )f ( z d z . ) d z , 2 Czz 2πi 0 0 2 i ( z z ) 在各阶导数? 0 C
设C表示正向圆周
x 2 y 2 3,
3 2 7 1 f (z) d , 求 f (1 i ). C z
解根据 Cauchy积分公式, 当z在C内时,
f ( z ) 2 πi 3 7 1
定理2.5 设f (z)是单连通区域 D上的解析函数, 2
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C

ez z2 1

2
dz , 其中C是正向圆周 z r 1
由复合闭路定理
定理2.4 设 C , C1z, C2 ,, Cn 是多连通区域D内

第三章 3.2-3.3 柯西积分定理及公式

C2
f (z) dz f (z) dz 0 ,
ab
由 f (z) dz f (z) dz 0 ,
ba ab
C
1
f (z) dz f (z) dz 0 ,
C2 C2
C f ( z ) d z 0
或
C
1
f (z) dz
f (z) dz .
4
二、闭路变形原理
d z0
G
意义将 z0 换成 z，积分变量 z 换成，则上式变为
f (z)
1 2π i
f ( ) C z d , ( z D) .
解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。
20
一、柯西积分公式
f (z) dz
f (z) dz
C2
f (z) dz .
可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，因此，C f ( z )dz C f ( z )dz
1 2
可记为

z1
z0
f ( z )dz.
10
例计算 I sin z d z , 其中 C 为如图所示的一个半圆。
P66 定理 3.7
z
D C
在边界 C 上连续，z0 D , 则
f ( z0 ) 1 f (z) C z z0 dz. 2i
d z0
G
证明 | 右边左边 |
(思路)
| f ( z ) f ( z0 ) | 1 Γ | z z0 | ds , 2π
1 2π δ , 2π d

曲线和曲面上的积分

Px, 1 ( x) ) Px, 2 ( x) )dx
d a
P( x, y )dx
C
7
Green定理证明(续3)
• 两式相加就得到
Q P dxdy Pdx Qdy x y W C
8
Green公式例题1
• 计算曲线积分
• 计算得到
x x P x x P y x P z x P P u v vu x u v y u v z u v
2
x x P x x P y x P z x P P v u uv x v u y v u z v u
24
一般形式Stokes定理
• 设W是平面R2中的有界闭区域, 其边界W由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成. : W R3为单射分片光滑. S=(W), S=(W). F=(P,Q,R)为S上的一个分片光滑向量场,则
S
F dr Pdx Qdy Rdz rot F ) Nd
2
21
Stokes公式(续4)
• 这就有 x x P ( z, x) P ( x, y ) P P u v v u z (u, v) y (u, v) • 所以
P ( z, x) P ( x, y ) Pdx z (u, v) y (u, v) dudv S W P P dzdx dxdy z y S
26
19
R Q P R Q P rot F , , y y z x x y
Stokes公式(续2)
• 下面计算： Pdx
S
Pdx P( x(u(t ), v(t )), y(u(t ), v(t )), z(u(t ), v(t )))dx(u(t ), v(t ))

第三章哥西定理

i 2 i e dt 2 dz c z a 0 eit i 0 dt 2 i.
当
n 1 且为整数时,
it 2 i e dz i 2 i ( n1)t c ( z a)n 0 neint dt n1 0 e dt
2 i 2 n1 cos(n 1)tdt i sin(n 1)tdt 0. 0 0
L
L 为 L 的负向曲线．
(5) 积分的模不大于被积表达式模的积分，即

L
f ( z)dz f ( z) dz f ( z) dS
L L
这里 dS 表示弧长的微分，即
dS (dx) 2 (dy) 2
f ( z ) 连续, 且 f ( z ) 在 L 上满 (6) 积分估值定理若沿曲线 L ，
第三章哥西定理哥西积分 (Gauchy theorem, Gauchy integration)
学习要求
1 理解复变函数积分的概念；了解复变函数积分的基本性质；掌握计算复变函数积分的一般方法。 2 理解哥西定理。 3 理解复合闭路定理和闭路变形原理，并能灵活应用。 4 掌握哥西积分公式和高阶导数公式；了解解析函数具有无穷可微性。
同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．
在解决实际问题中也是有力的工具．本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计
算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－
古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我
们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的
导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式
§1
C3 1
例4 计算C zdz ，其中C为从原点到点3+4i的直线段．

