三角函数——三角恒等变换-2021届高三数学一轮复习讲义4.3
2021版新高考数学一轮复习第四章4.3三角恒等变换课件新人教B版
第三节ꢀ三角恒等变换内容索引【教材·知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos αcos β+sin αsin β(α-β)C：cos(α-β)=__________________________.ꢀcos αcos β-sin αsin β(α+β)C：cos(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β+cos αsin β(α+β)S：sin(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β-cos αsin β(α-β)S：sin(α-β)=__________________________.ꢀT：tan(α+β)=____________(α，β，α+β≠+kπ，k∈Z). (α+β)：tan(α-β)=____________ (α，β，α-β≠+kπ，k∈Z). T(α-β)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin αcos αS：sin 2α= ______________.ꢀ2αcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2αC：cos 2α=____________ = _________ =_________.：tan 2α=__________.T2α【常用结论】1.一组重要关系2.四个必备结论(1)降幂公式：cos2α=，sin2α=.(2)升幂公式：1+cos 2α=2cos2α，1-cos 2α=2sin2α.(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)1+sin 2α=(sin α+cos α)2，1-sin 2α=(sin α-cos α)2，sin α±cos α=.(4)辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+φ)【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(ꢀꢀ)(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(ꢀꢀ)(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β) (1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(ꢀꢀ)(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.(ꢀꢀ)提示:(1)√.(2)√.(3)×.变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ(k∈Z).(4)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T212忽视角的范围导致符号错误不知道化简方向考点二、角度13不能准确建立数学模型考点三、T1【教材·基础自测】1.(必修4P138练习AT2改编)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选D.sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°) =sin30°=.2.(必修4P136例1改编)若cosα=,α是第三象限的角,则sin等于(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选C.因为α是第三象限的角,所以所以3.(必修4P144 练习AT2改编)已知sinα-cosα=,则sin2α= (ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选A.sin2α=2sinαcosα==.4.(必修4P144练习BT1(4)改编)=.【解析】答案:考点一ꢀ三角函数式的化简求值【题组练透】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(ꢀꢀ)2.计算:3.化简:=________.ꢀ=________.世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.2.答案:3.原式==1.答案:1【规律方法】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式==1.三角形法解T1,因为α∈,所以sin α>0,cos α>0,由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,tan α=,画直角三角形如图,不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sin α=.考点二ꢀ条件求值问题命题考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.精解(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.读怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.学霸好方法(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=（其中sin φ=,cos φ=sin(x+φ)）【命题角度1】给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:=________.ꢀ【解析】=4.答案:4【解后反思】给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.【命题角度2】给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.ꢀ2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan,则tan α=________.ꢀ【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=.答案:2.因为tan=tan所以,解得tan α=.答案:【解后反思】给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.【命题角度3】给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sin α=,sin(α-β)=,α,β均为锐角,则角β值是________.世纪金榜导学号【解析】因为α,β均为锐角,所以<α-β<.又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.又sin α=,所以cos α=,sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,所以β=.答案:【解后反思】如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.【题组通关】【变式巩固·练】1.化简:=________.【解析】原式=答案:2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,,则A+B=()且sin B=【解析】选C.因为所以即sin A=,解得sin A=.因为A为钝角,所以cos A=为钝角,得cos B=-sin Asin B=由sin B=,且B 所以cos(A+B)=cos Acos B 又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.3.(2020·佛山模拟)已知cos α=,α∈(-π,0),则cos=()【解析】选A.因为cos α=,α∈(-π,0),所以sin α=所以cos=cos αcos+sin αsin【综合创新·练】1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=()【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°) =sin215°-cos215°=-cos 30°=.2.