柯西积分公式条件

柯西积分公式条件柯西积分公式是复变函数论中的一个重要公式，它在解决复变函数的积分问题时有着极其关键的作用。

要理解柯西积分公式的条件，咱们先得搞清楚啥是复变函数的积分。

想象一下，在一个复数的世界里，函数沿着一条曲线进行积分，这和咱们在实数世界里的积分可有点不一样哦。

柯西积分公式成立的一个重要条件就是被积函数在某个区域内是解析的。

啥叫解析呢？简单来说，就是函数在这个区域内可导，而且导数也是连续的。

这就好比一辆车在平坦的道路上平稳行驶，没有颠簸和卡顿。

比如说，有一个函数 f(z)，如果它在一个以曲线 C 为边界的区域 D内是解析的，那么对于区域 D 内的任意一点 z₀，柯西积分公式就可以派上用场啦。

公式是这样的：f(z₀) = (1/2πi)∫_C f(z)/(z - z₀) dz 。

咱们来举个小例子感受一下。

假设函数f(z) = z²，在以原点为圆心，半径为 1 的圆 C 这个区域内是解析的。

那咱们要求 f(0)的值，就可以用柯西积分公式。

这时候，(1/2πi)∫_C z²/(z - 0) dz 就等于 0 。

我还记得之前给学生们讲这个的时候，有个小同学一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“这就像是你有一把神奇的钥匙，可以打开很多复杂问题的大门呀。

”再说说柯西积分公式的另一个条件，就是曲线 C 要简单、光滑，不能有奇奇怪怪的尖点或者断点。

这就好像咱们跑步的赛道，如果坑坑洼洼、断断续续的，那跑起来得多费劲啊。

比如说，如果曲线 C 是一个多边形，那柯西积分公式可就不一定好用啦。

在实际应用中，柯西积分公式可不只是在数学理论里打转，它在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

比如在电磁学里，计算电场和磁场的时候，它就能大显身手。

还记得有一次，我带着学生们做一个关于电磁学的小实验，通过运用柯西积分公式来计算磁场的分布。

一开始，大家都觉得很头疼，不知道从哪儿下手。

但是当我们一步步按照柯西积分公式的条件来分析问题，最终得出正确结果的时候，孩子们那兴奋的表情，让我觉得一切的辛苦都值了。

非负简单函数的Lebesgue积分

Lebesgue 积分引言有100张各种面值的纸币,求总币值. )(x f :]100,0[,)(x f 的值有10种(略去1,2,5分)1.01=y ,2.02=y ,5.03=y ,14=y ,25=y ,56=y ,107=y ,208=y ,509=y ,10010=y . )(x f 在),1[k k -上取kn y ,100,,2,1 =k . 两种方法:(i)从左到右累加=S )]1()[(1001--∑=k k f k k ξk n k y 1001=∑=(按人民币的次序分类)(ii)按币值分类再相加对每一s ,101≤≤s ,把所有取s y 的区间相加.s s y S 101=∑={}的区间长度之和所有取值为s y ⋅如:对⎩⎨⎧=01)(x D 上无理数为上有理数为]1,0[]1,0[x x Riemann 不可积.而对Lebesgue:)(0)(1Ω⋅+⋅m Q m ,即)(Q m 个1加上)(Ωm 个0结果为0.所以0)(10=⎰dx x D .对于前述有限张人民币,取有限个值,相当于简单函数.所以介绍Lebesgue 积分,我们从最简单开始.§3.1非负简单函数的Lebesgue 积分设D 是可测集,{}k E 是有限个或可数个两两不相交的D 的可测子集,使得D E k = ,则{}k E 称为D 的一个分割.(与数学分析一样,只不过此处k E 不一定是区间,是一般集合)设f 是可测集D 上的非负简单函数.此时f 可以表示为)()(1x a x f i E i si λ=∑=其中{}s i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数, 此时f在D 上Lebesgue 积分定义为:⎰D dx x f )()(1i i s i E m a ⋅∑==并且当⎰D dx x f )(∞<时,称f 在 D 上L 可积.(此时,未必D 测度有限,因∞=)(i E m 时,可能......10012......100y s0=i a ).如:Dirichlet 函数就是一个简单函数.以下介绍L 积分的基本性质.定理 3.1.1 设f 和g 是可测集D 上的两个非负简单函数,而且)()(x g x f = a.e.D,则它们在D 上的积分相等.(如:⎩⎨⎧=01)(x D 无理数有理数x x 与0)(≡x f 就是a.e.相等)证明:设)(x f )(1x a iE i Si λ=∑= D x ∈,其中{}S i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数;)(x g )(1x b jF j Tj λ=∑= D x ∈,其中{}T j j F ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数.此时只要j i F E 不是零测集(f 在其上为i a ,g 在其上为j b ),就有j i b a =.这样不管j i F E 是否为零测集,都有)(j i i F E m a ⋅)(j i j F E m b ⋅= 于是⎰Ddx x f )()(1i i S i E m a =∑=)]([11j i Tj i S i F E m a ==∑=)(11j i Tj i S i F E m a ==∑∑=(D F j = ,i F ,j F 两两不交))(11j i i T j Si F E m a ==∑∑=)(11j i j Tj Si F E m b ==∑∑=)(11j i Si j Tj F E m b ==∑∑= )]([11j i Si j Tj F E m b ==∑=)(1j j Tj F m b =∑=⎰=Ddx x g )(可见,L 积分与R 积分的差别是L 积分不计较零测集. 定理3.1.2 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数. (i)若)()(x g x f ≤ a.e.D 则dx x g dx x f D D ⎰⎰≤)()(; (ii))()(max D m x f fdx D ⋅≤⎰,特别0)(=D m 时, 0=⎰Dfdx ;(iii)若λ和μ是两个非负实数,则⎰+Ddx g f )(μλ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集,则⎰B A fdx ⎰⎰+=B A fdx fdx证明:(i)与定理3.1.1证明类似,只需注意当j i F E 不是零测集时j i b a ≤. (ii))(1i i S i