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β=________.【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,而cos α=,所以sin α=,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-,所以β=.cos αsin(α-β)=答案:考点三三角恒等变换的综合应用【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.世纪金榜导学号【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α<,则PM=1-sin α,PN=2-cos α,则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-,因为0≤α<,所以故当α+,即α=时,周长C有最小值6-2.2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.(2)求函数y=的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)看到“求函数y= y=的值域”,想到先化简(2)【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=或.(2)y=因此,函数的值域是.【规律方法】1.三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;②利用公式T=(ω>0)求周期;。
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
三角函数——三角恒等变换-2021届高三数学一轮复习讲义4.3
【详解】
cosx+cos(x-π3 )=cos(x-π6 +π6 )+cos(x-π6 -π6 )=2cos(x-π6 )cosπ6 =
3 3
故，答案选 D
例 6tan70°·cos10°( 3tan20° -1)=( )
A1 B2 C-1
D-2
【答案】C
【分析】诱导公式、两角和差公式应用
【详解】
(α、β、α
±
β
≠
π 2
+kπ，
k∈Z)
例 1若 tanα =2tanπ5，则csoisn((αα--3π15π0))( ) A1 B2 C3 D4
【答案】C
【分析】观察条件与所求的关系，利用两角差正弦公式、诱导公式变形得到结果
【详解】
tanα =2tanπ5⇒
sinα cosα
=2csionsππ55
1、sinα +cosβ =1有：(sinα +cosβ)2=sin2α +2sinα cosβ +cos2β =1 2、cosα +sinβ =0有：(cosα +sinβ)2=cos2α +2cosα sinβ +sin2β =0
3、2+2(sinα cosβ +cosα sinβ)=2+2sin(α +β)=1 ∴ sin(α +β)=-1 2
【详解】
α、β∈(0,π2 )且
cosβ
=cos(α
+β
-α)，而
sinα
)=-1114
∴
cosα
=1 7，sin(α
53 +β)= 14
cosβ =cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα =-1114×
三角函数概念及三角恒等变换知识点总结-高三数学一轮复习
知识点总结 51 三角函数概念及三角恒等变换一．角的概念的推广：1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的分类：{按旋转方向的不同分类{正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有旋转；按终边位置不同分类{象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限的角；轴线角：角的终边在坐标轴上。
3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.几种特殊位置的角的集合 (1)象限角的集合：①第一象限角：{α|2kπ<α<2kπ+π2 ,k ∈Z}；②第二象限角：{α|2kπ+π2<α<2kπ+π ,k ∈Z}； ③第三象限角：{α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k ∈Z}；④第四象限角：{α|2kπ+3π2<α<2kπ+2π ,k ∈Z}；(2)轴线角的集合:①终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α=2kπ ,k ∈Z }. ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α=2kπ+π ,k ∈Z }. ③终边在x 轴上的角的集合：{α|α=kπ ,k ∈Z }. ④终边在y 轴上的角的集合：{α|α=kπ+π2 ,k ∈Z}.⑤终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ∙π2 ,k ∈Z}. (3)终边在特殊直线上：①终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α=kπ+π4 ,k ∈Z}.②终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α=kπ−π4 ,k ∈Z}.③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α=k ∙π4 ,k ∈Z}. 二．弧度制：1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示.2.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算(1)1°＝π180 rad. (2)1 rad ＝(180π)°4.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l ＝nπr180＝|α|r . (2)扇形的面积公式：S ＝12lr ＝nπr 2360＝12|α|r 2. 三．三角函数概念(1)利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： sin α＝y . cos α＝x . tan α＝yx (x ≠0).(2)利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P (x ，y )，|OP |=r 那么： sin α＝yr. cos α＝xr. tan α＝yx(x ≠0).(3)符号法则：一全二正三切四余 (4)特殊角的三角函数值四．三角恒等变形 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tan α(α≠kπ+π2,k ∈Z)． 变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α=1±sin2α，(2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α(α≠kπ+π2,k ∈Z)．2.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4-5 三角恒等变换【含答案】
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4.5 三角恒等变换【考情分析】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。
【重点知识梳理】知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α【典型题分析】高频考点一 公式的直接应用【例1】 (2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D.255【答案】B【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55，故选B 。
高考数学一轮复习全套课时作业4-3-2三角恒等变换的应用