DE m a fdx =∑=⎰{})()(max 11i Si S i E m x f ⋅∑≤≤≤={})()(max 1i Si E m x f =∑⋅={})()(max D m x f ⋅=(iii)由于{}T j S i j i F E ≤≤≤≤1,1 是D 的一个分割,并且)()(x g x f μλ+)()(11x b a jiF E j i Tj S i χμλ+∑∑===从而⎰+D dx g f )(μλ)()(11j i j i Tj S i F E m b a ⋅+∑∑===μλ)(11j i i Tj Si F E m a ⋅∑∑===λ)(11j i j Tj S i F E m b ⋅∑∑+==μ)(1i i S i E m a ⋅∑==λ)(1j j Tj F m b ⋅∑+=μ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)⎰BA fdx ))((1B A E m a i i S i =∑=)(1A E m a i i S i =∑=)(1B E m a i i Si =∑+⎰⎰+=BAfdx fdx以上为简单函数的L 积分,若)(x f 只在D 非负可测,?=⎰D f 由前面,有非负简单函数列)()(x f x n ↑ϕ,则⎰⎰∞→=D n n D x f )(lim ϕ.有无问题?若又有)()(x f x n ↑ψ,则⎰⎰∞←=Dn n D x f )(lim ψ.二者等吗? 引理3.1.1 设g 和n f 都是D 上非负简单函数,若满足 (i)对几乎所有D x ∈,{}1)(≥n n x f 单增;(ii))(lim )(0x f x g n n ∞→≤≤ a.e.D 则⎰⎰∞→≤Dn n Dx f gdx )(lim .证明:令{})(),(min )(x f x g x h n n = ,2,1=n ,则)(x h n 是非负简单函数,且{}↑≥1)(n n x h 在D 上几乎处处收敛于)(x g .情形1.∞<)(D m由Egoroff 定理,对任何0>ε,有D 的可测子集1D ,使ε<-)(1D D m ,而且在1D 上,)(x h n 一致收敛于)(x g ,从而有N ,使ε<-)()(x g x h n 1D x ∈∀ N n >∀即 )()()(x f x h x g n n +≤+<εε 1D x ∈∀ N n >∀ 由定理3.1.2⎰⎰⎰+≤+≤111)()(D n d n D f h g εε⎰1D g ⎰+⋅≤1)(1D n h D m ε⎰+⋅≤1)(1D n f D m ε⎰+⋅≤D n f D m )(ε从而⎰1D g ⎰∞→+⋅≤D n n f D m lim )(ε另一方面⎰-1D D g {})()(max 1D D m x g -⋅≤{})(max x g ⋅≤ε这样⎰D g ⎰⎰+=-11D D D g g {}[]⎰∞→++≤Dn n f x g D m lim )(max )(ε 而∞<)(D m ,{})(max x g 也有限,ε任意,所以⎰D g ⎰∞→≤Dn n f lim 情形2.∞=)(D m此时对每一1≥k ,令],[k k D D k -= ,则∞<)(k D m .由已证,有⎰kD gdx ⎰∞→≤kD n n dx f lim ⎰∞→≤D n n dx f lim ………………(*)而⎰kD gdx )(1k j j Tj D F m b ⋅∑== (因)()(1x b x g jF j T j χ⋅∑==,)(1j j Tj D F m b g ⋅∑==⎰) 又D D k ↑,所以()j k j F D F ↑ ,于是⎰∞→kD k g lim ()k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=lim 1)](lim [1k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=(单增时,测度和极限符号交换序))(1j j Tj F m b ⋅∑==⎰=Dg(*)式中令∞→k ,得 ⎰⎰∞→≤Dn n D f g lim 定理3.1.3 设{}n f 和{}n g 是可测集D 上两列非负简单函数,而且对几乎所有的D x ∈,{}1)(≥n n x f ,{}1)(≥n n x g 都单增收敛于相同的极限,则⎰∞→D n n dx f lim ⎰∞→=D n n dx g lim 证明:任意固定1≥n ,则对几乎所有的D x ∈,有)(lim )(lim )(0x f x g x g k k k k n ∞→∞→=≤≤ a.e.D 由引理3.1.1⎰⎰∞→≤Dk k D n dx f dx g lim令∞→n (与k 无关) ⎰⎰∞→∞→≤D k k D n n dx f dx g lim lim 类似⎰⎰∞→∞→≥D k k D n n dx f dx g lim lim所以⎰⎰∞→∞→=Dn n D n n g f lim lim。