题组层级快练 4.3.2三角恒等变换的应用一、单项选择题1．设sin αcos β＝1，则cos(α＋β)的值为()A ．0B ．1C ．±1D ．－12．若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ等于()A.35B.45C.74D.343．计算：1－cos 210°cos80°1－cos20°等于()A.22B.12C.32D ．－224．若＝14，则cos ()A ．－78B ．－14 C.14 D.785．设αtan α＝1＋sin βcos β，则()A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π26．(2020·河北邯郸一中模拟)计算tan （π4＋α）·cos2α2cos 2（π4－α）的值为()A ．－2B ．2C ．－1D ．17．若cos2αsin （α＋π4）＝12，则sin2α的值为()A ．－78 B.78C ．－47 D.478．(2021·福建省百校临考冲刺)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2＝()A.32B.34C.233D.433二、多项选择题9．已知α为三角形内角，且满足cos2α＝sin α，则α的值可以是()A ．30°B ．135°C ．60°D ．150°三、填空题10·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝________．11．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．12．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________．13．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanA ·tanB ，且sinA ·cosA ＝34，则此三角形为________．14．化简：1－tan 2（π4－α）1＋tan 2（π4－α）＝________．15．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.16．(2021·山东淄博一模)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝________．17．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．18．(2019·江苏)已知tan α＝－23，则sin(2α＋π4)的值是________．19．已知0<α<π2<β<π，＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos4.3.2三角恒等变换的应用参考答案1．答案A 解析∵sin αcos β＝1，α|＝1，β|＝1，α＝0，β＝0.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.2．答案D解析因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D.3．答案A 4．答案A 5．答案B 解析由sin αcos α＝1＋sin βcos β，得sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α，即sin(α－β)＝又因为α所以－π2<α－β<π2，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B.6．答案D解析tan （π4α）·cos2α2cos 2（π4－α）＝sin （π4＋α）·cos2α2sin 2（π4＋α）cos （π4＋α）＝cos2α2sin （π4＋α）cos （π4＋α）＝cos2αsin2（π4＋α）＝cos2αsin （π2＋2α）＝cos2αcos2α＝1，故选D.7．答案B解析cos2αsin （α＋π4）＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．答案A 解析方法一：由已知得cos α＝1－32sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2－32sin＝1，整理得74sin 2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝437.因为α∈(0，π)，所以sin α＝437，故cos α＝1－32×437＝17.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32.故选A.方法二：因为sin α＝2sin α2cos α2，cos α＝1－2sin 2α2，所以3sin α＋2cos α＝2可以化为23sin α2cos α2＋－2sin2，化简可得23sin α2cos α2＝4sin 2α2.①因为α∈(0，π)，所以α2∈sin α2≠0.所以①式可化为3cos α2＝2sin α2，即tan α2＝32.故选A.9．答案AD 10．答案－43解析原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin （10°－30°）12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.11．答案－12解析∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，①cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，②①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.12．答案－33解析∵sin α＝cos2α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－33.13．答案等边三角形解析∵tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，∴tan(A ＋B)＝－3，得A ＋B ＝120°.又由sinAcosA ＝34，得sin2A ＝32.∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．14．答案sin2α15．答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.16．答案－45解析方法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos 2（θ＋π4）＝－1－tan 2（θ＋π4）1＋tan 2（θ＋π4）＝45，cos2θ＝sin 2（θ＋π4）＝2tan （θ＋π41＋tan 2（θ＋π4）＝35，∴原式＝45－35－1＝－45.方法二：tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45.17．答案13解析∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.18．答案210解析方法一：tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或tan α＝－13，当tan α＝2时，sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，此时sin2α＋cos2α＝15，同理当tan α＝－13时，sin2α＝－35，cos2α＝45，此时sin2α＋cos2α＝15，所以＝22(sin2α＋cos2α)＝210.方法二：tan αcos α＝－23，则sin αcos(α＋π4)＝－23cos α又22＝sin[(α＋π4)－α]＝α－α＝53sin α，则α＝3210，则α＝α＋α＝13sin α＝13×3210＝210.19．答案(1)－79(2)82－315解析(1)方法一：因为cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin2β＝29，所以sin2β＝－79.方法二：sin2β＝＝2cos 1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2.所以，cos(α＋β)<0，因为＝13，sin(α＋β)＝45，所以＝223，cos(α＋β)＝－35.所以cos （α＋β＝cos(α＋sin (α＋β)＝－35×13＋45×223＝82－315.。
高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第四节 三角恒等变换课件(理)
答案
1 2
(2)函数 f(x)＝2 3sin xcos x 的值域为________.
解析 f(x)＝2 3sin xcos x＝ 3sin 2x，则 f(x)值域为[－ 3， 3].