第二章复变函数积分柯西定理和柯西积分.

2020/7/9
第二章
7
Cauchy定理二：在 l1 为外境界线、lk (k 2,3,, n)为内境界线
围成的闭复通域上单值解析的函数f(z),有
n
f (z)dz 0
k 0 lk
（积分沿约定的路径正向）
证明：如图作辅助线，将复通区域单通通域,应用单通区域Cauchy定理
f (z)dz+ f (z)dz+ [ ] f (z)dz
2020/7/9
第二章
13
1 柯西公式
定理：设f(z)是闭单通区域上的解析函数，l为境界线，则对区域任一点z，有
f (z)
1
2i
l
f
(
) z
d
(积分沿约定正向）
证明： f (z) f (z) 1 1 d 1 f (z) d
2i l z
2i l z
1
2iห้องสมุดไป่ตู้
l
f
( ) d
z
1
2i
l
f
注意1)该公式亦适用于复通域，l理解为所有境界线，积分沿境界线的约定正向； 2)应用该公式时，要切记适用条件.
2020/7/9
第二章
14
2 柯西公式的推论
2.1导数公式
f (n) (z) n!
2i
l
(
f ( )
z)n1
d
（n=1,2,…）
l l1
证明从略(P28～29).
[例]计算积分
z
5
z2
(z) f ( z
) d
f(z)- f()在l包围区域上解析，Cauchy定理推论3,
l
ρ可任意小，则
c: z

第一讲复变函数积分的概念与柯西—古萨定理

工程数学II 课程教案授课时间：第周周第节课时安排课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.1 复变函数积分的概念；§3.2 柯西—古萨基本定理．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握复积分计算的一般方法；2．理解复积分的概念及性质；熟悉柯西—古萨基本定理．教学重点及难点：重点：复积分的概念及性质；复积分计算的一般方法．难点：柯西—古萨基本定理．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.1复变函数积分的概念一、积分的定义1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向, . C -记为关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.2.积分的定义: () , w f z D C =设函数定义在区域内为区域 D 内起点为 A 终点为 ,B 的一条光滑的有向曲线 , C n 把曲线任意分成个弧段设分点为011,,,,,,,k k n A z z z z z B -==1 (1,2,,) k k z z k n -= 在每个弧段111()()(),n nn k k k k k k k S f z z f z ζζ-===⋅-=⋅∆∑∑作和式11 , , k k k k k k z z z s z z --∆=-∆=这里的长度1 max{},k k ns δ≤≤=∆记 n 当无限增加且0 δ→, 时 , k n C S ζ如果不论对的分法及的取法如何有唯,一极限那么称这极限值为 () , f z C 函数沿曲线的积分记为1()d lim().nk k Cn k f z z f z ζ→∞==⋅∆∑⎰关于定义的说明:(1) , C 如果是闭曲线那么沿此闭曲线的积分()d .Cf z z ⎰ 记为(2) , ()C x a x b f z ≤≤如果是轴上的区间而(),u x =这个积分定义就是一元实变函数.定积分的定义二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件() ,f z C 如果是连续函数而是光滑曲线时 ()d .Cf z z ⎰积分一定存在证 C 设光滑曲线由参数方程给出()()(), z z t x t i y t t αβ==+≤≤，正方向为参数增加的方向, ,A B αβ参数及对应于起点及终点 ()0,,z t t αβ'≠<<并且 ()(,)(,) ,f z u x y i v x y D =+如果在内处处连续 (,) (,) u x y v x y D 那么和在内 ,均为连续函数oxy,k k k i ζξη=+设因为111()k k k k k k k z z z x iy x iy ---∆=-=+-+11()()k k k k x x i y y --=-+- ,k k x i y =∆+∆所以1()nk k k f z ζ=⋅∆∑1[(,)(,)]()nkk k k k k k u i v x i y ξηξη==+∆+∆∑1[(,)(,)]nkk k k k k k u x v y ξηξη==∆-∆∑ 1[(,)(,)]nk k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑, ,u v 由于都是连续函数根据线积分的存在定理,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , (,) ,k k C ξη不论对的分法任何点的取法如何 ,下式两端极限存在11()[(,)(,)]nnk k kk k k k k k k f z u x v y ζξηξη==∆=∆-∆∑∑1[(,)(,)]nk k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑()d Cf z z ⎰d d Cu x v y =-⎰d d Ci v x u y ++⎰在形式上可以看成是() d d d :f z u iv z x i y =+=+与相乘后求积分得到()d Cf z z ⎰()(d d )Cu iv x i y =++⎰d d d d Cu x iv x iu y v y =++-⎰d d d d .CCu x v y i v x u y =-++⎰⎰2. 积分的计算法()d .Cf z z ⎰可以通过两个二元实变函数的线积分来计算()d {[(),()]()[(),()]()}d Cf z z u x t y t x t v x t y t y t tβα''=-⎰⎰{[(),()]()[(),()]()}d i v x t y t x t u x t y t y t t βα''++⎰{[(),()][(),()]}{()()}d u x t y t iv x t y t x t iy t t βα''=++⎰ [()]()d .f z t z t t βα'=⎰12 ,,, n C C C C 如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则()d Cf z z ⎰12()d ()d ()d nC C C f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 例1 d , : 34 .Cz z C i +⎰计算从原点到点的直线段解直线方程为：3,01,4,x t t y t =⎧≤≤⎨=⎩ , (34),C z i t =+在上d (34)d ,z i t =+120d (34)d Cz z i t t =+⎰⎰12(34)d i t t =+⎰2(34).2i +=d ()(d d )CCz z x iy x i y =++⎰⎰又因为d d d d d CCCz z x x y y i y x x y =-++⎰⎰⎰这两个积分都与路线C 无关， C 所以不论是怎样从原点连接到 34 ,i +点的曲线2(34)d .2Ci z z +=⎰例2 R e d ,Cz z C ⎰计算其中为 (1) 1 ; i +从原点到点的直线段2(2) 1 ;y xi =+抛物线上从原点到点的弧段(3) 1 1 .x i +从原点沿轴到点再到的折线解 (1) 积分路径的参数方程为：()(01),z t t it t =+≤≤ Re ,d (1)d ,z t z i t ==+于是R e d Cz z ⎰1(1)d t i t =+⎰1(1);2i =+(2) 积分路径的参数方程为：2()(01),z t t itt =+≤≤Re ,d (12)d ,z t z ti t ==+于是R e d C z z ⎰10(12)d t it t =+⎰1230223t i t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12;23i =+(3) 积分路径由两段直线段构成：x 轴上直线段的参数方程为：()(01),z t t t =≤≤ Re ,d d ,z t z t ==于是 1到1+i 直线段的参数方程为：()1(01),z t it t =+≤≤ Re 1,d d ,z z i t ==于是R e d Cz z ⎰1d t t =+⎰11d i t ⋅⎰1.2i =+例3 d , : 2.Cz z C z =⎰计算其中为圆周解积分路径的参数方程为：2(02π),i z e θθ=≤≤d 2d i z ie θθ=d Cz z ⎰2π22d i ie θθ=⋅⎰(2)z =因为2π4(cos sin )d i i θθθ=+⎰0.