答案 [－ 3， 3]
(3)已知 tan α＋tan β＋ 3＝ 3tan α·tan β，则 tan(α＋β)
＝________.
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α＝ 2sin αcos α . (2)cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α －1＝1－ 2sin2α .
2tan α
(3)tan 2α＝
1－tan2α
π
π
(α≠kπ＋ 4 且 α≠kπ＋ 2 ，k∈Z).
►公式的三种应用：正用；逆用；变形应用.
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来 看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用 观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角 的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某 种关系.
(2)cos 2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα； (3)2sin αcos α＝sin 2α； (4)sin αcos α＝12sin 2α； (5)cos α＝2ssinin2αα； (6)1±sin α＝sinα2 ±cosα2 2；
(7)cos2α－sin2α＝cos 2α； (8)12－tatnanα2α＝tan 2α；
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单
2 2．求值 2cos 40°(1＋ 3tan 10°)＝________.
sin 10° [解析] 原式＝2cos 40°1＋ 3 cos 10 ° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2cos 40° cos 10° 2sin（10°＋30°） 2sin 80° ＝2cos 40° ＝ ＝2. cos 10° cos 10°
5π π π 3 ＋ α － α － α cos 6 ＝cosπ－6 ＝－cos6 ＝－ 3 ， π 5π 2 3 2＋ 3 所以 sin α－6－cos 6 ＋α＝ ＋ ＝ . 3 3 3
2
（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1） tan α 2. ＝________. sin 4α
1－cos 2α ＝ sin 2α 2sin2α ＝ 2sin αcos α sin α ＝ ＝tan α. cos α
x x sin cos 2 2 π 1 2 ． 3．已知函数 f(x)＝ ＋ ，则 f8的值为____ 2tan x 2x 2cos －1 2 1 sin x cos2x＋sin2x cos x 2 1 [解析] f(x)＝ ＋ ＝ ＝ ， 2sin x cos x 2sin xcos x sin 2x
2α
【解】
1 10 (1)因为 tan α＋ ＝－ ， tan α 3
所以 3tan2α＋10tan α＋3＝0， 1 解得 tan α＝－ 或 tan α＝－3. 3 3π 因为 <α<π，所以－1<tan α<0. 4 1 所以 tan α＝－ . 3
1 (2)因为 tan α＝－ ， 3 α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 所以 π 2sinα－4 1＋cos α 2α 2α 5sin 2＋cos 2＋4sin α＋6· －8 2 sin α－cos α
2021年新高考数学总复习讲义：三角恒等变换
2021年新高考数学总复习讲义：三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.二倍角公式1）sin22sin cos ααα=;变形式1sin cos sin 22ααα．2）2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;变形式2cos21cos 2αα；21cos2sin 2xα． 3）22tan tan 21tan ααα=-．3.辅助角公式()22222222sin cos (sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++=++++，其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定． 4.化简中常用1的技巧“1”的代换221sin cos αα；212cos cos2αα，21cos2sin αα，1tan4π．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．（2018•新课标Ⅱ）若sinα=13，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．﹣79D ．﹣894．（2018•东莞市模拟）cos 2(x −π4)+sin 2(x +π4)=（ ）A ．1B ．1﹣cos2xC ．1+cos2xD ．1+sin2x5．（2018•绵阳模拟）若tan(α−π4)=2，则tan2α=（ ）A．﹣3B．3C．−34D．346．（2018•延边州模拟）已知sinα−cosα=43，则cos2(π4−α)=（）A．19B．29C．49D．597．（2018•佛山一模）已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=（）A．12B．13C．14D．158．（2018•开封三模）已知sin（π4+α）=35，则sin（3π4−α）=（）A．45B．−45C．35D．−359．（2018•全国一模）已知s in(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=（）A．13B．−13C．2√23D．−√2310．（2018•三模拟）已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ） A ．4√2−√59B ．4√2+√59C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5911．（2018•河南一模）log 2(cos 7π4)的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．√2212．