=例4 0101 d , , ()n CzC z r z z +-⎰求为以为中心为,.n 半径的正向圆周为整数解积分路径的参数方程为；：0(02π),i z z r e θθ=+≤≤101d ()n Cz z z +-⎰2π1(1)0d i n i n ire reθθθ++=⎰2π0d ,in ni e rθθ-=⎰0 ,n =当时101d ()n Cz z z +-⎰ 2π0d i θ=⎰2;i π=0 ,n ≠当时101d ()n Cz z z +-⎰2π0(cos sin )d ni n i n rθθθ=-⎰0;=i+i+所以0101d ()n z z rz z z +-=-⎰2,0,0,0.i n n π=⎧=⎨≠⎩重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)()d ()d ;CCf z z f z z -=-⎰⎰(2)()d ()d ;()CCkf z z k f z z k =⎰⎰为常数(3)[()()]d ()d ()d ;CCCf zg z z f z z g z z ±=±⎰⎰⎰(4) , () C L f z C 设曲线的长度为函数在上满足 (), f z M ≤那末()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰（估值不等式）性质(4)的证明：1 ,k k k z z z -∆因为是与两点之间的距离 ,k s ∆为这两点之间弧段的长度1()nk k k f z ζ=⋅∆∑所以1()n k k k f z ζ=≤⋅∆∑1()nk k k f s ζ=≤⋅∆∑，两端取极限得，()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰1()nk k k f s ζ=⋅∆≤∑因为1nkk Ms=∆∑,M L =所以()d ()d CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰[证毕]例5 34 C i +设为从原点到点的直线段 1d Cz z i-⎰试求积分绝对值的一个.上界解 (34), (0C z i t t =+≤≤的参数方程为，根据估值不等式知1d Cz z i-⎰1d Cs z i≤-⎰11,3(41)C z it t i=-+-因为在上==5,3≤从而1d Cz z i-⎰5d 3Cs ≤⎰253=125 d 3Cz z i≤-⎰故§3.2 柯西—古萨基本定理一、问题的提出观察上节例1, () ,f z z =被积函数在复平面内处处解析此时积分与路线无关. 观察上节例4, 01 0,n z z =-被积函数当时为0 z C 它在以为中心的圆周的内部不是,处处解析的01 d 20.cz i z z π=≠-⎰此时0 z C 虽然在除去的的内部函数处处解,.析但此区域已不是单连通域观察上节例5, (),f z z x iy ==-被积函数由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. d .cz z ⎰此时积分值与路线有关由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.二、基本定理柯西－古萨基本定理 () ,f z B 如果函数在单连通域内处处解析那末函数() f z 沿 B 内的任何一条封 : ()d 0.cC f z z =⎰ 闭曲线的积分为零定理中的 C 可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.关于定理的说明:(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, () f z 函数在 ,B C 内与上解析在闭区域B = ,BC +上解析 ()d 0.cf z z =⎰ 那末(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, () f z 函数在 ,B 内解析 B =在闭区域 , B C +上连续那末定理仍成立.三、典型例题例1 11d .23z z z =-⎰ 计算积分解 11 ,23z z ≤-函数在内解析根据柯西－古萨定理, 有 11d 0.23z z z ==-⎰例2 ()d 0(1), ncz z n C α-=≠-⎰ 证明其中是.任意闭曲线证 (1) ,n 当为正整数时() ,n z z α-在平面上解析由柯西－古萨定理, ()d 0.ncz z α-=⎰(2) 1 ,n -当为负整数但不等于时() ,nz z αα-在除点的整个平面上解析 : ,C α情况一若不包围点() ,nz C α-在围成的区域内解析由柯西－古萨定理,()d 0;ncz z α-=⎰: ,C α情况二若包围点由上节例4可知,()d 0.ncz z α-=⎰例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分解211111,(1)2z z zz iz i⎛⎫=-+⎪++-⎝⎭ 111 ,2z i z z i -≤+因为和都在上解析根据柯西－古萨定理得2121d (1)z i z z z -=+⎰1211111d 22z i z zz i z i -=⎛⎫=--⎪+-⎝⎭⎰ 11122211111d d d 22z i z i z i z z z zz iz i-=-=-==--+-⎰⎰⎰1211d 2z i z z i-==--⎰122i π=-⋅.i π=-作业和思考题：第三章习题 11),3)；2；5；62),4) ,6)课后小结：（1）我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 重点掌握复积分的一般方法.（2）重点掌握柯西－古萨基本定理: 如果 () f z 函数在单连通域B 内处处解析 () f z B C 那末函数沿内的任何一条封闭曲线:的积分为零()d 0.cf z z =⎰并注意定理成立的条件.。

第三章 s2s3 cauchy积分定理

c
C
D
1825年 Cauchy 建立该定理时，对 u, v 加了导数连续性
条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设。
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
C
D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f ( z )
在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则

注意3
c
f ( z )dz 0.

1 i
0
z dz
2
例4、计算：

z
1
1 dξ ξ
第三节复合闭路定理
一、复合闭路定理
设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线 , C1 , C2 , , Cn 是在 C 内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C , C1 , C2 , , Cn 为边界的区域全含于D,
如果 f ( z ) 在 D内解析,
二、特殊情况：闭路变形原理
设函数 f ( z ) 在多连通域内解析 ( 如图),
C 及 C1 为 D 内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向 ),
C
C 及 C1 为边界的区域 D1 全含于 D. 由复合闭路原理
D1
C1
D
C
f ( z )dz
C1
f ( z )dz
这就是闭路变形原理
说明：
一、复习 (1) Green公式:
设单连通区域 D 由分段光滑曲线L围成，函数P( x , y )及Q( x , y )在D上具有一阶连续偏导数，则有： Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D 其中，L是D的取正向的边界曲线。
(2) 积分与路径无关的充要条件： Q P x y

核心笔记积分知识点总结

核心笔记积分知识点总结积分是微积分的一个重要概念，是对函数的一种特定运算，它在数学中有着极其重要的地位。

在研究微积分过程的知识时，积分是一个非常关键的知识点。

本文将对积分的基本概念、性质与定理、常见积分表、常见积分方法等知识点进行详细总结。

一、基本概念1. 定积分：用极限的思想来定义定积分2. 不定积分：利用定积分的基本性质，可以得到不定积分的定义3. 定积分的几何意义：用定积分的概念解释曲线下面积4. 不定积分的基本性质：不定积分的线性性、常数乘积法则和分步积分法则二、积分的性质与定理1. 积分的基本定理：积分和微分的关系2. 积分的换元积分法：变量代换在积分中的应用3. 积分的分部积分法：多次使用积分的分部积分法4. 定积分性质：定积分的基本性质，如可加性、保号性、保序性等5. 积分的估值法：用积分估值法求不等式的值三、常见积分表1. 常数函数积分表2. 幂函数积分表3. 指数函数积分表4. 三角函数积分表5. 反三角函数积分表6. 对数函数积分表四、常见积分方法1. 利用换元积分法计算积分2. 利用分部积分法计算积分3. 利用倒代换积分法计算积分4. 利用分式分解积分法计算积分5. 利用换限积分法计算积分五、积分在实际问题中的应用1. 积分在几何学中的应用：计算曲线下面积、曲线的弧长、曲线的旋转体体积2. 积分在物理学中的应用：计算质点的位移、速度、加速度等物理量3. 积分在工程学中的应用：计算物体的质心、转动惯量、容积等六、积分的应用拓展1. 微积分中的应用：积分在微积分中的应用，如面积计算、曲线的弧长计算等2. 泛函分析中的应用：积分在泛函分析中的应用，如函数空间中的积分运算等3. 偏微分方程中的应用：积分在偏微分方程中的应用，如求解偏微分方程的积分形式等综上所述，积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用，包括在数学、物理、工程等领域中都有着重要的地位。

掌握积分的基本概念、性质与定理、常见积分表、常见积分方法等知识点，对于学习微积分和实际问题的应用都有着重要的意义。

3.2 柯西积分定理

D
C1
Γ C2
复变
在边界 C C1 C2 上连续，
函 G 为 D 内的一条“闭曲线”，
数
的则 f (z)dz f (z)dz f (z)dz .
积
C1
C2
Γ
分
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
11
§3.2 柯西积分定理
C1
ba
C2
ab
由 f (z)dz f (z)dz 0, f (z)dz f (z)dz 0,
ba
ab
C1
C2
f (z)dz 0 或 f (z)dz f (z)dz .
C
C1
C2
10
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第三闭路变形原理 P78
章如图，设 f (z) 在 D 内解析，
的积
(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。
分定理设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P77 在 D内解析，在 D D C 上连续，
则有 C f (z)dz 0.
G
G
C D
9
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第
三将柯西积分定理推广到二连域
D
章定理设二连域 D的边界为 C C1 C2 (如图)，
ÑC f (z)d z 0. 6
§3.2 柯西积分定理
第 1825年，柯西给出了“单连通域D内处处解析的 f(z) 在
三章
D内沿任意一条闭曲线C的积分Ñc f (z)d z 0 ”。
—Cauchy 定理
复变
当时，解析函数的定义为“ f’(z)存在，且在D内连续”。