（2018•淮南一模）设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ） A ．2α﹣β=π4B ．2α+β=π4C ．α﹣β=π4D ．α+β=π413．（2018•唐山二模）若x ∈[0，π]，则函数f （x ）=cosx ﹣sinx 的增区间为（ ） A ．[0，π4] B ．[π4，π] C ．[0，3π4]D ．[3π4，π]14．（2018•榆林二模）已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|＜π2，则sin2θ=（ ）A ．8√29B ．2√23C ．4√29D ．2√2915．（2018•四平模拟）已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形二．填空题（共7小题）16．（2018•兰州模拟）若s in(π4−α)=−25，则cos(π4+α)= ．17．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°= ．18．（2017秋•南阳期末）已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是 ．19．（2017•江苏）若tan （α﹣π4）=16．则tanα= ．20．（2017•上海模拟）已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α= ．21．（2017•江苏一模）已知sinα=3sin （α+π6），则tan （α+π12）= ．22．（2017•上海模拟）函数f(x)=sinx +√3⋅cosx ，若存在锐角θ满足f （θ）=2，则θ= ．三．解答题（共5小题）23．（2018•玉溪模拟）已知tan （α+π4）=﹣3，α∈（0，π2）．（1）求tanα的值；（2）求sin （2α﹣π3）的值．24．（2018•北京模拟）已知函数f （x ）=2√3sin （ax ﹣π4）cos （ax ﹣π4）+2cos 2（ax﹣π4）（a ＞0），且函数的最小正周期为π2． （Ⅱ）求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，π4]上的最大值和最小值．25．（2018•江苏模拟）已知三点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈（0，π）．若AC →⋅BC →=25，求（1）cosα+sinα的值；（2）sin(α+π6)的值．26．（2018•河南一模）△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知：（1﹣tanA ）（1﹣tanB ）=2． （1）求角C ；（2）若b=2√2，c=4，求△ABC 的面积S △AB C ．27．（2018•昌平区二模）已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及相应的x值．。
2021年浙江高考数学复习课件：4.3 三角恒等变换
因为 1-sin α =
(1-sin α)2 = (1-sin α)2 =|1-sin α| =1-sin α ,
1 sin α (1 sin α)(1-sin α) cos2α |cos α| -cos α
1-cos α =
(1-cos α)2 = (1-cos α)2 =|1-cos α| =1-cos α ,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2;
(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;
1±sin
α=
sin
α 2
cos
α 2
2
;
tan α = sin α =1-cos α .
2 1 cos α sin α
2.辅助角公式
asin α+bcos α= a2 b2 sin(α+φ),
例2
(2019浙江高考模拟试卷(五),16)若sin
α
π 9
=cos
α
π 18
+cos
α- π 18
,
则tan α=
.
解析
由sin
α
π 9
=cos
α
π 18
+cos
α- π 18
,
得sin αcos π +sin π cos α=2cos αcos π ,
99
18
则tan αcos π +sin π =2cos π ,
例4 (2019浙江名校协作体联考,18)已知函数f(x)=cos2ωx+ 3 sin ωxcos ωx-
1 (ω>0)的最小正周期为π.
2
(1)求ω的值;
高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 第3讲 三角函数的恒等变换课件 文
第3讲 三角函数的恒等变换
12/11/2021
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α∓β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_±_s_i_n_α_s_i_n_β__________．
tan(α±β)＝t1a∓ntaαn±αttaann
③cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ④sin2α＝1－c2os 2α，cos2α＝1＋c2os 2α； ⑤tan2α＝1－t2atnan2αα.
12/11/2021
【对点通关】
1．(必修 4 P146A 组 T8(3)改编)化简ssiinn 3αα－2cos 2α 等于(
【解析】 (1)因为 cos(x－π6)＝cos[(x＋π3)－π2]＝sin(x＋π3)，所 以 f(x)＝65sin(x＋π3)，于是 f(x)的最大值为65，故选 A. (2)法一：原式＝11－ ＋ttaann 1155° °＝1t＋anta4n5°45－°ttaann1155°°
＝tan
30°＝
2sinπ4－αcosπ4－α
＝ cos 2α sinπ2－2α
＝ccooss
2α 2α
＝1.
12/11/2021
(1)化简原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联 系，把角进行合理的转化，再使用公式． ②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公 式，常见的有“切化弦”． ③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到 变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要 升幂”等．
3 3.
法二：原式＝
2（sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°） 2（sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°）
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第五节 三角恒等变换讲义(含解析)-高三全册数学教案
第五节三角恒等变换突破点一三角函数求值[基本知识]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、填空题1．已知tan α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13. 答案：132．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12. 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.答案：123.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.解析：3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.答案： 24．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43[全析考法]考法一 三角函数式的化简求值1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例1] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32(2)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________ .[解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°c os 17°＝sin 30°＝12.(2)法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝cos 2α－sin 2α1＋tan α1－tan αcos α＋sin α2＝cos 2α－sin 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin αcos αcos α＋sin α2＝1.法二：原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.[答案] (1)C (2)1[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 考法二 三角函数的给值求值(角)[例2] (1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2β＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.7π6[解析] (1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π. ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝12.故选B.(2)因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－ 1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010 ＝22.又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4，故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]1．给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．给值求角问题的解题策略 (1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．[集训冲关]1.[考法二]已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.故选A. 2.[考法一](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋ tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.3.[考法二]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝16，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋2α的值为( ) A.1718 B ．－1718C.1819D ．－1819解析：选A ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝16，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫162－1＝－1718， ∴cos ( 3π4＋2α )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝1718.故选A.4.[考法二]定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3. 答案：π3突破点二 三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．[典例] (2019·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )≥0.[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1∈[0，2＋1]． 当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值0.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )≥0.[方法技巧]求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式；(2)利用公式T ＝2πω(ω>0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．[针对训练](2019·襄阳四校期中联考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos 2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。
2023届高考数学一轮复习：第三讲 三角恒等变换 课件(共19张PPT)
( ) ( )
4
4
3
3
（2）互余与互补关系
例如，
4
3 4
3
6
2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15 45 30 ,75 45 30 .
[典型例题]
1.
若
sin
π 2
3 5
，
(π, 2π)
，则
sin3 sin
cos3 cos
1，A
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
2
， 图象关于直线
x
π 6
对称，
C 对.故选：C.
Thanks
D. 最大值为 2 ，图象关于直线 x π 对称 6
[解析]
f
(x)
sin
x
π 3
cos
x
π 6
sin
x
cos
π 3
cos
x
sin
π 3
，
cos
x
cos
π 6
sin
x
sin
π 6
2
sin
x
π 3
当
sin
x
π 3
1时，
f
(x)
取最大值
2， BD
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
π 4
4 5
2 3 25
2 2， 2 10
故选 C.
考点2：三角函数式的变形
1.其他常用变形
sin 2 2sin cos 2 tan ； sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 1 tan2 ； cos2 sin2 1 tan2
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专题4-3三角恒等变换
两角和差
内容
1、向量推导两角差余弦公式
2、两角差余弦公式推导其它两角和差公式
知识点
1、sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
2、cos(α ± β) = cos α cos β ∓sin α sin β
3、tan(α ± β) =
tan α ± tan β1 ∓tan α tan β (α、β、α ± β ≠ π2
+ kπ，k∓Z )
例1 若tan α = 2tan π5 ，则cos(α - 3π10 )sin(α - π5 ) ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】C
【分析】观察条件与所求的关系，利用两角差正弦公式、诱导公式变形得到结果
【详解】
tan α = 2tan π5 ⇒ sin αcos α = 2 sin π5 cos π5 ⇒ sin α cos π5 = 2 sin π5 cos α ∴ sin α cos π5 - cos α sin π5 = sin(α - π5 ) = sin π5
cos α
sin α cos π5 + cos α sin π5 = 3 sin π5 cos α = sin(α + π5
)
又cos(α - 3π10 ) = sin(α - 3π10 + π2 ) = sin(α + π5
) cos(α - 3π10 )sin(α - π5 ) = sin(α + π5 )sin(α - π5 ) = 3 sin π5 cos αsin π5 cos α = 3
例2 已知tan α
tan(α + π4 ) = - 23 ，则sin(2α + π4 )的值是____ 【答案】 2 10
【分析】根据已知条件求出tan α，由万能公式求cos 2α、sin 2α，再由两角和公式展开sin(2α + π4
)，代入求值 【详解】
- 3 tan α = 2 tan(α + π4 ) ⇒ 3 tan 2 α - 5 tan α - 2 = 0得tan α = 2或 - 13
sin(2α + π4 ) = 2 2 (cos 2α + sin 2α)，cos 2α = 1 - tan 2 α1 + tan 2 α ，sin 2α = 2 tan α1 + tan 2 α
tan α = 2有cos 2α = - 35 ，sin 2α = 45
tan α = - 13 有cos 2α = 45 ，sin 2α = - 35
∴ sin(2α + π4 ) = 2 10
例3 已知sin α + cos β = 1，cos α + sin β = 0，则sin(α + β)_____
【答案】- 12
【分析】利用条件，找到与sin(α + β)的关系：sin 2 α + cos 2 α = 1及两角和正弦公式
【详解】
1、sin α + cos β = 1有：(sin α + cos β)2 = sin2 α + 2 sin α cos β + cos2 β = 1
2、cos α + sin β = 0有：(cos α + sin β)2 = cos2 α + 2 cos α sin β + sin2 β = 0
3、2 + 2(sin α cos β + cos α sin β) = 2 + 2 sin(α + β) = 1
∴sin(α + β) = -1 2
例4 cos 15° - sin 15°
cos 15° + sin 15°的值()
A - 3
B 0
C 3
D 3 3
【答案】D
【分析】利用cos 45° = sin 45° = 2
2凑特殊角处理
【详解】
cos 15° - sin 15°cos 15° + sin 15°= cos 15°cos 45° - sin 15°sin 45°
cos 15°sin 45° + sin 15°cos 45°=
cos 60°
sin 60°= ctan 60° =
3
3
故，答案为D
例5 已知cos(x-π
6) =
1
3，则cos x + cos(x-
π
3) = ( )
A 3
2 B
3 C
1
2 D
3
3
【答案】D
【分析】观察条件与所求角：x = x -π
6+
π
6，x-
π
3= x-
π
6-
π
6即将所求与条件建立联系，
利用三角恒等变换化简求解【详解】
cos x + cos(x-π
3) = cos (x -
π
6+
π
6) + cos(x-
π
6-
π
6) = 2 cos(x-
π
6) cos
π
6=
3
3
故，答案选D
例6 tan 70°·cos 10°( 3 tan 20° - 1) = ( )
A 1
B 2
C - 1
D - 2
【答案】C
【分析】诱导公式、两角和差公式应用
【详解】
tan 70°·cos 10°( 3 tan 20° - 1) = cos 20°sin 20° ·cos 10°· 3 sin 20° - cos 20°cos 20°
= sin 20° cos 30° - cos 20° sin 30°sin 10°
= - 1 故，答案选C
例7 已知α∈(0, π2 )，β∈(π2 , π)，cos 2β = - 79 ，sin(α + β) = 79
(1) 求cos β的值
(2) 求sin α的值
【答案】(1) - 13 ；(2) 13
【分析】恒等变换的灵活运用，注意是否用其它方法求解
【详解】
(1) cos 2β = 2 cos 2 β - 1 = - 79 且β∈(π2 , π)得：cos β = - 13
(2) 由(1)知：sin β = 2 2 3
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β = 79
⎩⎨⎧ 2 2 cos α - sin α = 73 sin 2 α + cos 2 α = 1
，81 sin 2 α + 42 sin α - 23 = 0
由α∈(0, π
2)，sin α =
1
3
例8 已知α、β∈(0, π
2)，且sin α =
4 3
7，cos(α + β) = -
11
14，则β等于( )
A π
3 B
π
4 C
π
6 D
π
12
【答案】A
【分析】利用两角差公式求所求角的三角函数值，有时需要注意选择三角函数，以确保根据对应范围确定角的大小
【详解】
α、β∈(0, π
2)且cos β = cos(α + β - α)，而sin α =
4 3
7，cos(α + β) = -
11
14
∴cos α = 1
7，sin(α + β) =
5 3
14
cos β = cos(α + β ) cos α + sin(α + β ) sin α = -11
14×
1
7+
5 3
14×
4 3
7=
1
2
∴β = π3
例9 sin 50°(1 + 3 tan 10°) = _____
【答案】2
【分析】切化弦，两角和差公式、诱导公式将角特殊化或尽量保证一般角可约或作差【详解】
sin 50°(1 + 3 tan 10°) = 2 sin 50°·cos 60° cos 10° + sin 60° sin 10°
cos 60° cos 10°=
sin 100°
cos 60° cos 10°
=
cos 10°
cos 60° cos 10°= 2
总结。